درجه جابجایی یک نیم گروه ناآبلی متناهی S، احتمال انتخاب زوج مرتب (x,y) از اعضای S است،که در آن x با y جابجا می شود. بنابه تعریف درجه جابجایی واضح است که اگر S یک نیم گروه آبلی باشد درجه جابجایی آن یک است. واضح است که آن دسته از نیم گروه هایی مورد بحث هستند که ناآبلی و متناهی باشند. به ازای هر عدد صحیح مثبت و دلخواه n=p^α q^β، که در آن p و q اعداد اول (2≤p تفاصيل المقالة

‎For a given positive integer $n$‎, ‎the $n^{th}$ commutativity degree‎ ‎of a finite non-commutative semigroup $S$ is defined to be the‎ ‎probability of choosing a pair $(x,y)$ for $x‎, ‎y \in S$ such‎ ‎that $x^n$ and $y$ commute in $S$‎. ‎If for every elements $x$ and $y$ of‎ ‎an associative algebraic structure $(S,.)$ there exists a‎ ‎positive integer $r$ such that $xy =y^{r}x$‎, ‎then $S$ is called‎ ‎quasi-commutative‎. ‎Evidently‎, ‎every abelian group or commutative‎ ‎semigroup is quasi-commutative‎. ‎In this paper‎, ‎we study the‎ ‎$n^{th}$ commutativity degree of certain classes of‎ ‎quasi-commutative semigroups‎. ‎We show that the‎ ‎$n^{th}$ commutativity degree of such structures is greater than $\dfrac{1}{2}$‎. ‎Finally‎, ‎we compute the $n^{th}$ commutativity degree of a finite class‎ ‎of non-quasi-commutative semigroups and we conclude that it is less than $\dfrac{1}{2}$‎. تفاصيل المقالة

In this paper we study the existence of commuting regular elements, verifying the notion left (right) commuting regular elements and its properties in the groupoid G(n). Also we show that G(n) contains commuting regular subsemigroup and give a necessary and sufficient condition for the groupoid G(n) to be commuting regular. تفاصيل المقالة