در این مقاله به بررسی پایه‌های ریس پیوسته می‌پردازیم و برخی از روابط که در مورد قاب های گسسته شناخته شده است بین پایه‌های ریس پیوسته و پایه‌های متعامد یکه پیوسته را بیان می‌کنیم. همچنین شرایط لازم برای اینکه یک قاب پیوسته، یک پایه پیوسته یا یک پایه متعامد یکه پیوسته باشد را بیان می کنیم. به ویژه نشان می‌دهیم که هر پایه ریس پیوسته تصویر (ضعیف) یک پایه متعامد یکه پیوسته تحت یک عملگر معکوس پذیر کراندار است. نشان می دهیم که قاب های پیوسته خیلی شبیه قاب های گسسته عمل می کنند. در حقیقت یک تناظر بین قاب‌های پیوسته و گسسته وجود دارد. به عنوان کاربرد، می‌توان چندین مسأله در قاب‌های پیوسته را به کمک قاب‌های گسسته حل کرد. ما برخی از روابط بین قاب های گسسته و پیوسته را ارائه می دهیم. به ویژه دقیق بودن قاب های پیوسته را به کمک پایه ریس پیوسته تعریف و شناسایی می‌کنیم و نشان می‌دهیم که قاب‌های پیوسته دقیق واقعا پایه های ریس پیوسته هستند. در نهایت دوگان های غیرکانونی قاب‌های پیوسته را با انتقال این مسأله به قاب‌های گسسته و استفاده از دوگان قاب‌ های گسسته مشخص می‌کنیم. تفاصيل المقالة

Let $H$ and $K$ be compact subgroups of locally compact group $G$. By considering the double coset space $K\setminus G/H$, which equipped with an $N$-strongly quasi invariant measure $\mu$, for $1\leq p\leq +\infty$, we make a norm decreasing linear map from $L^p(G)$ onto $L^p(K\setminus G/H,\mu)$ and demonstrate that it may be identified with a quotient space of $L^p(G)$. In addition, we illustrate that $L^p(K\setminus G/H, \mu)$ is isometrically isomorphic to a closed subspace of $L^p(G)$. These assist us to study the structure of the classical Banach space created on a double coset space by those produced on topological space. تفاصيل المقالة