محاسبه ترازهای انرژی معادلات شرودینگر خطی به روش سینک

الموضوعات :

خدیجه نوروزی ¹ , سید محمد علی آل عمرانی نژاد ² , مهدی سلیمانی ³ , بهناز فرنام ⁴

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه صنعتی قم، قم، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه صنعتی قم، قم، ایران
3 - گروه فیزیک، دانشکده علوم پایه، دانشگاه صنعتی قم، قم، ایران
4 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه صنعتی قم، قم، ایران

تاريخ الإرسال : 01 الثلاثاء , جمادى الثانية, 1438 تاريخ التأكيد : 12 الخميس , شوال, 1438 تاريخ الإصدار : 03 الإثنين , صفر, 1439

الکلمات المفتاحية: Sinc Collocation Method, Finite difference Method, Eigenvalue, Eigen function,

ملخص المقالة :

محاسبه انرژی­های معادله شرودینگر در فیزیک از اهمیت ویژه­ای برخوردار است. به عنوان مثال در محاسبه میزان جذب نور و میزان شکست نور در یک ماده، محاسبه انرژی­های گذار بین زیرنواری و انرژی­های گذار بین نواری، از ترازهای انرژی استفاده می­کنیم. همچنین، به کمک ترازهای­های انرژی می­توان چگالی حالات یک سیستم فیزیکی را یافت و از روی آن به دلیل عایق، نیم رسانا و یا فلز بودن یک ماده پی­برد. روش­های زیادی در خصوص محاسبه ترازهای انرژی وجود دارد که هرکدام از نقاط ضعف و قدرتی برخوردارند. روش­های تکرار مجانبی، الگوریتم ژنتیک، نومروف، شبکه های عصبی، ماتریس انتقال و ... تعدادی از آنها می­باشند. محاسبه ترازهای انرژی به کمک توابع سینک، کمتر مورد توجه دانشمندان این حوزه بوده است. در این مقاله، کارایی روش هم محلی سینک در محاسبه این انرژی­ها را بررسی کرده­ایم. برای حل این مسائل، با استفاده از تقریب تابع مجهول به وسیله توابع سینک و به کمک روش هم محلی، مسئله را به یک مساله ویژه مقداری تبدیل می­کنیم. در ادامه با بیان مثال­هایی، دقت و سرعت این روش را با روش تفاضلات متناهی، که روشی رایج در بین فیزیکدانان است، مقایسه کرده­ایم. درنهایت، با توجه به جداول و محاسبات انجام شده، دقت و سرعت این روش در مقایسه با برخی از روش­ها، ثابت کرده­ایم. تمامی محاسبات با نرم افزار میپل صورت گرفته است.

المصادر:

 

[1] U. Yesilgul, Linear and nonlinear intersubband optical absorption coefficients and refractive index changes in symmetric double semi-V-shaped quantum wells, Journal of Luminescence 132 (2012) 765 –773.

 

[2] C. Perssona, R. Ahujaa, A. Ferreira da Silvab, B. Johansson, First-principle calculations of optical properties of wurtzite AlN and GaN ,Journal of Crystal Growth 231 (2001) 407–414.

 

[3] G. H. Nie, Analysis of non-linear behaviour of imperfect shallow spherical shells on pasternak foundation by the asymptotic iteration method, International Journal of Pressure Vessels and Piping 80 (2003) 229–235.

 

[4] R. Saha, P. Chaudhury, S. P. Bhattacharyya, Direct solution of Schrödinger equation by genetic algorithm: test cases, Physics Letters A 291 (2001) 397–406.

 

[5] Z. Kalogiratou, Th. Monovasilis, T.E. Simos, Numerical solution of the two-dimensional time independent Schrodinger equation with Numerov-type methods, Journal of Mathematical Chemistry, 37 (2005) 271-279.

 

[6] Y. Shirvany, M. Hayati , R. Moradian, Numerical solution of the nonlinear Schrodinger equation by feedforward neural networks,  communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 13 (2008) 2132–2145.

 

[7] Z. Cao, Q. Liu, Q. Shen, X. Dou, Y. Chen, Y. Ozaki, Quantization scheme for arbitrary one-dimensional potential wells, Physical Review A, 3 (2001) 054103- 054103-4.

 [8] F. Stenger, Numerical methods based on Sinc and analytic functions, New York (NY): Springer-Verlag, (1993).

 

[9] J. Lund, K. Bowers, Sinc methods for quadrature and differential equations, Philadelphia, (PA): SIAM, (1992).

 

[10] M. Dehghan, A. Saadatmandi, The numerical solution of a nonlinear system of second-order boundary value problems using the sinc-collocation method, Mathematical and Computer Modelling 46 (2007) 1434–1441.

 

[11] S. Sayan, R. A. Bartynski, X. Zhao, E. P. Gusev, D. Vanderbilt, M. Croft,

M. Banaszak Holl, E. Garfunkel, Valence and conduction band offsets of a ZrO2/SiOxNy/n-Si CMOS gate stack: A combined photoemission and inverse photoemission study, phys. stat. sol. (b) 241(10) (2004) 2246–2252.

 

[12] s. L. Chuang, D. Ahn, Optical transitions in a parabolic quantum well with an applied electric field analytical solutions, J. Appl. Phys. 65 (19S5) 2822- 2826.

[13] G. B. Arfken, H. J. Weber, F. E. Harris, Mathematical methods for physicists, A Comprehensive guide, Seventh Edison (2013).

 

[14] S. M. Ikhdari, physica, M. Hamzavi, R. Sever, Spectra of cylindrical quantum dots: The effect of electrical and magnetic fields together with AB flux field,Physica B: Condensed Matter 407.23 (2012) 4523-4529.

 

[15] H. Hassanabadi, H. Rahimov, An alternative method for spectrum of a three-electron-quantum dot,Physica B: Condensed Matter 406 (2012) 3070-3073.