بررسی قاب‌های پیوسته با تبدیل به قاب‌های گسسته
محورهای موضوعی : آنالیزریحانه رئیسی طوسی 1 , رجبعلی کامیابی گل 2 , حسین عوض زاده 3 , عاطفه رازقندی 4
1 - گروه رياضي محض، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ايران
2 - گروه رياضي محض، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ايران
3 - گروه رياضي محض، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ايران
4 - گروه رياضي محض، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه حکیم سبزواری، سبزوار، ايران
کلید واژه: Riesz basis, continuous orthonormal basis, Continuous Riesz basis, continuous frame,
چکیده مقاله :
در این مقاله به بررسی پایه‌های ریس پیوسته می‌پردازیم و برخی از روابط که در مورد قاب های گسسته شناخته شده است بین پایه‌های ریس پیوسته و پایه‌های متعامد یکه پیوسته را بیان می‌کنیم. همچنین شرایط لازم برای اینکه یک قاب پیوسته، یک پایه پیوسته یا یک پایه متعامد یکه پیوسته باشد را بیان می کنیم. به ویژه نشان می‌دهیم که هر پایه ریس پیوسته تصویر (ضعیف) یک پایه متعامد یکه پیوسته تحت یک عملگر معکوس پذیر کراندار است. نشان می دهیم که قاب های پیوسته خیلی شبیه قاب های گسسته عمل می کنند. در حقیقت یک تناظر بین قاب‌های پیوسته و گسسته وجود دارد. به عنوان کاربرد، می‌توان چندین مسأله در قاب‌های پیوسته را به کمک قاب‌های گسسته حل کرد. ما برخی از روابط بین قاب های گسسته و پیوسته را ارائه می دهیم. به ویژه دقیق بودن قاب های پیوسته را به کمک پایه ریس پیوسته تعریف و شناسایی می‌کنیم و نشان می‌دهیم که قاب‌های پیوسته دقیق واقعا پایه های ریس پیوسته هستند. در نهایت دوگان های غیرکانونی قاب‌های پیوسته را با انتقال این مسأله به قاب‌های گسسته و استفاده از دوگان قاب های گسسته مشخص می‌کنیم.
.In this paper we characterize continuous Riesz bases and give some of their relations with continuous orthonormal bases that are well known in the discrete frame setting. We also give necessary conditions for a continuous frame to be a continuous Riesz basis or a continuous orthonormal basis. Especially, we show that every continuous Riesz basis is the (weak) image of a continuous orthonormal basis via a bounded invertible operator.We show that continuous frames act very similar to discrete frames, In fact there is a correspondence between continuous and discrete frames. As an application, one can solve several problems in continuous frames with the aid of discrete frames. We give some relations between continuous and discrete frames. In particular, we define and then characterize exact continuous frames via continuous Riesz bases and show that continuous exact frames are exactly continuous Riesz bases. Finally, we characterize alternate dual of continuous frames by transferring the problem to discrete frames and using discrete dual frames
[1] S. T. Ali, J. -P. Antoine, J. -P. Gazeau, Continuous frames in Hilbert spaces. Ann. Physics, 222 (1993).
[2] A. A. Arefijamaal and E. Zekaee, Signal processing by alternate dual Gabor frames, Appl. Comput. Harmon. Anal, 35 (2013).
[3] A. A. Arefijamaal, R. A. Kamyabi Gol, R. Raisi Tousi, N. Tavallayi, A new approach to continuous Riesz bases, J. Sci. I. R. Iran, 24 (2013).
[4] A. A. Arefijamaal, A. Razghandi, Characterization of alternate duals of continuous frames and representation frames, Results Math, (2019).
[5] S. H. Avazzadeh, R. A. Kamyabi-Gol and R. Raisi Tousi, Continuous frames and g-frames, Bull. Iranian Math. Soc, 40 (2014).
[6] O. Christensen, An Introduction to Frames and Riesz bases, Birkh¨auser, Boston, (2003).
[7] O. Christensen and K. J. Torben, An Introduction to the Theory of Bases, Frames, and Wavelets, Citeseer, (1999).
[8] M. A. Dehghan and M. A. Hasankhani Fard, G-continuous frames and coorbit spaces. Acta. Math. Acad. Paedagog Nyh´azi (N.S.), 24 (2008).
[9] J. P. Gabardo and D. Han, Frames associated with measurable spaces, Adv. Comput. Math, 18 (2003)
[10] A. Razghandi, R. Raisi Tousi, Using tensor product dual frames for phase retrieval problems, J.Pseudo_Differ.oper. Appl, 12 (2021).