‎‎چکیده‎‎ گاوارتا برای مطالعه‌ی سیستم‌های اتمی که اولین بار توسط فیشتینگر و همکارانش معرفی شده بود، K-قاب‌ها روی فضاهای هیلبرت را ارائه کرد. K-قاب‌ها نوعی از قاب‌ها هستند، که کران پایین آنها فقط برای عناصر برد عملگر خطی کراندار K در فضای هیلبرت برقرار است. C* جبری که توپولوژی آن به جای یک C*-نرم توسط خانواده‌ای از C*-نیم‌نرم‌های پیوسته القا شود -‎C*-proجبر می‌نامند. فضاهای C*-pro-مدول هیلبرتی تعمیمی از فضاهای هیلبرت است، هرگاه ضرب داخلی مقادیر بیشتری را از اعداد مختلط، یعنی مقادیری از C*-pro-جبر اختیار کند. در این مقاله دنباله‌ای که عناصر آن عملگرهای الحاق‌پذیر از -‎C*-proجبر به فضای ‎C*-pro -مدول هیلبرتی است، را دنباله ضربگرها می‌نامیم. مفهوم سیستم‌های اتمی و K-قاب از ضربگرها ‏در فضاهای -‎C*-pro ‎مدول هیلبرتی را معرفی ‏ می‌کنیم و برای تفهیم بیشتر مثالی از K-قاب‌ها را ارائه می‌دهیم. شرطی که دنباله‌ای از ضربگرها قاب باشد، را به‌دست می‌آوریم و ارتباط سیستم‌های اتمی و K-قاب‌ها با یکدیگر و قاب از ضربگرها را بررسی می‌کنیم. اگر K عملگری کراندار با شرایطی خاص باشد هر K-قاب یک قاب از ضربگرها در فضای C*-pro-مدول هیلبرتی است. همچنین برخی خواص این مفاهیم مانند ترکیب عملگرها با K-قاب‌ها در فضای C*-pro-مدول هیلبرتی را تحقیق می‌کنیم. تفاصيل المقالة

‎In this paper‎, ‎by using the sequence of multipliers‎, ‎we introduce frames with algebraic bounds in Hilbert pro-$ C^* $-modules‎. ‎We investigate the relations between frames and $ \ast $-frames‎. ‎Some properties of $ \ast $-frames in Hilbert pro-$ C^* $-modules are studied‎. ‎Also‎, ‎we show that there exist two differences between $ \ast $-frames in Hilbert pro-$ C^* $-modules and Hilbert $ C^* $-modules‎. ‎Finally‎, ‎dual $ \ast $-frames in Hilbert pro-$ C^* $-modules are presented‎. تفاصيل المقالة