Strong convergence algorithm for solving an equilibrium problem and a fixed point problem using the Bergman distance in Banach spaces

Subject Areas : Analyze

Mostafa Ghadampour ¹ , ٍEbrahim Soori ²

1 - Department of Mathematics, Payame Noor University, Tehran, Iran
2 - Department of Mathematics, Lorestan University, Lorestan, Khoramabad, Iran.

Received: 2022-04-19 Accepted : 2022-11-08 Published : 2025-04-08

Keywords: مسئله نقطه ثابت, نقطه ثابت مجانبی, نگاشت غیر انبساطی برگمن, نابرابری تغییراتی, فرشه دیفرانسیل پذیر,

Abstract :

In this paper, using the Bergman distance, we introduce a new projection-type algorithm for finding a common element of the set of solutions of an equilibrium problem and the set of fixed points. Then, the strong convergence of the sequence generated by the algorithm under suitable conditions is proved. In fact, we prove that the sequence generated by the algorithm converges to the projection of an element in the intersection of the fixed points set and the solutions set of an equilibrium problem. For this purpose, we introduce a Bergman Lipschitz-type condition for a pseudomonotone bifunction. Then, we see an application for a variational inequality problem and we apply our result for finding a common element of the solution set of a variational inequality problem and the set of fixed points of a nonexpansive mapping. Finally, using MATLAB software, we provide a numerical example to illustrate the convergence performance of the main algorithm.

References:

[1] R. P. Agarwal, D. Oregan, and D. R. Sahu, “Fixed point theory for Lipschitzian-type mappings
with applications,” vol. 6, Springer, New York., 2009.
[2] A. Ambrosetti, G. Prodi, “A Primer of Nonlinear Analysis” Cambridge University Press, Cambridge., 1993.
[3] P.N. Anh, “A hybrid extragradient method for pseudomonotone equilibrium problems and fixed point problems,” Bull. Malays. Math. Sci. Soc., vol. 36, no. 1, pp. 107-116, 2013.
[4] H. H. Bauschke, J. M. Borwein, “On projection algorithms for solving convex feasibility problems,” SIAM Rev., vol. 38, pp. 367-426, 1996.
[5] H. H. Bauschke, J. M. Borwein, and P. L. Combettes, “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces,” Communications in Contemporary Mathematics., vol. 3, pp. 615-647, 2001.
[6] J. F. Bonnans, A. Shapiro, “Perturbation Analysis of Optimization Problems,” Springer, New York., 2000.
[7] L.M. Bregman, “A relaxation method for finding the common point of convex sets and its application to the solution of problems in convex programming,” USSR Comput. Math. Math. Phy., vol. 7, pp. 200-217, 1967.
[8] D. Butnariu, A. N. Iusem, and C. Z˘alinescu, “On uniform convexity, total convexity and convergence
of the proximal point and outer Bregman projection algorithms in Banach spaces,” J. Convex Anal., vol. 10, pp. 35-61, 2003.
[9] D. Butnariu, A. N. Iusem, “Totally Convex Functions for Fixed Points Computation and Infinite Dimensional Optimization,” Kluwer Academic Publishers, Dordrecht., 2000.
[10] D. Butnariu, E. Resmerita, “Bregman distances, totally convex functions and a method for solving operator equations in Banach spaces,” Abstr. Appl. Anal. Art., ID 84919, pp. 1-39, 2006.
[11] Y. Censor, S. Reich, “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization,” Optimization., vol. 37, pp. 323-339, 1996.
[12] I. Cioranescu, “Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems,” Kluwer Academic Publishers, Dordrecht., 1990.
[13] G.Z. Eskandani, M. Raeisi, and T. M. Rassias, “A hybrid extragradient method for solving pseudomonotone equilibrium problems using Bregman distance,” J. Fixed Point Theory Appl., vol. 20, no. 132, 2018.
[14] M. Ghadampour, E. Soori, R. P. Agarwal and D. O′Regan, “Two generalized strong convergence algorithms for variational inequality problems in Banach spaces,” Fixed Point Theory., vol. 25, no. 1, pp. 143-162, 2024.
[15] M. Ghadampour, D. O′Regan, E. Soori, and R. P. Agarwal, “A strong convergence algorithm in the presence of errors for variational inequality problems in Hilbert spaces,” Journal of Function Spaces., 2021. https://doi:org/10.1155/2021/9911241
[16] J. B, Hiriart-Urruty, C. Lemarchal, “C Grundlehren der mathematischen Wissenschaften,” Convex Analysis and Minimization Algorithms II. Springer, Berlin., 1993.
[17] L. O. Jolaoso, A. Taiwo, and T. O. Alakoya, “A Strong Convergence Theorem for Solving Pseudomonotone Variational Inequalities Using Projection Methods,” J Optim Theory Appl., vol. 185, pp. 744-766, 2020.
[18] F. Kohsaka, W. Takahashi, “Proximal point algorithm with Bregman functions in Banach spaces,” J. Nonlinear Convex Anal., vol. 6, pp. 505-523, 2005.
[19] P. E. Maing´e, “Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization,” Set-valued Anal., vol. 16, pp. 899-912, 2008.
[20] E. Naraghirad, J. C. Yao, “Bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach spaces,” Fixed Point Theory Appl., 2013. https://doi.org/10.1186/ 1687-1812-2013-141
[21] D. Reem, S. Reich, A. De Pierro, “Re-examination of Bregman functions and new properties of their divergences,” Optimization., vol. 68, pp. 279-348, 2019.
[22] S. Reich, “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances,” Theory and applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type., pp. 313-318, 1996.
[23] S Reich, S. Sabach, “A strong convergence theorem for proximal type- algorithm in reflexive Banach spaces,” J. Nonlinear Convex Anal., vol. 10, pp. 471-485, 2009.
[24] S. Sabach, “Products of finitely many resolvents of maximal monotone mappings in reflexive banach spaces,” SIAM J. Optim., vol. 21, pp. 1289-1308, 2011.
[25] F. Schopfer, T. Schuster, “Louis, A.K: An iterative regularization method for the solution of the split feasibility problem in Banach spaces,” Inverse Probl., vol. 24, no. 5, pp. 055-008, 2008.
[26] N. Shahzad, H. Zegeye, “Convergence theorem for common fixed points of a finite family of multi-valued Bregman relatively nonexpansive mappings,” Fixed Point Theory Appl., 2014.
[27] A. Tada, W. Takahashi, “Strong convergence theorem for an equilibrium problem and a nonexpansive mapping,” Nonlinear Analysis and Convex Analysis.
Yokohama Publishers., Yokohama, 2006.
[28] W. Takahashi, “Nonlinear Functional Analysis,” Yokohama Publishers, Yokohama., 2000.
[29] D. V. Thong, V. T. Dung, and Y. J. Cho, “A new strong convergence for solving split variational inclusion Problems,” Numer Algor., vol. 86, pp. 565-591, 2021.
[30] J. V. Tiel, “ Convex Analysis: An introductory text,” Wiley, New York., 1984.
[31] H. K. Xu, “Another control condition in an iterative method for nonexpansive mappings,” Bull. Austral. Math. Soc., vol. 65, pp. 109-113, 2002.
[32] J. C. Yao, “Variational inequalities with generalized monotone operators,” Math. Oper. Res., vol. 19, pp. 691-705, 1994.
[33] C. Zălinescu, “Convex analysis in general vector spaces,” World Scientific Publishing, Singapore., 2002.
[34] X. Zhao, M. A. Kobis and Y. Yao, “A Projected Subgradient Method for Nondifferentiable Quasiconvex Multiobjective Optimization Problems,” J Optim Theory Appl., 2021.

Full-Text:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال یازدهم، شماره پنجاه و سوم، فروردین و اردیبهشت  1404

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

الگوریتم همگرای قوی برای حل یک مسئله تعادل و مسئله نقطه ثابت با استفاده از فاصله برگمن در فضاهای باناخ

 

مصطفی قدم پور*¹، ابراهیم سوری2

 

(1)   گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران

(2)   گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه لرستان، خرم آباد، ایران

 

تاريخ ارسال مقاله: 30/01/1401 تاريخ پذيرش مقاله: 17/08/1401

چکيده

در این مقاله، با استفاده از فاصله برگمن، الگوریتم جدیدی از نوع تصویر برای یافتن یک عنصر مشترک از مجموعه جواب­های یک مسئله تعادل و مجموعه‌ای از نقاط ثابت معرفی می‌کنیم. سپس همگرایی قوی دنباله تولید شده با الگوریتم در شرایط مناسب اثبات می‌گردد. در واقع ثابت می‌کنیم که دنباله تولید شده با این الگوریتم به تصویر یک نقطه روی اشتراک مجموعه نقاط ثابت و مجموعه جواب مسئله تعادل همگراست. برای این منظور یک شرط برگمن از نوع لیپ شیتس برای یک تابع دو متغیره شبه یکنوا معرفی می‌کنیم. در ادامه، به کاربردی از مسئله نابرابری تغییراتی می‌پردازیم، به صورتی که از نتایج خود برای تعیین یک نقطه مشترک از مجموعه جواب مسئله نابرابری تغییراتی و مجموعه نقاط ثابت نگاشت غیرانبساطی استفاده می‌کنیم. در پایان، با استفاده از نرم­افزار متلب، یک مثال عددی برای نشان دادن عملکرد همگرایی الگوریتم اصلی ارائه می‌دهیم.

 

 

 

 

واژه‌هاي کليدي: نابرابری تغییراتی، مسئله نقطه ثابت، نگاشت غیرانبساطی برگمن، فرشه دیفرانسیل پذیر، نقطه ثابت مجانبی

1- مقدمه

فرض کنیم  یک فضای باناخ انعکاسی،  یک زیر مجموعه ناتهی، بسته و محدب از  و  یک تابع دو متغیره باشد که برای هر ، . مسئله تعادل  نسبت به  روی   به صورت زیر بیان می‌شود:

(1)     یافتن  به طوری که برای هر ، .

مجموعه جواب مسئله تعادل (1) را با  نشان می‌دهیم.‎

نابرابری­های تغییراتی ‏در موضوعات مختلفی از جمله مسائل کنترل بهینه، بهینه­سازی، نقطه ثابت، معادلات دیفرانسیل جزئی، مدل­های مهندسی و تعادل کاربرد دارند. از این رو در سال­های اخیر توسط بسیاری از نویسندگان مورد مطالعه قرار گرفته شده است (به [14، 15، 29 و 34] مراجعه کنید).

تادا و تاکاهاشی² [27]‎ ‏یک روش ترکیبی را برای یافتن عضو مشترک مجموعه جواب­های مسئله تعادل یکنوای (1) و مجموعه نقاط ثابت یک نگاشت غیرانبساطی ارائه دادند.

اسکندانی و همکاران³ [13] با استفاده از الگوریتم‌های قبل یک روش تکرار جدید برای تقریب یک عضو مشترک از مجموعه جواب­های مسائل تعادل‏ و مجموعه نقاط ثابت یک خانواده از نگاشت­های چند مقداری در فضاهای باناخ ارائه دادند. آنها نشان دادند که برای هر ‏، نگاشت  دارای یک مینیمم کننده منحصر بفرد است که در آن  سره، محدب و نیم پیوسته پایین است و  فاصله برگمن است.

اخیرا جولاسو و همکاران⁴ [17]، تحت شرایط مناسب ‏ثابت کردند که  اگر وتنها اگر  جواب مسئله مینیمم زیر باشد:

 

در این مقاله، یک سیستم بازگشتی جدید از نوع تصویر برای تقریب یک نقطه مشترک از مجموعه جواب­های یک مسئله تعادل و مجموعه نقاط  ثابت یک نگاشت غیرانبساطی برگمن ارائه می­دهیم که جوابی برای (1) در فضاهای باناخ انعکاسی نیز می‌باشد. سپس با استفاده از نرم­افزار متلب، نتیجه اصلی را با یک مثال عددی بررسی خواهیم کرد.

2- پیش نیازها

فرض کنیم  یک تابع سازگار⁵‎‎، یعنی، یک تابع سره، محدب و نیم پیوسته پایین باشد. دامنه ‎، مجموعه

 ‎ است و آن را با  نمایش می‌دهیم. مجموعه مینیمم کننده‌های ‎ را با   نشان داده و اگر  تک عضوی باشد، عضو منحصر بفرد آن را با  ‎ نمایش می‌دهیم.

فرض کنیم ‎، برای هر ‎، مشتق جهتی   در  ‎ به صورت زیر تعریف می‌شود:

(2)             

اگر حد (2) وقتی  برای هر  وجود داشته باشد، آنگاه  را در  گتئو دیفرانسیل پذیر⁶ ‎ گوییم. تابع ‎ را گتئو دیفرانسیل پذیر گوییم‏، اگر برای هر  گتئو دیفرانسیل پذیر باشد. ‎ را در ‎ فرشه دیفرانسیل پذیر⁷‎ نامیم، هرگاه حد (2) وقتی  برای هر  که ‏‏، به طور یکنواخت ‏موجود باشد. همچنین‏،  را روی زیر مجموعه  از  فرشه دیفرنسیل پذیر یکنواخت⁸‎ گوییم، اگر حد مذکور در هر ‎ ‎‏و ‎‏‎ که ‎‏‏، به طور یکنواخت موجود باشد.

در این حالت، گرادیان  ‎ در ‎ تابع خطی ‎است که برای هر ‎ با  تعریف می‌شود.

فرض کنیم ‎. زیر دیفرانسیل⁹‎  در ‎ مجموعه محدب زیر است:

(3)  

به همین صورت مزدوج فنچل¹⁰‎  تابع محدب  است و به صورت زیر تعریف می‌شود:

 

با استفاده از نامساوی یانگ-فنچل¹¹‎ اگر  ناتهی باشد، آنگاه داریم

 

و همچنین

 

فرض کنیم  یک فضای باناخ انعکاسی باشد، تابع ‎ لژاندر است اگر و تنها اگر در شرایط زیر صدق کند:

(L1) ،  گتئو دیفرانسیل پذیر باشد و

 

(L2) ،‎ گتئو دیفرانسیل پذیر باشد و

 

چون ‎ یک فضای باناخ انعکاسی است،  ‎ ([6، ص 83])‎. همچنین داریم ، که همراه با شرایط(L1)و (L2)نتیجه می‌گیریم   و .

علاوه بر این، اگر ‎ ‎ انعکاسی باشد، آنگاه ‎ ‎ لژاندر است اگر و تنها اگر ‎‎ لژاندر باشد [5، نتیجه ‎5.5].

  فرض کنیم ‎‎ یک تابع گتئو دیفرانسیل پذیر باشد. تابع دو ‏متغیره  که با

(4)

تعریف شده ‏است، فاصله برگمن نسبت به ‎ نامیده می‌شود ‎[21]. فاصله برگمن ویژگی­های شناخته شده یک متر را برآورده نمی‌کند. به وضوح ، اما  لزوما ‎ را نتیجه نمی‌دهد، ولی وقتی  ‎ لژاندر باشد‏، این نتیجه برقرار است [5، قضیه 37]. مدول کاملا محدب در ‎‎، تابع

    است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

 

تابع ‎‎را در‎ ‎کاملا محدب گوییم، اگر برای هر ، ‎‎ مثبت باشد [9]‎. فرض کنیم ‎ زیر مجموعه­ای ناتهی از ‎ باشد. مدول تابع کاملا محدب ‎‎ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

‎

تابع ‎ را روی زیر مجموعه­های کراندار‏، کاملا محدب گوییم هرگاه برای هر زیر مجموعه کراندار و ناتهی  و هر ‏، ‎ مثبت باشد‎.

گزاره 1. [9] فرض کنیم ‎ یک تابع محدب نیم پیوسته پایین با شرط  ‎ باشد. آنگاه تابع ‎‎ در نقطه ‎ دیفرانسیل پذیر است اگر و تنها اگر ‎‎ یک مجموعه تک نقطه­ای باشد.

تعریف 1. [10] فرض کنیم ‎ ‎ یک فضای باناخ و  یک تابع محدب باشد. تابع ‎ ‎ را دنباله­ای سازگار¹²‎ گوییم اگر برای هر دو دنباله ‎‎ و ‎ در ‎ ‎، به طوری که اولی کراندار باشد:

‎

لم 21 [23] اگر ‎ فرشه دیفرانسیل پذیر یکنواخت باشد و روی زیر مجموعه­های کراندار ‎‎، کراندار باشد، آنگاه ‎‎ روی زیر مجموعه­های کراندار ‎‎ ‎، از توپولوژی قوی ‎‎ به توپولوژی قوی ‎‎ ‎ پیوسته یکنواخت است.

لم 22 [9] اگر ‎‎  حداقل دو نقطه داشته باشد، آنگاه تابع‎ ‎ روی زیر مجموعه­های کراندار ‎ ‎کاملا محدب است اگر و تنها اگر تابع ‎ ‎ دنباله­ای سازگار باشد.

لم 23 [8] فرض کنیم ‎ یک تابع لژاندر باشد‏،‎ دراین صورت‏  ‎ روی زیر مجموعه­های کراندار‏، کاملا محدب است اگر و تنها اگر ‎ ‎ روی زیر مجموعه­های کراندار‏، محدب یکنواخت باشد.

لم 24 [2] فرض کنیم ‎‎  در هر نقطه از ‎ ‎ گتئو دیفرانسیل پذیر باشد. اگر  ‎ به طوری که ‎‎، آنگاه

 

  که ‎‎ را گتئو دیفرانسیل ‎ ‎در ‎ ‎گوییم.

لم 25 [24] فرض کنیم ‎‎ یک تابع لژاندر باشد به طوری که ‎ روی زیر مجموعه­های کراندار‎  کراندار باشد و ‎، در این صورت اگر‎‎ کراندار باشد، آنگاه دنباله ‎ نیز کراندار است.

لم 26 [23] فرض کنیم ‎‎روی ‎‎  گتئو دیفرانسیل پذیر و کاملا محدب باشد‏،

   و  یک مجموعه­ای ناتهی، بسته و محدب باشد. اگر ‎، آنگاه شرایط زیر معادل­اند:

(الف) بردار  ‎ تصویر برگمن ‎ ‎ روی ‎ ‎ نسبت به ‎ ‎ است.

(ب) بردار  ‎ جواب منحصر بفرد نابرابری تغییراتی زیر است:

 

(پ) بردار ‎ جواب منحصر بفرد نابرابری زیر است:

 

تابع ‎ به صورت زیر تعریف می‌شود:

 

(5)        

پس

‎  ‎

همچنین با استفاده از نابرابری زیر دیفرانسیل برای هر  و  (به [18] مراجعه کنید):

      ‎‎

از آنجا که ‎‎ در مولفه دوم محدب است‏، لذا برای هر   داریم

‎

که ‎‎ و  با ‎.

تصویر برگمن ‎ به صورت بردار منحصر بفرد ‎ تعریف می‌شود که در معادله زیر صدق می‌کند ‎[7]‎

(6) ‎

‎‏فرض کنیم ‏  ‎ فضای باناخ‏، ‎  و برای هر ‏، ‎. تابع  ‎ را روی زیر مجموعه های کراندار ‎ ‎محدب یکنواخت گوییم‎‎، اگر برای هر ، ‎‎  که  ‎  به صورت زیر تعریف می‌شود: برای هر ‏،

 

 

‎‎ ‎ را تابع مقیاس ‎ ‎ می­نامند [33]. 

فرض کنیم ‎ ‎ یک فضای باناخ، ‎‎ یک عدد ثابت و ‎ یک تابع محدب یکنواخت روی زیر مجموعه­های کراندار ‎‎ باشد. در این صورت برای هر  ،  و

  با ‏،

(7)       ‎

تابع ‎‎ را روی ‎ ‏بازدارنده¹³‎ گوییم،‎ هرگاه مجموعه زیر سطح¹⁴‎  ‎ کراندار باشد، به طور معادل، ‎. تابع ‎ ‎ را روی ‎ ‎  بازدارنده قوی¹⁵ ‎گوییم‎‎، اگر ‎‎. همچنین تابع ‎‎ ‎ را روی زیر مجموعه­های کراندار‏، هموار یکنواخت گوییم‎، هرگاه برای هر ‏،  ‎ که  به صورت زیر تعریف می‌شود

 

برای هر ‎ [16، 33].

گزاره 2 [33] فرض کنیم ‎ ‎ یک تابع محدب باشد که بازدارنده قوی است. در این صورت موارد زیر معادل هستند:

(الف) ‎ روی زیر مجموعه های کراندار ‎‎، کراندار و هموار یکنواخت است.

(ب) ‎‎ فرشه دیفرانسیل پذیر است و  روی زیر مجموعه­های کراندار ‎ پیوسته یکنواخت نرم-نرم است.

(ب) ‎، ‎‎ بازدارنده قوی است و روی زیر مجموعه­های کراندار‎ محدب یکنواخت است.

گزاره 3 [33] فرض کنیم ‎ ‎ یک تابع محدب باشد که روی زیر مجموعه­های کراندار ‎ ‎ کراندار است. در این صورت موارد زیر معادل هستند:

(الف) ‎ ‏ تابعی بازدارنده قوی است و روی زیر مجموعه­های کراندار  ‎ محدب یکنواخت است.

(ب) ‎ و ‎  روی زیر مجموعه­های کراندار ‎ کراندار و هموار یکنواخت است.

(پ) ‎، ‎ فرشه دیفرانسیل پذیر است و روی زیر مجموعه­های کراندار ‎ پیوسته یکنواخت نرم-نرم است.

گزاره 28 [30] فرض کنیم ‎‎ زیر مجموعه­ای ناتهی و محدب از ‎  باشد و ‎‎ یک تابع محدب باشد که روی ‎ ‎زیر دیفرانسیل پذیر است. در این صورت ‎  مینیمم خود را در ‎‎ اختیار می­کند اگر و تنها اگر ‎، که ‎‎ مخروط نرمال ‎ در ‎ ‎ است و به صورت زیر تعریف می‌شود:

(8‎) ‎

اگر‎ ‎ و ‎ ‎ دو تابع محدب روی  ‎ باشند به طوری که ‎‎ ‎ در نقطه   پیوسته باشد‏، آنگاه

(9)

   در سراسر این ‏مقاله فرض می‌کنیم  یک تابع دو متغیره است که در شرایط زیر صدق می‌کند:

‏  ‎ یکنوا است، یعنی برای هر ، ‎.

‎ ‎ ‎ شبه یکنوا¹⁶‎ است، یعنی برای هر ‏، ‏ 

 

 ‎ ‎‏‎ یک تابع پیوسته از نوع لیپ شیتس است، یعنی ثابت­های ‎ و ‎‎ چنان موجود­اند که برای هر ،

‎

به طوری که ‎ ‎ یک تابع لژاندر است. ثابت­های ‎ و ‎‎ ضرایب لیپ شیتس-برگمن نسبت به‎ ‎ هستند.

 ‎ ‎روی ‎ پیوسته ضعیف است.

 برای هر ثابت ‏، ‎ محدب، نیم پیوسته پایین و زیر دیفرانسیل پذیر روی ‎است‎.

 برای هر ثابت ‏،

‏  ‎‎

تذکر 1. [32] هر تابع دو متغیره یکنوا روی ‎‏، شبه یکنوا است اما عکس آن درست نیست. یک نگاشت ‎‎ شبه یکنوا است اگر و تنها اگر تابع دو متغیره ‎ روی ‎ ‎‏‎‏ شبه یکنوا ‎ باشد.

نگاشت ‎غیرانبساطی برگمن نامیده می‌شود هرگاه برای هر ، ‎.

گزاره 210 [13] فرض کنیم  یک زیر مجموعه ناتهی، بسته و محدب از فضای باناخ انعکاسی ‎‎ و ‎ یک تابع لژاندر و بازدارنده قوی و ‎ یک تابع دو متغیره باشد که در ‎‎ صدق کند. ‎و  و ‎‎ دنباله­هایی باشند که به صورت زیر تولید شوند

 

 به طوری که  و ، آنگاه برای هر ‎ داریم ‎

 

لم 27 [31] فرض کنیم ‎‎ یک دنباله از اعداد نا منفی باشد که در نابرابری زیر صدق کند:

‎

که

(الف)  ‎ و .

(ب) ‎، یا ‎.

در این صورت ‎.

 

لم 28 [19] فرض کنیم ‎‎ یک دنباله از اعداد حقیقی باشد به طوری که زیر دنباله ‎‎‎ از ‎‎  وجود داشته باشد که برای هر ‏، ‎‎. در این صورت زیر دنباله ‎‎  چنان موجود است که ‎‎ و ویژگی­های زیر برای همه اعداد ‎(‎به اندازه کافی بزرگ) ‎‎ برقرار هستند:

 

در حقیقت ‎.

 

3- نتایج اصلی

در این بخش قضیه اصلی را بیان و اثبات می‌کنیم.

 

قضیه 31 فرض کنیم  یک زیر مجموعه ناتهی، بسته و محدب از فضای باناخ انعکاسی   و  یک تابع لژاندر، سازگار و بازدارنده قوی باشد که کراندار، فرشه دیفرانسیل پذیر یکنواخت و کاملا محدب روی زیر مجموعه­های کراندار   باشد.  را یک تابع دو متغیره در نظر می‌گیریم که در شرایط  صدق کند و  یک نگاشت غیرانبساطی برگمن با  است و . همچنین  دنباله تولید شده با ،  و

 

 

 باشد که دنباله­های ،  و  در شرایط زیر صدق می­کنند:

(الف)  ،  و .

(ب) ،  و برای هر  و ،  .

(پ) ، که   ضرایب برگمن-لیپ شیتس از  هستند.

(ت) ، .

در این صورت دنباله  همگرای قوی به  است.

اثبات : ابتدا بررسی می‌کنیم که  زیر مجموعه­ای بسته و محدب از  است. از [13، قضیه 142] نتیجه می‌شود که  یک زیر مجموعه بسته و محدب از  است. همچنین، به طور مشابه  زیر مجموعه­ای بسته و محدب از  است [قضیه 13]. بنابراین  زیر مجموعه­ای بسته و محدب از  است.

 

فرض کنیم . از (8)، لم 210 و اینکه  روی  غیرانبساطی برگمن است، داریم

 

            

 

 (12)

اکنون از (8)، قسمت (پ) لم 26 و اینکه  روی  غیرانبساطی برگمن است، نتیجه می‌گیریم

          

 

 

 

 

(13)

  از (12) و (13) و داریم

 

 

لذا، با استقرا نتیجه می‌گیریم

 

بنابراین می­توان گفت دنباله ‎‎ کراندار است. بنابر لم 23‎‏، ‎‎ یک تابع محدب یکنواخت روی زیر مجموعه­های کراندار است. بنابراین شرط ‎(الف)‎ از گزاره 3‎ برقرار است، به طور معادل شرط ‎(ب)‎ از این گزاره نیز برقرار است‏، یعنی ‎‎ روی زیر مجموعه­های کراندار ‎‎، کراندار است. پس ‎‎ نیز روی زیر مجموعه­های کراندار ‎‎، کراندار است ‎( [4، قضیه 87] ).‎ بنابر لم ‎25،   دنباله ‎‎ کراندار است. بنابر (12)، لم 210 و ‎کرانداری ‎‎ نتیجه می­گیریم ‎‎  و ‎ کراندار هستند. لذا از لم  210 ‎ دنباله­های ‎‎ و ‎‎ کراندار هستند. بنابراین ، ‎ و‏ ‎‎ کراندارند ([9، قضیه 1111‏]). بنابر الگوریتم (11)،

 

پس طبق (ب)، ‎ کراندار است.

چون ‎ ‎ فرشه دیفرانسیل پذیر یکنواخت است و روی زیر مجموعه­های ‎ کراندار است، بنابر لم  21‎، ‎ ‎ روی زیر مجموعه­های ‎ ‎ پیوسته یکنواخت نرم-نرم است. همچنین طبق فرض‏، ‎ ‎ تابعی کوآرسیو قوی و محدب است. لذا شرط ‎(ب)‎ گزاره 2‎ برقرار است. به طور معادل شرط ‎(پ)‎ این قضیه نیز برقرار است. یعنی ‎‎ روی زیر مجموعه­های ‎ محدب یکنواخت است. فرض کنیم

 ‎. چون ‎‎ و ‎ دنباله­هایی کراندار هستند‏، پس ‎. لذا با استفاده از (5)، (6)، لم های 27، 210‎ ‎و اینکه  ‎‎ روی ‎‎  غیرانبساطی برگمن است، نتیجه می‌گیریم

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14)

اکنون، فرض کنیم . ‎بنابر (8) ‎ و اینکه ‎ ‎ روی ‎ ‎  غیرانبساطی برگمن است، داریم

 

از این رو ‎‎ کراندار است. لذا از لم 2‎5، نتیجه می‌گیریم ‎‎ کراندار است. پس ‎‎ کراندار است. لذا با توجه به اینکه  ‎، ‎‎ کراندار است. به روشی مشابه، از (5)، (6)، (12) و لم 2‎7، ‎ عدد  چنان موجود است که

 

لذا، بنابر (13) و (14)، داریم ‎

 

(16)

همچنین از (8)، (15) و قسمت (پ) لم 2‎6، نتیجه می‌شود

 

بنابر (8)، لم 2‎10‎ و غیرانبساطی بودن ‎‎ ‎ روی ‎، داریم

 

 

 

 

 

(18)          

از (13) و (18)، داریم

 

 

 

 

                                    

پس نتیجه می­گیریم

 

 

 (19)  

قرار می­دهیم

 

 

اکنون با استفاده از (6)، (7)، (8)، (12)، قسمت (پ) لم 26 و اینکه  روی  غیرانبساطی برگمن است، داریم

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(20)

همچنین، بنابر (8)، 

 

(21)

اکنون دو حالت ممکن زیر را بررسی می‌کنیم‎.

حالت1. فرض کنیم  ‎  چنان موجود است که برای هر ‏،  ‎دنباله­ای غیر صعودی ‎ باشد. بنابراین

  موجود است و .

از (19)، شرایط (الف)، ‎(ب)‎ و (پ)، نتیجه می‌گیریم ‎ ‎. پس بنا بر لم 22 و کرانداری ،

(22)             

و به روشی مشابه، بنابر (19)، داریم

(23)              

با استفاده از (22) و (23)،

(24)                 

از (22) نتیجه می­شود که  کراندار است. اکنون بنابر (16) و شرط (الف)،

 

(25)

لذا، از شرط (ب) نتیجه می‌شود که

 

     بعلاوه، ادعا می‌کنیم که ، اگر چنین نباشد، یک زیر دنباله  از  و عدد مثبت  وجود دارد به طوری که . بنابراین برای هر ،

    زیرا غیر نزولی است. فرض کنیم ، در نتیجه ، که با محدب یکنواخت بودن  روی زیر مجموعه­های کراندار  در تناقض است. لذا

. با استفاده از گزاره 3 و لم 23، روی زیر مجموعه­های کراندار  پیوسته یکنواخت نرم-نرم است. بنابراین

(26)         

از (17)، شرط (ت) و روشی مشابه بالا، داریم

(27)          

اکنون چون  کراندار و  انعکاسی است، لذا با استفاده از [28، قضیه 1421]، یک زیر دنباله  از  و یک نقطه  وجود دارد به طوری که. بنابر (24)،  از این رو از (26)، نتیجه می‌گیریم. 

 اکنون، نشان می‌دهیم . برای این منظور، فرض کنیم .

ثابت می­کنیم  که  زیر دیفرانسیلی از  در مولفه اول است. قرار می­دهیم . توجه می‌کنیم که برای هر ،

 

 

 

 

 

لذا برای هر ،

 

  بنابراین،  . از طرف دیگر، با استفاده از این واقعیت که  روی ، محدب، دیفرانسیل پذیر و نیم پیوسته پایین است، از گزاره 1 نتیجه می‌شود  چون 

، از شرط ، لم‌های 28 و 29، داریم،

 

 

پس  و  وجود دارند به طوری که

(28)

چون ، بنابراین برای هر ،

(29)           

از (28) و (29)، نتیجه می­گیریم برای هر ،

 

از این رو

(30)

 

علاوه براین، چون ، لذا برای هر ،

(31)

اکنون، بنابر (30) و (31)، برای هر ،

 

حال با جایگزینی  به جای  در نامساوی بالا، نتیجه می­گیریم برای هر ،

(32)

 

از (22)، (32)، لم 21، شرایط (پ)،  ‎ و این واقعیت که ‎‎ وقتی ‎، نتیجه می‌شود که برای هر ، ‎. بنابر ‎‎، برای هر ، ‎ یعنی ‎. بنابراین ‎‎.

توجه داریم که   و ‎کراندارند و ‎‎ و ‎ به ترتیب روی زیر مجموعه­های کراندار  و ‎‎ کراندار هستند. پس ‎ کراندار است. به طور مشابه، نتیجه می‌گیریم که ‎‎ و ‎ کراندارند. 

 

از لم 24‎، نابرابری های (24)، (26) و (27)، داریم

(33)                  

همچنین بنابر (8)،

 

لذا (33) ایجاب می‌کند . بنابر لم 22، (34)

 حال با توجه به رابطه (21) داریم

         

پس، چون  کراندار است، از شرایط (الف)، (ت) و (33) نتیجه می‌شود . چون  کراندار است، بنابر لم 22، . بنابراین از (24) و (34)، داریم

(35)                

اکنون، نشان می‌دهیم که . چون  کراندار است، نتیجه می‌گیریم که زیر دنباله   از  وجود دارد که

 

چون  کراندار است، لذا یک زیر دنباله  از  وجود دارد که به یک نقطه  همگرای ضعیف است. بدون این که از کلیت مطلب کاسته شود، می‌توان فرض کرد که . بنابراین از لم 26، نتیجه می‌شود

(36)

  اکنون از (35) و (36)،

(37)

لذا، بنابر (20)، (37) و لم 211، . بنابراین از لم 22 بدست می‌آوریم، ‎.

حالت 2 فرض کنیم زیر دنباله ‎‎ از ‎‎ وجود دارد که برای هر ‏، . لذا، از لم 212، زیر دنباله ‎ ‎موجود است که ‎‎ و ویژگی­های زیر برقرارند:‎

 برای هر ‎‏‏،

 

از (19)، برای هر ‎‏‏،                

 

 

 

بنابراین با استفاده از (38)، شرایط (الف)، (ب) و (پ) نتیجه می‌گیریم که وقتی ، . پس به کمک لم 22 و کرانداری ، بدست می‌آوریم . به روشی مشابه، از حالت 1، داریم . اکنون با همان استدلال حالت 1 نتیجه می‌شود

 

(39)

همچنین بنابر (20) و (38)،

 

 

پس . لذا، بنابر (38)،

(40)

بنابر (39) و (40)، . لذا بنابر لم 22، وقتی ،   و این اثبات را کامل می‌کند.

کاربردی از نابرابری تغییراتی 

در این قسمت مسئله تعادل زیر را مطرح می‌کنیم که متناظر با تابع  تعریف شده است، برای هر ،   با عملگر . حال مسئله نابرابری تغییراتی زیر را تعریف می‌کنیم:

یافتن  به طوری که برای هر ،

 

لم 41 [13] فرض کنیم  یک زیر مجموعه ناتهی، بسته و کراندار از فضای باناخ انعکاسی ،  یک نگاشت و  یک تابع لژاندر باشد. در این صورت برای هر ،  و ،

 

فضای  محدب یکنواخت¹⁷، متریک و فاصله برگمن در رابطه زیر زیر صدق می‌کند [25].

 

که  یک عدد ثابت است. برای ، نگاشت دوگان  را با  نشان می‌دهیم.

فرض کنیم  یک فضای باناخ هموار یکنواخت و محدب یکنواخت باشد و. بنابراین ،  و .

همچنین اگر  یک فضای هیلبرت باشد، آنگاه ،  و ، که  تصویر متریک است.

با توجه به مطالب بالا قضیه زیر را ارائه می­دهیم.

قضیه 42 فرض کنیم  یک زیر مجموعه ناتهی، بسته و محدب از یک فضای باناخ هموار یکنواخت و 2-محدب یکنواخت  است و  یک نگاشت یکنوا و پیوسته L-لیپ شیتس است.  را یک نگاشت غیرانبساطی در نظر می‌گیریم که  و  و  دنباله تولید شده با  و

 

است، که ،  و در شرایط زیر صدق می‌کنند:

(الف) ،  و .

(ب) ،  و برای هر  و ،

.

(پ) ، که (41) داده شده است.

(ت)  و .

آنگاه دنباله  همگرای قوی به  است.

اثبات :

فرض کنیم برای هر ، . اکنون نشان می‌دهیم تابع دو متغیره  در شرایط  صدق می کند.

  یکنوا است:  برای هر ،

 

 برای هر ،  شبه-یکنوا است. زیرا  یکنوا است.

 بنابر (41) و با استفاده از اینکه عملگر  پیوسته -Lلیپ شیتس است، داریم

 

 

 

 

 

 

 

بنابراین ‎ ‎ تابعی پیوسته از نوع برگمن لیپ شیتس است و نسبت به ‎،   

   فرض کنیم ‎ ‎ و ‎‎ و ‎‎ دو دنباله در ‎ ‎ باشند که به ترتیب به نقاط ‎ و ‎ ‎  همگرای ضعیف هستند،

 

   برای هر نقطه ثابت ‎،  محدب، نیم پیوسته پایین و زیر دیفرانسیل پذیر روی  ‎است.

   برای هر ‎،

 

 

لذا، به کمک لم 41‎ و قضیه 31 نتیجه دلخواه به دست می­آید.

 

4- نتایج عددی

فرض کنیم ‎،  ‎ و ‎‎. تابع دو متغیره

  ‎‎ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: برای هر ‎،

‎

‏ بدیهی است که  به صورت زیر در شرایط ‎ ‎ صدق می‌کند:‎ 

‏ ‎ ‎ یکنوا است. برای هر ،

‎

 

‏ ‎برای هر ،  ‎ شبه-یکنوا است، زیرا  ‎ یکنوا است.

  پیوسته از نوع لیپ شیتس است با  :

‎

 

 

 

 

(43)                                   

 فرض کنیم ‎ و ‎ ‎ و ‎‎ دو دنباله در  ‎ باشند که به ترتیب به نقاط ‎ و  همگرای ضعیف هستند (همگرایی ضعیف و قوی در  ‎ معادل است)،

 

  به وضوح برای هر نقطه ثابت ‏،  محدب، نیم پیوسته پایین و زیر دیفرانسیل پذیر روی‎ ‎است.

 برای هر ‎،

 

(44)

نگاشت  را برای هر   به صورت  تعریف می‌کنیم. بنابراین،  و برای هر ،

 

 

 

 

 

لذا  غیرانبساطی برگمن است. فرض کنیم ، آنگاه  شامل یک دنباله  است به طوری که   و ، بنابراین . پس . اکنون، اگر ، با استفاده از تعریف  در الگوریتم (11)، داریم

 

   بنابراین، . به طور مشابه

 

لذا، . همچنین   و

 

 

اکنون با انتخاب ،  و ، مقادیر

جدول 1 و شکل 1 را با نقطه آغازین  برای دنباله  داریم.

 

 

 

 

 

شکل1 : رفتار همگرایی دنباله تولید شده در مثال 4

 

 

 

فهرست منابع

 [1] R. P. Agarwal, D. Oregan, and D. R. Sahu, “Fixed point theory for Lipschitzian-type mappings

with applications,” vol. 6, Springer, New York., 2009.

[2] A. Ambrosetti, G. Prodi, “A Primer of Nonlinear Analysis” Cambridge University Press, Cambridge., 1993.

[3] P.N. Anh, “A hybrid extragradient method for pseudomonotone equilibrium problems and fixed point problems,” Bull. Malays. Math. Sci. Soc., vol. 36, no. 1, pp. 107-116, 2013.

[4] H. H. Bauschke, J. M. Borwein, “On projection algorithms for solving convex feasibility problems,” SIAM Rev., vol. 38, pp.  367-426, 1996.

[5] H. H. Bauschke, J. M. Borwein, and P. L. Combettes, “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces,” Communications in Contemporary Mathematics., vol. 3, pp. 615-647, 2001.

[6] J. F. Bonnans, A. Shapiro, “Perturbation Analysis of Optimization Problems,” Springer, New York., 2000.

 [7] L.M. Bregman, “A relaxation method for finding the common point of convex sets and its application to the solution of problems in convex programming,” USSR Comput. Math. Math. Phy., vol. 7, pp. 200-217, 1967.

[8] D. Butnariu, A. N. Iusem, and C. Z˘alinescu, “On uniform convexity, total convexity and convergence

of the proximal point and outer Bregman projection algorithms in Banach spaces,” J. Convex Anal., vol. 10, pp. 35-61, 2003.

[9] D. Butnariu, A. N. Iusem, “Totally Convex Functions for Fixed Points Computation and Infinite Dimensional Optimization,” Kluwer Academic Publishers, Dordrecht., 2000.

[10] D. Butnariu, E. Resmerita, “Bregman distances, totally convex functions and a method for solving operator equations in Banach spaces,” Abstr. Appl. Anal. Art., ID 84919, pp. 1-39, 2006.

[11] Y. Censor, S. Reich, “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization,” Optimization., vol. 37, pp. 323-339, 1996.

[12] I. Cioranescu, “Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems,” Kluwer Academic Publishers, Dordrecht., 1990.

[13] G.Z. Eskandani, M. Raeisi, and T. M. Rassias, “A hybrid extragradient method for solving pseudomonotone equilibrium problems using Bregman distance,” J. Fixed Point Theory Appl., vol. 20, no. 132, 2018.

[14] M. Ghadampour, E. Soori, R. P. Agarwal and D. O′Regan, “Two generalized strong convergence algorithms for variational inequality problems in Banach spaces,” Fixed Point Theory., vol. 25, no. 1, pp. 143-162, 2024.

[15] M. Ghadampour, D. O′Regan, E. Soori, and R. P. Agarwal, “A strong convergence algorithm in the presence of errors for variational inequality problems in Hilbert spaces,” Journal of Function Spaces., 2021. https://doi:org/10.1155/2021/9911241

[16] J. B, Hiriart-Urruty, C. Lemarchal, “C Grundlehren der mathematischen Wissenschaften,” Convex Analysis and Minimization Algorithms II. Springer, Berlin., 1993.

[17] L. O. Jolaoso, A. Taiwo, and T. O. Alakoya, “A Strong Convergence Theorem for Solving Pseudomonotone Variational Inequalities Using Projection Methods,” J Optim Theory Appl., vol. 185, pp. 744-766, 2020.

[18] F. Kohsaka, W. Takahashi, “Proximal point algorithm with Bregman functions in Banach spaces,” J. Nonlinear Convex Anal., vol. 6, pp. 505-523, 2005.

 [19] P. E. Maing´e, “Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization,” Set-valued Anal., vol. 16, pp. 899-912, 2008.

[20] E. Naraghirad, J. C. Yao, “Bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach spaces,” Fixed Point Theory Appl., 2013. https://doi.org/10.1186/ 1687-1812-2013-141

[21] D. Reem, S. Reich, A. De Pierro, “Re-examination of Bregman functions and new properties of their divergences,” Optimization., vol. 68, pp. 279-348, 2019.

[22] S. Reich, “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances,” Theory and applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type., pp. 313-318, 1996.

[23] S Reich, S. Sabach, “A strong convergence theorem for proximal type- algorithm in reflexive Banach spaces,” J. Nonlinear Convex Anal., vol. 10, pp. 471-485, 2009.

[24] S. Sabach, “Products of finitely many resolvents of maximal monotone mappings in reflexive banach spaces,” SIAM J. Optim., vol. 21, pp. 1289-1308, 2011.

[25] F. Schopfer, T. Schuster, “Louis, A.K: An iterative regularization method for the solution of the split feasibility problem in Banach spaces,” Inverse Probl., vol. 24, no. 5, pp. 055-008, 2008.

[26] N. Shahzad, H. Zegeye, “Convergence theorem for common fixed points of a finite family of multi-valued Bregman relatively nonexpansive mappings,” Fixed Point Theory Appl., 2014.

[27] A. Tada, W. Takahashi, “Strong convergence theorem for an equilibrium problem and a nonexpansive mapping,” Nonlinear Analysis and Convex Analysis.

Yokohama Publishers., Yokohama, 2006.

[28] W. Takahashi, “Nonlinear Functional Analysis,” Yokohama Publishers, Yokohama., 2000.

[29] D. V. Thong, V. T. Dung, and Y. J. Cho, “A new strong convergence for solving split variational inclusion Problems,” Numer Algor., vol.  86, pp. 565-591, 2021.

[30] J. V. Tiel, “ Convex Analysis: An introductory text,” Wiley, New York., 1984.

[31] H. K. Xu, “Another control condition in an iterative method for nonexpansive mappings,” Bull. Austral. Math. Soc., vol. 65, pp. 109-113, 2002.

[32] J. C. Yao, “Variational inequalities with generalized monotone operators,” Math. Oper. Res., vol. 19, pp. 691-705, 1994.

 [33] C. Zălinescu, “Convex analysis in general vector spaces,” World Scientific Publishing, Singapore., 2002.

[34] X. Zhao, M. A. Kobis and Y. Yao, “A Projected Subgradient Method for Nondifferentiable Quasiconvex Multiobjective Optimization Problems,” J Optim Theory Appl., 2021.

 

---

[1] عهده­دار مکاتبات:                                                                                         [e-mail] Email: 

[2]  Tada and Takahashi

[3]  Eskandani et al

[4]  Jolaoso et al

[5]  Admissible function

[6]  Gâteaux differentiable

[7]  Fréchet differentiable

[8]  Uniformly Fréchet differentiable

[9]  Subdifferential

[10]  Fenchel conjugate

[11]  Young-Fenchel inequality

[12]  Sequentially consistent

[13]  Coercive

[14]  Sublevel set

[15]  Strongly coercive

[16]  Pseudomonotone

[17]   p-uniformly convex

---