یافتن کارآمدترین واحد تصمیم گیرنده در تحلیل پوششی داده ها با استفاده از الگوریتم رقابت استعماری

محورهای موضوعی : تحقیق در عملیات

حسن بابایی کشتلی ¹ , محسن رستمی مال خلیفه ^{2 *}

1 - گروه ریاضی، واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
2 - گروه ریاضی، واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران

تاریخ دریافت : 1400/09/15 تاریخ پذیرش : 1401/05/02 تاریخ انتشار : 1402/10/28

کلید واژه: رتبه بندی, تحلیل پوششی داده ها, الگوریتم رقابت استعماری, ناحیه مغلوبی,

چکیده مقاله :

یافتن بهترین و کارآمد ترین واحد تصمیم گیرنده یکی از مهمترین مباحث در تحلیل پوششی داده ها می باشد. دراین مقاله روشی برای برای پیدا کردن کارآمدترین واحد های تصمیم گیرنده کارا با استفاده از تکنیک تحلیل پوششی داده ها و یک الگوریتم تکاملی نوظهور بنام الگوریتم رقابت استعماری، که از پدیده های اجتماعی، سیاسی و فرهنگی انسان سرچشمه می گیرد، پیشنهاد شده است. این الگوریتم از الگوی تاریخی رقابت درمیان کشورهای استعمارگر الهام گرفته درواقع دریچه ای گشوده شده از دنیای ریاضیات و با چشم انداز کاملا انسانی است. در این روش، واحدهای تصمیم گیرنده کارا به عنوان استعمارگر و واحدهای مجازی که در ناحیه مغلوبی آنها قرار دارد را به عنوان مستعمره در نظر گرفته می شود و با استفاده از رقابتی که بین استعمارگرها برای جذب مستعمره های یکدیگر، انجام می شود بهترین واحد مشخص می شود. از جمله حسن این روش این است که بدون حل مدل و تنها با مقایسات زوجی، واحد کارآمد مشخص می‌شود.

چکیده انگلیسی:

یافتن بهترین و کارآمد ترین واحد تصمیم گیرنده یکی از مهمترین مباحث در تحلیل پوششی داده ها می باشد. دراین مقاله روشی برای برای پیدا کردن کارآمدترین واحد های تصمیم گیرنده کارا با استفاده از تکنیک تحلیل پوششی داده ها و یک الگوریتم تکاملی نوظهور بنام الگوریتم رقابت استعماری، که از پدیده های اجتماعی، سیاسی و فرهنگی انسان سرچشمه می گیرد، پیشنهاد شده است. این الگوریتم از الگوی تاریخی رقابت درمیان کشورهای استعمارگر الهام گرفته درواقع دریچه ای گشوده شده از دنیای ریاضیات و با چشم انداز کاملا انسانی است. در این روش، واحدهای تصمیم گیرنده کارا به عنوان استعمارگر و واحدهای مجازی که در ناحیه مغلوبی آنها قرار دارد را به عنوان مستعمره در نظر گرفته می شود و با استفاده از رقابتی که بین استعمارگرها برای جذب مستعمره های یکدیگر، انجام می شود بهترین واحد مشخص می شود. از جمله حسن این روش این است که بدون حل مدل و تنها با مقایسات زوجی، واحد کارآمد مشخص می‌شود.

منابع و مأخذ:

[1] Charnes, A., Cooper, W. W., Rhodes, E., (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European journal of operational research, 2(6), 429-444.
[2] Farrell, M. J., (1957). The measurement of productive efficiency. Journal of the Royal Statistical Society: Series A (General), 120(3), 253-281.
[3] Banker, R. D., Charnes, A., Cooper, W. W., (1984). Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis. Management science, 30(9), 1078-1092.
[4] Andersen, P. and Petersen, N.C., 1993. A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis. Management science, 39(10), pp.1261-1264
[5] Sexton, T.R., Silkman, R.H. and Hogan, A.J., 1986. Data envelopment analysis: Critique and extensions. New Directions for Evaluation, 1986(32), pp.73-105.
[6] Liang, L., Wu, J., Cook, W.D. and Zhu, J., 2008. Alternative secondary goals in DEA cross-efficiency evaluation. International Journal of Production Economics, 113(2), pp.1025-1030.
[7] Emrouznejad, A., Mustafa, A. and Al-Eraqi, A.S., 2010. Aggregating preference ranking with fuzzy data envelopment analysis. Knowledge-Based Systems, 23(6), pp.512-519.
[8] Jahanshahloo, G.R., Sadeghi, J. and Khodabakhshi, M., 2017. Fair ranking of the decision making units using optimistic and pessimistic weights in data envelopment analysis. RAIRO-Operations Research, 51(1), pp.253-260.
[9] Dehnokhalaji, A., Hallaji, B., Soltani, N. and Sadeghi, J., 2017. Convex cone-based ranking of decision-making units in DEA. OR Spectrum: Quantitative Approaches in Management, 39(3), pp.861-880.
[10] Ertay , T ., Ruan , D ., Tuzkaya, U. R (2006). Integrating data envelopment analysis and analytic hierarchy for the facility layout design in manufacturing systems. Information Sciences,176,7-262.
[11] Amin, G. R ., Toloo, M ., (2007). Finding the most efficient DMUs in DEA: an improved integrated model. Computers and Industrial Engineering, 52, 71-77.
[12] Amin, G. R ., (2009). Comments on finding the most efficient DMUs in DEA: An improved integrated model Computers and Industrial Engineering,56, 1701-1702
[13] Toloo , M ., Nalchigar, S ., (2009). A new integrated DEA model for finding most BCC-efficient DMU . Applied Math ematical Model ling, 33, 597-604.
[14] Atashpaz-Gargari, E. and Lucas, C., 2007, September. Imperialist competitive algorithm: an algorithm for optimization inspired by imperialistic competition. In Evolutionary computation, 2007. CEC 2007. IEEE Congress on (pp. 4661-4667).
[15] Deprins, D., Simar, L. and Tulkens, H., 1984. Measuring labor-efficiency in post offices. Public goods, environmental externalities and fiscal competition, pp.285-309.
[16] Tulkens, H., 1993. On FDH efficiency analysis: some methodological issues and applications to retail banking, courts, and urban transit. In Productivity Issues in Services at the Micro Level (pp. 179-206).
[17] Jahanshahloo, G.R., Lotfi, F.H., Rezai, H.Z. and Balf, F.R., 2005. Using Monte Carlo method for ranking efficient DMUs. Applied Mathematics and Computation, 162(1), pp.371-379.
[18] Mehrabian, S., Alirezaee, M.R. and Jahanshahloo, G.R., 1999. A complete efficiency ranking of decision making units in data envelopment analysis. Computational optimization and applications, 14(2), pp.26126

متن کامل:



یافتن کارآمدترین  واحد تصمیم گیرنده در تحلیل پوششی داده ها با استفاده از الگوریتم رقابت استعماری

حسن بابائی کشتلی ¹، محسن رستمی مال خلیفه* 2

1- دانشجوی دکتری ، دانشگاه آزاد اسلامی واحد علوم و تحقیقات، گروه ریاضی، تهران، ایران

                                   2- دانشیار ، دانشگاه آزاد اسلامی واحد علوم و تحقیقات، گروه ریاضی، تهران، ایران

 

چکیده یافتن بهترین و کارآمد ترین واحد تصمیم گیرنده یکی از مهمترین مباحث در تحلیل پوششی داده ها می باشد. دراین مقاله روشی برای برای پیدا کردن کارآمدترین واحد های تصمیم گیرنده کارا با استفاده از تکنیک تحلیل پوششی داده ها و یک الگوریتم تکاملی نوظهور بنام الگوریتم رقابت استعماری، که از پدیده های اجتماعی، سیاسی و فرهنگی انسان سرچشمه می گیرد، پیشنهاد شده است. این الگوریتم از الگوی تاریخی رقابت درمیان کشورهای استعمارگر الهام گرفته درواقع دریچه ای گشوده شده از دنیای ریاضیات و با چشم انداز کاملا انسانی است. در این روش، واحدهای تصمیم گیرنده کارا به عنوان استعمارگر و واحدهای مجازی که در ناحیه مغلوبی آنها قرار دارد را به عنوان مستعمره در نظر گرفته می شود و با استفاده از رقابتی که بین استعمارگرها برای جذب مستعمره های یکدیگر، انجام می شود بهترین واحد مشخص می شود. از جمله حسن این روش این است که بدون حل مدل و تنها با مقایسات زوجی، واحد کارآمد مشخص می‌شود.     کلمات کلیدی: رتبه بندی، تحلیل پوششی داده ها، الگوریتم رقابت استعماری، ناحیه مغلوبی.

 

1.       مقدمه

 

 تحلیل پوششی داده ها یک تکنیک برنامه ریزی خطی است که اولین بار توسط چارنز و همکاران [1] بر اساس تعمیم ایده فارل [2] در حالت بازده به مقیاس ثابت، برای ارزیابی عملکرد واحد های تصمیم گیرنده متجانس با چند ورودی و خروجی معرفی گردید. سپس بنکر و همکاران [3] مدل مذکور را در حالت بازده به مقیاس متغیر نیز توسعه دادند. به همین ترتیب از زمان ارائه مدل های کلاسیک تحلیل پوششی داده ها، با توجه به ویژگی های مورد مطالعاتی، نوع داده ها و نوع کاربرد، تا کنون مدل های متعددی از تحلیل پوششی داده ها ارائه شده است.

از جمله مدل های کلاسیک تحلیل پوششی داده ها می توان مدل های CCR و BCC را نام برد که مقدار کارایی واحد های ناکارا کمتر از یک و مقدار کارایی واحدهای کارا برابر با یک را بدست می آورند. همان طور که مي دانيم، معمولاً تعداد زيادي از واحدهاي تصميم گيري کارا محسوب مي شوند. با وجود اين، ادعاي اينکه همه واحدهاي کارا در عمل عملکرد يکسان دارند ادعاي درستي نيست و بعضي مواقع ضروري است روش هايي جهت تمايز بين واحدهاي کارا پيشنهاد داده شوند. به ويژه ممکن است تصميم گيرنده بخواهد يک وتنها يک واحد تصميم گيري را در ميان همه واحدهاي تصميم گيري به عنوان کاراترين آنها معرفي کند. برای رفع این مشکل و افزایش قدرت تفکیک بین واحدهای تصمیم گیرنده، تلاش های زیادی برای رتبه بندی آنها صورت گرفت. به عنوان مثال می توان به معرفی روش های رتبه بندی AP که توسط اندرسون و پیترسون [4] و روش کارایی متقاطع که توسط سکستون [5] ارائه شده است، اشاره کرد. خواننده برای اشنایی با روش های بیشتر رتبه بندی میتواند به [6,7,8,9] رجوع نماید.

همچنین  تعدادي مقاله در اين زمينه وجود دارند که روش هايي را براي پيداکردن کاراترين واحد تصميم گيري ارايه کرده اند، برای مثال، ارتای و همکاران [10]، امین و طلوع[11]، امین[12] و طلوع و نعلچگر[13] را می توان نام برد که هرکدام مبحث کاراترین واحد تصمیم گیرنده را مورد مطالعه قرار داده اند. روش های فوق هرچند روش های خوب برای محاسبه ارزیابی عملکرد واحدهای کارا می باشند ولی با مثال هایی اثبات می شوند که روش های فوق در بدست آوردن کاراترین واحد تصمیم گیرنده ضعف هایی دارند و ممکن است بعضی ها نشدنی و بعضی بیش از یک واحد تصمیم گیری کارا را به عنوان کاراترین معرفی نماید در صورتی که هدف ارائه یک واحد تصمیم گیری به عنوان کاراترین می باشد.

در این راستا الگوريتم هاي بهينه‌سازي و فراابتکاری وجود دارند که الهام گرفته از طبيعت و مسائل سیاسی و اجتماعی به عنوان روشهاي هوشمند بهينه‌سازي در کنار روش‌هاي کلاسيک، موفقيت قابل ملاحظه‌اي جهت معرفی کاراترین واحد تصمیم گیری از خود نشان داده‌اند از جمله از این الگوریتم می توان به الگوریتم رقابت استعماری ارایه شده توسط آتش پز گرگری [14]  نام برد که از پدیده های اجتماعی ،سیاسی و فرهنگی انسان سرچشمه می گیرد این الگوریتم نسبت به سایر الگوریتم های بهینه سازی برتری خود را نشان داده و به حل بسیاری از مسئله ها در زمینه های مختلف پرداخته اند. 

در این مقاله، واحدهای کارا را به عنوان استعمارگر در نظر میگیریم. منظور از واحد کارا، واحدی می باشد که توسط هیچ واحد مشاهده شده دیگر مغلوب نگردد یعنی هیچ واحد مشاهده شده دارای ورودی کمتر و خروجی بیشتر وجود نداشته باشد. برای تعیین مستعمره های هر استعمارگر ناحیه ی مغلوبی برای واحدها تعریف می گردد که هر واحد مجازی در این ناحیه مغلوبی بعنوان مستعمره آن واحد در نظر گرفته می شود. که این نقاط به صورت رندم با استفاده از توریع یکنواخت بدست می آیند. با استفاده از رقابتی مشابه الگوریتم رقابت استعماری ، رقابتی بین استعمارگرها انجام می گردد و اون استعمارگری که در نهایت بتواند مستعمره همه واحدها را در حیطه تسلط خود در آورد در رتبه نخست قرار می گیرد. برای محاسبه قدرت مستعمره ها و استعمارگرها از روش FDH با اصل بازده به مقیاس متغیر که دارای تکنولوژی غیر محدب است، استفاده می گردد که ما را از حل هرگونه مدلی بی نیار می کند و همچنین باعث می شود قدرت مستعمره های مربوط به هر استعمارگر، با خود استعمارگر مقایسه گردد.

این مقاله به صورت زیر سازماندهی شده است. در بخش 2 به مرور  الگوریتم رقابت استعماری و پیش نیازهای مورد نیاز برای مدل های DEA² پرداخته شده است. در بخش 3 ، الگوریتمی برای یافتن کاراترین واحد تصمیم گیرنده ارایه می گردد. در بخش 4 الگوریتم پیشنهادی بر روی مثالی عددی و مثالی کاربردی پیاده سازی می گردد و در بخش آخر نتیجه گیری آورده شده است.

2.       مروری بر الگوریتم رقابت استعماری و مدل FDH در DEA

 

در این بخش ، ابتدا الگوریتم رقابتی امپریالیستی ارائه شده توسط آتشپز-گرگری و لوكاس كه ناشی از پدیده های اجتماعی ، سیاسی و فرهنگی است را ارائه می دهیم. این الگوریتم برتری خود را نسبت به الگوریتم های بهینه سازی دیگر نشان داده است و در بسیاری از زمینه ها به بسیاری از مسائل پرداخته است. سپس برخی از نشانه های DEA را مرور می کنیم و تکنولوژی و مدل FDH را معرفی می کنیم. 

 

2-1 الگوریتم رقابت استعماری        

 

اين الگوريتم، از چندين کشور در حالت اوليه شروع مي‌شود. کشورها در حقيقت جوابهاي ممکن مساله هستند همه‌ي کشورها، به دو دسته تقسيم مي‌شوند: استعمارگر و مستعمره. کشورهاي استعمارگر با اعمال سياست جذب (همگون‌سازي) در راستاي محورهاي مختلف بهينه‌سازي، کشورهاي مستعمره را به سمت خود مي کشد. رقابت استعماری در کنار سياست همگون‌سازي، هسته‌ي اصلي اين الگوريتم را تشکيل مي‌دهد و باعث مي‌شود که کشورها به سمت مينيمم مطلق تابع حرکت کنند. از ديد بهينه‌سازي، استعمار بعضي از کشورها را که در يک دره معمولي تمدن قرار داشتند، خارج کرده و آنها را به يک حوزه مينيمم ديگر برد که در بعضي موارد وضعيت اين حوزه مينيمم بهتر از موقعيت قبلي کشور مستعمره بود. اما به هر حال اين حرکت مستلزم پيشروي مستعمره در راستاي محورهاي مختلف اقتصادي و فرهنگي به سمت يک امپرياليست قويتر بود، يعني از ميان رفتن بعضي از ساختارهاي فرهنگي و اجتماعي. شکل 1 اين وضعيت را به خوبي نشان مي‌دهد. در اين شکل، مستعمره در نتيجه سياست همگون‌سازي از يک ناحيه مينيمم خارج شده و وارد يک ناحيه مينيمم ديگر مي‌شود که در آن وضعيت بهتري را دارا مي‌باشد. به هر حال هزينه‌اي که بابت اين حرکت پرداخت شده است، نزديکي به کشور استعمار‌گر در راستاي محورهاي مختلف اقتصادي، سياسي و اجتماعي است. ادامه اين حرکت مي‌تواند به جذب کامل کشور مستعمره در کشور استعمارگر بيانجامد.

 

 

 

شكل ‏1: اعمال سياست جذب از طرف استعمارگران بر مستعمرات

 

 

در این جا سعي بر آن است تا با دسته‌بندي رفتارها و با کشف نظم دروني آنها و در نهايت مدل‌سازي رياضي واکنشهاي متقابل مستعمرات و استعمارگران، اين پيديده‌ي پيچيده‌ي اجتماعي را در قالب يک الگوريتم بهينه‌سازي رياضي بريزيم.

 

قدرت کل هر امپراطوري، به هر دو بخش تشکيل دهنده آن يعني کشور استعمارگر (به عنوان هسته مرکزي) و مستعمرات آن، بستگي دارد. در حالت رياضي، اين وابستگي با تعريف قدرت امپراطوري به صورت مجموع قدرت کشور استعمارگر، به اضافه در صدي از ميانگين قدرت مستعمرات آن، مدل شده است.

با شکل‌گيري امپراطوري‌هاي اوليه، رقابت امپرياليستي ميان آن‌ها شروع مي‌شود. هر امپراطوري‌اي که نتواند در رقابت استعماري، موفق عمل کرده و بر قدرت خود بيفزايد (و يا حداقل از کاهش نفوذش جلوگيري کند)، از صحنه رقابت استعماري، حذف خواهد شد. بنابراين بقاي يک امپراطوري، وابسته به قدرت آن در جذب مستعمرات امپراطوري‌هاي رقيب، و به سيطره در آوردن آنها خواهد بود. در نتيجه، در جريان رقابت‌هاي استعماری، به تدريج بر قدرت امپراطوري‌هاي بزرگتر افزوده شده و امپراطوري‌هاي ضعيف‌تر، حذف خواهند شد. امپراطوري‌ها براي افزايش قدرت خود، مجبور خواهند شد تا مستعمرات خود را نيز پيشرفت دهند.

 

با گذشت زمان، مستعمرات، از لحاظ قدرت به امپراطوري‌ها نزديک‌تر خواهند شد و شاهد يک نوع همگرايي خواهيم بود. حد نهايي رقابت استعماري، زماني است که يک امپراطوري واحد در دنيا داشته باشيم، با مستمراتي که از لحاظ موقعيت، به خود کشور امپرياليست، خيلي نزديک هستند.

 

2-1-1        شکل دهي امپراطوري‌هاي اوليه در الگوریتم رقابت استعماری

 

در بهينه‌سازي، هدف يافتن يک جواب بهينه بر حسب متغير‌هاي مسئله، است. ما يک آرايه از متغير‌هاي مسئله را که بايد بهينه‌ شوند، ايجاد مي‌کنيم.در اينجا آن را يک کشور مي‌ناميم. در يک مسئله‌ي بهينه‌سازي  بعدي، يک کشور، يک آرايه‌ي   است. اين آرايه به صورت زير تعريف مي‌شود.

 

 

مقادير متغيره‌ها در يک کشور، به صورت اعداد اعشاري نمايش داده مي‌شوند. از ديدگاه تاريخي‌ـ‌فرهنگي، اجزاي تشکيل دهنده يک کشور را مي‌توان ويژگي هاي اجتماعي– سياسي آن کشور، همچون فرهنگ، زبان، ساختار اقتصادي و ساير ويژگي‌ها در نظر گرفت.

به عنوان يک مثال فرض کنيم که مي‌خواهيم يک کنترل کننده PID³ براي يک سيستم کنترلي طراحي کنيم که مثلاً داراي کمترين ميزان مجموع فراجهش و انتگرال قدر مطلق خطا باشد. در يک حالت نوعي، جوابهاي ممکنه مي‌توانند به صورت جوابهايي که به يک خروجي پايدار منجر مي‌شوند، تعريف شوند. براي اين مسئله دسته‌اي از جوابهاي ممکنه به صورت اوليه ايجاد مي‌کنيم. در اين مساله کشور i ام به صورت زير تعريف مي‌شود.

 

 

براي شروع الگوريتم بايد تعدادي از اين کشورها (به تعداد کشورهاي اوليه الگوريتم) ايجاد شوند. بنابراين ماتريس کل کشورها به صورت تصادفي اوليه تشکيل مي‌شود.

 

 

هزينه‌ي يک کشور با ارزيابي تابع   در متغير‌هاي   يافته مي‌شود. بنابراين

 

در مسئله طراحي کنترل کننده، با هدف در نظر گرفته شده، اين تابع به صورت زير خواهد بود.

F = w1×MaxOvershoot + w2× IAE                                                                                (5)

که در آن MaxOvershoot ماکزيمم فراجهش و IAE انتگرال قدر مطلق خطا است. w1 و w2 نيز وزنهايي هستند که ميزان اهميت هر يک از هدف‌ها را نشان مي‌دهند. بنابراين کاري که براي بدست آوردن هزينه يک کشور (دسته پارامتهاي کنترل کننده PID) بايد انجام شود، اين است که هر دسته از اين ضرايب به عنوان کنترل کننده در نظر گرفته شده و پاسخ پله سيستم براي اين کنترلر بدست مي‌آيد. در نهايت با محاسبه ماکزيمم فراجهش و انتگرال قدر مطلق خطا، مجموع آنها را به عنوان هزينه اين کشور (ضرايب کنترل کننده) محاسبه مي‌شود. ما به دنبال بهترين کشور (بهترين دسته ضرايب کنترل کننده) مي‌گرديم. الگوريتم معرفي شده در اين نوشتار، با توليد يک دسته اوليه از اين ضرايب و دسته بندي آنها در قالب امپراطوري‌ها و اعمال سياست جذب از طرف استعمارگران به روي مستعمرات و همچنين با ايجاد رقابت استعماري ميان امپراطوريها به جستجوي بهترين کشور مي‌پردازد.

براي شروع الگوريتم، تعداد   کشور اوليه را ايجاد مي‌کنيم.   تا از بهترين اعضاي اين جمعيت (کشورهاي داراي کمترين مقدار تابع هزينه) را به عنوان استعمارگر انتخاب مي‌کنيم. باقيمانده   تا از کشورها، مستعمراتي را تشکيل مي‌دهند که هرکدام به يک امپراطوري تعلق دارند. براي تقسيم مستعمرات اوليه بين استعمارگرها،به هر استعمارگر، تعدادي از مستعمرات را که اين تعداد، متناسب با قدرت آن است، مي‌دهيم. سياست جذب و رقابت استعماري، هسته اصلي اين الگوريتم را تشکيل مي‌دهند مطابق سياست جذب کشور استعمارگر کشور مستعمره را در راستاي محورهاي فرهنگ و زبان و شرایط اجتماعی و اقتصادی به سمت خود جذب مي‌کند. همانگونه که در شکل 2-6 نشان داده شده است، کشور مستعمره (Colony)، به اندازه  واحد در جهت خط واصل مستعمره به استعمارگر (Imperialist)، حرکت کرده و به موقعيت جديد (New Position of Colony)، کشانده مي‌شود. در اين شکل، فاصله ميان استعمارگر و مستعمره با   نشان داده شده است. نيز عددي تصادفي با توزيع يکنواخت (و يا هر توزيع مناسب ديگر) مي‌باشد. يعني براي   داريم. 

        

که در آن   عددي بزرگتر از يک و نزديک به 2 مي‌باشد. يک انتخاب مناسب مي‌تواند   باشد. وجود ضريب باعث مي‌شود تا کشور مستعمره در حين حرکت به سمت کشور استعمارگر، از جهت‌هاي مختلف به آن نزديک شود.

با بررسي تاريخي پديده همگون‌سازي، يک حقيقت آشکار در اين زمينه اين است که علي رغم اينکه کشوهاي استعمارگر بطور جدي پيگير سياست جذب بودند، اما وقايع بطور کامل مطابق سياست اعمال شده آنها پيش نمي‌رفت و انحرافاتي در نتيجه کار وجود داشت. در الگوريتم معرفي شده، اين انحراف احتمالي با افزودن يک زاويه تصادفي به مسير جذب مستعمرات، انجام مي‌گيرد. بدين منظور، در حرکت مستعمرات به سمت استعمارگر، کمي زاويه تصادفي نيز به جهت حرکت مستعمره، اضافه مي‌کنيم. بدين منظور اين‌بار به جاي حرکت به اندازه  ، به سمت کشور استعمارگر و در جهت بردار واصل مستعمره به استعمارگر، به همان ميزان، ولي با انحراف   در مسير، به حرکت خود ادامه مي‌دهيم.  را به صورت تصادفي و با توزيع يکنواخت در نظر مي‌گيريم (اما هر توزيع دلخواه و مناسب ديگر نيز مي‌تواند استفاده شود). پس   

در اين رابطه، پارامتري دلخواه مي‌باشد که افزايش آن باعث افزايش جستجوي اطراف استعمارگر شده و کاهش آن نيز باعث مي‌شود تا مستعمرات تا حد ممکن، به بردار واصل مستعمره به استعمارگر، نزديک حرکت کنند. با در نظر گرفتن واحد راديان براي  ، عددي نزديک به /4π ، در اکثر پياده‌سازي ها، انتخاب مناسبي بوده است.

 

 

شكل ‏2: حرکت واقعي مستعمرات به سمت استعمارگر

 

اگر در حين حرکت، يک مستعمره، نسبت به استمارگر، به موقعيت بهتري برسد، جاي آن دو با هم عوض مي‌شوند. در ضمن، قدرت کل يک امپراطوري به صورت مجموع قدرت کشور استعمارگر به اضافه درصدي از قدرت ميانگين مستعمرات آن تعريف مي‌شود.بدين ترتيب براي هزينه کل يک امپراطوري داريم.

 

که در آن هزينه کل امپراطوري nام و عددي مثبت است که معمولاً بين صفر و يک و نزديک به صفر در نظر گرفته مي‌شود. کوچک در نظر گرفتن  ، باعث مي‌شود که هزينه کل يک امپراطوري، تقريباً برابر با هزينه حکومت مرکزي آن می شود و افزايش نيز باعث افزايش تاثير ميزان هزينه مستعمرات يک امپراطوري در تعيين هزينه کل آن مي‌شود.

رقابت استعماري، بخش مهم ديگري از اين الگوريتم را تشکيل مي‌دهد. در طي رقابت استعماري، امپراطوري‌هاي ضعيف، به تدريج قدرت خود را از دست داده و به مرور زمان با تضعيف شدن از بين مي‌روند. رقابت استعماري باعث مي‌شود که به مرور زمان، به حالتي برسيم که در آن تنها يک امپراطوري در دنيا وجود دارد که آن را اداره مي‌کند. اين حالت زماني است که الگوريتم رقابت استعماري با رسيدن به نقطه بهينه تابع هدف، متوقف مي‌شود. شکل 3 شماي کلي رقابت استعماري را نشان مي‌دهد.

 

 

 

شكل ‏3: شماي کلي رقابت استعماري: امپراطوري‌هاي بزرگ‌تر، با احتمال بيشتري، مستعمرات امپراطوري‌هاي ديگر را تصاحب مي‌کنند.

در اين شکل امپراطوري شماره 1 به عنوان ضعيف‌ترين امپراطوري در نظر گرفته شده و يکي از مستعمرات آن در معرض رقابت استعماری قرار گرفته است و امپراطوريهاي 2 تا N براي تصاحب آن با هم رقابت مي‌کنند. براي مدل‌سازي رقابت ميان امپراطوري‌ها براي تصاحب اين مستعمرات، ابتدا احتمال تصاحب هر امپراطوري (که متناسب با قدرت آن امپراطوري مي‌باشد)، را با در نظر گرفتن هزينه کل امپراطوري، به ترتيب زير محاسبه مي‌کنيم. ابتدا از روي هزينه کل امپراطوري، هزينه کل نرماليزه شده آن را تعيين مي‌کنيم.

 

در رابطه، هزينه کل امپراطوري nام و   نيز، هزينه کل نرماليزه شده آن امپراطوري مي‌باشد. هر امپراطوري‌ که کمتري داشته باشد   بيشتري خواهد داشت. در حقيقت معادل هزينه کل يک امپراطوري و معادل قدرت کل آن مي‌باشد. امپراطوري با کمترين هزينه، داراي بيشترين قدرت است. با داشتن هزينه کل نرماليزه شده، احتمال (قدرت) تصاحب مستعمره رقابت، توسط هر امپراطوري، به صورت زير محاسبه مي‌شود.

 

با داشتن احتمال تصاحب هر امپراطوري، مکانيزمي مورد نياز است تا مستعمره مورد رقابت را با احتمال متناسب با قدرت امپراطوريها در اختيار يکي از آنها قرار دهد. در این جا مکانيزم جديدي براي پياده‌سازي اين فرايند معرفي شده است که داراي هزينه محاسباتي بسيار کمتري نسبت به سایر مکانیزم ها(مانند چرخه رولت در الگوریتم ژنتیک) مي‌باشد. زيرا عمليات نسبتاً زياد مربوط به محاسبه تابع توزيع جمعي احتمال را حذف مي‌کند و فقط به داشتن تابع چگالي احتمال  نياز دارد. سازوکار پیشنهادی پیشنهاد شده توسط آتشپز-گرگری و لوكاس در ادامه شرح داده خواهد شد تا در مستعمره مورد مناقشه بر اساس احتمال به امپراطوری های رقیب داده شود.در ادامه مکانيزم مطرح شده براي اختصاص متناسب با احتمال مستعمره مورد رقابت به امپراطوري هاي رقيب توضيح داده مي‌شود.

با داشتن احتمال تصاحب هر امپراطوري، براي اينکه مستعمرات مذکور را به صورت تصادفي، ولي با احتمال وابسته به احتمال تصاحب هر امپراطوري، بين امپراطوري‌ها تقسيم کنيم؛ برداررا از روي مقادير احتمال فوق، به صورت زير تشکيل ميدهيم.

 

بردار 1*Nimp  داراي سايز مي‌باشد و از مقادير احتمال تصاحب امپراطوري‌ها تشکيل شده است. سپس بردار تصادفي ، همسايز با بردار  را تشکيل مي‌دهيم. آرايه‌هاي اين بردار، اعدادي تصادفي با توزيع يکنواخت در بازه [0,1] مي‌باشند.

 

 

سپس بردار را به صورت زير تشکيل مي‌دهيم.

 

با داشتن بردار ، مستعمرات مذکور را به امپراطوري‌اي مي‌دهيم که انديس مربوط به آن در بردار بزرگتر از بقيه مي‌باشد. امپراطوري‌اي که بيشترين احتمال تصاحب را داشته باشد، با احتمال بيشتري انديس مربوط به آن در بردار ، بيشترين مقدار را خواهد داشت. با تصاحب مستعمره توسط يکي از امپراطوري ها، عمليات اين مرحله از الگوريتم نيز به پايان مي‌رسد.

2-2-2 همگرایی الگوریتم

الگوريتم مورد نظر تا برآورده شدن يک شرط همگرايي، و يا تا اتمام تعداد کل تکرارها، ادامه مي‌يابد. پس از مدتي، همه امپراطوري‌ها، سقوط کرده و تنها يک امپراطوري خواهيم داشت و بقيه کشورها تحت کنترل اين امپراطوري واحد، قرار مي‌گيرند. در اين دنياي ايده‌آل جديد، همه‌ي مستعمرات، توسط يک امپراطوري واحد اداره مي‌شوند و موقعيت‌ها و هزينه‌هاي مستعمرات، برابر با موقعيت و هزينه کشور استعمارگر است. در اين دنياي جديد، تفاوتي، نه تنها، ميان مستعمرات، بلکه ميان مستعمرات و کشور استعمارگر، وجود ندارد. به عبارت ديگر، همه‌ي کشورها، در عين حال، هم مستعمره و هم استعمارگرند. در چنين موقعيتي رقابت استعماری به پايان رسيده و به عنوان يکي از شروط توقف الگوريتم متوقف مي‌شود.

2-2 مدل FDH :

 

مدل FDH اولین بار در سال 1984 توسط دپرینس و همکاران [15] ارائه شد که اساس کار بر مبنای عدم اصل تحدب در ساختن PPS می باشد؛ در نتیجه با قبولی اصولی شامل مشاهدات، امکان پذیری و کمینه درونیابی PPS ، مدل FDH  با بازده به مقیاس متغیررا می توان فرمول بندی کرد [16].

از امتیازات این روش این است که می توان نشان داد که مدل FDH برای محاسبه کارایی واحدها نیاز به حل مدل ندارد و با محاسبات ساده ریاضی نقاط کارا و ناکارا مشخص می گردد. باقبول اصول شمول مشاهدات،امکان پذیری و کمینه درون یابی ،مجموعه امکان تولیدی به صورت زیر ساخته می شود.

که می توان ان را به صورت زیر نوشت:

 

با ملحوظ داشتن مجموعه امکان تولید فوق برای   واحد تصمیم گیرنده با ورودی های و خروجی های، مقدار کارایی تکنیکی واحد تصمصم گیرنده  از مدل زیر بدست می آید.

 

مساله فوق یک مساله برنامه ریزی باینری می باشد که به صورت زیر می توان بدون حل مدل مقدار بهینه را بدست آورد . به طور معادل میتوان مساله زیر را برای هر واحد به طور جداگانه حل نمود و بعد مینیمم مقادیر بدست امده مقدار بهینه می باشد.

 

مدل برای بعضی واحدها ممکن است نشدنی باشد.

اگر برای هر ،  باشد برای اینکه مساله  ام شدنی باشد باید داشته باشیم: 

 

حال فرض کنید  باشد در اینصورت:  

بنابراین: 

مقداری که از رابطه فوق بدست می اید همواره عددی بین 0 و 1 می باشد که اگر این مقدار 1 باشد ان واحد کارا و اگر کمتر از یک باشد واحد مورد نظر ناکارا می باشد. مقدار بدست امده از رابطه فوق را می توان به عنوان قدرت آن واحد در الگوریتم رقابت استعماری در نظر گرفت. 

3.       پیدا کردن کاراترین واحد تصمیم گیرنده  براساس الگوریتم استعماری

 

فرض کنید  واحد تصمیم گیرنده با مقادیر ورودی  و خروجی  داریم . در ابتدا برای تعیین واحدهای کارا و همچنین مقدار کارایی واحدها از رابطه (18)  استفاده می کنیم.

3-1: تشکیل امپراطوری و مستعمرات

برای تعیین امپراطوری اولیه از آنجا که واحد های کارا نسبت به واحد های ناکارا دارای مقدار کارایی بالاتری هستند آنها را به عنوان امپراطورهای اولیه الگوریتم انتخاب می کنیم. برای بدست آوردن مستعمرات هریک از واحدهای کارا، DMU های مجازی که در ناحیه مغلوبی آنها قرار دارد استفاده می کنیم. بدین منظور، تعریف زیر برگرفته از جهانشاهلو و همکاران[17]  استفاده می کنیم.

تعریف1: برای ، اگر واحدهای مجازی  چنان موجود باشد که  

 و وجود نداشته باشد بطوری که  آنگاه واحد مجازی  در ناحیه مغلوبی  قرار می گیرد.

از آنجا که تعداد واحدهای مجازی در ناحیه مغلوبی واحدهای کارا نامحدود می باشد بدست اوردن همه آنها سخت و غیر ممکن می باشد. بدین منظور به صورت راندم تعدادی متناهی نقطه با توزیع یکنواخت به عنوان مستعمره واحدها انتخاب می کنیم.

تعریف 2: فرض کنید  که  واحد کارا باشد. جهانشاهلو و همکاران[17] ناحیه ای که به وسیله این  مغلوب می گردد را به صورت زیر بدست آورده اند.

فرض کنید  واحد ایده آل باشد که:

 

و همچنین  واحد پادایده ال باشد بطوری که برای هر r ،  و  می تواند به صورت زیر بدست آید:

 

با توجه به نحوه بدست آوردن نقاط   ناحیه مغلوبی واحد های کارا کراندار می باشد.

فرض کنید  مجموعه بردارهایی که بصورت راندوم با توزیع یکنواخت تولید شده باشد و  مجموعه ای از این بردارها باشد که در ناحیه مغلوبی  قرار گرفته باشد. با توجه به توضیحات فوق واحد های امپراطور و مستعمره هریک از آنها مشخص می گردد. حال می توان الگوریتم رقابت استعماری را روی این واحدها پیاده سازی نمود.

برای بدست آوردن قدرت هریک از امپراطورها از فرمول زیر استفاده می نمائیم.

فرض کنید  مقدار کارایی واحد j ام که از روشFDH  بدست آمده است.در اینصورت قدرت امپراطوری واحد کارای p ام از فرمول زیر بدست می آید.

  

یک عدد مثبت بین صفر و یک و نزدیک صفر است معمولاً در پیاده سازی ها در الگوریتم رقابت استعماری با مقدار  جواب مطلوب دریافت شده است. استفاده از فرمول   قدرت کل نرمالیزه شده امپراطوری p  ام بدست می آید. 

 همچنین احتمال  قدرت تصاحب هر امپراطوری برای تصاحب مستمره ضعیف ترین امپراطوری از رابطه زیر بدست می آید.

 

 فرض کنید  به عنوان ضعیف ترین امپراطوری مشخص گردیده است و ضعیف ترین مستعمره آن باشد حال فرض کنید در رقابت تصاحب کاندیدای دریافت مستعمره   باشد. در این حالت  دیگر بعنوان مستعمره واحدk ام در نظر گرفته نمی شود و به مستعمرات واحد p ام اضافه می گردد. توجه کنیم از آنجا که این مستعمرات با استفاده از توزیع یکنواخت بدست آمده اند این جابجایی مستعمره ها امکان پذیر می باشد یعنی بصورت تصادفی به ناحیه مغلوبی واحد p ام یک مستعمره اضافه می گردد. به همین روال واحد k ام همه مستعمراتش را از دست داده و از دامنه رقابت خارج می گردد و این الگوریتم تا جایی ادامه پیدا می کند که یک امپراطوری باقی بماند این امپراطوری باقیمانده همه مستعمرات را جذب نموده است و در رتبه اول قرار می گیرد و بقیه امپراتوری ها بترتیبی که از دور رقابت کنار رفته اند رتبه بندی می گردند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                 شكل 4: فلوچارت الگوريتم پيشنهادي

ابتدا با استفاده از یک مثال عددی ساده و سپس با یک مثال کاربردی نتیجه الگوریتم را نشان خواهیم داد.

 

 

4.        مثال ها:

در این بخش دو مثال ، یک مثال عددی و یک مثال کاربردی جهت نشان دادن نتایج ما از الگوریتم پیشنهادی ارائه شده است. 

4.1 مثال عددی:

شش DMU با یک ورودی و یک خروجی که اطلاعات آنها در شکل 4 داده شده است را در نظر بگیرید.

 

شکل ‏4:  داده ها، مرز کارایی و همراه ناحیه مغلوبی هر یک از واحدهای کارا

واحدهای D,C,B,A واحد های کارا می باشند از این رو بعنوان امپراطور اولیه انتخاب می گردند ناحیه مغلوبی هریک از آنها در شکل بصورت هاشور زده نشان داده شده است و واحدهای E  و F ناکارا هستند و زیر مرز کارایی قرار دارند. در این مثال توضیح مختصری از نتایج به دست آمده در فاز اول الگوریتم ارائه می دهیم0

گام 1: شکل گیری امپراتوری ها و مستعمرات آنها:

همانطور که در شکل 4 مشاهده می شود، واحدهای A، B، C و D واحدهای کارا هستند. بنابراین، آنها به عنوان امپراتوری های اولیه انتخاب می شوند که منطقه تسلط یا ناحیه مغلوبی هر یک از آنها در شکل بصورت هاشورزده نشان داده شده است. به عنوان مثال، امپراطوری تشکیل شده برای واحد C منطقه ای است که فقط توسط C  مغلوب می شوند و تحت سلطه آن قرار دارند. در این مثال، این ناحیه مستطیل است. امپراتوری های دیگر نیز به همین ترتیب شکل می گیرند.حال نقاط مثبت و منفی ایده آل بر اساس تعریف 2 به ترتیب به دست می آیند:  و  برای هر DMU کارا، یک امپراتوری تشکیل می شود. برای تعیین مستعمرات هر امپراتوری،  تعداد  نقاط به طور تصادفی با توزیع یکنواخت در منطقه تحت سلطه بر نقاط ایده آل وپادایده آل پخش می کنیم. ردیف دوم جدول (1) تعداد مستعمرات هر امپراتوری را نشان می دهد به طوری که واحدهای D و B به ترتیب دارای حداکثر و حداقل تعداد مستعمرات هستند. ردیف سوم جدول (1) قدرت نرمال شده هر امپراتوری را قبل از اتخاذ سیاست جذب نشان می دهد. در این مثال عددی، قدرت هر امپراتوری رابطه مستقیمی با تعداد مستعمرات هر امپراتوری دارد.

گام 2: اتخاذ سیاست جذب

قدرت هر امپراتوری به دنبال اتخاذ سیاست جذب دستخوش تغییراتی خواهد شد. ردیف چهارم جدول (1) نمونه ای از نتایج به دست آمده از این سیاست را نشان می دهد. همانطور که نشان داده شده است، قدرت نرمال شده همه واحدها، افزایش یافته به جز واحد D، که توان آن بدون تغییر باقی مانده است. با توجه به این نتایج، واحد B پس از اتخاذ سیاست جذب کمترین توان را دارد. بنابراین، ضعیف ترین مستعمره آن باید توسط یکی از امپراتوری های دیگر تصرف شود. از اینجا به مرحله 3 می رویم.

گام 3 : تعیین امپراتوری با حداکثر قدرت تصرف

در این مرحله قدرت مصادره هر امپراتوری مشخص می شود. ردیف پنجم جدول (1) قدرت هر امپراتوری در جذب مستعمره ضعیف را نشان می دهد. همانطور که نشان داده شده است، امپراتوری A حداکثر قدرت جذب ضعیف ترین مستعمره امپراتوری B را دارد. بنابراین، این مستعمره ضعیف منطقه سلطه واحد B را ترک می کند و به واحد A اضافه می شود(لازم به ذکر است در اینجا بصورت تصادفی یک نقطه بعنوان مستعمره به واحد A  داده می شود).برای صرفه جویی در زمان و مکان، جزئیات سایر مراحل نادیده گرفته می شود. پس از اجرای کامل الگوریتم، نتایج رتبه بندی ما در ردیف آخر جدول (1) نشان داده شده است. واحد D بالاترین رتبه را در مقایسه با سایر واحدها دارد. لازم به ذکر است که لزومی ندارد هر واحدی با تعداد مستعمرات بیشتر در بالاترین رتبه قرار گیرد. اگرچه در این مثال چنین است، اما، به طور کلی، درست نیست، زیرا با توجه به رقابت بین امپریالیست ها، ممکن است واحدی با مستعمرات بیشتر شکست بخورد و به رتبه پایین تری دست یابد. همچنین واحدهای ناکارآمد E و F به ترتیب دارای نمره کارایی 0.67 و 0.93 بوده و به ترتیب در رتبه های ششم و پنجم قرار دارند.

 

جدول 1. تعداد مستعمرها و نتیجه الگوریتم

امپراتور	A	B	C	D
تعداد مستعمره ها ()	15025	7525	15520	16795
قدرت نرمال شده هر امپراتوری را قبل از اتخاذ سیاست جذب	0.71	0.61	0.85	1
قدرت نرمال شده هر امپراتوری را بعد از اتخاذ سیاست جذب	0.73	0.66	0.97	1
قدرت تصرف	0.67	0.25	0.38	0.40
رتبه	3	4	2	1

4.2 مثال کاربردی

برای نشان دادن الگوریتم پیشنهادی در عمل از مجموعه داده های مربوط به 19 واحد تصمیم گیری با دو ورودی و دو خروجی برگرفته از مقاله جهانشاهلو و همکاران [17] استفاده می کنیم داده های مربوط به ورودی و خروجی ها در جدول 2 نشان داده شده است.

جدول 2. داده های مربوط به مثال کاربردی شامل دو ورودی و دو خروجی

واحد ها		ورودی ها                                            خروجی ها
1		81	87.6		5191	205
2		85	12.8		3629	0
3		56.7	55.2		3302	0
4		91	78.8		3379	8
5		216	72		5368	639
6		58	25.6		1674	0
7		112.2	8.8		2350	0
8		293.2	52		6315	414
9		186.6	0		2865	0
10		143.4	105.2		7689	66
11		108.7	127		2165	266
12		105.7	134.4		3963	315
13		235	236.8		6643	236
14		146.3	124		4611	128
15		57	203		4869	540
16		118.7	48.2		3313	16
17		58	47.4		1853	230
18		146	50.8		4578	217
19		0	91.3		0	508

بعد از اجرای الگوریتم فوق، نتایج حاصل در جدول زیر نشان داده شده است.

واحدهای کارا			1	واحدها
				2	5	9	15		19
کاراترین از روش پیشنهادی		تعداد مستعمره‌ها	18155	73	75181	15	25252		112
		رتبه	2	4	1	6	3		5
کاراترین از روش حسین زاده و همکاران روش مونت کارلو		تعداد نقاط تصادفی	10155	3	74964	2	42252		16
		رتبه	3	5	1	6	2		4
روش اندرسون- پترسون (روش AP)		حالت	115	174	130	INF	133		INF
		رتبه	4	1	3		2
روش MAJ		مقدار	105	109	110	104	106		128
		رتبه	5	3	2	6	4		1

جدول 3. نتایج حاصل از اجرای الگوریتم

در جدول 3  نتایج حاصل از روش پیشنهادی و همچنین نتایج حاصل از روش های رتبه بندی مونت کارلو ، اندرسون پترسون ، روش دکتر محرابیان و همکاران  [18]که به روش MAJ شناخته شده است آورده شده است. همانطور که در جدول فوق دیده می شود برای روش پیشنهادی واحد 15 ام دارای مستعمره های بیشتری نسبت به واحد اول می باشد اما رتبه آنها برعکس می باشد یعنی واحد اول کاراتر از واحد 15 ام قرار دارد. این نتیجه نشان می دهد که در رقابت برای جذب مستعمره ها، واحد 1 ام نسبت به واحد 15 ام قوی تر عمل کرده است. در این روش اگر واحدها را بر اساس تعداد نقاط مستعمره هر واحد بررسی می کردیم، آنگاه نتایج حاصل با روش مونت کارلو یکسان می گردیید چون روش مونت کارلو بر اساس تعداد نقاطی که به صورت رندم در ناحیه مورد نظر هر واحد قرار می گیرد رتبه بندی را انجام می دهد، اما در روش پیشنهادی با استفاده از روش الگوریتم رقابت استعماری، رقابتی بین واحدها ایجاد می کند که این رقابت باعث می شود تعداد مستعمره واحدها مورد تصاحب واحدی دیگر قرار بگیرد. به همین خاطر از این روش متفاوت از نتایج حاصل از روش مونت کارلو هست. نتایج حاصل از روش پیشنهادی با نتایج روش مونت کارلو نزدیک تر است نسبت به روش های دیگر و این به این خاطر این است که ایده اصلی ارایه شده در این مقاله ها متفاوت هست. در روش هایAP  و MAJ با حذف واحد مورد ارزیابی از مجموعه مشاهدات و تعیین مقدار کارایی آن واحدها را رتبه بندی می کنند. اما در دو روش دیگر همانطور که بیان گردید چنین نمی باشد.

 

5.       نتیجه گیری:

الگوريتم توسعه داده شده، در وهله اول با داشتن يک ديدگاه کاملاً نو به مبحث بهينه‌سازي، پيوندي جديد ميان علوم انساني و اجتماعي از يک سو و علوم فني و رياضي از سوي ديگر، برقرار مي‌کند. ارتباط ميان اين دو شاخه از علم به گونه‌اي مي‌باشد که غالباً رياضيات به عنوان ابزاري قوي و دقيق در خدمت علوم انساني کلي نگر قرار گرفته و به درک و تحليل نتايج آن کمک مي‌کند. اما الگوريتم توسعه داده شده بر خلاف معمول، نقطه‌ي قوت علوم انساني و اجتماعي، يعني کلي‌نگري و وسعت ديد آن را به خدمت رياضيات درآورده و از آن به عنوان ابزاري براي درک بهتر رياضيات و حل بهتر مسائل رياضي استفاده مي‌کند. بنابراين حتي بدون در نظر گرفتن قابليت‌هاي رياضي و عملي روش توسعه داده شده، پيوند ايجاد شده ميان اين دو شاخه به ظاهر جدا از هم، به عنوان يک پژوهش ميان رشته‌اي، در نوع خود داراي ارزش بسياري مي‌باشد.

در این مقاله با نگاهی متفاوت به رتبه بندی واحدهای تصمیم گیرنده پرداخته است. در الگوریتم فوق، با ترکیب تکنیک DEA و الگوریتم رقابت استعماری، الگوریتمی جدید ارایه گردید که بدون حل مدل های ریاضی و فقط با مقایسه داده ها، واحدها را رتبه بندی می کند. چون هدف ما رتبه بندی مستعمره و استعمارگر و همچنین بحث غالب و مغلوبی و اندازه گیری فاصله آنان و انتخاب بهترین می باشد به همین خاطر از مدل FDH که برای حل می توان مدل را حذف کرد استفاده کردیم چون برای شبیه سازی اینقدر پیچیدگی محاسبات بالا میرود و حل مدل های دیگر حتی مدل های خطی بسیار دارای پیچیدگی محاسباتی بالایی می باشد.  چون روش پیشنهادی نمونه ای از شبیه سازی می باشد و برای هر واحد که به صورت رندم ایجاد می کنیم باید یک مدل برنامه ریزی حل گردد، بنابراین حذف مدل و استفاده از محاسبات مقایسه ای میتواند خیلی مفید باشد و پیچیدگی محاسباتی را حتی المقدور کاهش دهد. برای نشان دادن روش ، ما دو مثال را بیان کردیم  اولین مثال یک مثال عددی است که جزئیات آن در مرحله اول ارائه می شود. در مثال دوم که کاربردی می باشد،  شامل داده های واقعی هست الگوریتم را در آن پیاده سازی نمودیم و نتیجه را با روش های دیگر موجود تجزیه و تحلیل قرار دادیم با توجه به ویژگی های الگوریتم ، نتایج قابل قبولی حاصل گردید و افق جدیدی برای یافتن کاراترین واحد تصمیم گیرنده ارایه گردید.

در این حوزه، پیشنهادی برای تحقیقات بیشتر وجود دارد: در این مقاله ، از مدل FDH ، در حالت بازده به مقیاس متغیر با الگوریتم رقابت استعماری فراابتکاری استفاده شده است. می توان سایر مدل ها را در DEA با بازده به مقیاس ثابت و متغیر ، مانند مدل های CCR و BCC ، با همان الگوریتم رقابت استعماری فراابتکاری با استفاده از کامپیوترهای پیشرفته در نظر گرفت و آنها را مقایسه کرد.

مراجع:

[1]         Charnes, A., Cooper, W. W., Rhodes, E., (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European journal of operational research, 2(6), 429-444.

 

[2]         Farrell, M. J., (1957). The measurement of productive efficiency. Journal of the Royal Statistical Society: Series A (General), 120(3), 253-281.

 

[3]         Banker, R. D., Charnes, A., Cooper, W. W., (1984). Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis. Management science, 30(9), 1078-1092.

 

[4]         Andersen, P. and Petersen, N.C., 1993. A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis. Management science, 39(10), pp.1261-1264

 

[5]         Sexton, T.R., Silkman, R.H. and Hogan, A.J., 1986. Data envelopment analysis: Critique and extensions. New Directions for Evaluation, 1986(32), pp.73-105.

 

[6]         Liang, L., Wu, J., Cook, W.D. and Zhu, J., 2008. Alternative secondary goals in DEA cross-efficiency evaluation. International Journal of Production Economics, 113(2), pp.1025-1030.

 

[7]         Emrouznejad, A., Mustafa, A. and Al-Eraqi, A.S., 2010. Aggregating preference ranking with fuzzy data envelopment analysis. Knowledge-Based Systems, 23(6), pp.512-519.

 

[8]         Jahanshahloo, G.R., Sadeghi, J. and Khodabakhshi, M., 2017. Fair ranking of the decision making units using optimistic and pessimistic weights in data envelopment analysis. RAIRO-Operations Research,, 51(1), pp.253-260.

 

[9]         Dehnokhalaji, A., Hallaji, B., Soltani, N. and Sadeghi, J., 2017. Convex cone-based ranking of decision-making units in DEA. OR Spectrum: Quantitative Approaches in Management, 39(3), pp.861-880.

 

[10]         Ertay , T ., Ruan , D ., Tuzkaya, U. R ., (2006). Integrating data envelopment analysis and analytic hierarchy for the facility layout design in manufacturing systems . Information Sciences, 176, 7-262.

 

[11]         Amin, G. R ., Toloo, M ., (2007). Finding the most efficient DMUs in DEA : an improved integrated model.  Computers and Industrial Engineering, 52, 71-77.

 

[12]         Amin, G. R ., (2009). Comments on finding the most efficient DMUs in DEA :An improved integrated model .Computers and Industrial Engineering,56, 1701-1702 .

 

 [13] Toloo , M ., Nalchigar, S ., (2009). A new integrated DEA model for finding most BCC-efficient DMU . Applied Math ematical Model ling, 33, 597-604.

 

[14]         Atashpaz-Gargari, E. and Lucas, C., 2007, September. Imperialist competitive algorithm: an algorithm for optimization inspired by imperialistic competition. In Evolutionary

computation, 2007. CEC 2007. IEEE Congress on (pp. 4661-4667).

 

[15]         Deprins, D., Simar, L. and Tulkens, H., 1984. Measuring labor-efficiency in post offices. Public goods, environmental externalities and fiscal competition, pp.285-309.

 

 

 [16] Tulkens, H., 1993. On FDH efficiency analysis: some methodological issues and applications to retail banking, courts, and urban transit. In Productivity Issues in Services at the Micro Level

 (pp. 179-206).

 

[17]         Jahanshahloo, G.R., Lotfi, F.H., Rezai, H.Z. and Balf, F.R., 2005. Using Monte Carlo method for ranking efficient DMUs. Applied Mathematics and Computation, 162(1), pp.371-379.

 

[18]         Mehrabian, S., Alirezaee, M.R. and Jahanshahloo, G.R., 1999. A complete efficiency ranking of decision making units in data envelopment analysis. Computational optimization and applications, 14(2), pp.261266.

1

 

---

[1] * عهده­دار مکاتبات

[e-mail] : آدرس اکترونیکی

[2] .Data envelopment analysis

[3] . proportional–integral–derivative 

---