فرض کنید  یک حلقه‌ موضعی کوهن - مکالی با هیأت مانده‌ای نامتناهی ،  یک - مدول کوهن - مکالیو  ایدآلی از  باشد. فرض کنید  و ، به ترتیب جبر ریس و حلقه‌ مدرج وابسته  و  نشان دهنده‌‌ی بسط تحلیلی  باشد. نامساوی بورخ بیان می‌کند که  و تساوی زمانی برقرار است که  کوهن - مکالی باشد. بنابراین در این حالت می‌توان با محاسبه عمق حلقه مدرج وابسته ، بیان کرد . ما در این مقاله نتایج را به حالت مدولی تعمیم می‌دهیم و نشان خواهیم داد برای عمق مدول مدرج وابسته  نسبت به ؛ یعنی ، این تساوی در حالت مدولی حتی اگر  لزوماً کوهن - مکالی نباشد نیز برقرار است و تعمیم نامساوی بورخ را ثابت خواهیم کرد. همچنین به محاسبه عمق جبر ریس و حلقه‌‌ مدرج وابسته به یک ایدآل نوعاً همبرش کامل نسبت به مدول  در یک حلقه‌ موضعی کوهن - مکالی خواهیم پرداخت و نتایجی را درباره‌‌ی ایدآل‌های با انحراف تحلیلی کوچکتر یا مساوی یک با عدد تقلیل حداکثر دو نسبت به مدول  به دست می‌آوریم. تفاصيل المقالة