Efficiency analysis in two-stage production systems with the presence of undesirable and reversible factors

Subject Areas : تحقیق در عملیات

Mohammad Malmir ¹ , رضا کاظمی متین ² , Mahnaz Ahadzadeh namin ³

1 - Department of Mathematics, Karaj Branch, Islamic Azad University, Karaj, Iran
2 - Department of Mathematics, Karaj Branch, Islamic Azad University, Karaj, Iran
3 - Department of Mathematics, Shahre-Qods Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran

Received: 2022-04-16 Accepted : 2022-07-05 Published : 2024-01-18

Keywords: خروجی های برگشت پذیر, شبکه دو مرحله ای, دسترسی پذیری ضعیف, تحلیل پوشش داده های شبکه ای, ورودی و خروجی نامطلوب,

Abstract :

To evaluate the efficiency in the two-stage production systems, some outputs of the second stage may be undesirable. Because the production of final undesirable outputs is far from the goals of decision-making units, the policy should be to reduce undesirable products. On the other hand, some of these undesirable outputs can be used as desirable input for the first stage. In this study, a model for calculating efficiency in the presence of undesirable and reversible factors for a two-stage network is presented. A case study in the field of performance evaluation of fourteen pharmaceutical companies listed on the Iranian Stock Exchange is used to describe the proposed model. In the financial statements of these companies, some financial ratios are considered undesirable reversible factors. To evaluate the efficiency in the two-stage production systems, some outputs of the second stage may be undesirable. Because the production of final undesirable outputs is far from the goals of decision-making units, the policy should be to reduce undesirable products. On the other hand, some of these undesirable outputs can be used as desirable input for the first stage. In this study, a model for calculating efficiency in the presence of undesirable and reversible factors for a two-stage network is presented. A case study in the field of performance evaluation of fourteen pharmaceutical companies listed on the Iranian Stock Exchange is used to describe the proposed model. In the financial statements of these companies, some financial ratios are considered undesirable reversible factors.

References:

[1] G.R. Jahanshahloo, F. Hosseinzadeh Lotfi, N. Shoja, G. Tohidi and S. Razavyan, “Undesirable inputs and outputs in DEA models," Applied Mathematics and Computation, Vol. 169, PP. 917-925, 2005.
[2] A.R., Amirteimoori, S. Kordrostami and M. Sarparast “Modeling undesirable factors in data envelopment analysis,” Applied Mathematics and Computation, Vol. 180, PP. 444–452, 2006.
[3] A. Hailu and T.S. Veeman, “Non-parametric productivity analysis with undesirable outputs: an application to the Canadian pulp and paper industry,” American Journal of Agricultural Economics, Vol. 83, PP. 605-616, 2001.
[4] R.W. Shephard, “Theory of cost and production functions,” Princeton: Princeton UniversityPress, 1970.
[5] R. Färe and S. Grosskopf, “Nonparametric productivity analysis with undesirable outputs: comment,” American Journal of Agricultural Economics, Vol. 85, PP. 1070–1074, 2003.
[6] Kuosmanen T, (2005), “Weak disposability in nonparametric production analysis with undesirable outputs”, American Journal of Agricultural Economics, 87, 1077–1082.
[7] T. Kuosmanen and V. Podinovski, “Weak disposability in nonparametric production analysis: Reply to Färe and Grosskopf,” American Journal of Agricultural Economics, Vol. 91, PP. 539–545, 2009.
[8] C. Kao, ” Network data envelopment analysis: A review,” European Journal of Operational Research, PP. 239, 1-16, 2014.
[9] C. Kao, ”Efficiency decomposition in network data envelopment analysis: A relational model,” European Journal of Operational Research, Vol. 192, PP. 949-962, 2009.
[10] C. Kao, “Efficiency measurement for parallel production systems,” European Journal of Operational Research, Vol. 196, PP. 1107-1112, 2009.
[11] C. Kao, “Efficiency decomposition in network data envelopment analysis with slacks-based measures,” Omega, Vol. 45, PP. 1-6, 2014.
[12] L. Haitao, C. Chen, W. D.Cook, J. Zhang and J. Zhu, “Two-stage network DEA: Who is the leader ?,” Omega, Vol. 74, PP. 15-19, 2018.
[13] L. Liang, W.D. Cook and J. Zhu, “DEA models for two-stage processes: game approachand efficiency decomposition,” Naval Research Logistics, Vol. 55, PP. 643–53, 2008.
[14] M. Maghbouli, A.R. Amirteimoori and S. Kordrostami, “Two-stage network structures with undesirable outputs: A DEA based approach,” Measurement, Vol. 48, PP. 109-118, 2014.
[15] J. Wu, Q. Zhu, J. Chu and L.Liang, “Two-Stage Network Structures with UndesirableIntermediate Outputs Reused: A DEA Based Approach,” Computational Economics, Vol. 46, PP. 455-477, 2015.
[16] A. Kalhor and R. KazemiMatin, “Study the effects of abatement factors of weakdisposability in network data envelopment analysis with undesirable outputs,” Journal of operational reearch and its applications, Vol. 15, PP. 103-12, 2018.

Full-Text:



تحلیل کارایی در شبکه ها­ی تولید دو مرحله ای با حضور عوامل نامطلوب و برگشت پذیر

 

 

چکیده:

جهت محاسبه کارایی در زنجیره ی تولید برای یک سیستم شبکه ای دو مرحله ای ممکن است برخی از خروجی های مرحله ی دوم نامطلوب باشند. چون تولید محصول نهایی نامطلوب، از اهداف واحده ای تصمیم گیری به دور است باید هدف سیاست گذاری، کاهش تولیدات نامطلوب باشد. از طرفی می توان برخی از این خروجی های نامطلوب را به عنوان ورودی مطلوب برای مرحله ی اول استفاده نمود. در این مطالعه مدلی برای محاسبه کارایی در حضور عوامل نامطلوب و برگشت پذیر برای یک شبکه دو مرحله ای با شرایطی که اشاره شد ارائه می شود. از یک مطالعه ی موردی در زمینه ی ارزیابی کارایی چهارده شرکت داروسازی حاضر در بورس ایران برای تشریح مدل پیشنهادی استفاده می گردد. در صورتهای مالی این شرکت ها، برخی نسبت های مالی به صورت عوامل نامطلوب برگشت پذیر در نظر گرفته شده است.

 

کلمات کلیدی: تحلیل پوشش داده های شبکه ای، ورودی و خروجی نامطلوب، شبکه دو مرحله ای، خروجی های برگشت پذیر، دسترسی پذیری ضعیف .

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                

 

1-       مقدمه

در تحلیل پوششی داده ها 1(DEA) برای سنجش میزان عملکرد و کارایی واحد های تصمیم گیری 2(DMU)، معیار اصلی این بود که کدام DMU در مقایسه با سایر DMU  ها با مصرف ورودی های مشابه، بیشترین خروجی یا محصول مشابه را تولید می کند. در اغلب واحدهای تولیدی ممکن است در کنار خروجی های مطلوب، خروجی های نامطلوب نیز تولید شود، وجود خروجی های نامطلوب باعث شد که رویکرد محققین جهت بررسی کارایی DMU ها تغییر کند و دیدگاه مطلق افزایش خروجی در DEA را مورد بازبینی قرار بدهند. جهانشاهلو و همکاران2005) ) برای بهبود ناکارآمدی واحدهای تصمیم گیری (DMU)، یک مدل غیر شعاعی ارائه دادند که خروجی های نامطلوب و ورودی های مطلوب کاهش می یابند[1]. امیر تیموری و همکاران  (2006)مدلی جهت بهبود عملکرد واحد های تصمیم گیری (DMU) در تحلیل پوششی داده ها ارائه دادند که به موجب این مدل، ورودی نامطلوب افزایش می یافت و خروجی نامطلوب کاهش پیدا می کرد[2].

جهت ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم گیری در سیستم های شبکه ای دو مرحله ای نیز، هدف افزایش خروجی مد نظر است. ولی همیشه خروجی نهایی برای واحد تولیدی ممکن است مطلوب نباشند به عبارت دیگرعلاوه بر خروجی های مطلوب، خروجی های نامطلوب نیز در مرحله دوم برای یک سیستم شبکه‌های دو مرحله‌ای تولید شده باشند. به عنوان مثال در یک واحد تولیدی نئوپان، براده های چوب نیز که در فرآیند تولید، به عنوان یک محصول نامطلوب تولید می شود، دیگر نمی توان سیاست افزایش خروجی ها که در تحلیل پوششی داده ها (DEA) مد نظر است را به کار برد. در(DEA) وقتی که برخی از خروجی ها، نامطلوب باشد می­توان از شرط دسترس پذیری ضعیف، برای ساخت مجموعه امکان تولید(  استفاده نمود. هایلو و ویمن (2001) برای ساخت مجموعه امکان تولید در حضور خروجی های نامطلوب، وررودی ها و خروجی های نامطلوب را به صورت مشابه در اصول موضوعه گنجاندند[3]. از دیدگاه شفرد (1970)خروجی‌ها (مطلوب و نامطلوب) شرط دسترسی پذیری ضعیف را در صورتی دارا هستند که هر انقباضی از خروجی ها در مجموعه امکان تولید ( PPS) امکان پذیر باشد. این ضرایب انقباضی به دو صورت مطرح گردیده است یا به صورت یکسان یا به صورت غیر یکسان برای محاسبه کارایی DMU درنظر گرفته شده است[4]. فاروگراسکوف (2003) برای شرط دسترسی پذیری ضعیف خروجی ها، ازضرایب انقباض یکسان برای DMU  ها استفاده کردند[5]. کاسمانن (2005) مدلی ارائه داد که برای شرط دسترسی پذیری ضعیف خروجی ها ( مطلوب و نامطلوب) از ضرایب انقباضی غیر یکسان جهت خروجی های، DMU ها استفاده کرد[6]. کاسمانن و پودینوسکی (2009) به مدل فاروگراسکوف [5] ایرادی را مطرح کردند که مدل آن ها محدب به نظر نیست و ضرایب انقباضی یکسان می­تواند باعث غیر محدب شدن مجموعه امکان تولید شود. کاسمانن و پودینوسکی با در نظر گرفتن ضرایب انقباضی غیر یکسان برای خروجی های (مطلوب و نامطلوب) هر کدام از DMU ها، مجموعه امکان تولیدی (PPS) به وجود آورند که با اصول موضوعه:  1- تحدب 2- شرط دسترسی پذیری قوی برای ورودی ها و خروجی های مطلوب 3- شرط دسترسی پذیری ضعیف برای خروجی های مطلوب و خروجی های نامطلوب ، ایجاد شده است. آنها نشان دادند که مجموعه امکان تولید (PPS) ساخته شده، کوچکترین مجموعه ای است که در این اصول موضوع صدق می کند[7]. مدل های ابتدایی DEA برای ارزیابی کارایی DMU ها صرفا مقادیر ورودی و خروجی ها را در نظر می گیرند و مانند یک جعبه سیاه با واحد های تولیدی برخورد می کرد. اغلب واحدهای تولیدی، برای تولید محصول نهایی، از دو، سه یا چند مرحله تشکیل شده است و چون DEA به مراحل و ساختار درونی سیستم ها، اهمیت نمی داد محققان مطالعات را به سمتی هدایت کردند که بتوانند ساختار درونی DMU ها را مورد بررسی قراردهند و از این رو دقیق تر بتوانند به ارزیابی کارایی سیستم های تولیدی بپردازند.  آنها، این گونه مطالعات را به عنوان تحلیل پوششی داده های شبکه ای ) معرفی نموده اند. شبکه ها در DEA با انواع گوناگون از جمله سری، موازی و ترکیبی مورد بررسی قرار گرفته است. در شبکه ها معمولا خروجی یکی از مراحل بعنوان ورودی برای مرحله ی بعد در نظر گرفته می شود. شبکه ها ممکن است دو مرحله ای، سه مرحله ای یا چند مرحله ای در مطالعه ی ساختار درونی DMU ها مورد نظر قرار بگیرد.کائو(2014) به بررسی مدل های شبکه ای پرداخت و مطالعات گذشته در این خصوص را مورد بازبینی قرار داد[8].

کائو (2009) یک مدل برای تجزیه کارایی در تحلیل پوششی داده های شبکه ای ارائه داد. سیستم اصلی شبکه را به صورت سری در نظر گرفت سپس هرکدام از مراحل در این شبکه را با ساختار موازی، مورد بررسی قرار داده است. بر اساس این ساختار شبکه ای سری و زیر شبکه های موازی، کارایی کل سیستم را به واسطه ی کارایی زیر شبکه ها تجزیه کرد و همچنین برای نشان دادن، کاربردی بودن مدل خود، صنعت بیمه در تایوان را مورد بررسی قرار داد که یک سیستم شبکه ای دو مرحله ای با ساختار سری در نظر گرفته است که هر مرحله از این شبکه دو مرحله ای سری به صورت ساختار موازی هستند[9]. کائو (2009) مدلی برای اندازه گیری کارایی پیشنهاد داد که در آن سیستم های تولید با ساختار شبکه به صورت موازی بوده اند. از اجزای زیر شبکه ها )تک تک مراحل( برای محاسبه کارایی کل سیستم استفاده شده است. از خصوصیات این ساختار شبکه ای، این است که ناکارآمدی سیستم را می توان به ناکارآمدی اجزای سیستم تجزیه کرد، این قضیه به مدیران یا تصمیم گیرندگان این امکان را می دهد که مولفه های ناکارآمدی در سیستم را شناسایی کنند و مسیر های اصلاحی، جهت بهبود کارایی را در نظر بگیرند. ازخاصیت های دیگر این مدل شبکه ای با ساختار موازی این است که کارایی محاسبه شده از این مدل کمتر از ارزیابی کارایی با استفاده از مدل های DEA. این ویژگی نشان میدهد ارزیابی کارایی با ساختار شبکه، این امکان را میدهد که نقاط ضعف سیستم و ناکارآمدی را بتوان با دقت بیشتری شناسایی کرد. برای نمونه و نشان دادن عملکرد مدل پیشنهادی، جنگل های ملی تایوان را با الگوی شبکه ای با ساختار موازی مورد ارزیابی قرار گرفته است [10] . کائو (2014)یک مدل SBM برای تجزیه کارایی در تحلیل پوششی داده های شبکه ای ارائه داد که این رابطه برای انواع ساختار شبکه ( سری – موازی – ترکیبی ) برقرا است[11]. لی و همکاران (2018) مدلی مبتنی بر (رهبر- پیرو) برای شبک های دو مرحله ای DEA ارائه داد که در آن به بررسی این موضوع پرداخت که کدام مرحله را به عنوان رهبر می شود، انتخاب کرد[12]. لیانگ و همکاران (2008) به تجزبه کارایی برای شبکه دو مرحله ای با رویکرد نظریه بازی ها پرداخت که در آن تمام خروجی های مرحله اول به عنوان ورودی برای مرحله دوم مصرف می شدندکه در مرحله میانی وپایانی خروجی های نامطلوب تولید نمیشد. سپس کارایی را برای این نوع ازشبکه ها مورد بررسی قرار دادند [13].

حضور عوامل نامطلوب در تحلیل پوششی داده های شبکه ای نیز در مواردی مورد بررسی قرار گرفته است. مقبولی و همکاران  مدلی برای محاسبه کارایی شبکه دو مرحله ای DEA، در حضور خروجی های نامطلوب ارائه دادند که در ساختار این شبکه خروجی های مطلوب و نامطلوب مرحله اول به عنوان ورودی در مرحله دوم مصرف می شوند. آن ها برای ساختن مجموعه امکان تولید(PPS) از اصل دسترسی پذیری ضعیف برای خروجی های مطلوب و نامطلوب استفاده کردند[14]. وو و همکاران یک مدل جمعی برای شبکه دو مرحله ای در نظر گرفتند که در میان خروجی های مرحله اول محصول نامطلوب نیز تولید شده است[15]. کلهر و کاظمی متین به بررسی تاثیر اصل دسترسی پذیری ضعیف در تحلیل پوششی داده های شبکه ای با خروجی های نامطلوب پرداختند[16]. 

در این مقاله به تجزیه کارایی برای یک شبکه دو مرحله ای DEA در حضور عوامل نامطلوب و برگشت پذیر می پردازیم به طوری که برخی از خروجی های نامطلوب مرحله ی دوم به عنوان ورودی به مرحله اول برگشت داده شده است. با توجه به مباحث مطرح شده ، نوآوری های این مقاله به شرح ذیل است .

 

i.       بررسی تاثیر عوامل برگشت پذیر در مدل سازی های تحلیل پوششی داده ها با ساختار شبکه دو مرحله ای.

ii.       مدل سازی برای محاسبه کارایی کل واجزای آن در یک شبکه دو مرحله ای با عوامل برگشت پذیر و حضور عوامل نامطلوب.

iii.       تجزیه کارایی با حضور عوامل نامطلوب، در شبکه دو مرحله ای با عوامل برگشت پذیر.

iv.       الگوریتمی مناسب برای واحد ناکارا در شبکه دو مرحله ای با عوامل برگشت پذیر و حضور عوامل نامطلوب.

در بخش دوم این مقاله ادبیات مربوط به خروجی های نامطلوب در DEA را بررسی می کنیم .در بخش سوم مدلی برای تجزیه کارایی، یک شبکه سه مرحله ای با خروجی نامطلوب و برگشت پذیر ارائه می دهیم. در بخش چهارم مثال عددی جهت نشان دادن اثر بخشی مدل ارائه می گردد، در بخش پنجم به نتیجه گیری می پردازیم.

 

 

 

 

2-       مرورادبیات

فرض کنیم به تعداد n تا  متجانس، جهت ارزیابی وجود داشته باشد . که برای   j=(1,…,n) ،=(,…,) بردار ورودی ها  با mتا ورودی یعنی i=1,…,m ، =(,…,) بردار خروجی های مطلوب با تا خروجی مطلوب  یعنی=1,…, و =(,…,) بردار خروجی نامطلوب با  تا خروجی نامطلوب یعنی =1,…, ،  موجود باشد . در تحليل پوششي داده ها جهت برآوردکارایی واحدهای تصمیم گیری یا واحدهای تولیدی ، نسبت افزایش خروجی ها به کاهش ورودی ها، مورد بررسی قرار می گیرد ولی در صورت وجود خروجي نا مطلوب ،نمی توان صرفا افزایش خروجی ها را جهت ارزیابی کارایی، معیارقرار داد. در چنین شرایطی باید هدف گذاری جهت کارا بودن واحدهای تصمیم گیری به این سمت پیش برود که مصرف ورودی ها و تولید محصولات نامطلوب هردو کاهش یابند، در عین حال توأمان تولید محصولات مطلوب نهایی، افزایش یابد. رویکرد های متفاوتی برای مدلسازی واحدهای تصمیم گیری در حضور عوامل نامطلوب در نظر گرفته شده است. که یکی از این رویکردهاساخت مجموعه امکان تولید با استفاده از اصل دسترسی پذیری ضعیف می باشد.

2-1: دسترسی پذیری ضعیف

تعریف : فرض کنید که X نشان دهنده ی بردار ورودی ها وY نشان دهنده ی بردار خروجی های واحد تحت ارزیابیباشند و p(x) مجموعه امکان تولید که به صورت

 P(x) =در نظر گرفته شده است. حال ضریب انبساطی  و ضریب انقباضی  را در نظر گرفته و اصل دسترسی پذیری ضعیف برای خروجی ها و ورودی ها را به صورت ذیل تعریف می کنیم.

دسترسی پذیری ضعیف برای مقادیر ورودی ها :

اگر داشته باشیم

 ( x,y)      

دسترسی پذیری ضعیف برای مقادیر خروجی ها :

اگر داشته باشیم

 (x,y)  

2-2: دسترسی پذیری ضعیف در حضور عوامل نامطلوب

دسترسی پذیری ضعیف(رجوع شود [15]) : 

خروجی های مطلوب()وخروجی های نامطلوب ()به وسیله ی ورودی های x  تولید می شود که تکنولوژی تولید آن ها به صورت زیر مطرح گردیده است.

P(x) =

تعریف1 : محصولات یا خروجی های مطلوب و خروجی های نامطلوب شرط دسترسی پذیری ضعیف را دارا می باشند اگر و فقط اگر

 () p(x)و  () p(x)

3-2: مجموعه امکان تولید فاروگراسکوف در حضور تولید محصولات نامطلوب یا خروجی های نامطلوب :

فرض کنیم تعداد n تا DMU مفروض باشد . که برای  ، بردار ورودی ها  با mتا ورودی ،  بردار خروجی های مطلوب با تا خروجی مطلوب، بردار خروجی های نامطلوب با تا خروجی نامطلوب در نظر گرفته شده باشد. فاروگراسکوف روابطی جهت محاسبه کارایی مطرح کردند که از اصول موضوعه ای استفاده می شد که شرط دسترسی پذیری ضعیف درآن اصول، گنجانده شده بود. مجموعه امکان تولید (1) نشان دهنده ی مجموعه امکان تولید، پیشنهادی فار و گراسکوف می باشد.

, ,

 , ,

, i=1,…,m,                             

;                                                                                                                                                (1)                         

آنها مجموعه امکان تولید، مورد نظر خود را با استفاده از ضرایب انقباضی ثابت ارائه دادند که تا جایی که امکان دارد خروجی های نامطلوب را محدود کنند. هم چنین اصول موضوعه ی، تحدب ، دسترسی پذیری قوی برای ورودی ها و خروجی های مطلوب و اصل دسترسی پذیری ضعیف برای تمام خروجی ها را جهت ارائه مدل پیشنهادی خود در نظر گرفتند.

2-4: مجموعه امکان تولیدکاسمانن[11] در حضورتولید خروجی های نامطلوب :

معادلات فار و گراسکوف به خاطر این که در مجمموعه ی امکان تولید، احتمال داشت که خیلی نتواند خاصیت محدب بودن خود را نشان دهد ، بعدها روابط کاسمانن ارائه شد که خاصیت تحدب بودن را به خوبی ارائه می داد. کاسمانن برای ساختpps  از اصول موضوعه ی محدب بودن، دسترسی پذیری قوی برای تمام ورودی ها و خروجی های مطلوب، دسترسی پذیری ضعیف برای تمام خروجی ها بهره گرفت. در تکنولوژی کاسمانن ازضرایب انقباضی غیر یکسان استفاده شد تا بتواند خاصیت تحدب را به خوبی نشان دهد. این مجموعه امکان تولید در(2) ارائه شده است .

, ,

  ,   ,

 , i=1,…,m,                                                       

برای خطی سازی روابط (2)از تغییر متغیر:

                                                                                                                                     (3)

استفاده می شود. لذا مدل (2) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد. 

, ,

  ,   ,

  ,      i=1,…,m,      

                                         (4),  

 

مدل (4) ،مدل خطی شده ی معادلات کاسمانن می باشد که خاصیت محدب بودن را با استفاده از ضرایب انقباضی غیریکسان، در مجموعه امکان تولید، به خوبی توانست نشان بدهد.

3-       یافته­های تحقیق

ارزیابی کارایی شبکه دو مرحله ای در حضور خروجی های نامطلوب و برگشت پذیر

فرض کنید n واحد تحت ارزیابی مفروض باشد که j= 1,…,n  ،   دارای ساختار شبکه دو مرحله ای مشابه با شکل زیر  می باشد .

                                                                                                            

                                                                                                                                                               

                                                                                                                                        l=1,…,h           i=1,…,m

                    

 

                                                                                                  شکل (1):شبکه دو مرحله ای با خروجی های نامطلوب و برگشت پـذیر

در شکل (1)،   ورودی های مرحله ی اول هستند و (,…,  ) =  خروجی های مرحله اول هستند،که به عنوان ورودی در مرحله دوم مصرف می شود .(, ....  ) =   خروجی های مطلوب برای مرحله ی دوم هستند و(....  ) =  خروجی های نامطلوب برای مرحله دوم هستند، که این خروجی ها را دوباره می توان به چرخه ی تولید به عنوان مواد اولیه ، بازگشت داد پس به عنوان ورودی نامطلوب ، به مرحله اول وارد سیستم می شود. برای به دست آوردن کارایی، ابتدا مرحله دوم را به عنوان رهبردر نظر می گیریم. تکنولوژی تولید به همراه شرط دسترسی پذیری ضعیف برای این مرحله با استفاده ازضرایب انقباضی به صورت (5)درنظر گرفته می شود .

=                                                                           

   1,…,s

  ,=1,…,,

  ,                                                                                                                                        (5)

 

 حالا که تکنولوژی تولید مرحله دوم تعیین گردید، کارایی مرحله دوم به صورت مدل (6) که مدلی شعاعی در حضورشرط دسترسی پذیری ضعیف  برای  محاسبه می گردد .

 

s.t.

 ,,

, ,

=1,...,,

                                                                                                                                           (6)

 .

علامت علامت تساوی به خاطر وجود شرط دسترسی پذیری ضعیف در قید سوم مدل نوشته شده است وبیان کننده ی این موضوع هست که خروجی های بد ، لاقل از مقداری که دارد بیشتر نشود. جهت خطی کردن مدل (6) از تغییر متغیر (7) برای خطی سازی استفاده می کنیم .

                                                                                                                                  (7)      

خطی شده مدل(6) را به صورت زیر مینویسیم :

=Min

s.t.

,

=1, … ,,   

  = 1,…, ,

  ,                                                                                                                            (8)

                      

تعریف2 : فرض کنید (جواب بهینه مدل (8) باشدنشان دهنده ی آن است که  در مرحله دو  کارا است . در غیر این صورت   در مرحله ی دوم نا کارا می باشد. برای هر جواب شدنی، مدل (8) ، روابط زیر برقرار است .

                            ,

                                  ,

                                        

حال برای محاسبه کارایی مرحله اول ، این مرحله را به عنوان پیرو (follower) در نظر میگیریم . ابتدا تکنولوژی تولید را به صورت زیر تعریف می کنیم :

 =,

1,…,;

,

 ,                                                (9)                              

پس از تعیین مجموعه ی تولید برای مرحله ی اول ، کارایی با استفاده از مدل (10)  محاسبه می شود.

=Min

s.t.

,      i=1,… m,

, =1,…,,

                              

;                                                                                                                                           (10)

  }

علامت تساوی به خاطر وجود شرط دسترسی پذیری ضعیف در قید دوم مدل نوشته شده است وبیان کننده ی این موضوع هست که خروجی های بد ، لاقل از مقداری که دارد بیشتر نشود و هدف را برمبنای کاهش ورودی ها قرار گرفته شده است. مقدار بهینه ی قید مربوط به متغیرهای میانی که  قید سوم برای مدل(10) می باشد، با استفاده از مدلسازی مرحله ی دوم به دست می آید.

 =

پس از بررسی کارایی مرحله اول و دوم در این قسمت به محاسبه کارایی کلی می پردازیم. مجموعه امکان تولید برای کل شبکه دو مرحله ای را به صورت رابطه(11) تعریف می کنیم.

 T=

,

      1,…,

 

,                                                                                                                  (11)

                                                                                                                               

, =1, … ,,

1,…,,

1,…,,                              

 

پس از در نظر گرفتن مجموعه امکان تولید برای کل شبکه ی دو مرحله ای ، مدل نهایی با استفاده از رابطه ی (12) به صورت زیر در نظر گرفته می شود.

 

 

s.t.

 

      1,…,

                                                                                                                               

                                                                                                                                , =1, … , 

1,…,

   ,            1,…,                                                                                 (12)                                                                                                                                                                   

جهت خطی کردن مدل (12) از تعویض متغیرهای (13) استفاده می کنیم .

                                                                                                                                  (13)

خطی شده مدل(12) را به صورت زیر مینویسیم :

 

 

 

s.t.

 

      1,…,

                                                                                                                                                                     

                                                                 ,  =1, … , 

1,…,

                1,…,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                (14)

,

همان طورکه مطرح گردیدکارایی در مرحله ی اول و دوم را جداگانه به دست آورده شد و در نهایت کارایی جهت کل شبکه مورد بررسی قرار گرفت.برای محاسبه ی کارایی مرحله اول هدف کاهش ورودی ها قرار گرفت و برای مرحله دوم هدف، کاهش خروجی های نامطلوب، مدلسازی شد و مدل نهایی بر مبنای کاهش ورودی ها، کارایی، مورد ارزیابی قرار گرفت، هم چنین علامت تساوی در قید هفتم مدل 15)) بیان گر دسترسی پذیری ضعیف می باشد. تا اینجا برای محاسبه کارایی از مدل های شعایی در حضور شرط دسترسی پذیری ضعیف، مورد استفاده قرار گرفت. درابتدا، محققین DEAجهت ارزیابی کارایی، استفاده از مدلهای شعاعی را مد نظر داشتند. زیرا اساس مدلهای DEAبرمبنای شعاعی بودن، در نظرگرفته می شد. اما استفاده ی تنها از مدلهای شعاعی امکان خطای  نتایج را بیشتر می کند، زیرا ارزیابی کارایی به بسیاری از جنبه های درون سازمانی ارتباط دارد. بنابراین لازم است که برای نتیجه ی مطلوب روشهای گوناگون اعم از شعاعی و غیرشعاعی مورد بررسی قرار گیرد.به صورت کلی مدل های اندازه گیری کارایی به دو گروه شعاعی و غیر شعاعی تقسیم می شوند.در مدل های شعاعی ورودی ها ویا خروجی ها،متناسب با هم تغییر می کنند.مثلا ورودی های x همگی به نسبت کاهش می یابد ولی در مدل های غیر شعاعی ورودی ها ویا خروجی ها به یک نسبت تغییر نمی کنند، از این رو مدل های غیر شعاعی قدرت تشخیص بالاتری نسبت به مدل های شعاعی جهت ارزیابی کارایی دارند. در مدل (12) اگر  آنگاه   روی مرز کارایی قرار گرفته شده است(کارای قوی یا کارای ضعیف می باشد) .اگر   آنگاه، ناکارا می باشد و میزان ناکارایی 1- محاسبه می گردد. چون تمام ورودی ها به یک نسبت ثابت انقباض پیدا می کند، پس تمام ناکارایی را نمی توان محاسبه کرد از این رو باید به سمت مدل هایی برویم که بتوان تمام میزان ناکارایی را با دقت بیشتری به دست آورد. بلکه بتوان راه حل دقیقی جهت افزایش بهره وری به واحدهای تصمیم گیری ارائه داد . بنابراین مدل های غیر شعاعی یا تکنیکال برای محاسبه ی میزان کارایی یا ناکارایی، پیشنهاد شده است. جهت محاسبه کارایی کلی مدل غیر شعاعی (15) پیشنهاد می شود . برای  با کمک مدل راسل اصلاح شده تحت بازه به مقیاس ثابت میتوان مدل زیر را پیشنهاد داد. 

        Min

Min

s.t.

 

      1,…,

                                                                                                                               

                                                                                  (15)

, =1, … ,

1,…,

                1,…,             

,

1,…,,

 

مسئله ی (15) یک مسئله چند هدفه است که یکی از جوابهای پاراتو بهین آن از مجموع وزن دار شده ی توابع هدف به صورت مدل (16) به دست می آوریم. در ضمن تابع هدف مدل(15) را میتوان به صورت یک تابع هدف یکسان به صورت min سازی در نظر گرفت.

  

s.t.

,

        1,…,,

   ,

  ,

  ,                                                   (16)                             

  , =1, … ,

  1,…,

   ,

   1,…,,

  

تعریف4: فرض کنید جواب بهینه مدل (16)در ارزیابی  باشد و  مقدار بهینه آن باشد  را کارای کلی نامیم هر گاه ,    .در غیر این صورت   را ناکارا می نامیم.

توجه کنید که اگر جواب بهینه مدل (16) در ارزیابی  باشد و کارای کلی باشد یعنی=1   در این صورت  در مرحله اول و دوم نیز کارا می باشد و باالعکس یعنی می توان گفت که:

 

 قضیه1: در هر جواب بهین مدل (16) تمام دسته قیود ورودی نافذ هستند یعنی

 

اثبات: فرض کنیدجواب بهینه مدل (16)در ارزیابی   باشد.

برهان خلف: اگر قیود متناظر ورودی برای جواب بهین، نافذ نباشد. بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض کنیم یک قیدی وجود دارد که نافذ نیست. به عنوان مثال ورودی اول را در نظر میگیریم که نافذ نباشد.چون رابطه به صورت اکید کوچکتر می باشد، برای اینکه قید را به صورت تساوی در نظر بگیریم باید یک مقدار به صورت اکید بزرگتر از صفر به طرف اول تساوی اضافه شود. ضمنا مقادیر ورودی ها نیز اکیدا مثبت می باشد که از پیش فرض های مسئله است.در نتیجه میتوان نوشت   یعنی

  

 -   پس

چون   مقدار مثبت اکید می باشد پس می توان آن را به صورت حاصل ضرب دو عدد مثبت اکید  نوشت.    

 -   

 حال اگر=    قرار داده شود پس می توان نوشت

    

واضح است که  .   در نتیجه چون مسئله min سازی است، یک مقدار بهینه تر   برای ورودی ها به دست آوردیم که با فرض بهینه بودن   در تناقض است.

 قضیه2: 

اثبات: ابتدا فرض میکنیم که کارایی مرحله اول و دوم برابر یک است ثابت می کنیم که کارایی کل شبکه برابر یک خواهد شد.

اگر آنگاه میتوان نوشت   در نتیجه =1  .اگرآنگاه می توان نوشت =1   در نتیجه: =1  .اکنون با جاگذاری کارایی مرحله اول و دوم در تابع هدف داریم

   

    

     = 1

حال برگشت رابطه اثبات می شود یعنی کارایی کل شبکه را برابر با یک در نظر می گیریم سپس ثابت می شود کارایی تک تک مراحل برابر یک می شود. فرض کنیم  در نتیجه داریم

  =1

   =1 &   : =1

پس در نتیجه میتوان گفت که کارایی مرحله اول و دوم برابر با یک است .

 نتیجه می دهد که  

=1   نتیجه می دهد =1 .

قضیه 3: مدل(15) و(16) همواره شدنی است .

اثبات: کافی است یک جواب شدنی برای مدل پیدا کنیم که در تمام قیود مسئله صدق کند.مجموعه جواب

 

 (

یک جواب شدنی برای تمام قیود مدل(15)و16)) می باشد پس مدل پیشنهادی همواره یک مدل شدنی است.

تذکر: در مدل های راسل اصلاح شده نکته قابل توجه این است که که تمام ورودی ها و خروجی ها باید مثبت در نظر گرفته شود، در غیر این صورت اگر ورودی i ام مساوی صفر شود آنگاه  حذف می شود. اگر خروجی r ام برابر صفر شود آن گاه خروجی r ام، یک مقدار مثبت خیلی کوچک () در نظر گرفته خواهد شد.

4-       مطالعه کاربردی

1-4:  انتخاب واحدهای تصمیم گیرنده

 مدیریت عوامل نامطلوب در مدلسازی های شبکه ای DEA، میتواند به مدیران جهت تصمیم گیری و شناسایی عوامل ناکارایی سیستم، کمک بسیاری کند.برای نمونه 14 شرکت داروسازی حاضر در بورس مورد بررسی قرار گرفته است که با استفاده از صورتهای مالی شش ماه اول سال 1398، نسبت های مالی که عبارتند از نسبت مالکانه،نسبت آنی،نسبت جاری و وجه نقد که از ورودی های سیستم دو مرحله ای می باشند. نسبت تسهیلات به سرمایه وگردش دارایی از متغییرهای میانی هستند. بازده دارایی، بازده حقوق صاحبان سهام، حاشیه سود خالص، حاشیه سود ناخالص، حاشیه سود عملیاتی و نسبت پوششی بهره خروجی های مطلوب می باشند. نسبت بدهی به عنوان خروجی نامطلوب می باشد که به عنوان ورودی وارد مرحله اول می شود.این نسبت ها در جدول (1) مطرح گردیده است.

 

 

جدول(1) : صورتهای مالی شرکتهای داروسازی

نسبت های مالی          شرکتهای داروساز	نسبت جاری	نسبت آنی	نسبت وجه نقد	نسبت بدهی	نسبت تسهیلات به سرمایه	نسبت پوششی بهره	نسبت گردش دارایی	نسبت بازده دارایی	نسبت بازده حقوق صاحبان سهام	حاشیه سود ناخالص	حاشیه سود عملیاتی	حاشیه سود خالص	نسبت مالکانه
1-داروسازی زهراوی	1.855	1.595	0.023	0.802	0.733	1.564	0.314	0.023	0.119	0.362	0.291	0.074	0.197
2- داروسازی سبحان	2.066	1.804	0.263	0.705	0.574	2.141	0.394	0.048	0.165	0.395	0.234	0.123	0.294
3- داروسازی اکسیر	1.320	1.043	0.184	0.732	0.559	10.377	0.527	0.186	0.697	0.513	0.472	0.354	0.267
4-داروسازی کاسپین	1.147	0.955	0.061	0.751	0.649	4.564	0.404	0.110	0.446	0.455	0.412	0.274	0.248
5-داروسازی تولید دارو	1.397	1.118	0.132	0.743	0.530	5.362	0.391	0.089	0.349	0.432	0.376	0.228	0.256
6-داروسازی شهید قاضی	1.294	1.101	0.193	0.650	0.252	45.650	0.431	0.230	0.659	0.692	0.670	0.534	0.349
7-داروسازی ابوریحان	1.442	1.156	0.036	0.679	0.446	11.231	0.523	0.191	0.599	0.540	0.493	0.366	0.330
8- داروسازی اسوه	1.432	1.121	0.084	0.596	0.353	2.371	0.225	0.076	0.199	0.418	0.228	0.340	0.384
9- داروسازی آوه سینا	1.266	0.915	0.026	0.487	0.104	15.758	0.231	0.051	0.100	0.417	0.290	0.221	0.512
10-داروسازی دانا	1.522	1.243	0.066	0.600	0.327	15.241	0.444	0.192	0.482	0.642	0.615	0.433	0.399
11-دارو سازی زاگرس فارمد	1.771	1.556	0.227	0.387	0.166	6.396	0.402	0.132	0.216	0.543	0.508	0.328	0.612
12-داروسازی کوثر	1.685	1.341	0.188	0.525	0.440	1.130	0.178	0.025	0.053	0.283	0.181	0.143	0.474
13-داروسازی جابرابن حیان	1.845	1.552	0.064	0.474	0.259	3.799	0.265	0.067	0.127	0.395	0.330	0.252	0.525
14- داروسازی فارابی	1.162	1.044	0.078	0.825	0.630	5.456	0.366	0.076	0.440	0.366	0.327	0.209	0.174

 

4-2:   محاسبه کارایی

کارایی 14 شرکت داروسازی با استفاده از مدل (16)مورد ارزیابی قرار گرفته است .که در این مدل از خروجی های نامطلوب برگشت پذیر استفاده شده است. نتایج حاصله به صورت جدول (2) نشان داده شده است .

 

جدول (2): تجزیه کارایی جهت 14 شرکت داروسازی

 

در جدول(2) کارایی 14 شرکت داروسازی در حضور عوامل نامطلوب محاسبه شده است. در این جدول، ستون مربوط به ،نشان دهنده ی کارایی کلی شبکه دو مرحله ای در نظر گرفته شده است.

و  به ترتیب کارایی مرحله اول و دوم است.  ضریب تغییرات برای ورودی  می باشد که چون چهارتا ورودی بر ای شبکه ی دو مرحله ای وجود دارد پس تعدادi ها 4 در نظر گرفته شده است و تعداد ستون برای  ها نیز 4تا می باشد.

 

ضریب تغییرات جهت خروجی  های   در نظر گرفته شده است که خروجی نامطلوب سیستم می باشد و چون یک خروجی نامطلوب برای شرکتهای داروسازی در نظر گرفته شده است در نتیجه یک ستون از جدول (2) در محاسبه ی کارایی را به خود اختصاص داده است.

5-نتیجه گیری

با توجه به مدلسازی صورت گرفته برای شبکه ی دومرحله ای با خروجی های نامطلوب، همان طور که مشاهده می شود شرکت داروسازی زهراوی و شرکت داروسازی تولید دارو دارای نقاط ناکارایی هستند. مدیران شرکت بهتر است تصمیمات خود را بر اصلاح سیستم متمرکز کنند. شرکت داروسازی زهراوی همان طور که مشاهده می شود تقریبا دارای نبست پوششی بهره و حاشیه سود خالص (از خروجی های مطلوب) کمتری نسبت به سایر واحدهای داروسازی می باشد. هم چنین شرکت داروسازی زهراوی تقریبا دارای نسبت بدهی( خروجی های نامطلوب) بیشتری نسبت به سایر واحدهای تولیدی می باشد و از کمترین نسبت بازده دارایی(ازخروجی های مطلوب) برخوردار می باشد. شرکت داروسازی تولید دارو نیز دارای نسبت بدهی بالایی می باشد. همچنین این شرکت با این که در مقایسه با سایر DMU  ها دارای نسبت پوششی خیلی کمی نمی باشد ولی نسبت به داروسازی زهراوی شرایط بهتری دارد. یکی از عوامل ناکارایی داروسازی تولید دارو کاهش حاشیه سود خالص و حاشیه سود ناخالص(به عنوان خروجی های مطلوب) می باشد.قابل توجه است که تمام DMU هایی که عدد کارایی کلی آنها برابر یک شده است، در مراحل اول و دوم نیز کارا می باشند. عکس این موضوع نیز برقرار می باشد یعنی DMUهایی که در مراحل اول و دوم کارا می باشند، عدد کارایی کل شبکه نیز برابر یک شده است. داروسازی سبحان و داروسازی تولید دارو فقط در مرحله دوم کارا می باشند و عدد کارایی برای این دوتا DMU در مرحله اول و کارایی کل برابر یک نشده است. با توجه به مطالب گفته شده مدیران می توانند نقاط ضعف و ناکارایی سیستم را شناسایی کنند و جهت رفع آن تصمیمات لازم را به کار گیرند. در ادامه پیشنهاد می شود که مدلسازی شبکه دو مرحله ای در حضور عوامل نامطلوب و برگشت پذیر با استفاده از داده های فازی مورد بررسی قرار گیرد و در تعریف مجموعه امکان تولید شروط جدیدی گنجانده شود.

 

مراجع

[1] Jahanshahloo G.R., F. Hosseinzadeh Lotfi, N. Shoja, G. Tohidi and S. Razavyan, (2005), “Undesirable inputs and outputs in DEA models", Applied Mathematics and Computation, 169, 917-925.

[2] Amirteimoori A.R., S. Kordrostami and M. Sarparast, (2006), “Modeling undesirable factors in data envelopment analysis”, Applied Mathematics and Computation, 180, 444–452.

[3] Hailu A and T.S. Veeman, (2001), “Non-parametric productivity analysis with undesirable outputs: an application to the Canadian pulp and paper industry”, American Journal of Agricultural Economics, 83, 605-616.

[4] Shephard R.W., (1970), “Theory of cost and production functions”, Princeton: Princeton University Press.

[5] Färe R and S. Grosskopf, (2003), “Nonparametric productivity analysis with undesirable outputs: comment”, American Journal of Agricultural Economics, 85, 1070–1074.

[6] Kuosmanen T, (2005), “Weak disposability in nonparametric production analysis with undesirable outputs”, American Journal of Agricultural Economics, 87, 1077–1082.

[7] Kuosmanen T and V. Podinovski, (2009), “Weak disposability in nonparametric production analysis: Reply to Färe and Grosskopf”, American Journal of Agricultural Economics, 91, 539–545.

[8] Kao C, (2014),” Network data envelopment analysis: A review”, European Journal of Operational Research, 239, 1-16.

[9] Kao C, (2009),” Efficiency decomposition in network data envelopment analysis: A relational model”, European Journal of Operational Research, 2009; 192: 949-962.

[10] Kao C, (2009), “Efficiency measurement for parallel production systems”, European Journal of Operational Research, 196, 1107-1112.

[11] Kao C, (2014), “Efficiency decomposition in network data envelopment analysis with slacks-based measures”, Omega, 45, 1-6.

[12] Haitao L, C. Chen, W. D. Cook, J. Zhang and J. Zhu, (2018), “Two-stage network DEA: Who is the leader?”, Omega, 74, 15-19.

[13] Liang L, W. D. Cook and J. Zhu, (2008), “DEA models for two-stage processes: game approach and efficiency decomposition”, Naval Research Logistics, 55, 643–53.

[14] Maghbouli M, A.R. Amirteimoori and S. Kordrostami, (2014), “Two-stage network structures with undesirable outputs: A DEA based approach”, Measurement, 48, 109-118.

[15] Wu J, Q. Zhu, J. Chu and L. Liang, (2015), “Two-Stage Network Structures with Undesirable Intermediate Outputs Reused: A DEA Based Approach”, Computational Economics, 46, 455-477.

[16] Kalhor A and R. Kazemi Matin, (2018), “Study the effects of abatement factors of weak disposability in network data envelopment analysis with undesirable outputs”, Journal of operational research and its applications, 15, 103-121.

 

 

 

 

 

 

17

 

---