The effectiveness of using APOS-ACE theory on students' understanding of the concept of derivative in a discrete learning environment
Subject Areas : MAth EducationAmin Badiyepeima Jahromi 1 , Amirali Tabatabai 2 , Majid Haghverdi 3
1 -
2 -
3 -
Keywords: تدریس و یادگیری, چرخه ACE, دنباله تفاضلی, مشتق, نظریه APOS,
Abstract :
The aim of this study was to investigate the effectiveness of APOS-ACE theory on students' understanding of the concept of derivative in the discrete learning environment introduced by Wiegand (2014). In this approach, a step-by-step method to obtain difference sequence of functions defined on z and Q is proposed. For this purpose, a quasi-experimental method of pretest-posttest with control group was used to conduct this research. In the present study, 42 engineering students from one of the universities of Fars province, participated in two groups. Initially, a pre-test of both groups was taken using a researcher-made test. Then the ACE teaching cycle was designed with the help of GeoGebra software and in the experimental group, the concept of discrete derivative was taught using this cycle. Covariance was used to analyze the obtained data. Findings of this study showed that the use of ACE cycle has been effective on students' understanding of the concept of discrete derivative approach and gradually helped to a better understanding of the rate of change and the local rate of change with the help of sequences.
[1] Giraldo, V., Carvalho, L. M., & Tall, D. (2003). Descriptions and Definitions in the Teaching of Elementary Calculus. Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, 445- 452.
[2] Zandieh,M. (2000). A Theoretical Framework for Analyzing student Understanding of the Concept of Derivative, In E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld & J. Kaput, Research in Collegiate Mathematics Education (Vol IV, pp.103–127). Providence, RI: American Mathematical Society.
[3] Eisenherg,T.(1992).On the development of a sense for functions.InG.Harel & Ed. Dubinsky(Eds),the concept of function:Aspects of epistemology and pedagogy,MAA notes25, pp.153-174. Mathematical Association of America, Washington.
[4] Orton, A. (1983). Students’ Understanding of Differentiation, Educational Studies in Mathematics, 14(3), 235-250.
[5] Tall, D. (1993). Students’ Difficulties in Calculus, Plenary Address, Proceedings of ICME-7, 13–28, Québec, Canada.
[6] Thompson, P. W. (1994). Images of rate and operational understanding of the fundamental theorem of calculus. Educational Studies in Mathematics, 26(2), 229-274.
[7] Ferrini-Mundy, J., & Graham, K. (1994). Research in calculus learning: Understanding limits, derivatives, and integrals, in E. Dubinsky & J. Kaput (Eds.), Research issues in undergraduate mathematics learning (pp. 19-26), Mathematical Association of America.
[8] Clark J. M., Cordero, F., Cottrill, J., Czarnocha, B., DeVries, D. J., St. John, D., Tolias T., & Vidakovic, D. (1997). Constructing a schema: The case of the chain rule. Journal of Mathematical Behavior, 16(4), 345-364.
[9] Zandieh,M. (2000). A Theoretical Framework for Analyzing student Understanding of the Concept of Derivative, In E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld & J. Kaput, Research in Collegiate Mathematics Education (Vol IV, pp.103–127). Providence, RI: American Mathematical Society.
[10] Cottrill, J., Dubinsky, E., Nicholas, D., Schwingendorf, K., Thomas, K., & Vidakovic, D. (1996). Understanding the limit concept: Beginning with a coordinated process scheme. Journal of Mathematical Behavior, 15(2), 167–192.
[11] Dominguez, A., Barniol, P., & Zavala, G. (2017). Test of Understanding Graphs in Calculus: Test of Students’ Interpretation of Calculus Graphs. EURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education. 13(10), 6507-6531.
[12] Weigand, H.-D. (2014). A discrete approach to the concept of derivative. ZDM Mathematics Education, 46:603–619.
]13[ چاهکی، عصمت و حق وردی، مجید (1396). رویکردی نوین به درک مفهوم مشتق برای دانش آموزان متوسطه، مجله رشد آموزش ریاضی، دوره سی و چهارم ، شماره 3.
[14] Asiala, M., Brown, A., DeVries, D. J., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (1996). A framework for research and development in undergraduate mathematics education. Research in collegiate mathematics education,6(2),1-32.
[15] Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E., Oktaç, A., Fuentes, S. R., Trigueros, M., & Weller, K. (2014). APOS theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education. New York, Heidelberg, Dordrecht, London: Springer.
[16] Borji , V., Martínez-Planell , R. (2019). What does ‘y is defined as an implicit function of x’ mean?: An application of APOS-ACE. Journal of Mathematical Behavior 56 (2019) 100739.
[17] Borji, V, Alamolhodaei , H, Radmehr, F. (2018),Application of the APOS-ACE theory to Improve Students’ Graphical Understanding of Derivative. EURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education.14(7),2947-2967.
[18] Cetin, I˙. (2009). Students’ understanding of limit concept: An APOS perspective. Doctoral Thesis, Middle East Technical University, Turkey.
[19] Martínez-Planell,R. Trigueros, M. McGee,D.(2015). Student Understanding of Directional Derivatives of Functions of Two Variables.Proceedings of the 37th annual meeting of the North american chapter of the international group for the psychology of mathematics education. East Lansing, MI: Michigan State University.
[20] Maharaj, A. (2013). An Apos Analysis of natural science Student' Understanding of derivatives.South African Journal of Education. 33(1). 1-19.
[21] Badillo, E., Azcárate, C., & Font, V. (2011). Analysis of Mathematics teachers’ level of understanding of the objects 𝑓′(𝑎) and 𝑓′(𝑥). Enseñanza de las ciencias, 29(2), 191-206.
[22] Siyepu, S. W. (2013). An exploration of students’ errors in derivatives in a university of technology. Journal of Mathematical Behavior, 32(3), 577–592.
[23] Asiala, M., Cottrill, J., Dubinsky, E., & Schwingendorf,K.E(1997). The development of students’ graphical understanding of the derivative. Journal of Mathematical Behavior, 16(4), 399-430.
[24] Cooley, L., Trigueros, M., & Baker, B. (2007). Schema thematization: A framework and an example. Journal for Research in Mathematics Education, 2, 370–392.
[25] Weller, K., Arnon, I., & Dubinsky, E. (2011). Pre-service teachers’ understanding of the relation between a fraction or integer and its decimal expansion: Strength and stability of belief. Canadian Journal of Science, Mathematics,and Technology Education, 11(2),129-159.
[26] Weller, K., Arnon, I., & Dubinsky, E. (2009). Pre-service teachers’ understanding of the relation between a fraction or integer and its decimal expansion. Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education,9(1),5-28.
[27] Dubinsky, E., Weller, K., & Arnon, I. (2013). Pre-service teachers’ understanding of the relation between a fraction or integer and its decimal expansion: The Case of 0.999...and 1.Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education, 13(3), 5-28.
[28] National Council of Teachers and Mathematics. (2000). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics.National Council of Teachers and Mathematics, Reston, VA.
اثربخشی استفاده از نظریه APOS-ACE بر درک دانشجویان از مفهوم مشتق در محیط یادگیری گسسته
چکیده:
این مطالعه با هدف بررسی اثر بخشی نظریه APOS-ACE بر درک دانشجویان از مفهوم مشتق در محیط یادگیری گسسته معرفی شده توسط ویگاند (2014) انجام شد. در این رویکرد روشی گام به گام از تفاضل دنباله ای برای توابع تعریف شده بر z و Q مطرح می شود. بدین منظور برای انجام این پژوهش از طرح نیمه آزمایشی پیش آزمون-پس آزمون با گروه کنترل استفاده شده است.در پژوهش حاضر 42 دانشجوی مهندسی در دو گروه از یکی از دانشگاه های استان فارس شرکت کردند. در ابتدا با استفاده از آزمون محقق ساخته یک پیش آزمون از هر دو گروه به عمل آمد. سپس چرخه تدریس ACE با کمک نرم افزار جئوجبرا طراحی شد و در گروه آزمایش مفهوم مشتق گسسته بااستفاده از این چرخه تدریس شد.برای تحلیل داده های بدست از کوواریانس استفاده شد. یافته های این مطالعه نشان داد استفاده از چرخه ACE بر درک دانشجویان از مفهوم رویکرد گسسته مشتق موثر بوده است و به تدریج به درک بهتر آهنگ تغییر و آهنگ لحظه ای به کمک دنباله ها سوق داده می شود.
واژه های کلیدی: تدریس و یادگیری ، دنباله تفاضلی ، مشتق ، نظریه APOS ، چرخه ACE
1-مقدمه
مشتق یکی از مفاهیم اساسی مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. اهمیت یادگیری مفهوم مشتق از این نظر که در یادگیری مفاهیمی از جمله پادمشتق و انتگرال مورد نیاز است، نیز مورد توجه ویژه ای قرار می گیرد.ژیرالدو و همکاران ]16 [بیان می کنند که بین توضیح یک مفهوم که برخی از ویژگی های آن را مشخص می کند و تعریف رسمی مفهوم تفاوت وجود دارد.به طور ویژه آنها به توصیف رایج مشتق تابع در نقطه a در دامنه تابع (درصورت وجود) که عبارت است شیب خط مماس بر نمودار تابع در نقطه (a,f(a)) اشاره کردند.توصیف رایج دیگر مشتق آهنگ لحظه ای تغییر تابع می باشد در حالی که معنای فیزیکی مشتق به سرعت و شتاب شئ متحرک در یک لحظه از زمان اشاره دارد. در مقابل تعریف رسمی مشتق تابع f(x) در نقطه x=a برابراست با 
.درک مفهوم مشتق بخصوص بر اساس مفهوم حد و شیب منحنی و مفهوم آهنگ تغییر در کتابهای ریاضیات است. برای اکثر دانشجویان درک تعاریف رسمی حد ، مشتق دشواراست،بصورتی که توانایی به کارگیری دقیق تعریف ها را در موقعیت مختلف ندارند و از درک عمیق تر مفاهیم برخودار نمی باشند. تحقیقات نشان داده که مفهوم مشتق به علت پیچیدگی در تعریف یکی از مفاهیم مشکل در حسابان می باشد ]28 [. برخی دانش آموزان و دانشجویان حتی پس از گذراندن دوره های حساب دیفرانسیل و انتگرال درک مفهومی مناسبی از مشتق به دست نمی آورند ]14 [. همچنین پژوهش های قبلی در مورد مفهوم مشتق نشان داده است که اگرچه دانش رویه ای دانشجویان در مورد مشتق گیری کافی است ، اما اکثر آنها دانش مفهومی یا شهودی کمی از مشتق دارند]20و22و23و15و4و9و28و24و12 [. با توجه به پژوهش های اشاره شده بالا در مورد مشکلات درک مفهومی مشتق،ویگاند]27 [ رویکردی جدیدی را برای درک مفهوم مشتق معرفی می کند.ویگاند ]27 [رویکرد گسسته گام به گامی را برای درك بهتر مفهوم مشتق بوسیله تعامل با دنباله و تفاضل دنباله ای توابع تعریف شده روی دامنه های گسسته ℤ و ℚ سپس با تعمیم به دامنه ℝ ارائه می دهد. مزیت این روش عدم ارائه مفهوم حد در آغاز کار است و مفهوم آهنگ تغییر با استفاده از نمونه های گسسته بیان می شود و به تدریج ذهن فراگیران به سوی درک بهتر آهنگ تغییر و آهنگ لحظه ای سوق داده می شود]1 [.بنابراین در رویکرد گسسته دنباله شیب های قاطع توابع Zn گسسته برای تفسیر مشتق تابع f در نقطه ای خاص از نمودار f و در نتیجه محاسبه آهنگ لحظه ای تغییر ارائه می شود.
نظریه APOS(عمل 1، فرایند2، شئ3، طرحواره4) ]3 [به بررسی درک فراگیران از مفاهیم ریاضی می پردازد. بر اساس این نظریه یادگیرنده باید یک ساختار ذهنی مرتبط با عمل، فرایند، شئ و طرحواره داشته باشد تا بتواند به درک یک مفهوم ریاضي برسد و اگر چنین ساختار ذهنی وجود نداشته باشد، یادگیری آن مفهوم نیز تقریباً غیرممکن می باشد ]2 [. راهبردهای پداگوژیکی (آموزشی) نظریه APOS برای تدریس مفاهیم ریاضی چرخه ACE(فعالیت5 ، گفتمان کلاسی6 ، تمرینات7) با کمک رایانه می باشد]2و3 [. بنابراین هدف ما در این مطالعه این است که اثر بخشی استفاده از چرخه تدریس ACE را در تدریس و یادگیری مفهوم مشتق در محیط یادگیری گسسته را بررسی نماییم.
2-پیشینه تحقیق:
برجی و مارتیتزپانل ]6 [ تئوری APOS-ACE را برای بررسی درک دانشجویان از تابع ضمنی و مشتق آن بکار بردند.برای درک تابع ضمنی و مشتق آن ابتدا یک تجزیه ژنتیکی پیشنهاد شد و سپس با استفاده از تجزیه ژنتیکی پیشنهادی چرخه ACE برای کمک به دانشجویان در انجام ساخت های ذهنی که فاقد آن بودند، طراحی و اجرا شد. نتایج نشان داد که استفاده ازچرخه تدریس ACE در درک دانشجویان از تابع ضمنی و مشتق آن موثر است.
برجی و همکاران ] 7 [ ازتئوری APOS-ACE برای بهبود درک گرافیکی دانشجویان از مشتق تابع استفاده کردند. برای این منظور ، یک چرخه ACE با کمک نرم افزار Maple طراحی شده و بر روی گروهی از دانشجویان (گروه آزمایش) پیاده سازی شد. نتایج این اجرا با مقایسه عملکرد گروه آزمایش با عملکرد یک گروه دانشجویی دیگر (گروه کنترل) ارزیابی شد ، که همان موضوع را به روش سنتی و مبتنی بر سخنرانی دریافت کردند. یافته های این تحقیق نشان داد که دانشجویانی که در گروه آزمایش بودند، درک بهتری از مفهوم مشتق در مقایسه با گروه کنترل داشتند.
سیتن ]8 [در پژوهشی درک دانشجویان از مفهوم حد را به کمک تئوری APOS بررسی کرد. هدف اصلی این مطالعه بررسی درک دانشجویان ریاضی سال اول از مفهوم حد رسمی و تغییر در درک آنها پس از اجرای دستورالعمل طراحی شده توسط محقق و براساس تئوری APOS بود. دانشجویان طی 5 هفته و هر هفته 2 ساعت در یک آزمایشگاه رایانه با هم کار می کردند و سپس در 4 ساعت کلاس درس شرکت می کردند. دانشجویان قبل از اینکه تعریف رسمی حد را در کلاس دریافت کنند در آزمایشگاه رایانه ، بر روی فعالیت های برنامه نویسی به منظور تامل درباره مفهوم حد کار می کردند . برای تعیین تغییرات در درک دانش آموزان از این مفهوم ، پرسشنامه حد به عنوان پیش آزمون و پس آزمون اجرا شد. در پایان این دستورالعمل ، یک مصاحبه نیمه ساختاری تهیه شده توسط محقق برای بررسی عمیق تر درک دانشجویان از مفهوم حد انجام شد. پاسخ دانشجویان در این پرسشنامه از نظر کمی و کیفی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. نتایج مصاحبه با استفاده از چارچوب APOS مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. نتایج مطالعه نشان داد که دانشجویان آنچه را که از طریق تجزیه ژنتیکی اولیه پیش بینی شده بود، منعکس می کردند و همچنین مشخص شد که این دستورالعمل نقش مثبتی در تسهیل درک دانش آموزان از مفهوم حد تابع دارد.
مارتینز پانل و همکاران ]17 [ از تئوری APOS(عمل،فرایند،شئ،طرحواره) به عنوان ابزاري براي تحليل درک وفهم دانشجویان از مشتق جهتی توابع دو متغیره استفاده کردند. به منظور درک دانشجویان از مشتق جهتی (سوئی) یک تجزیه ژنتیکی از این مفهوم ارائه شد و مصاحبه های نیمه ساختار یافته با 26 دانشجو برای آزمایش این تجزیه ژنتیکی پیشنهادی انجام شد.نتایج این مطالعه نشان داد که فقط 4 دانشجو از 26 دانشجو شواهدی از ساختن تمام یا بیشتر ساختهای ذهنی مورد نیاز در تجزیه ژنتیکی ارائه دادند که نشان دهنده این است که ایده مشتق جهتی برای اکثر دانشجویانان دشوار است و آنها حتی در ابتدایی ترین مفاهیم مرتبط با این ایده به کمک بیشتری نیاز دارند. بسیاری از دانشجویان مفهوم فرآیند از مشتق تابع یک متغیر را برای استفاده در ساختارهای ذهنی پیشنهادی از مشتق جهت دار نشان ندادند. بسیاری از دانشجویان به فرمول ها تکیه می کردند و در نتیجه در پاسخ به سؤالاتی که نیاز به درک عمیق تر مفهومی داشتند ، مشکلاتی را نشان می دادند و بیشتر دانشجویان فاقد درک هندسی از مؤلفه های اساسی در تعریف مشتق جهتی بودند.
ماهارج ] 18 [ درک دانشجویان را از مفهوم مشتق تابع با استفاده از نظریه APOS مورد تجزیه و تحلیل قرار داد. یافتههای این پژوهش نشان داد که دانشجویان در بهکارگیری قواعد مشتقها با مشکل مواجه بودهاند و این احتمالاً نتیجه عدم ساختار ذهنی مناسب بسیاری از دانشجویان در سطوح فرآیند، شی و طرحواره نظریه ی APOS بوده است.
بدیلو و همکاران ]5 [میزان درک رابطه بین 𝑓’(𝑎) و (𝑓’(𝑥 دربین برخی از معلمان ریاضی را گزارش می کنند. معلمان درمورد درک خود از (𝑓’(𝑎 و 𝑓’(𝑥) به یک پرسشنامه پاسخ دادند. نویسندگان گزارش دادند كه چگونه درک 𝑓’(𝑎) و 𝑓’(𝑥) می تواند به ساختار اساسی هر دو طرحواره گرافیکی و جبری مرتبط باشد.
سيپو ]21 [از تئوری APOS به عنوان ابزاري براي تحليل خطاهاي دانش آموزان در يادگيري مشتق توابع نمايي ، لگاريتمي و مثلثات استفاده كرد. وي از يك روش مطالعه موردي براي تحقيق در مورد 20 دانشجوئي كه براي شركت در برنامه درسي توسعه يافته برنامه درسي در دانشگاه صنعتي ثبت نام كرده بودند ، استفاده كرد. نتيجه گيري وي اين بود كه اكثر دانشجویان در سطح عمل يا درگيري بين سطح مراحل عمل و فرآيند تئوری APOS بودند. وي توصيه كرد كه يك چرخه تدريس ACE بايد به منظور كمك به دانشجویان در توسعه طرحواره مورد نياز اجرا شود.
آسيلا، كانتريل، وهمكاران]4 [از نظریه APOS برای تحلیل درک گرافیکی دانشجویان از مفهوم مشتق استفاده کردند. آنها مصاحبه هايي روي مشتق با 41 دانشجوي مهندسي ، علوم و رياضيات انجام داند كه حداقل دو ترم حسابان را به پايان رسانده بودند.در این پژوهش از راهبرد آموزشي چرخه تدريس ACE ، استفاده شد. نتيجه گيري انجام شده توسط آسيلا، كانتريل، وهمكاران]4 [همچنين با توجه به راهبردهاي آموزشي استفاده شده توصيه هايي را ارائه داد. استفاده از چرخه تدريس ACE با فعاليتهاي كامپيوتري كه با دقت طراحي شده بودند به طور معقول در كمك به دانشجویان در توسعه يك درك فرآيندي نسبتاً قوي از تابع و درك گرافيكي از مشتق مؤثر بوده است. دانشجویانی كه از طريق اين چرخه تدريس ACE آموزش دیده بودند ، درك فرايند قوي را در فهم نماد f (x) و همچنین در تفسير رابطه بين مشتق، نمودار آن و نمودار تابع نشان دادند.
3-چارچوب نظری
در این بخش چارچوب نظری مورد استفاده در تحقیق رویکرد گسسته مشتق و نظریه APOS شرح داده می شود.
رویکرد گسسته مشتق :
ویگاند]27 [ رویکردی از دسترسی گسسته به حساب را ارائه داد که مفهوم آهنگ متوسط تغییر براساس دنباله های مختلف با نگاهی بر توابع گسسته مطرح می شود. ویگاند]27 [اظهار داشت که دنباله های گسسته و دنباله های تفاضلی آنها می توانند از توسعه ایده های اساسی برای مفاهیم آهنگ تغییر ، مشتق و تابع مشتق حمایت کنند. ویگاند ]27 [ در مورد رویکرد گسسته بیان می کند که "در حال توسعه اولین سطوح این مفهوم ، مفهوم حد فقط به معنای شهودی استفاده می شود. تمام محاسبات را می توان در یک سطح جبری گسسته انجام داد. این مفهوم رویکرد گسسته به مفهوم مشتق آماده سازی برای درک مشتقات توابع حقیقی است. این درک بهتری از معنای آهنگ تغییر یا کسر تفاضلی ایجاد می کند ، با کار صریح با دنباله ها (یا توابع گسسته) حدها یا فرایند تقریبی را عملی می کند ، و - از این نظر - از درک کردن حد شهودی فراتر می رود". ویگاند ]27 [پنج سطح برای به کارگیری رویکرد گسسته به منظور درک مفهوم مشتق معرفی می کند.
سطح اول: دنباله های تفاضلی
هدف این سطح ، معرفی مفهوم تفاضل دنباله ای (n
است. چناچه
فرض شود، 
می تواند بعنوان آهنگ تغییر در نظر گرفته شود،که در مسائل واقعی زندگی به کار برده می شود.مانند متوسط دمای هوا در هر سال که ممکن است بصورت جدول یا نمودار نشان داده شود.
سطح دوم: مفهوم توابع درجه دوم Z
قبلاً دنباله با دامنه N تعریف شد.اکنون مفهوم دنباله برای توابع تعریف شده روی Z بسط داده می شود. تابع f:Z→R را تابع Z می نامیم. توابع y = f(z) دنباله های توسعه یافته ای هستند که روی اعداد 
تعریف شده اند.
مثال 1:
برای تابع
f(z)=
تابع Z تفاضلی بصورت :
(z)=f(z+1)-f(z)=2z+1-2
می باشد.
مثال 2:
برای
f(z)=
می توان به
(z)=2az+a+b
رسید و دریافت که (z) به پارامتر c بستگی ندارد.
سطح سوم: توابع Z چند جمله ای
این مفهوم را می توان به توابع چند جمله ای از درجه بالاتر نیز ارتقا داد.
مثال3: برای
f(z)=
داریم:
(z)=
+(3a+2b)z+a+b+c
تابعی درجه دوم است که به پارامتر d بستگی ندارد.
سطح چهارم : تابع نمایی
مثال 4:
برای توابع نمایی
E(z)=az (a
تابع تفاضل آن عبارت است از:
برای دستیابی به 
کافی است 
را در عامل 
ضرب کنیم.
سطح پنجم: انتقال ایده از Z به Q و R
در این بخش دامنه هایی به صورت
انتخاب می شوند که زیر مجموعه 
هستند.
و تابع f بصورت 
تعریف می شود.برای رسیدن به آهنگ تغییر مقادیر متوالی ، این بار فواصل را به جای 1 واحد به 
محدود می کنیم و تابع کسر تفاضلی Z10 بدست می آید:
این مسئله می تواند در فواصل طولی 
, n 
N کلی سازی شده و تابع Zn کسر تفاضلی Dfn است:
مثال 5: برای تابع درجه دوم z
داریم:
حال اگر 
داریم:
که همان مشتق تابع خواهد بود.این ایده برای تابع Z نمایی 
مشابه است و تابع کسر تفاضلی آن عبارت است از:
چناچه 
و یا 
=2/5937 فرض شودتابع 
با 
برابر خواهد بود.با در نظر گرفتن تابع نمایی 
داریم:
اما وقتی 
داریم:
و این بدین معنی است که 
همان مشتق تابع نمایی است.در ادامه آهنگ لحظه ای تغییر برای 
انجام می شود.دنباله کسر تفاضلی را برای تفاضل حقیقی مقدار تشکیل می دهیم.
مثال 6:
برای تابع 
در نقطه(
) داریم:
بنابراین دنباله 
با توجه به نمودار 
دنباله شیب قاطع در یک نقطه تفسیر می شود.
نظریه APOS :
نظریه APOS(عمل، فرایند، شئ،طرحواره) نظریه ای در مورد چگونگی یادگیری مفاهیم ریاضی است. نظریه APOS توصیف می کند که آموزش و یادگیری ریاضیات باید مبتنی بر کمک به یادگیرنده در استفاده از ساختارهای ذهنی موجود و ایجاد ساختارهای جدید و قدرتمندتر برای درک بهترمفاهیم ریاضیات است]2 [. اصول اساسی نظریه APOS که یک نظریه سازنده گرایی است، این است که درک یادگیرنده از یک موضوع ریاضی با تأمل درمورد مسائل و راه حل های آنها در یک بستر اجتماعی و ساخت یا بازسازی ساختارهای ذهنی خاص و سازماندهی آنها در طرحواره ها برای استفاده در مواجهه با موقعیت های مسئله توسعه می یابد. کولی ، تریگوئروس و بیکر ]10 [ معتقدند که اساس یادگیری ریاضی مبتنی بر توسعه و تلفیق ساختار های ذهنی مفاهیم ریاضی است .مراحل اصلی مفهوم زیر در تئوری APOS استفاده می شود:
1. مفهوم عمل :
یک عمل تبدیل یک شئ ریاضی است که قبلاً ساخته شده است و فرد آن را به عنوان مولفه خارجی درک می کند. این عمل خارجی است به این معنا که هر مرحله از تبدیل باید صریحاً انجام شود و با دستورالعمل های خارجی هدایت شود. بعلاوه ، هر مرحله، مرحله بعدی را ایجاد می کند ، یعنی مراحل عمل هنوز نمی توانند تصور شوند و هیچکدام را نمی توان رد کرد.(برای اطلاعات بیشتر در این مورد ، به آرونون و همکاران ، ]2[ ، ص 19 مراجعه شود).
مرحله عمل برای مفهوم مشتق :
پایه ای ترین درک از مشتق ، مفهوم آن به عنوان عمل است که برخی پژوهشگران، آن را یک تکرار پذیری ذهنی یا دست ورزی فیزیکی از اشیا نامیده اند. در این مرحله از یادگیری،دانش آموزان تشخیص می دهند که مشتق چیست؟آن ها مشتق را به عنوان یک قانون می بینند. لذا فردي که در سطح عمل قرار دارد، به جز محاسبه ي ضابطه مشتق ( در نقاطي خاص) و دست ورزي با قوانین، قادر به انجام کارهاي بيشتري نمي باشد. اما درك مفهوم مشتق از توابع درجه دو از محدوده ي يک درك عملي از مشتق توابع، فراتر نمی رود. همه ي موارد ذکر شده، نيازمند ادراك هاي فرآيندي يا شئ و يا هر دو با هم مي باشند. در واقع مي توان گفت يادگيرندهاي که قادر به انجام رويه ها مي باشد، مشتق را به شکل عمل، درك کرده است. مثلاً ميتواند با داشتن ضابطه ي 
مقدار 
را محاسبه کند. لذا يادگيرندهاي که داراي درك عملي از مشتق تابع مي باشند، براي انديشيدن درباره ي مفهوم مشتق یک تابع، نيازمند يک بيان رياضي شفاف مثل
است و هنگامي که محاسبه ي مشتق تابعي مثل
از او خواسته شود، تنها قادر به نوشتن
خواهد بود.
2.مفهوم فرآیند :
هنگامي که عملي تکرار مي شود و يادگيرنده بر آن بازتاب مي کند، اين عمل به صورت يک فرآيند، دروني سازي مي شود. در اين زمان يادگيرنده داراي ساختار دروني براي اجراي همان عمل مي شود. بدين معنا که ساختاري دروني که همان عمل را انجام مي دهد، بنا مي شود ولي اين بار لزوماً به وسيله ي محرك بيروني، هدايت نميشود و کنترل در دست خود يادگيرنده است. این ارتباطات معناداری با دانش ریاضی دیگر خواهد داشت که به فرد امکان می دهد فرایند را تصور کند و نتایج را بدون نیاز به اجرای صریح آن پیش بینی کند. ارتباطات معنی دار در یک مفهوم فرآیند به فرد امکان می دهد تا بازنمایی های مختلفی را به هم پیوند دهد و فرایندرا توجیه کند. فرایندهای مختلف ممکن است برای تشکیل فرایندهای جدید هماهنگ شوند. ممکن است یک فرآیند با داخلی سازی چندین عمل مختلف و هماهنگی فرآیندهای حاصل ساخته شود.
فرآیند در مفهوم مشتق:
سطح بعدی درک مفهوم مشتق ،فرایند است. این مفهوم درک عمیق تری از مفهوم مشتق،به عنوان چیزی که یک شئ رامی گیرد، ،آن را تبدیل می نماید و یک شئ کاملا جدید تولید می کند، به دست می دهد و شامل یک فرمول یا قانون صریح است. در این سطح از یادگیری دانش آموزان مایلند توابعی را قبول کنند که شامل تبدیلات مبهمی هستند.
3. مفهوم شئ:
اگر یاد گیرنده بتواند بر اعمالی که بر فرایندی خاص اعمال شده است تامل کند و دریابد که هر فرایند را می توان به عنوان کليتي دانست که مي توان بر روي آن تغييراتي (اعمال و يا فرآيندهايي) اعمال کرد و درصورتي که واقعاً بتواند اين تغييرات را هم انجام دهد، ميگويند يادگيرنده فرآيند را در قالب شئ درك کرده است. دراين مرحله ميگوييم فرآيند به صورت يک شئ، جمع بندي شده است. در ضمن، براي اجراي يک عمل يا يک فرآيند روي يک شئ، اغلب لازم است آن شئ به فرآيندي که از آن به دست آمده است، شکافته شود.
شئ برای مفهوم مشتق:
جمع بندي فرآيندها به صورت اشياء و شکافتن اشياء به صورت فرآيندهاي تشکيل دهنده ي آنها را ميتوان در دست ورزي هاي با مشتق توابع ثابت و رادیکالی و.. ديد. مثلاً اگر يادگيرنده اي بتواند مشتق مجموع چند تابع را به صورت حاصل جمع مشتق چند تابع بنويسد گوييم که او مشتق تابع را به عنوان شئ درك کرده است. در واقع درك تعريف رسمي مفاهيم رياضي،مثل تابع، حد و مشتق و... در اين سطح قرار دارد.
4. طرحواره :
اعمال ، فرایندها ، اشیا و سایر ساختارهای ذهنی که قبلاً ساخته شده اند و با یک مفهوم ریاضی خاص برخورد می کنند ، ممکن است در یک ساختار منسجم به نام طرحواره سازمان یافته باشند. طرحواره از این نظر منسجم است که مولفه های مختلف به گونه ای با یکدیگر در ارتباط هستند که به شخص اجازه می دهد تا تعیین کند که کدام یک از مسائل مربوط به طرحواره هستند. همچنین شخص می تواند بر طرحواره ها بازتاب کرده و روی آن ها عمل کند که این کار منجبر به تبدیل شدن طرحواره به شی جدیدی می شود.بنابراین اشیا به دو صورت ساخته می شوند هم از فرایند ها و هم از طرحواره ها.در واقع طرحواره های سطوح پایین تر می توانند به عنوان اشیاء برای طرحواره های سطوح بالاتر به حساب بیایند. آسیلا و همکاران ]4 [ادعا می کنند که طرحواره یک شخص ، کل دانش است که از نظر وی آگاهانه یا ناخودآگاه به یک موضوع ریاضی خاص متصل است ، به عنوان مثال ممکن است یک فرد دارای یک طرحواره تابع یا یک طرحواره مشتق باشد. نظریه APOS عمل ها ، فرایندها ، اشیا و طرحواره ها را به عنوان ساختارهای ذهنی پی در پی فرد در یادگیری یک موضوع ریاضی و درونی سازی ، فشرده سازی به عنوان تنها مکانیسم ذهنی مورد نیاز برای ساخت آن ساختارهای ذهنی در نظر می گیرد ]2 [.
اجرای نظریه APOS به عنوان چارچوبی برای آموزش و یادگیری ریاضیات شامل تجزیه و تحلیل نظری مفاهیم مورد مطالعه است که تجزیه ژنتیکی نامیده می شود ]3 [. به گفته آرنون و همکاران ]2 [ ، تجزیه ژنتیکی یک مدل فرضی است که ساختارها و سازوکارهای ذهنی دانش آموزان را برای یادگیری یک مفهوم ریاضی خاص نیاز دارند،می تواند توصیف کند. تجزیه ژنتیکی از نظر ساختارهای ذهنی)عمل ، فرآیند ، شی ، طرحواره( و سازوکارها )داخلی سازی ، فشرده سازی ، هماهنگی و ...( تئوری توصیف می شود. تجزیه ژنتیکی یک مفهوم منحصر به فرد نیست. تجزیه ژنتیکی های مختلف ممکن است برای یک مفهوم ارائه شود.
چرخه ACE :
چرخه تدریس ACE یک راهبرد پداگوژی (آموزشی) است که معمولاً در APOS استفاده می شود.این چرخه شامل سه مرحله است: فعالیتهای یادگیری مشارکتی (A)مبتنی بر تجزیه ژنتیکی و اغلب شامل استفاده دانشجویان از رایانه است.گفتمان کلاسی برای تامل در فعالیت ها و نهادینه سازی ریاضیات آموخته شده (C) و تمرینات(E) است ] 2 [.در رابطه با فعالیتها که اولین مرحله از چرخه را تشکیل می دهند ، دانشجویان به طور مشترک در تیمها تکالیفی را طراحی می کنند که به آنها کمک می کند تا ساختهای ذهنی پیشنهاد شده توسط تجزیه ژنتیکی را انجام دهند. تمرکز این کارها ارتقا انتزاع انعکاسی است تا بدست آوردن پاسخ های صحیح. این امر اغلب توسط دانشجویان با نوشتن برنامه های کوتاه کامپیوتری با استفاده از زبان برنامه نویسی ریاضی ، حاصل می شود]2 [. گفتمان کلاسی ، بخش دوم چرخه ، شامل بحث گروهی گروه کوچک و هدایت شده توسط مربیان است ، زیرا دانشجویان روی کاغذ و مداد کار می کنند که بر اساس فعالیت های آزمایشگاهی انجام شده در مرحله فعالیت ها و محاسبات تعیین شده توسط مربی است. گفتمان کلاسی و کارهای داخل کلاس به دانشجویان این فرصت را می دهد تا در کار خود ، به ویژه فعالیت های انجام شده در آزمایشگاه ، تأمل کنند. همانطور که مربی بحث را راهنمایی می کند ، ممکن است تعاریفی و توضیحاتی ارائه دهد و یا یک نمای کلی ارائه دهد تا آنچه دانشجویان درباره آن فکر کرده اند و روی آن کار کرده اند را بهم پیوند دهد ]25و26 [.
تمرین های تکالیف درسی ، قسمت سوم چرخه ، شامل مسائل کاملاً استانداردی است که برای تقویت فعالیت های رایانه ای و گفتمان کلاسی طراحی شده است. این تمرینات به حمایت از توسعه مداوم ساختارهای ذهنی پیشنهاد شده توسط تجزیه ژنتیکی کمک می کند ]13 [آنها همچنین به دانشجویان کمک می کنند تا آنچه را آموخته اند به کار گیرند و ایده های ریاضی مربوط را در نظر بگیرند ]13 [. چرخه ACE و رابطه آن با تجزیه ژنتیکی در شکل 1 نشان داده شده است.
شکل 1. ارتباط بین چرخه آموزش ACEو تجزیه ژنتیکی
تجزیه ژنتیکی |
[1] 1. Actions
[2] 2. Processes
[3] 3. Objects
[4] 4 Schemas
[5] . Activities
[6] . Classroom discussion
[7] . Exercises
گفتمان کلاسی |
فعالیت ها |
تمرین ها |
پیکان از تجزیه ژنتیکی به جعبه نقطه چین این واقعیت را نشان می دهد که تجزیه ژنتیکی بر روی هر یک از اجزای چرخه آموزش ACE تأثیر می گذارد)برای اطلاعات بیشتر در این باره ، به آرنون و همکاران ، ]2 [ ، ص 58 مراجعه شود)
4-روش پژوهش
پژوهش حاضر با توجه به ماهیت و اهداف آن از نوع شبه آزمایشی (نیمه آزمایشی) است. با توجه به هدف کلی پژوهش که عبارت است از تعیین میزان اثر بخشی نظریه APOS-ACE بر درک دانشجویان از مفهوم مشتق در محیط یادگیری گسسته و وجود دو گروه آزمایش و کنترل همراه با مداخله متغیر مستقل " ACE " برای گروه آزمایش و اجرای پیش آزمون و پس آزمون جهت مقایسه نتایج، در این پژوهش از طرح پیش آزمون– پس آزمون با گروه کنترل استفاده شده است. جامعه آماری پژوهش حاضر شامل کلیه دانشجویان ترم اول مهندسی مکانیک دوره کارشناسی دانشگاه جهرم بود که درسال تحصیلی 1400-1399 مشغول به تحصیل بودند که 42 نفر از آنها به روش نمونه گیری در دسترس انتخاب شدند و در دو گروه 21 نفری آزمایش و کنترل قرار گرفتند. همه دانشجویان داوطلبانه در این مطالعه شرکت کردند.
روش اجرای پژوهش بدین شکل انجام گرفت که ابتدا در آغاز ترم دانشجویان بر اساس نمره ریاضی دبیرستان در دو گروه به طور همگن تقسیم شدند. علاوه بر این ، برای بررسی همگنی گروه ها ، در اوایل ترم یک پیش آزمون انجام شد که نتایج آن تایید کرد که هر دو گروه همگن و معادل هستند. سوالات پیش آزمون در مورد دامنه و حد توابع بود و سپس یک تجزیه ژنتیکی را برای آموزش و یادگیری مفهوم مشتق با رویکرد گسسته ایجاد کردیم (جدول 1) دوم ، ابتدا همه دانشجویان گروه آزمایش به مدت شش ساعت (1.5 ساعت در هفته ، به مدت چهار هفته) در یک کلاس آزمایشگاه نرم افزار جئوجبرا شرکت کردند ، بر اساس تجزیه ژنتیکی ارائه شده در گام نخست، طی 4 جلسه چرخه ACE که با استفاده از این نرم افزار برای مفهوم مشتق با رویکرد گسسته طراحی شده بود(جدول 2)، درگروه آزمایش تدریس شد و در این مدت روند تدریس در گروه کنترل مبتنی بر سخنرانی بود و دانشجویان فقط از روی وایت برد یادداشت برداری می کردند. سوم ، پس از اتمام دوره آموزشی،پس آزمون در مورد هر دو گروه اجراشد و نتایج حاصل بوسیله آزمون تحلیل کواریانس مورد بررسی قرار گرفت.
جدول 1. تجزیه ژنتیکی مفهوم مشتق با رویکرد گسسته
طرحواره هایی که ما در نظر می گیریم تا دانشجویان بتوانند مفهوم مشتق در محیط یادگیری گسسته را درک کنند عبارتنند از: الف)مفهومی از دنباله و دنباله تفاضلی به عنوان اشیاء ب)توابع تعریف شده روی Z و دامنه های Q و همچنین R به عنوان اشیاء .ج) تابع Z و بدست آوردن تابع تفاضلی آن به عنوان فرایند،عملیات با توابع و هماهنگی بازنمایی تحلیلی و هندسی از تابع Z و تابع تفاضلی آن. د) بدست آوردن تابع كسرهای تفاضلی به عنوان فرایند، عملیات با توابع و هماهنگی بازنمایی تحلیلی و هندسی از تابع f(zn) و Dfn(zn) ه)آهنگ لحظه ای تغییر | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
برای بدست آوردن و نمایش تابع کسر تفاضلی، باید دنباله و دنباله تفاضلی آن و تابع Z و تابع تفاضلی آن هماهنگ شوند، از طریق عمل بدست آوردن دنباله تفاضلی an از یک دنباله و عمل های بازنمایی حاصل از دنباله و دنباله تفاضلی بصورت نموداری و همچنین عمل بدست آوردن تابع تفاضلی Df (z) از توابع Z (درجه دوم)،توابع Z چند جمله ای، توابع نمایی و عمل های بازنمایی حاصل از توابع Z و تابع تفاضلی هر یک از توابع فوق بصورت نموداری که تابع تفاضلیDf (z) با دامنه ی Z می تواند بعنوان شیب تابع بین نقاط (z 1, f (z 1)),(z, f (z)) در نظر گرفته شود. این اقدامات به فرایندی تبدیل می شود که این ایده را از تابع Z به توابع تعریف شده در زیر مجموعه Qیا R انتقال می دهیم تا فرایندی را بسازند که وقتی با بازنمایی های تحلیلی و هندسی مربوطه هماهنگ می شوند ، می تواند بصورت تابع کسر تفاضلی
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
مقدار ثابت n
جدول 2. طراحی چرخه تدریس ACE
جدول 3، بیانگر معیارهای توصیفی مربوط به داده ها در دو گروه کنترل و آزمایش است. میانگین 80/14از نمرات دانشجویان درتدریس رویکرد گسسته مشتق در گروه کنترل به شیوه سنتی و سخنرانی و میانگین 57/17از نمرات دانشجویان درتدریس رویکرد گسسته مشتق به کمک چرخه ACE بدست آمده است و با مقایسه ی این دو میانگین می توان اثربخشی چرخه ACE بر درك بهتر مفهوم مشتق را متوجه شد. با این حال برای تایید بیشتر این سخن از نتایج جدول آزمون𝑡 مستقل
جدول4.آزمون t نمونه های مستقل در دو گروه آزمایش و کنترل
در انجام آزمون 𝑡 مستقل ابتدا فرض برابری واریانس دو گروه بررسی می شود. جهت بررسی این فرضیه در جدول 6-بحث و نتیجه گیری هدف این پژوهش بررسی اثربخشی نظریه APOS-ACE بر درک دانشجویان از مفهوم مشتق در محیط یادگیری گسسته بود.نتایج بدست آمده از این پژوهش نشان داد که تفاوت معناداری در نمرات دانشجویان گروه آزمایش نسبت به دانشجویان گروه کنترل در پس آزمون وجود دارد که نشانگر تأثیر مثبت چرخه تدریس ACE در درک مفهومی رویکرد گسسته مشتق است. نتیجه بدست آمده با پژوهش های کوتریل و همکاران ]11 [و آسیالا و همکاران ]4 [، برجی و همکاران]7 [ که موفقیت ساخت ذهنی دانشجویان را به استفاده از فناوری رایانه نسبت می دهند، مطابقت دارد. دانشجویان گروه آزمایش عملکرد بهتری نسبت به گروه کنترل داشتند زیرا نوشتن برنامه های رایانه ای با کمک نرم افزار جئوجبرا به دانشجویان گروه آزمایش کمک کرد تا ساختارهای ذهنی خود را از تابع Z و تابع Z تفاضلی که منجر به فهمیدن رابطه میان تابع و تابع مشتق می شود را توسعه دهند.در گروه آزمایشی ، دانشجویان در گروه ها با همکلاسی های خود کار می کردند و این به آنها کمک می کرد تا از یکدیگر یاد بگیرند. دانشجویان می توانند در مقایسه با استاد خود راحت تر با همسالان خود در مورد مسائل صحبت کنند. این فرصت در کلاس برای گروه کنترل که بیشتر اوقات کلاس برای صحبت و نوشتن معلم روی تخته وایت برد اختصاص داشت ، امکان پذیر نبود و دانشجویان فقط از تخته وایت برد یادداشت می بردند. به همین ترتیب ، در گروه کنترل دانشجویان نقش فعالی در فرآیندهای آموزش و یادگیری ندارند. چرخه ACE به بسیاری از دانشجویان گروه آزمایشی کمک کرد که مهارت های حل مسئله ریاضی خود را بهبود بخشند. برخی از دانشجویان گروه آزمایشی که پاسخ های نادرستی به سوالات پس آزمون داده بودند،در گروه های کلاسی خود فعال نبودند و در بحث های کلاسی شرکت نمی کردند. این ممکن است به دلیل شخصیت این دانشجویان باشد که آنها به دلیل خجالتی بودن در حضور معلم و همکلاسی هایشان صحبت نکنند. بنابراین وظیفه معلمان در چنین وضعیتی این است که باید این دانشجویان را شناسایی کنند و به آنها ایجاد انگیزه دهند تا در بحث ها و فعالیت های کلاس مشارکتی فعال نمایند.دانشجویان از طریق یادگیری مشارکتی و ارزیابی رفتارهای ارتباطی ، می توانند بر رفتارهای حل مسئله خود بازتاب داشته باشند. بنابراین ایجاد محیط صمیمانه و مشارکتی در کلاس درس به طوری که همه باید به نظرات و دیدگاههای هم احترام بگذارند ، ممکن است انگیزه همه دانشجویان را برای شرکت در بحث ها و فعالیت های کلاس بیشتر نماید. براساس نتایج به دست آمده ، ما معتقدیم که راهبرد پداگوژی ACE می تواند توسط معلمان و استادانی که در آموزش این موضوع مشارکت دارند ، استفاده شود. با این حال ، تحقیقات بیشتر برای طراحی فعالیتهای آموزشی مناسب با استفاده از چارچوب APOS-ACE با کمک فن آوری برای بهبود درک دانشجویان از سایر مفاهیم ریاضی لازم است. از مهمترین مزایای استفاده از نرم افزار های آموزشی ریاضی،می توان به تجسم و بازنمایی های چندگانه و بازخورد های ارائه شده توسط این نرم افزارها اشاره کرد. بنابراین معلمان و استادان ریاضی باید با برنامه ها و نرم افزار های ریاضی آشنایی داشته باشند تا بتوانند فعالیت های آموزشی را به گونه ای طراحی نمایند که درک دانشجویان را از مفاهیم ریاضی بهبود بخشند و همچنین دانشجویان را تشویق به استفاده از این فن آوری برای افزایش یادگیری خود کنند. علاوه بر این ، شورای ملی معلمان ریاضیات ]19 [. همچنین به معلمان توصیه کرد که از فناوری برای طراحی فعالیتهای جدید آموزشی استفاده کنند. بنابراین ، استفاده از چرخه ی تدریس ACE می تواند در تدریس حسابان ، به ویژه مفهوم مشتق، در جهت توسعه ی درک مفهومی دانشجویان کمک نماید.
فهرست منابع
[1] چاهکی، ع و حق وردی، م (1396). رویکردی نوین به درک مفهوم مشتق برای دانش آموزان متوسطه، مجله رشد آموزش ریاضی، دوره سی و چهارم ، شماره 3. [2] Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E., Oktaç, A., Fuentes, S. R., Trigueros, M., & Weller, K. (2014). APOS theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education. New York, Heidelberg, Dordrecht, London: Springer. [3 ]Asiala, M., Brown, A., DeVries, D. J., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (1996). A framework for research and development in undergraduate mathematics education. Research in collegiate mathematics education, 6(2), 1-32. https://doi.org/10.1090/cbmath/006/01
[4] Asiala, M., Cottrill, J., Dubinsky, E., & Schwingendorf, K. E. (1997). The development of students’ graphical understanding of the derivative. Journal of Mathematical Behavior, 16(4), 399-430. https://doi.org/10.1016/S0732-3123(97)90015-8
[5] Badillo, E., Azcárate, C., & Font, V. (2011). Analysis of Mathematics teachers’ level of understanding of the objects 𝑓′(𝑎) and 𝑓′(𝑥). Enseñanza de las ciencias, 29(2), 191-206. https://doi.org/10.5565/rev/ec/v29n2.546. [6] Borji , V., Martínez-Planell , R. (2019). What does ‘y is defined as an implicit function of x’ mean?: An application of APOS-ACE. Journal of Mathematical Behavior 56 (2019) 100739. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2019.100739 [7] Borji, V, Alamolhodaei , H, Radmehr, F. (2018), Application of the APOS-ACE Theory to improve Students’ Graphical Understanding of Derivative. EURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 14(7), 2947-2967, ISSN:1305-8223, https://doi.org/10.29333/ejmste/91451 [8] Cetin, I˙. (2009). Students’ understanding of limit concept: An APOS perspective. Doctoral Thesis, Middle East Technical University, Turkey.
[9] Clark J. M., Cordero, F., Cottrill, J., Czarnocha, B., DeVries, D. J., St. John, D., Tolias T., & Vidakovic, D. (1997). Constructing a schema: The case of the chain rule. Journal of Mathematical Behavior, 16(4), 345-364. https://doi.org/10.1016/S0732-3123(97)90012-2 [10] Cooley, L., Trigueros, M., & Baker, B. (2007). Schema thematization: A framework and an example. Journal for Research in Mathematics Education, 2, 370–392. [11] Cottrill, J., Dubinsky, E., Nicholas, D., Schwingendorf, K., Thomas, K., & Vidakovic, D. (1996). Understanding the limit concept: Beginning with a coordinated process scheme. Journal of Mathematical Behavior, 15(2), 167–192. https://doi.org/10.1016/S0732-3123(96)90015-2
[12] Dominguez, A., Barniol, P., & Zavala, G. (2017). Test of Understanding Graphs in Calculus: Test of Students’ Interpretation of Calculus Graphs. EURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education. 13(10), 6507-6531. https://doi.org/10.12973/ejmste/78085 [13] Dubinsky, E., Weller, K., & Arnon, I. (2013). Pre-service teachers’ understanding of the relation between a fraction or integer and its decimal expansion: The Case of 0.999...and 1.Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education, 13(3), 5-28. https://doi.org/10.1080/14926150902817381 [14] Eisenherg,T.(1992).On the development of a sense for functions.InG.Harel & Ed. Dubinsky(Eds),the concept of function:Aspects of epistemology and pedagogy,MAA notes25, pp.153-174. Mathematical Association of America, Washington. [15] Ferrini-Mundy, J., & Graham, K. (1994). Research in calculus learning: Understanding limits, derivatives, and integrals, in E. Dubinsky & J. Kaput (Eds.), Research issues in undergraduate mathematics learning (pp. 19-26), Mathematical Association of America. [16] Giraldo, V., Carvalho, L. M., & Tall, D. (2003). Descriptions and Definitions in the Teaching of Elementary Calculus. Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, 445- 452.
[17] Martínez-Planell,R. Trigueros, M. McGee,D.(2015). Student Understanding of Directional Derivatives of Functions of Two Variables.Proceedings of the 37th annual meeting of the North american chapter of the international group for the psychology of mathematics education. East Lansing, MI: Michigan State University. [18] Maharaj, A. (2013). An Apos Analysis of natural science Student' Understanding of derivatives.South African Journal of Education. 33(1). 1-19. [19] National Council of Teachers and Mathematics. (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics.National Council of Teachers and Mathematics, Reston, VA.
[20] Orton, A. (1983). Students’ Understanding of Differentiation, Educational Studies in Mathematics, 14(3), 235-250. https://doi.org/10.1007/BF00410540.
[21] Siyepu, S. W. (2013). An exploration of students’ errors in derivatives in a university of technology. Journal of Mathematical Behavior, 32(3), 577–592. https://doi.org/ 10.1016/j.jmathb.2013.05.001. [22] Tall, D. (1993). Students’ Difficulties in Calculus, Plenary Address, Proceedings of ICME-7, 13–28, Québec, Canada. [23] Thompson, P. W. (1994). Images of rate and operational understanding of the fundamental theorem of calculus. Educational Studies in Mathematics, 26(2), 229-274. https://doi.org/10.1007/BF01273664 [24] Uygur, T., & Özdaş, A. (2005). Misconceptions and difficulties with the chain rule, The Mathematics Education into the 21st century Project. Malaysia: University of Technology. Retrieved from http://math.unipa.it/~grim/21 _project/21_malasya_Uygur209-213_05.pdf [25]Weller, K., Arnon, I., & Dubinsky, E. (2011). Pre-service teachers’ understanding of the relation between a fraction or integer and its decimal expansion: Strength and stability of belief. Canadian Journal of Science, Mathematics,and Technology Education, 11(2), 129–159. https://doi.org/10.1080/14926156.2011.570612 [26]Weller, K., Arnon, I., & Dubinsky, E. (2009). Pre-service teachers’ understanding of the relation between a fraction or integer and its decimal expansion. Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education, 9(1), 5-28. https://doi.org/10.1080/14926150902817381 [27]Weigand, H.-D. (2014). A discrete approach to the concept of derivative. ZDM Mathematics Education, 46:603–619. https://doi.org/10.1007/s11858-014-0595-x
[28]Zandieh,M. (2000). A Theoretical Framework for Analyzing student Understanding of the Concept of Derivative, In E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld & J. Kaput, Research in Collegiate Mathematics Education (Vol IV, pp.103–127). Providence, RI: American Mathematical Society.
The effectiveness of using APOS-ACE theory on students' understanding of the concept of derivative in a discrete learning environment
Abstract: The aim of this study was to investigate the effectiveness of APOS-ACE theory on students' understanding of the concept of derivative in the discrete learning environment introduced by Wiegand (2014). In this approach, a step-by-step method to obtain difference sequence of functions defined on z and Q is proposed. For this purpose, a quasi-experimental method of pretest-posttest with control group was used to conduct this research. In the present study, 42 engineering students from one of the universities of Fars province, participated in two groups. Initially, a pre-test of both groups was taken using a researcher-made test. Then the ACE teaching cycle was designed with the help of GeoGebra software and in the experimental group, the concept of discrete derivative was taught using this cycle. Covariance was used to analyze the obtained data. Findings of this study showed that the use of ACE cycle has been effective on students' understanding of the concept of discrete derivative approach and gradually helped to a better understanding of the rate of change and the local rate of change with the help of sequences.
Keywords: teaching and learning, difference sequence, derivative, APOS theory, ACE cycle
Sanad
Sanad is a platform for managing Azad University publications
LinksRelated CentersTechnical Support
Official pages The rights to this website are owned by the Raimag Press Management System. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
