قضایای نقطه انطباق و ثابتِ نگاشت‌های انقباضی به طور ضعیف تعمیم‌یافته بر فضای شبه‌مدولار
محورهای موضوعی : آنالیز
فاطمه لعل دولت آباد
1
(
استادیار، گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئین زهرا، بوئین زهرا، قزوین، ایران
)
کلید واژه: Modular-like space, generalized weakly contraction mappings, Common fixed point,
چکیده مقاله :
اگر چه قضایای نقطه ثابت در فضای مدولار، دارای کاربرد قابل توجهی در بخش وسیعی از مسائل ریاضی هستند، این قضایا به طور قوی وابسته به فرضیاتی هستند که اغلب در مسائل کاربردی، یا عملی نیستند و یا تعمیم واقعی از قضایای نقطه ثابت فضای برداری نرمدار نیستند. در تحقیقات اخیر تمرکز بر قضایای نقطه ثابت بنیادی همراه با حذف این فرضیات شده است. در واقع در بخش وسیعی از این تحقیقات در فضای مدولار، فرض کرانداریِ تابع حذف شده است. فرض محدب بودن مدولار نیز باعث القای نرم می‌شود و منجر به تبدیل شدن فضای مدولار به فضای نرمدار می‌گردد از اینرو حذف این شرط نیز باعث اثبات قضایایی جدید و قوی بر فضای مدولار می‌گردد. اما چنانچه می‌دانیم اکثر قضایای نقطه ثابت بر فضای مدولار محدب اثبات شده‌اند.در این مقاله، تعریف فضای شبه‌مدولار را که در واقع تعمیمی از فضای مدولار است را ارائه می‌دهیم. و قضایای نقطه‌ی ثابت تقاطع نگاشت‌های تعمیم انقباضی ضعیف بر این فضا را اثبات می‌کنیم. قابل ذکر است که قضایای اثبات شده در اینجا، بدون فرض کرانداری تابع و فرض تحدب شبه‌مدولار است. از اینرو نتایج به دست آمده در این مقاله، قضایای نقطه ثابت را در چند وجه تعمیم می‌دهند. همچنین ما دو مثال می‌آوریم و به کمک قضایای اثبات شده در این مقاله وجود نقطه ثابت را نشان دهیم. علاوه بر این، بعنوان کاربرد، وجود جواب برای دستگاه خاصی از معادلات انتگرالی را به کمک نتایج اصلی نشان می‌دهیم.
AbstractAlthough fixed point theorems in modular spaces have remarkably applied to a wide variety of mathematical problems, these theorems strongly depend on some assumptions which often do not hold in practice or can lead to their reformulations as particular problems in normed vector spaces. A recent trend of research has been dedicated to studying the fundamentals of fixed point theorems and relaxing their assumptions with the ambition of pushing the boundaries of fixed point theory in modular spaces further. The convexity is an assumption which lead to converting of modular space to the normed space so relaxing this assumption lead to stronger theorems. But as we know much theorems are proved on convex modular spaces.In this paper, we introduce the modular-like definition which is a generalization of modular space. And common fixed point of generalized weakly contraction mappings are proved. We focus on convexity and boundedness of modular-like in fixed point results taken from the literature for generalized weakly contractive mappings. So our results, generalized fixed point theorems in many acpects. Afterwards we present examples and an application to a particular form of integral inclusions to support our main results.
[1] S. Banach. Surles operations dans ensembles abstraits et leur application aux equations integrales. Fundamenta
Mathematicae. 3: 51–57 (1922).
[2] N. Saleem, M. Abbas, B. Ali and Z. Raza. Fixed points of Suzuki-type generalized multivalued almost contractions with applications. Filomat. 33(2): 499–518 (2019).
[3] X. Li, A. Hussain, M. Adeel, and E. Savas. Fixed point theorems for contraction and applications to nonlinear integral equations. 7: 120023–120029 (2019).
[4] BE. Rhoades. Some theorems on weakly contractive maps. Nonlinear Anal. 47: 2683–2693 (2001).
[5] M. Abbas, D. Doric. Common fixed point theorem for four mappings satisfying generalized weak ontractive condition. Filomat. 24: 1–10 (2010).
[6] O. Popescu. Fixed point for weak contractions. Appl. Math. Lett. 24: 1–4 (2011).
[7] S. Moradi, Z. Fathi, and E. Analouee. The common fixed point of single-valued generalized weakly contractive mappings. Appl. Math. Lett. 24: 771–776 (2011).
[8] A. Aghaiani, M. Abbas and J. R. Roshan. Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b-metric spaces. Math. Slovaca. 4: 941–960 (2014).
[9] M. Abbas, F. Lael and N. Saleem. Fuzzy b-Metric Spaces: Fixed point results for contraction correspondences and their application. Axioms 9:1-12 (2020).
[10] N. Saleem, I. Iqbal, B. Iqbal and S. Radenovic. Coincidence and fixed points of multivalued F-contractions in generalized metric space with application. Journal of fixed point theory and applications. 22:1-24 (2020).
[11] J. Musielak and W. Orlicz. On modular spaces. Studia Mathematica 18: 49-65 (1959).
[12] J. Musielak. Orlicz Spaces and Modular Spaces. vol. 1034, Lecture Notes in Mathematics,
Springer-Verlag, 1983.
[13] H. Nakano. Modular Semi-Ordered Linear Spaces. Maruzen, Tokyo, Japan. 1950.
[14] W. Orlicz. Uber eine gewisse klasse von Raumen vom Typus B. Bull. Acad. Polon. Sci. A. 207-220 (1932).
[15] W. Orlicz. Uber Raumen . Bull. Acad. Polon. Sci. A. 93-107 (1936).
[16] M. A. Khamsi, W. M. Kozlowski and S. Reich. Fixed point theory in modular function spaces. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 14: 935-953 (1990).
[17] M. A. Khamsi. A convexity property in modular function spaces. Math. Japonica. 44: 269-279 (1996).
[18] M. A. Khamsi, W. K. Kozlowski and C. Shutao. Some geometrical properties and fixed point theorems in Orlicz spaces. J. Math. Anal. Appl. 155: 393-412 (1991).
[19] F. Lael, Common fixed point of generalized weakly contractive mappings on orthogonal modular spaces with applications. Int. J. Nonlinear Anal. Appl. 12: 1121-1140 (2021).
[20] F. Lael, K. Nourouzi, On the fixed points of correspondences in modular spaces, International Scholarly Research Notices 2011(6), 1-8 (2011).
[21] F. Lael, K. Nourouzi, Fixed points of mappings defined on probabilistic modular spaces, Bull. Math. Anal. Appl., 4 (3), 23-28 (2012).