An approach to the calculation of the wavelet function using the Schrödinger equation for the harmonic oscillator

Subject Areas : MAth Education

sajad parsamehr ¹

1 - Department of Physics, Kermanshah Branch, Islamic Azad University, Kermanshah, Iran

Received: 2022-10-08 Accepted : 2023-03-14 Published : 2024-09-25

Keywords: تبدیل فوریه زمان کوتاه, حالت های همدوس, تبدیل فوریه, تبدیل موجک, عدم قطعیت,

Abstract :

The concept of probability and uncertainty has always been considered a fundamental principle in quantum physics. One of the most important results of this principle is the particle properties of radiation and the wave properties of matter. In quantum physics, the particle wave function can be explained using the mathematical formalism of the Fourier transform. Based on the qualitative observations that occur in the wave discussion, the inversion pattern of the widths is always established in the two spaces of position and momentum. Such a property is a property of all functions that are Fourier transforms of each other. One of the problems is that the Fourier transform determines whether there is a certain frequency in the wave or not and it does not give information about where this frequency is located in the wave. The problems facing the Fourier transform led to the creation of the Short-time Fourier transform, which also faces problems due to the Heisenberg uncertainty principle. In contrast to the short-time Fourier transform, there are other types of transforms known as wavelet transforms. Using the wavelet transform has the advantage over the Fourier transform that it reduces the uncertainty in the measurements to a smaller amount. In this paper, using the solutions of the Schrödinger equation for the quantum oscillator, the translation operator and Hermitian polynomials, a method to obtain a type of wavelet is presented.

References:

[1] C.C.Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Quantum Mechanics, Volume 1: Basic Concepts,Tools, and Applications, Wiley,( 2019).
[2] D.A.Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, Springer Berlin Heidelberg,(2000)
[3] Do Tan Si, The Fourier Transform and Principles of Quantum Mechanics, Applied Mathematics, 09(04):347-354 ,(2018).
[4] K.Gröchenig, The Short-Time Fourier Transform. In: Foundations of Time-Frequency Analysis. Applied and Numerical Harmonic Analysis. Birkhäuser, (2001)
[5] L. Cohen, Uncertainty principles of the short-time Fourier transform. Advanced Signal-Processing Algorithms. Proc. SPIE. 2563, 80-90 (1995).
[6] A. Mertins, Signal Analysis: Wavelets, Filter Banks, Time-Frequency Transformansd Applications, John Wiley & Sons Ltd. ,(1999).
[7] S. A. Twareque, J.P Antoine, J.P. Gazeau, Coherent States, Wavelets and Their Generalizations, Springer, (2013).
[8] M. Misiti , Y. Misiti , G. Oppenheim , J.M. Poggi, Wavelets and their Applications, Wiley, (2007).
[9] P. S. Addison, Wavelet transforms and the ECG: a review, Physiological Measurement, 26 R155–R199, (2005).
[10] A.K.Piątkowska, and A.Dobrzycki. "Application of Wavelet Transform to Damage Identification in the Steel Structure Elements" Applied Sciences, 10, no. 22: 8198. (2020).
[11] Q.Ma, M. Solís, P.Galvín, Wavelet analysis of static deflections for multiple damage identification in beams. Mechanical Systems and Signal Processing.147. 107103. (2021).
[12] Z.He, M.Shaowei, W.Liguan, and Pingan Peng. "A Novel Wavelet Selection Method for Seismic Signal Intelligent Processing" Applied Sciences 12, no. 13: 6470. (2022).
[12] W.M Zhang, D. H. Feng, R. Gilmore, Coherent States: Theory and Some Applications, Rev.Mod.Phys. , 62 867-927. (1990).
[13] J.P. Gazeau, Coherent States in Quantum Physics , Wiley, (2009).
[14] G.B. Arfken, H.J. Weber, F. E. Harris, Academic Press, Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide, (2012).
[15] P. Castro J. R. Croca M. Gatta R. Moreira, generalized uncertainty relations in quantum mechanics and the principle of completeness in physics, Physical Science International Journal , 16 ( 4), 1-9. (2017).
[16] N.Salto, Simultaneous noise suppression and signal compression using a library of orthonormal bases and the minimum description length criterion, (2nd ed.), (1994).

Full-Text:



رهیافتی برمحاسبه توابع موجک با استفاده از معادله شرودینگر برای نوسانگر هماهنگ

چکیده:

همواره در فیزیک کوانتمی مفهوم احتمال و عدم قطعیت یک اصل بنیادی به حساب آمده است. یکی از مهمترین نتایج این اصل خواص ذره ای تابش و خواص موجی ماده می باشد. در فیزیک کوانتمی می توان تابع موج ذره را با استفاده از فرمالیزم ریاضی تبدیل فوریه توضیح داد. بر اساس مشاهدات کیفی که در بحث موج پیش می آید، رایطه وارونی پهناها در دو فضای مکان و تکانه همواره برقراراست. چنین خاصیتی ویژگی کلیه توابعی است که تبدیل فوریه یکدیگرند. . یکی از مشکلات اين است كه تبديل فوريه تعيین مي كند كه يك فركانس خاص در موج وجود دارد يا نه و در مورد اينكه اين فركانس در كجاي موج واقع شده، اطلاعاتي به دست نمي دهد. مشکلات پیش روی تبدیل فوریه باعث به وجود آمدن تبدیل فوریه زمان کوتاه گردید که آن هم با توجه به اصل عدم قطعیت هایزنبرگ با مشکلاتی مواجه است. در مقابل تبدیل فوریه زمان کوتاه دسته دیگری از تبدیلات وجود دارند که معروف به تبدیل موجک می باشند. استفاده از تبدیل موجک این مزیت را نسبت به تبدیل فوریه دارد که عدم قطعیت را در اندازه گیری ها به مقدار کمتری کاهش می‎دهد. در این مقاله با استفاده از جواب های معادله شرودیگر برای نوسانگر کوانتمی، عملگر انتقال و چند جمله ای های هرمیت روشی را برای به دست آوردن نوعی از موجک ها ارائه شده است.

کلید واژه ها: تبدیل فوریه، حالت های همدوس، تبدیل موجک، عدم قطعیت، تبدیل فوریه زمان کوتاه

 

1.       مقدمه

در فیزیک کلاسیک با استفاده از قانون نیوتون می‏توان مشخصات مربوط به حرکت یک ذره را به طور کامل به دست آورد. اما در فیزیک کوانتمی معادله شرودینگر جایگزین قانون نیوتون شده و جواب این معادله که همان تابع موج ذره می باشد، حالت ذره را در مکان و زمان خاصی مشخص می‏کند. در واقع ماهیت دوگانگی موجی ذره ای در دل مفهوم تابع موج نهفته است.

همواره استفاده از روابط ریاضی برای توضیح واقعیت فیزیکی موجود در طبیعت برای انسان شگفت انگیز بوده است. نیلز بوهر با استفاده از روابط به دست آمده توسط دوبروی و پلانک و نیز معادله موج تخت نامتناهی غیر موضعی و تبدیل فوریه، روابط عدم قطعیت هایزنبرگ را به دست آورد. یعنی نیلز بوهر یک چارچوب ریاضی را برای توصیف جنبه‏های موجی و ذره‏ای موجودات کوانتمی ارئه کرد]1،2 [.

 یک بسته موج جایگزیده از امواجی با فرکانس‏های مختلف تشکیل شده است. یکی از مهمترین نتایجی که در بحث موج پیش می‏آید، رابطه وارونی پهناها در دو فضای مکان و تکانه بودکه ویژگی توابعی است که تبدیل فوریه یکدیگرند. لازم به ذکر است که در تبدیل فوریه اطلاعات فرکانس و زمان به طور همزمان وجود ندارد. به بیان دیگر می‏توان گفت که تبديل فوريه تعيین مي كند كه يك فركانس خاص در موج وجود دارد يا نه و در مورد اينكه اين فركانس در كجاي موج واقع شده، اطلاعاتي به دست نمي‏دهد]3 [. 

بنابراین تبدیل فوریه زمان کوتاه را جایگزین تبدیل فوریه کرده اند. در تبدیل فوریه زمان کوتاه ¹موج ناايستا به قطعاتی به قدرکافی کوچک تقسیم می‎شود که در این قطعات موج ایستا باشد و ابزار این کار نیز تابعی موسوم به تابع پنجره اي است که گستره تاثیر این تابع برابر با طول قطعه ای می باشد که در آن موج ایستا فرض شده است. اکنون یک بیان مناسب زمانی و فرکانسی در مورد موج پیدا شده که علاوه بر فرکانس‏هایی موجود در موج ، زمان وقوع هر یک نیز کشف شده است]4[.

مشكل اصلي تبديل فوريه زمان كوتاه به اصل عدم قطعيت هايزنبرگ مربوط است. اين اصل كه درواقع براي اندازه حرکت و مكان ذرات در حال حركت بيان شده است (نمی‎توان هم موقعیت و هم سرعت یک ذره را به طور دقیق اندازه گرفت)، دانستن فرکانس دقیق و زمان دقیق وقوع این فرکانس در موج غیر ممکن است. يعني نمي‎توان مشخص كرد كدام جزء طيفي در كدام لحظه خاص وجود دارد و تنها مي‎توان باندهاي فركانسي موجود در يك فاصله زماني را مشخص كرد. هر چه پهناي پنجره باريكتر باشد، وضوح زماني بهتر است و فرض ثبات موج هم بهتر برقرار مي‎شود، اما وضوح فركانسي بدتر خواهد شد. برعكس، پنجره پهن وضوح فركانسي خوب و وضوح زماني ضعيف بدست مي دهد]5 [.  علاوه بر آن، پنجره هاي پهن ممكن است با شرط ثبات موج متناقض باشند. به طور خلاصه می توان گفت که مشکل فوریه زمان کوتاه انتخاب تابع پنجره است.

برای مرتفع کردن مشکل فوق به معرفی تبدیل موجک² می‎پردازیم ]6،7،8 [.   امروزه بسیاری از دانشمندان در حوزه علوم مختلف به استفاده از این فرمالیزم ریاضی جهت اندازه گیری‎های دقیق مشغول شده‎اند. در تبدیل موجک بر خلاف تبدیل فوریه، که یک موج را بر روي توابع سینوسی و کسینوسی و هارمونیک‎هاي آنها تجزیه می کرد,  سیگنال برروي یک دسته از توابع که موجک (حالت‎های همدوس) نامیده می‎شوند، تجزیه می‎گردد. در مکانیک کوانتومی حالت همدوس نوع خاصی از حالت کوانتومی می باشد، که دارای کمترین مقدار عدم قطعیت می باشند. با آمدن نظریه موجک ها تجزیه و تحلیل امواج و یا سیگنالها متحول شد. تنوع روش ها و توابع مورد استفاده در این نظریه ، مورد قبول و استقبال پژوهشگران علوم مختلف گردید]9،10،11،12 [. در این مقاله سعی بر این است که پس از معرفی فرمالیزم تبدیل فوریه، تبدیل فوریه زمان کوتاه و تبدیل موجک سپس به ارائه روشی برای محاسبه توابع موجک با استفاده از از جواب های معادله شرودیگر برای نوسانگر کوانتمی، عملگر انتقال و چند جمله ای های هرمیت پرداخته شود و همچنین با مقایسه این توابع موجک با یکدیگر نتایجی را جهت بهره در کارهای آینده برای پژوهشگران ارائه گردیده است.

2. فرمالیزم فوریه و موجک

می‏دانیم که تبدیل‏های فوریه برای نمایش مؤلفه‏های فرکانس موجود درامواج به کار برده می شوند. با وجود اینکه به نظر می‏رسد که تبدیل فوریه یک مفهوم ریاضی است ولی در دنیای واقعی هم می‎توان آثار آن را مشاهده کرد. به عنوان مثال پس از عبور نور از یک منشور،  نور به اجزا تشکیل دهنده خود  با فرکانس‎های خاص تجزیه می شود. این پدیده مشابه تبدیل فوریه می باشد. معادله ریاضی تبدیل فوریه به شکل زیر می باشد:

       (1)                        

که در آن   و  به ترتیب زمان و فرکانس می باشند. با فرض اینکه f یک تابع انتگرال پذیر روی  باشد، با توجه به اینکه  پیوسته وکراندار می باشد، لذا برای هر  انتگرال پذیر موضعی است و نیز برای هر  و  حقیقی  است. واضح است که:

 (2)     

بنابراین می توان گفت که انتگرال فوریه برای هر موجود است. تعریف ارائه شده در معادله فوق برخی از نقایص تبدیل فوریه را نمایان می سازد. به طور خلاصه اگر چه تبدیل فوریه در بررسی امواج ایستا بسیار موثر است، اما برای توصیف توابع غیر پیوسته و یا امواجی که دائما، در حال تغییراند مناسب نمی‏باشد. باید توجه داشت که نظریه فوریه بر فرض ایستا بودن (مشخصات فرکانسی موج با زمان تغییر نمی‏کند) موج استوار است. در صورت برآورد نشدن این فرض، ابزار فوریه کارایی خود را از دست خواهد داد. چرا که در این تبدیل اطلاعات فرکانس و زمان به طور همزمان وجود ندارد. اشكال ديگر اين است كه تبديل فوريه تعيین مي كند كه يك فركانس خاص در موج وجود دارد يا نه و در مورد اينكه اين فركانس در كجاي موج واقع شده، اطلاعاتي به دست نمي دهد. مشکلات پیش روی تحلیل فوریه با عث به وجود آمدن تحلیل فوریه پنجره کوتاه گردید، که این روش هم با یک سری نقایص روبه رو شد. فرم ریاضی این تبدیل به شکل زیر می باشد:

 (3)                                                             

در این تبدیل با استفاده از تابع پنجره  wموج به قطعات کوچکی تقسیم شده طوری که در طول هریک از قطعات موج ایستا باشد. می توان گفت که مشکل تبدیل فوریه زمان کوتاه انتخاب تابع پنجره است که این هم به اصل عدم قطعيت هايزنبرگ بر می‏گردد.

 تبدیل موجک برای حل مشکل فوق الذکر معرفی شده است. در تجزیه و تحلیل یک موج با استفاده از موجک ها توابع مختلف نمایی با طول نا محدود را که توابع پایه تبدیل فوریه را تشکیل می دهند با توابع دیگری که در حوزه زمان بیشتر متمرکز هستند (و در حوزه فرکانس کمتر) جایگزین می‏کنیم. جهت کسب اطلاعات حوزه زمان ، این توابع باید بر روی محور زمان بلغزند به طوری که تمام محور زمان را بپوشانند. از طرف دیگر این توابع باید دارای حالت نوسانی باشند تا بتوانند اطلاعات حوزة فرکانس را استخراج کنند.  در نگاه اول  در تبدیل موجک پیوسته شبیه به   در تبدیل فوریه است، اما بر خلاف تبدیل فوریه تبدیل موجک پیوسته تبدیل یکتا نمی‏باشد. البته باید ذکر کرد که تبدیل موجک نیز مانند تبدیل فوریه پیوسته خطی است. تبدیل موجک پیوسته ³به شکل زیر تعریف می‏شود:                                                                      (4)            

aو b نماینگر پارامتر مقیاس و انتقال می‏باشند. در یک تبدیل انتگرالی ویژگی های تبدیل وابسته به هسته تبدیل می باشد. در مورد تبدیل فوریه،  هسته تبدیل می باشد، در این تبدیل عامل مقیاس گذار همراه با  دسته‏ای از توابع مقیاس کننده خواهد ساخت، که نقش آنها نمایش سیگنال در مقیاس های مختلف می باشد. در مورد تبدیل موجک پیوسته که شبیه به تبدیل فوریه است منتها در تبدیل موجک بر پایه تابع  مقیاس‏گذاری می شود، اما بر خلاف تبدیل فوریه این تابع انتقال داده می‏شود. لذا دسته‏ای از توابع دو پارامتری در نظر گرفته شده است، یعنی:

(5)                     

برای اینکه تاب  در  یک موجک باشد باید شرط زیر را برآورده کند:

(6)                                

تبدیل فوریه  است. به طور متفاوتی با تبدیل فوریه زمان کوتاه ، موجک‏ها استفاده شده در تبدیل موجک‏ها از انقباض و انبساط یک تابع  که آنرا موجک مادر نامیده اند، بدست می‏آیند. تفاوت دیگر آن با تبدیل فوریه زمان کوتاه دراین است که گستردگی موجک‏ها با پارامتر مقیاس a تغییر می کند. لازم به ذکر است که هر تابعی را نمی توان به عنوان موجک بکار برد. در آنالیز تابعی موجک مادر باید دو شرط زیر را برآورده کند. شرط نخست پذیرفتاری⁴ می‏باشد. طوری که اگر  ، آنگاه تبدیل فوریه آن،  ،پیوسته خواهد بود. بنابراین داریم: 

   (7)                                          

  شرط دوم خوش موضعی ⁵بودن موجک‏ها می‏باشد. به این صورت که  در هر دو حوزه زمان و بسامد خوش موضع است و یا اینکه  و مشتق‏هایش بسیار سری میرا می‏شوند. همچنین شرط پذیرفتگی به طور ضمنی لازم می دارد که موجک ها حداقل با سرعت  میرا باشند. یعنی موجک تابعی است که نوسان می‏کند ولی مدت استمرار آن کوتاه است. لازم به ذکر است که پهنای باند موجک های مختلف با گستردگی آنها در حوزۀ زمان رابطۀ معکوس دارد.

3. روش محاسبه توابع موجک

معادله شرودینگر برای نوسانگر هماهنگ ساده کوانتمی به شکل زیر می باشد]13،14[:                                                                             (8)       

که در آن  ، E انرژی ،  بسامد زاویه‏ای و  می باشد. جواب‏های این معادله به صورت:

                                                             (9)

که در آن  چند جمله ای های هرمیت می‏باشند. در فیزیک کوانتمی به دنبال ساختن ترکیبی ازجواب‏های معادله شرودینگر برای نوسانگر کوانتمی یا همان ویژه حالت‎های نوسانگر کوانتمی هستند طوری‏که بیشترین شباهت را به نوسانگر کلاسیک داشته باشد. لذا می‏توان با اثر دادن عملگر انتقال روی تابع حالت پایه نوسانگر کوانتمی:

   (10)                                                                                                تابعی را ساخت که دارای شرایط مورد نظر باشد. اگر به جای  تابع حالت پایه نوسانگر کوانتمی را قرار دهیم:    (11)

 

آنگاه می توان نوشت:

  (12)                                                         

عبارت سمت راست معادله فوق در شرط پذیرفتگی قبلا ذکر شده صدق می کند، بنابراین می توان آن را به عنوان موجک (کلاه مکزیکی) در نظر گرفت. همچنین با توجه به تعریف چند جمله ای های هرمیت  می توان معادله فوق  را به صورت زیر باز نویسی کرد:

 (13)                     به روشی مشابه و با توجه به ظاهر شدن اندیس های زوج چند جمله ای های هرمیت و نیز شرط مهم پذیرفتگی می توان دو تابع موجک دیگر یعنی توابع  و را به صورت زیر به دست آورد:                                                                   (14)                                                                       

(15) 

بنابراین می توان رابطه کلی زیر را برای محاسبه توابع همدوس یا همان موجک ها به کار برد:

 (16)                                                                                 

حال به بررسی این سه تابع می پردازیم. نمودار های این سه تابع موجک در شکل 1 نشان داده شده اند.

 

 

 

---

[1]  Short-time Fourier transform

[2]  Wavelet Transform

[3]  Continuous Wavelet Transform

[4]  Admissibility

[5]  well-localized

 

 

شکل1. نمودارهای توابع موجک  و  و

 

با مقایسه نمودارهای توابع موجک به دست آمده مشاهده می شود که توابعی که دارای قله های متوالی می باشند این امکان را دارند که دارای فرصت بیشتری برای شناسایی اطلاعات فرکانسی موج دارند، لذا حساسیت بیشتری در تشخیص فرکانس مورد نظر در موج دارند وبرای بررسی اطلاعات موج مناسبتر می باشند.

مساله دیگری که در اینجا برای ما اهمیت دارد مربوط به اصل عدم قطعیت می باشد. توابع موجک یا همان توابع همدوس کوانتمی می بایست دارای کمترین میزان عدم قطعیت باشند. با توجه به رابطه کلی عدم قطعیت برای یک مشاهده پذیرمانند A در فیزیک کوانتمی:                                                                                                                       (17)                     

و نیز رابطه    برای مکان   و تکانه  مقادیر عدم قطعیت مطابق داده های جدول محاسبه شده اند. اعداد به دست آمده در این جدول نشان دهنده سازگاری روابط مربوط به عدم قطعیت این توابع با رابطه عدم قطعیت استاندارد فیزیک کوانتمی می باشد.

 

 

 

جدول شماره1. مقایسه نتایج عدم قطعیت سه تابع موجک

 

 

 

 

 

 

 

 

 

حال به مقایسه توابع موجک به دست آمده با دو تابع دیگر یعنی تابع گاوسی و تابع لورنتز می پردازیم. ابتدا برای تابع گاوسی:

 (18)

 

شکل2. نمودار تابع گاوسی

 

 

مقادیر  و  را محاسبه کرده سپس همین مقادیر را برای تابع لورنتز:

(119)

 

شکل3. نمودار تابع لورنتز

 

پیدا می‏کنیم، و . مشاهده می‏شود که با مقایسه شکل این توابع و همچنین مقادیر به دست آمده برای  و  در می یابیم که توابع موجک محاسبه شده دارای مزیت و برتری لازم نسبت به دو تابع اخیر جهت استفاده در تجزیه و تحلیل امواج می باشند، همچنین لازم به ذکر است که دو تابع فوق الذکر در شرط پذیرفتگی صدق نمی کنند. برخلاف فیزیک کوانتمی معمولی اگر از یک موج تعدیل یافته محدود مانند موجک برای توصیف امواج کوانتمی استفاده شود، عدم قطعیت در اندازه گیری مکان و تکانه خطی به میزان قابل توجهی کاهش می یابد. این امر سبب امیدوار شدن بسیاری از پژوهشگران در حوزه فیزیک کوانتمی شده، تا حدی که شاید بتوان گفت که به یک اندازه گیری کوانتمی ایده ال با خطای صفر نزدیک شده اند]15 [. راه حل کلی برای انتخاب موجک مادر از این قرار است که شباهت بین سیگنال و موجک مادر را معیار قرار دهیم. هرچه تشابه بین موجک مادر و یک سیگنال بیشتر باشد آنالیز سیگنال با استفاده از موجک بهتر انجام می‎گیرد. روش‎های مختلفی برای شناسایی شباهت بین سیگنال و موجک مادر بر اساس دو دیدگاه کیفی و کمی وجود دارد. در رویکرد کیفی برخی ویژگی ها مانند تقارن و تناوب به عنوان ملاک در نظر گرفته می‎شوند، و در روش کمی بر اساس تکنیک‎های دقیقی ریاضی مانند ارزیابی مقدار مینیمم طول توصیف¹ عمل می شود]16 [. در مجموع می‎توان گفت که در هر مطالعه بسته به نوع سیگنال ورودی و شباهت آن سیگنال با  انواع موجک های مادر، انتخاب مناسب در نظر گرفته می‏شود.

4. نتیجه‎گیری

از اهداف کلی معرفی توابع موجک ارائه روشی برای تجزیه و تحلیل امواج و سیگنال ها در زمینه های مختلف علمی و کاربردی می باشد. با به کار بردن مفاهیم فیزیک کوانتمی نظیر اصل عدم قطعیت، نوسانگر کوانتمی، حالت‎های همدوس کوانتمی و نیز استفاده از چند جمله ای های هرمیت، می توان توابع موجک جدید را ساخت که در شرایط لازم صدق کنند و از آنها جهت آنالیز هر چه بهتر امواج و سیگنال‎ها نظیر سیگنال‎های حیاتی، مهندسی و 

---

[1] Minimum description length 

علوم بهره برد، و در جهت کاربردهای تشخیصی و پیشگیرانه از 

آنها استفاده کرد.

 

 

فهرست منابع

 

[1]  Cohen-Tannoudji, C. – Diu, B. – Laloë, F, Quantum Mechanics, Volume 1: Basic Concepts,Tools, and Applications, Wiley,( 2019).

[2] D.A. – Greiner , Quantum Mechanics: An Introduction ,Springer Berlin Heidelberg,(2000),.

 [3] Do Tan Si, The Fourier Transform and Principles of Quantum Mechanics, Applied Mathematics, (2018), 09(04):347-354 .

[4] Gröchenig, K. ,The Short-Time Fourier Transform. In: Foundations of Time-Frequency Analysis. Applied and Numerical Harmonic Analysis. Birkhäuser, Boston, MA. (2001).

[5] L. Cohen, Uncertainty principles of the short-time Fourier transform. Advanced Signal Processing Algorithms. Proc. SPIE. 2563, 80-90 (1995).

 [6] Alfred Mertins, Signal Analysis: Wavelets, Filter Banks, Time-Frequency Transformansd Applications, John Wiley & Sons Ltd. ,(1999).

 

[7] Syed Twareque Ali,Jean-Pierre Antoine, Jean-Pierre Gazeau, Coherent States, Wavelets and Their Generalizations, Springer, (2013).

[8] Michel Misiti , Yves Misiti  , Georges Oppenheim , Jean‐Michel Poggi, Wavelets and their Applications, Wiley, (2007).

 

[9] Paul S Addison, Wavelet transforms and the ECG: a review, Physiological Measurement, 26 R155–R199 ,(2005).

[10] Knitter-Piątkowska, Anna, and Arkadiusz Dobrzycki. "Application of Wavelet Transform to Damage Identification in the Steel Structure Elements" Applied Sciences, (2020)10, no. 22: 8198.

[11] Ma, Qiaoyu & Solís, M. & Galvín, Pedro. Wavelet analysis of static deflections for multiple damage identification in beams. Mechanical Systems and Signal Processing. (2021). 147. 107103.

[12] He, Zhengxiang, Shaowei Ma, Liguan Wang, and Pingan Peng. "A Novel Wavelet Selection Method for Seismic Signal Intelligent Processing" Applied Sciences (2022) 12, no. 13: 6470.

[12] Wei-Min Zhang, Da Hsuan Feng, Robert Gilmore, Coherent States: Theory and Some Applications, Rev.Mod.Phys. (1990), 62  867-927.

[13] Jean-Pierre Gazeau, Coherent States in Quantum Physics , Wiley, (2009).

[14] George B. Arfken, Hans J. Weber, Frank E. Harris, Academic Press, Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide, (2012).

 

[15] P. Castro J. R. Croca  M. Gatta  R. Moreira, generalized uncertainty relations in quantum mechanics and the principle of completeness in physics, Physical Science International Journal , (2017), 16 ( 4), 1-9.

 

[16] N.Salto,Simultaneous noise suppression and signal compression using a library of orthonormal bases and the minimum description length criterion, In: (2nd ed.), E. Foufoula-Georgiou and P. Kumar, Editors, Wavelets in Geophysics, Academic Press. (2004).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An approach to the calculation of the wavelet function using the Schrödinger equation for the harmonic oscillator

 

Abstract

The concept of probability and uncertainty has always been considered a fundamental principle in quantum physics. One of the most important results of this principle is the particle properties of radiation and the wave properties of matter. In quantum physics, the particle wave function can be explained using the mathematical formalism of the Fourier transform. Based on the qualitative observations that occur in the wave discussion, the inversion pattern of the widths is always established in the two spaces of position and momentum. Such a property is a property of all functions that are Fourier transforms of each other. One of the problems is that the Fourier transform determines whether there is a certain frequency in the wave or not and it does not give information about where this frequency is located in the wave. The problems facing the Fourier transform led to the creation of the Short-time Fourier transform, which also faces problems due to the Heisenberg uncertainty principle. In contrast to the short-time Fourier transform, there are other types of transforms known as wavelet transforms. Using the wavelet transform has the advantage over the Fourier transform that it reduces the uncertainty in the measurements to a smaller amount. In this paper, using the solutions of the Schrödinger equation for the quantum oscillator, the translation operator and Hermitian polynomials, a method to obtain a type of wavelet is presented.

 

 

 

 

---