مبادلات تولید و محدودیت‌های وزنی در تحلیل پوششی داده‌های نسبی

محورهای موضوعی : تحقیق در عملیات

جواد گرامی ^{1 *}

1 - گروه ریاضی، واحد شیراز، دانشگاه آزاد اسلامي، شیراز، ايران

تاریخ دریافت : 1403/03/28 تاریخ پذیرش : 1403/09/28 تاریخ انتشار : 1404/08/18

کلید واژه: تحلیل پوششی داده ها, آنالیز نسبی, تحلیل پوششی داده های نسبی, محدودیت وزنی, مبادلات تولید.,

چکیده مقاله :

در این مقاله به بررسی موضوع اعمال اطلاعات برتری ارزشی در تحلیل پوششی داده ها در حضور داده‌های نسبی می‌پردازیم. ما نشان می‌دهیم اعمال محدودیت‌های وزنی در مدل‌ آنالیز نسبی معادل در نظر گرفتن مبادلات تولید میان نسبت‌های مولفه‌های ورودی به خروجی در مدل‌ تحلیل پوششی داده‌های نسبی می‌باشد. در ادامه یک مقایسه میان نمره کارایی و رتبه متناظر با واحدهای تصمیم‌گیرنده حاصل از این دو مدل با انتخاب متفاوت محدودیت های وزنی بر اساس یک مثال کاربردی انجام می دهیم. بدین منظور به ارزیابی عملکرد و رتبه بندی واحدهای دانشگاهی با در نظر گرفتن محدودیت های وزنی براساس نظر مدیران ارشد دانشگاه می پردازیم. ما نشان می دهیم که با انتخاب متفاوت وزنها مقادیر کارایی واحد تغییر می کند و با اعمال محدودیت های وزنی کارایی واحدهای دانشگاهی بهبود نمی یابد. انتخاب مناسب وزنها می تواند یک ارزیابی مناسب براساس نظر مدیر را به همراه داشته باشد. در انتها نتایج حاصل از تحقیق را می‌آوریم.

چکیده انگلیسی:

In this paper, we will examine the issue of applying superior value information in data envelopment analysis (DEA) in the presence of ratio data. We show that applying weight restrictions in the ratio analysis model is equivalent to considering production trade-offs between the ratios of input to output components in the ratio based data envelopment analysis (DEA-R) model. In the following, we make a comparison between the efficiency score and the corresponding ranking with the decision-making units (DMUs) resulting from these two models with different selection of weight restrictions based on a practical example. For this purpose, we evaluate the performance and ranking of academic units, taking into account the weight restrictions based on the opinion of the senior managers of the university. We show that by choosing different weight restrictions, unit efficiency values change, and by applying weight restrictions, the efficiency scores of university units do not improve. At the end, we bring the results of the research.

منابع و مأخذ:

[1] Allen R., Athanassopoulos A., Dyson R. G., Thanassoulis E.,1997, Weights restrictions and value judgments in data envelopment analysis: Evolution, development and future directions, Annals of Operations Research 73, 13–34.
[2] Chen W. C., McGinnis, L. F., 2007, Reconciling ratio analysis and DEA as performance assessment tools, European Journal of Operational Research 178, 277–291.
[3] Despic O., Despic M., Paradi J. C., 2007, DEA-R: Ratio-based comparative efficiency model, its mathematical relation to DEA and its use in applications, Journal of Productivity Analysis 28(1), 33–44.
[4] Gerami J., 2019, An interactive procedure to improve estimate of value efficiency in DEA, Expert Systems with Applications 137, 29–45.
[5] Gerami J., Mozaffari M. R., Wanke P.F., 2020, A multi-criteria ratio-based approach for two-stage data envelopment analysis, Expert Systems with Applications 158, 113508.
[6] Gerami J., Mozaffari M.R., Wanke P.F., Correa H., 2022, A novel slacks-based model for efficiency and super-efficiency in DEA-R, Operations Research 22(4), 3373–3410.
[7] Gerami J., Kiani Mavi R., Farzipoor Saen R., Kiani Mavi N., 2023, A novel network DEA-R model for evaluating hospital services supply chain performance. Annals of Operations Research
324, (1-2), 1041-1066.
[8] Mozaffari M. R, Kamyab P., Jablonsky J., Gerami, J., 2014, Cost and revenue efficiency in DEA-R models. Computers & Industrial Engineering 78, 188–194.
[9] Mozaffari M. R, Gerami J., Jablonsky J., 2014, Relationship between DEA models without explicit inputs and DEA-R models, Central European Journal of Operations Research 22(1), 1–12.
[10] Mozaffari M. R., Dadkhah F., Jablonsky J., Wanke, P. W., 2021, Finding efficient surfaces in DEA-R models’, Applied Mathematics and Computation 386, 125497.

[11] Podinovski V.V., 2004, Production trade-offs and weight restrictions in data envelopment analysis. Journal of the Operational Research Society 55(12),1311–1322.
[12] Podinovski V. V. 2007, Computation of efficient targets in DEA models with production trade-offs and weight restrictions, European Journal of Operational Research 181(2), 586–591.
[13] Podinovski V.V., Bouzdine-Chameeva T., 2013, Weight restrictions and free pro-duction in data envelopment analysis, Operations Research 61(2), 426–437.
[14] Podinovski V.V., Bouzdine-Chameeva T., 2015, Consistent weight restrictions in data envelopment analysis, European Journal of Operational Research, 244(1), 201-209.
[15] Papaioannou G., Podinovski V.V., 2023, Production technologies with ratio inputs and outputs, European Journal of Operational Research 310, 1164–1178.
[16] Roll Y., Cook W.D., Golany B., 1991, Controlling factor weights in data envelopment analysis. IIE Transactions 23(1), 2–9.
[17] Song M., Wu J., Wang Y., 2011, An extended aggregated ratio analysis in DEA, Journal of Systems Science and Systems Engineering 20(2), 249-256.
[18] Wei C. K., Chen L. C., Li R. K., Tsai C. H. 2011, A study of developing an input
oriented ratio-based comparative efficiency model, Expert Systems with Applications 38(3), 2473–2477.
[19] Wei C. K., Chen L. C., Li R. K., Tsai C. H. 2011, Exploration of efficiency underestimation of CCR model: Based on medical sectors with DEA-R model, Expert Systems with Applications 38(4), 3155–3160.
[20] Wei C. K., Chen L. C., Li R. K., Tsai C. H. 2011, Using DEA-R model in the
hospital industry to study the pseudo-inefficiency problem, Expert Systems with Applications 38(3), 2172–2176.
[21] Wu D. S., Liang L., Huang Z. M., Li S. X., 2005, Aggregated ratio analysis in DEA,
International Journal of Information Technology & Decision Making, 4(3), 369–384.
[22] Zha Y., Liang, L., 2015, Aggregated ratio analysis in DEA, International Journal of Information Technology & Decision Making 14(6), 1285-1297.

متن کامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال یازدهم، شماره پنجاه و هفتم، آذر و دی  1404

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

مبادلات تولید و محدودیت‌های وزنی در تحلیل پوششی داده‌های نسبی

 

جواد گرامی1¹

 

گروه ریاضی، واحد شیراز، دانشگاه آزاد اسلامي، شیراز، ايران 

 

 

تاريخ ارسال مقاله: 28/03/1403 تاريخ پذيرش مقاله: 28/09/1403

چکيده

در این مقاله به بررسی موضوع اعمال اطلاعات برتری ارزشی در تحلیل پوششی داده­ها² در حضور داده‌های نسبی³ می‌پردازیم. ما نشان می‌دهیم اعمال محدودیت‌های وزنی⁴ در مدل‌ آنالیز نسبی معادل در نظر گرفتن مبادلات تولید⁵ میان نسبت‌های مولفه‌های ورودی به خروجی در مدل‌ تحلیل پوششی داده‌های نسبی⁶ می‌باشد. در ادامه یک مقایسه میان نمره کارایی و رتبه متناظر با واحدهای تصمیم‌گیرنده حاصل از این دو مدل با انتخاب متفاوت محدودیت­های وزنی بر اساس یک مثال کاربردی انجام می­دهیم و به ارزیابی عملکرد و رتبه­بندی واحدهای دانشگاهی با در نظر گرفتن محدودیت­های وزنی براساس نظر مدیران ارشد دانشگاه می­پردازیم. در انتها نتایج حاصل از تحقیق را می‌آوریم.

 

 

 

 

واژه‌هاي کليدي: تحلیل پوششی داده­ها، آنالیز نسبی، تحلیل پوششی داده­های نسبی، محدودیت وزنی، مبادلات تولید.

1- مقدمه

برای ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم­گیرنده مدل‌های متفاوتی در تحلیل پوششی داده‌ها ارائه شده است. یک طبقه از این مدل‌ها مدل‌هایی می‌باشند که از نسبت مؤلفه‌های ورودی به خروجی (یا بلعکس) برای اندازه‌گیری کارایی از واحدهای تصمیم­گیرنده استفاده می‌کنند ( وو و لیانگ⁷ [21]، گرامی⁸ و همکاران [6و4]).

این نسبت­ها برای تصمیم­گیرنده دارای اهمیت می‌باشند، این داده‌ها لزوماً به صورت اعداد اعشاری یا کسری نمی‌باشند و می­توانند بصورت مستقیم در مدل قرار گیرند. یکی از مدل­ها برای ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم­گیرنده در حضور نسبت داده­ها، مدل‌ آنالیز نسبتی⁹ می‌باشد ( زا و لیانگ¹⁰ [22]، سانگ¹¹ و همکاران [17]).

 این مدل‌ها یک ترکیب وزن‌دار شده از تمام نسبت‌های مولفه‌های ورودی به خروجی (یا بلعکس) را برای محاسبه کارایی واحدهای تصمیم­گیرنده به کار می‌برند و کارایی واحد تحت ارزیابی را در مقابل سایر واحدها به دست می‌آورند این مدل‌ها در شکل‌های مضربی یا پوششی ارائه گردیدند (چن و ام سی گینیس¹² [2]). در مدل‌های مضربی نسبت وزن‌دار شده تمام مولفه‌های ورودی به خروجی (یا بلعکس) از واحد تحت ارزیابی را به نحوی حداکثر می‌کنیم تا کارایی این واحد در مقابل کارایی سایر واحدها حداکثر گردد.

 یکی دیگر از این مدل‌ها که از نسبت مولفه­های ورودی به خروجی (یا بلعکس) استفاده می­کند مدل‌ تحلیل پوششی داده‌های نسبی می‌باشد. این مدل در ابتدا به وسیله دسپیک¹³ و همکاران [3] ارائه گردید. آنها رابطه میان مقادیر کارایی حاصل از مدل سنتی تحلیل پوششی داده‌ها (CCR) در تکنولوژی‌های بازده به مقیاس ثابت را با مدل تحلیل پوششی داده‌های نسبی به دست آوردند. در ادامه وی¹⁴ و همکاران [18-20] به بررسی رابطه میان مقادیر کارایی حاصل از مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های نسبی و مدل‌های سنتی را در یک شکل متفاوت ارائه دادند. آنها نشان دادند که مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های نسبی در مقابل مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های سنتی (CCR) در ماهیت ورودی، از بعضی از مشکلات نظیر عدم تخمین درست کارایی و ناکارایی کاذب جلوگیری می‌کنند. آنها همچنین نشان دادند که مدل تحلیل پوششی داده‌های نسبی در ماهیت ورودی دارای مقادیر کارایی بزرگتر نسبت به مقادیر متناظر خود حاصل از مدل‌های سنتی تحلیل پوششی داده‌ها (CCR) می‌باشند آنها بیان داشتند که مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های نسبی می‌توانند یک جایگزین مناسب برای مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های سنتی (CCR) باشند.گرامی و همکاران [6]، مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های نسبی را در شکل غیرشعاعی ارائه دادند. آنها کارایی واحد تصمیم­گیرنده را بر اساس مقادیر اسلک متناظر با تمام نسبت‌های مولفه‌های ورودی به خروجی ارائه دادند. مدل آنها SBM DEA-R  نام داشت. آنها رابطه میان مقادیر کارایی حاصل از مدل سنتی تحلیل پوششی داده‌ها (CCR) در تکنولوژی‌های بازده به مقیاس ثابت را با مدل SBM DEA-R به دست آوردند. آنها مدل‌های ابر کارایی SBM DEA-R را برای رتبه‌بندی واحدهای تصمیم­گیرنده در حضور داده های بدست آوردند. گرامی و همکاران [5] به بررسی مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های نسبی برای ساختار شبکه در تحلیل پوششی داده‌ها پرداختند. آنها رابطه میان مقادیر کارایی واحدهای تصمیم­گیرنده در مراحل اول، دوم و سراسری را ارائه دادند. گرامی و همکاران [7] به بررسی ساختار زنجیره تامین در بیمارستان بر اساس مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های نسبی پرداختند. مظفری و همکاران [8] به بررسی مدل‌های کارایی هزینه و درآمد

در حضور داده‌های نسبی پرداختند. مظفری و همکاران [9] رابطه میان مقادیر کارایی در مدل‌های سنتی تحلیل پوششی داده‌ها (BCC) در عدم حضور ورودی‌ها را با مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های نسبی را به دست آوردند. مظفری و همکاران [10]، مجموعه امکان تولید در حضور داده‌های نسبی را ارائه دادند. آنها مرز کارایی از مجموعه امکان تولید در حضور داده‌های نسبی را به دست آوردند. آنها یک الگوریتم برای به دست آوردن تمام وجوه¹⁵ از مجموع امکان تولید در حضور داده‌های نسبی ارائه دادند.

یکی دیگر از راه‌های اعمال اطلاعات ارزشی تصمیم­گیرنده در پروسه ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم­گیرنده در تحلیل پوششی داده‌ها، استفاده از محدودیت‌های وزنی بر روی مولفه‌های ورودی یا خروجی می‌باشد. در ابتدا آلن¹⁶ و همکاران [1]، رول¹⁷ و همکاران [16]، اعمال محدودیت‌های وزنی را در مدل‌های مضربی تحلیل پوششی داده‌ها ارائه دادند. همچنین آنها نشان دادند که اعمال محدودیت‌های وزنی بر روی مولفه‌های ورودی یا خروجی می‌تواند مرز کارایی از مجموعه امکان تولید را تغییر دهد و ممکن است مقدار کارایی واحدهای تصمیم­گیرنده نسبت به قبل از اعمال محدودیت های وزنی کمتر گردد. آلن و همکاران [1] نشان دادند که اعمال محدودیت‌های وزنی در مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها ممکن است منجر به نشدنی شدن مدل گردد.

پودینوسکی¹⁸ [11] به بررسی رابطه میان محدودیت‌های وزنی در مدل‌های مضربی و مبادلات تولید در مدل‌های پوششی از تحلیل پوششی داده‌ها پرداخت. او تکنولوژی تولید در حضور مبادلات تولید را در تکنولوژی­های بازده به مقیاس ثابت و متغیر ارائه داد.

پودینوسکی و بوزدین¹⁹ [13] موضوع تولید نامحدود و آزاد از بردار خروجی‌ها در تکنولوژی تولید را مطرح کردند. آنها نشان دادند که اگر مدل مضربی برای هر واحد تصمیم­گیرنده مشاهده شده، شدنی باشد، آنگاه استفاده از محدودیت­های وزنی ممکن است منجر به تولید نامحدود و آزاد خروجی­ها گردد.

پودینوسکی و بوزدین [14] به بررسی رابطه میان محدودیت‌های وزنی در مدل‌های مضربی و مبادلات تولید در مدل‌های پوششی در تحلیل پوششی داده‌ها پرداختند. آنها تکنولوژی تولید در حضور مبادلات تولید را در تکنولوژی‌های بازده به مقیاس ثابت²⁰ و متغیر ارائه دادند. آنها شرایط لازم و کافی برای سازگاری وزن­ها در مبادلات تولید در مبادلات تولید را ارائه دادند و بیان داشتند که چگونه می‌توان با انتخاب یک مبادله تولید مناسب از برآمد ناسازگاری وزن‌ها جلوگیری کرد.

 پودینوسکی [12] به محاسبه اهداف کارا در مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها با مبادلات تولید پرداختند.

پودینوسکی و همکاران [15] به بررسی موضوع معادلات تولید و محدودیت‌های وزنی در مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها در حضور داده‌های نسبی پرداختند. آنها یک شکل خاص از داده‌های نسبی را در نظر گرفتند. این داده­های نسبی می‌توانند به صورت اعداد اعشاری یا کسری باشند. در مدل آنها از نسبت مستقیم داده‌ها در مدل استفاده نمی­شود.

می‌توان گفت که سهم اصلی این مطالعه به صورت زیر می‌باشد.

در این مطالعه در ابتدا به بررسی مدل‌ آنالیز نسبی در تحلیل پوششی داده‌ها می‌پردازیم و این مدل‌ها را در حضور محدودیت‌های وزنی ارائه می‌دهیم. در ادامه شکل‌های پوششی و مضربی مدل‌ آنالیز نسبی را به دست می‌آوریم. همچنین رابطه میان مدل‌ آنالیز نسبی (Ratio analysis) و مدل تحلیل پوششی داده‌های نسبی (DEA-R) در حضور محدودیت‌های وزنی را به دست می‌آوریم. ما نشان می‌دهیم که استفاده از محدودیت‌های وزنی در مدل‌ آنالیز نسبی (در شکل مضربی²¹) معادل در نظر گرفتن مبادلات تولید در مدل‌های تحلیل پوششی داده‌های نسبی (شکل پوششی²²) می‌باشد.

ادامه این مقاله به صورت زیر سازماندهی شده است. در بخش دوم به بررسی مدل آنالیز نسبی در حضور محدودیت‌های وزنی محدودیت‌های وزنی می‌پردازیم. در بخش سوم، مدل­های تحلیل پوششی داده­های نسبی در حضور مبادلات تولید را به دست می‌آوریم. در بخش چهارم یک مطالعه کاربردی از برای واحدهای دانشگاهی را ارائه می‌دهیم و در بخش پنجم، نتایج حاصل از تحقیق را می‌آوریم.

 

2- مدل‌ آنالیز نسبی در حضور محدودیت‌های وزنی

 واحد تصمیم­گیرنده بصورت  را در نظر بگیرید. هر یک از این واحدها، بردار ورودی را  برای تولید بردار خروجی  مصرف می­کند. فرض کنید که این بردارها دارای مولفه­های مثبت باشند یعنی

 

 .

فرض کنید که

 .

نشان­دهنده وزن متناظر با نسبت مولفه i-ام ورودی به مولفه r-ام از خروجی باشد. مدل‌ آنالیز نسبی برای محاسبه کارایی از واحد تحت ارزیابی یعنی  بصورت زیر ارائه می­گردد. (گرامی و همکاران [6]).

 

 

     ,                                 (1)

                          .

 

تعریف 1)  کارا در ارزیابی با مدل‌ آنالیز نسبی می­نامیم، در صورتیکه ، در غیر این صورت آن­ را یک واحد ناکارای می­نامیم.

فرض کنید که

 .

یک جواب بهین از مدل (1) باشد. در این صورت کارایی  در ارزیابی با مدل‌ آنالیز نسبی را بصورت زیر تعریف می­کنیم.

 .                            (2)

 

استفاده از محدودیت‌های وزنی اضافی در مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها یک تکنیک مشترک می‌باشد که کاهش انعطاف­پذیری از وزن‌های ورودی و خروجی را به دنبال دارد ( آلن و همکاران [1]).

بردارهای ثابت

(3)                                     .

را در نظر بگیرید. مولفه­های این بردار­ها می­توانند مثبت، منفی یا صفر باشند. در صورتیکه هر دو بردار ناصفر باشند. محدودیت وزنی همگن را بصورت زیر در نظر می­گیریم.

 

 , , .

,        .            (4)               

 

روابط (4) معادل رابطه زیر است.

,      , 

 .     (5)                              

محدودیت وزنی همگن (5) را پیوند²³ می­نامیم. در غیر اینصورت اگر یکی از دو بردار صفر باشند آنگاه آن را بدون پیوند²⁴ می­نامیم (پودینوسکی و بوزدین [14]).

با در نظر گرفتن محدودیت­های وزنی (4) می­توان مدل آنالیز نسبی²⁵ در حضور محدودیت­های وزنی را بصورت زیر ارائه دهیم.

 

     ,                                (6)

         ,       , ,

         ,        .

                          .

 

تعریف 2)  کارا در ارزیابی با مدل‌ آنالیز نسبی در حضور محدودیت­های وزنی می­نامیم، در صورتیکه ، در غیر این صورت آن­ را یک واحد ناکارای می­نامیم.

فرض کنید که

 .

یک جواب بهین از مدل (6) باشد. در این صورت

کارایی  در ارزیابی با مدل‌ آنالیز نسبی در حضور محدودیت­های وزنی را بصورت زیر تعریف می­کنیم.

 .                            (7)

 

3- مبادلات تولید در حضور داده‌های نسبی

تاثیر اعمال محدودیت‌های وزنی بر روی مدل آنالیز نسبی را می‌توان بر اساس مدل‌ دوال آن بیان نمود. دوآل مدل (6) را می‌توان به صورت زیر ارائه نمود.

 

   ,       

                 ,

                ,                             (8)   

                , ,

                    .

 

در مدل (8)، ، ،  متغیر های دوآل متناظر با قیود اول، دوم و سوم در مدل (6) می باشند.

 

قضیه 1) مدل (10) معادل مدل تحلیل پوششی داده­های نسبی²⁶ با مبادلات تولید می­باشد.

اثبات: قرار دهید

,    (9)                    

در اینصورت مدل (8)، بصورت زیر تبدیل می­شود.

 

 

  ,   

                 ,

               ,                                           (10)   

                , ,

                    .

قرار دهید:

,   , ,   , 

. (11)                                  

با اعمال تغییر متغیر (11)، و توجه به این موضوع که از نقطه نظر بهینه­سازی حداکثر­سازی  معادل حداقل­سازی  می­باشد. بنابراین مدل (10) به مدل (12) تبدیل می­گردد.

 

 

  ,     

                     ,

           ,                                         (12)

                ,          

                , ,

                    .

 

مدل (12)، مدل تحلیل پوششی داده­های نسبی با مبادلات تولید می­باشد و اثبات کامل می­شود.

مبادلات تولید برای نسبت­های مولفه­های ورودی به خروجی بصورت  در مدل تحلیل پوششی داده­های نسبی قرار می­گیرد.

تعریف 3)  کارا در ارزیابی با مدل‌ تحلیل پوششی داده­های نسبی با مبادلات تولید می­نامیم، در صورتیکه

، در غیر این صورت آن­ را یک واحد ناکارا می­نامیم.

فرض کنید که

        

یک جواب بهین از مدل (12) باشد. در این صورت کارایی  در ارزیابی با مدل‌ آنالیز نسبی در حضور محدودیت­های وزنی را بصورت  تعریف می­کنیم.

 

4-  مطالعه کاربردی

در این بخش نتایج حاصل از مدل­های ارائه شده در این مقاله را با یک مثال کاربردی نشان می­دهیم. جدول (1) داده­های مربوط به ده دانشگاه در کشور ایران را نشان می­دهد. این دانشگاه­ها در یک حوزه تخصصی پذیرش دانشجو دارند. ده دپارتمان مشترک از این دانشگاه­ها را در نظر می­گیریم. برای ارزیابی این واحدهای دانشگاهی از مدل­های ارائه شده در این مقاله استفاده می­کنیم. برای ارزیابی این واحدها دو ورودی و دو خروجی را در نظر می­گیریم. ورودی اول، شامل میزان حقوق پرداختی به کارکنان در طول دوره ارزیابی می­باشد، و ورودی دوم، شامل میزان هزینه­های پژوهشی پرداخت شده در طول دوره ارزیابی می­باشد. واحد اندازه­گیری دو ورودی بر حسب میلیارد ریال می­باشد. همچنین ما دو خروجی را برای ارزیابی این واحدها در نظر می­گیرم. خروجی اول، شامل تعداد دانشجویان مقطع کارشناسی و کارشناسی ارشد فارغ التحصیل در در طول دوره ارزیابی می­باشد، و خروجی دوم شامل، میزان کارهای پژوهشی (مقالات و کتاب­ها و کنفرانس­ها) انجام شده در طول دوره ارزیابی می­باشد. واحد اندازه­گیری هر دو خروجی تعداد مشاهدات می­باشند. داده­های ورودی و خروجی در جدول (1) آمده است. در این ارزیابی هر یک از واحدهای دانشگاهی را یک واحد تصمیم­گیرنده در نظر می­گیریم.

 

جدول 1. مجموعه داده ها و نتایج ارزیابی کارایی در مثال عددی

واحد تصمیم گیرنده	ورودی اول	ورودی دوم	خروجی اول	خروجی دوم	کارایی حاصل از مدل (1)
1	219718	1868	32441	2174	1 ) 1)
2	4351036	2762	741905	6570	1 (1)
3	983639	642	4316	1782	0.7098 (4)
4	2053945	1234	35819	2540	0.5379 (5)
5	1754690	1141	1960	5078	1 (1)
6	2342515	836	2460	2992	0.8708 (2)
7	2876203	1882	159634	7189	1 (1)
8	429710	594	1855	1465	1 (1)
9	1016343	1829	790	4515	1 (1)
10	1388514	975	75736	2267	0.7753 (3)

 

مطابق جدول (1)، واحدهای 1، 2، 5، 7، 8 و 9 بر اساس مدل آنالیز نسبی (مدل (1)) کارا و سایر واحدها ناکارا هستند. برای حل مدل آنالیز نسبی با محدودیت وزنی ( مدل (12))، چهار محدودیت وزنی بصورت زیر انتخاب می­کنیم.

 محدودیت وزنی اول:

,

. (13)                    

محدودیت وزنی دوم:

,

.   (14)                     

محدودیت وزنی سوم:

,

.     (15)                        

محدودیت وزنی چهارم:

,

  (16)                         .

به عنوان مثال مطابق محدودیت وزنی اول (رابطه (13))، معادل قرار دادن محدودیت های زیر در مدل آنالیز نسبی می باشد.

,                     (17)

,   (18)                      

,         (19)                       

,        (20)                       

به عنوان مثال رابطه (17) نشان میدهد که اهمیت نسبت وزن متناظر با مولفه اول ورودی به مولفه اول خروجی کمتر از نصف وزن متناظر با مولفه دوم ورودی به مولفه اول خروجی می باشد یا به عبارت دیگر میزان اهمیت نسبت میزان هزینه کارمندان به تعداد دانشجویان فارغ التحصیل کمتر از میزان اهمیت نسبت میزان هزینه کارهای پژوهشی به تعداد دانشجویان فارغ التحصیل می باشد. برای سایر محدودیت ها می توانیم تعابیر مشابهی را ارائه دهیم.

 

جدول 2. نتایج ارزیابی کارایی حاصل از مدل آنالیز نسبی با محدودیت وزنی ( مدل (6)).

واحد تصمیم گیرنده	محدودیت وزنی اول	محدودیت وزنی دوم	محدودیت وزنی سوم	محدودیت وزنی چهارم	رتبه واحد
1	1	1	0.3042	0.2615	10
2	0.667	0.5345	0.667	0.5345	7
3	0.7097	0.6253	0.7097	0.6237	4
4	0.5379	0.4625	0.5379	0.4625	9
5	1	1	1	1	1
6	0.8708	0.8042	0.8708	0.8042	3
7	1	0.8621	1	0.8583	2
8	1	0.8786	0.6159	0.5542	6
9	1	1	0.5547	0.5547	5
10	0.6502	0.5509	0.626	0.5224	8

با توجه به نتایج در جدول (2)، واحد 5 با اعمال هر چهار محدودیت وزنی یعنی روابط (13-16) کارا می­باشد. واحدهای 1 و 9 با اعمال محدودیت­های وزنی سوم و چهارم ناکارا می­گردد. با مقایسه مقادیر کارایی حاصل از مدل آنالیز نسبی مربوط به قبل و بعد از اعمال محدودیت­های وزنی مشاهده می­گردد که کارایی تمام واحدها بعد از اعمال محدودیت وزنی بهتر نمی­گردد و بهبودی در مقادیر کارایی واحدها نخواهیم داشت. مقادیر کاریی واحدها بعد از اعمال محدودیت­های وزنی ممکن است کاهش یابد.

ستون آخر جدول (2) رتبه واحدها براساس مقادیر کارایی حاصل از مدل آنالیز نسبی با محدودیت وزنی (مدل (12)) چهارم را نشان می­دهد. با مقایسه این نتایج به نتایج در ستون آخر جدول (1) مشاهده می­گردد که ممکن است رتبه متناظر با واحدها بعد از اعمال محدودیت­های وزنی تغییر نماید. بعنوان مثال رتبه متناظر با واحد 4 قبل و بعد از اعمال محدودیت وزنی بترتیب برابر با 5 و 9 می­باشد.

اکنون به تحلیل نتایج حاصل از مدل‌ تحلیل پوششی داده­های نسبی با مبادلات تولید یعنی مدل (12) می­پردازیم.  نتایج با انتخاب متفاوت محدودیت­های وزنی اول تا چهارم یعنی روابط (13-16) می­پردازیم.

 

 

جدول 3. نتایج ارزیابی کارایی حاصل از مدل‌ تحلیل پوششی داده­های نسبی با مبادلات تولید (مدل (12)).

واحد تصمیم­گیرنده	بدون محدودیت وزنی	محدودیت وزنی اول	محدودیت وزنی دوم
1	1 (1)	0.8659	0.8659
2	1 (1)	1	1
3	0.7098 (4)	0.0257	0.0257
4	0.5379 (5)	0.1023	0.1081
5	1 (1)	0.0066	0.0066
6	0.8708 (2)	0.0062	0.011
7	1 (1)	0.3255	0.3255
8	1 (1)	0.0253	0.0253
9	1 (1)	0.0046	0.0046
10	0.7753 (3)	0.3199	0.3199
DMU	محدودیت وزنی سوم	محدودیت وزنی چهارم	رتبه واحدها با محدودیت چهارم
1	1	0.0647	5
2	1	1	1
3	0.1831	0.025	6
4	0.125	0.1081	4
5	0.2925	0.0064	9
6	0.1291	0.011	8
7	0.3716	0.3158	2
8	0.3446	0.0116	7
9	0.449	0.0016	10
10	0.3589	0.2892	3

 

 

 

 

براساس ستون دوم از جدول (3)، واحد­های 1، 2، 5، 7، 8 و 9 براساس مدل‌ تحلیل پوششی داده­های نسبی بدون در نظر گرفتن مبادلات تولید، کارا می­باشند و واحدهای 3، 4، 6 و 10 واحد­های ناکارا هستند.

با توجه به نتایج در جدول (3)، واحد 2 با اعمال هر چهار محدودیت وزنی یعنی روابط (13-16) در شکل مبادلات تولید در مدل‌ تحلیل پوششی داده­های نسبی با مبادلات تولید (مدل (12)) کارا خواهد می­باشد.

بجز واحد 2 سایر واحد ها با اعمال مبادلات تولید در مدل تحلیل پوششی داده­های نسبی مطابق جدول (3) ناکارا هستند. با مقایسه مقادیر کارایی حاصل از مدل تحلیل پوششی داده­های نسبی با اعمال مبادلات تولید (مدل (12)) مشاهده می­گردد که کارایی واحدها بعد از اعمال مبادلات تولید بهتر نمی­گردد و بهبودی در مقادیر کارایی واحدها نخواهیم داشت. مقادیر کاریی واحدها بعد از اعمال مبادلات تولید ممکن است کاهش یابد.

ستون آخر جدول (3) رتبه واحدها براساس مقادیر کارایی حاصل از مدل تحلیل پوششی داده­های نسبی با اعمال مبادلات تولید (مدل (12)) و در نظر گرفتن محدودیت وزنی چهارم (رابطه (16)) را نشان می­دهد. با مقایسه این نتایج به نتایج در ستون دوم جدول (3) مشاهده می­گردد که ممکن است رتبه متناظر با واحدها بعد از در نظر گرفتن مبادلات تولید تغییر نماید. بعنوان مثال رتبه متناظر با واحد 3 قبل و بعد از اعمال محدودیت وزنی بترتیب برابر با 4 و 6 می­باشد.

 

5. نتیجه­گیری

در این مقاله مدل‌های آنالیز نسبی در تحلیل پوششی داده‌ها را در حضور محدودیت‌های وزنی ارائه دادیم. در ادامه مدل­های تحلیل پوششی دادهای نسبی را براساس مبادلات تولید بدست آوردیم. ما نشان دادیم که اعمال محدودیت­های وزنی در مدل‌های آنالیز نسبی معادل در نظر گرفتن مبادلات تولید در مدل­های تحلیل پوششی دادهای نسبی می­باشد. در این مقاله، رابطه میان این مدل­ها ارائه گردید. ما نشان دادیم که با اعمال محدودیت­های نسبی در مدل‌های آنالیز نسبی ممکن است کارایی واحد­های تصمیم­گیرنده کاهش یابد و رتبه واحدها نیز در مقایسه تغییر نماید. موضوع فوق در مورد مدل­های تحلیل پوششی دادهای نسبی با در نظر گرفتن مبادلات تولید نیز صادق است. با استفاده از مدل­های ارائه شده در این مقاله می­توانیم میزان اهمیت نسبت­های ورودی­ها و خروجی­ها را در ارزیابی آنها دخالت دهیم. این مقاله به نحوی اطلاعات ارزشی تصمیم­گیرنده را در پروسه ارزیابی بکار می­برد. با انتخاب محدودیت­های وزنی مناسب می­توانیم به یک ارزیابی مطلوب مدنظر مدیر رسید.

به عنوان کارهای آتی می‌توان مدل‌های ارائه شده در این مقاله را برای دیگر انواع محدودیت‌های وزنی در تحلیل پوشش داده‌ها توسعه داد. همچنین می­توان این مدل­ها را در سایر تکنولوژی­ها نظیر تکنولوژی غیرمحدب توسعه داد.

 

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

[1] Allen R., Athanassopoulos A., Dyson R. G., & Thanassoulis E. (1997). Weights restrictions and value judgments in data envelopment analysis: Evolution, development and future directions, Annals of Operations Research, 73, 13–34.

[2] Chen W. C., & McGinnis, L. F. (2007). Reconciling ratio analysis and DEA as performance assessment tools, European Journal of Operational Research, 178, 277–291.

[3] Despic O., Despic M., & Paradi J. C. (2007). DEA-R: Ratio-based comparative efficiency model, its mathematical relation to DEA and its use in applications, Journal of Productivity Analysis, 28(1), 33–44.

[4] Gerami J. (2019). An interactive procedure to improve estimate of value efficiency in DEA, Expert Systems with Applications, 137, 29–45.

[5] Gerami J., Mozaffari M. R., Wanke P.F. (2020). A multi-criteria ratio-based approach for two-stage data envelopment analysis, Expert Systems with Applications, 158, 113508.

[6] Gerami J., Mozaffari M.R., Wanke P.F., & Correa H. (2022). A novel slacks-based model for efficiency and super-efficiency in DEA-R, Operations Research, 22(4), 3373–3410.

[7] Gerami J., Kiani Mavi R., Farzipoor Saen R., & Kiani Mavi N. (2023). A novel network DEA-R model for evaluating hospital services supply chain performance, Annals of Operations Research, 324, (1-2), 1041-1066.

[8] Mozaffari M. R, Kamyab P., Jablonsky J., & Gerami, J. (2014). Cost and revenue efficiency in DEA-R models. Computers & Industrial Engineering, 78, 188–194.

[9] Mozaffari M. R, Gerami J., & Jablonsky J. (2014). Relationship between DEA models without explicit inputs and DEA-R models, Central European Journal of Operations Research, 22(1), 1–12.

[10] Mozaffari M. R., Dadkhah F., & Jablonsky J., Wanke, P. W. (2021). Finding efficient surfaces in DEA-R models, Applied Mathematics and Computation, 386, 125497.

[11] Podinovski V.V. (2004). Production trade-offs and weight restrictions in data envelopment analysis, Journal of the Operational Research Society, 55(12),1311–1322.

[12] Podinovski V. V. (2007). Computation of efficient targets in DEA models with production trade-offs and weight restrictions, European Journal of Operational Research, 181(2), 586–591.

[13] Podinovski V.V., & Bouzdine-Chameeva T. (2013). Weight restrictions and free pro-duction in data envelopment analysis, Operations Research, 61(2), 426–437.

[14] Podinovski V.V., & Bouzdine-Chameeva T. (2015). Consistent weight restrictions in data envelopment analysis, European Journal of Operational Research, 244(1), 201-209.

[15] Papaioannou G., & Podinovski V.V. (2023). Production technologies with ratio inputs and outputs, European Journal of Operational Research, 310, 1164–1178.

[16] Roll Y., Cook W.D., & Golany B. (1991). Controlling factor weights in data envelopment analysis, IIE Transactions, 23(1), 2–9.

[17] Song M., Wu J., & Wang Y. (2011). An extended aggregated ratio analysis in DEA, Journal of Systems Science and Systems Engineering, 20(2), 249-256.

[18] Wei C. K., Chen L. C., Li R. K., & Tsai C. H. (2011). A study of developing an input oriented ratio-based comparative efficiency model, Expert Systems with Applications, 38(3), 2473–2477.

[19] Wei C. K., Chen L. C., Li R. K., & Tsai C. H. (2011). Exploration of efficiency underestimation of CCR model: Based on medical sectors with DEA-R model, Expert Systems with Applications, 38(4), 3155–3160.

[20] Wei C. K., Chen L. C., Li R. K., & Tsai C. H. (2011). Using DEA-R model in the hospital industry to study the pseudo-inefficiency problem, Expert Systems with Applications, 38(3), 2172–2176.

[21] Wu D. S., Liang L., Huang Z. M., & Li S. X. (2005). Aggregated ratio analysis in DEA, International Journal of Information Technology & Decision Making, 4(3), 369–384.

[22] Zha Y., & Liang, L. (2015). Aggregated ratio analysis in DEA, International Journal of Information Technology & Decision Making, 14(6), 1285-1297.

---

[1] عهده­دار مکاتبات: Email: [e-mail]                                                                                          

[2]  Data envelopment analysis (DEA)

[3]  Ratio data

[4]  weight restrictions

[5]  Production trade-offs

[6]  Ratio based data envelopment analysis (DEA-R)

[7]  Wu and Liang

[8]  Gerami

[9]  Ratio analysis

[10]  Zha and Liang

[11]  Song

[12]  Chen and McGinnis

[13]  Despic  

[14]  Wei

[15]  Facet

[16]  Allen

[17]  Roll

[18]  Podinovski

[19]  Podinovski and Bouzdine-Chameeva

[20]  Variable and Constant returns to scal

[21]  Multiplier

[22]  Envelopment

[23]  linked

[24]  unlinked

[25]  Ratio analysis

[26]  DEA-R

---