نگاشت های غیرپخشی مجموعه مقدار در فضاهای باناخ

الموضوعات :

روشنک لطفی کار ¹ , غلامرضا زمانی اسکندانی ² , معصومه رئیسی ³

1 - گروه ریاضی ، دانشکده علوم پایه، دانشگاه ایلام، ایلام، ایران
2 - گروه ریاضی محض، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران
3 - گروه ریاصی محض، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران

تاريخ الإرسال : 05 الأربعاء , ربيع الثاني, 1443 تاريخ التأكيد : 11 الإثنين , جمادى الأولى, 1444 تاريخ الإصدار : 22 الأربعاء , ربيع الأول, 1446

الکلمات المفتاحية: Bregman distance, Nonspreading mappings, fixed point, Hausdorff distance,

ملخص المقالة :

در سال 2008 کوساکا و تاکاهاشی در فضاهای باناخ هموار اکیدا محدب انعکاسی نگاشت های غیر پخشی را معرفی و به مطالعه خواص آنها پرداختند [1]. بعد از آن محققان زیادی به مطالعه روی این نگاشتها پرداختند و چندین قضیه در مورد نقاط ثابت این نگاشت ها را ثابت کردند. لازم به ذکر است که نگاشت های غیر پخشی به خاطر کاربردهای فراوانی که دارند از اهمیت زیادی در آنالیز غیر خطی برخوردارند. در این مقاله به معرفی و بررسی نگاشت های غیر پخشی مجموعه مقدار، که آنها را نگاشت های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار می نامیم، خواهیم پرداخت. برای این منظور فاصله هاسدرف برگمن را روی زیر مجموعه های بسته و کراندار یک فضای باناخ تعریف کرده و خواص آن را بررسی خواهیم کرد. بعالوه یک قضیه همگرایی ضعیف برای تقریب نقطه ثابت مشترکی از یک خانواده متناهی از نگاشت های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار در فضاهای باناخ ارائه خواهیم کرد. در نهایت یک قضیه وجودی برای نقاط ثابت نگاشت های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار را اثبات خواهیم کرد. نتایج ارائه شده در این مقاله برخی از نتایج موجود را نیز تعمیم و بهبود می دهد.

المصادر:

[1] F. Kohsaka, and W. Takahashi, “Proximal point algorithm with Bregman functions in Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal. 6, pp. 505-523, 2005.

[2] S. Iemoto, and W. Takahashi, “Approximating common fixed points of nonexpansive mappings and nonspreading mappings in a Hilbert space”, Nonlinear Anal. 71, pp. 2080-2089, 2009.

[3] W. Cholamjiaky, S. Suantai, and Y.J. Cho, “Fixed points for nonspreading-type multi-valued mappings: existence and convergence results”, Ann. Acad. Rom. Sci. Ser. Math. Appl. Vol.10, No. 2, 2018.

[4] S. Suantai, P. Cholamjiak, Y. J. Cho, and W. Cholamjiak, “On solving split equilibrium problems and fixed point problems of nonspreading multi-valued mappings in Hilbert spaces”, Fixed Point TheoryAppl. 2016.

[5] L. M. Bregman, “A relaxation method for finding the common point of convex sets and its application to the solution of problems in convex programming, USSR Comput”, Math. Math. Phys. 7, pp. 200-217, 1967.

[6] H. H. Bauschke, J. M. Borwein, and P. L. Combettes, “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, Commun. Contemp. Math. 3, 615-647, 2001.

[7] H. H, Bauschke, J. M. Borwein, and P. L. Combettes, “Bregman monotone optimization algorithms”, SIAM J. Control Optim. 42, pp. 596-636, 2003.

[8] D. Butnariu, and A. N. Iusem, “Totally Convex Functions for Fixed Points Computation and Infinite Dimensional Optimization”, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2000.

[9] D. Butnariu, A. N. Iusem, and C. Zalinescu, “On uniform convexity, total convexity and convergence of the proximal point and outer Bregman projection algorithms in Banach spaces”, J. Convex Anal. 10, pp. 35-61, 2003.

[10] D, Butnariu, and A. N. Iusem, “Bregman distances, totally convex functions and a methodfor solving operator equations in Banach spaces”, Abstr. Appl. Anal. Pp. 1-39, 2006, Art.

[11] G. Z. Eskandani, M. Raeisi, and Th. M. Rassias, “A hybrid extragradient method for solving pseudomonotone equilibrium problems using Bregman distance”, J. Fixed Point Theory Appl, pp. 20:132, 2018.

[12] M. Raeisi, G. Z. Eskandani, and M. Eslamian, “A general algorithm for multiple-sets split feasibility problem involving resolvents and Bregman mappings”, Optimization. 68. Pp. 309-327, 2018.

[13] S. Reich, and S. Sabach, “A strong convergence theorem for a proximal-type algorithm in reflexive Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal. 10, pp.471-485, 2009.

[14] S. Reich, and S. Sabach, “Two strong convergence theorems for a proximal method in reflexive Banach spaces”, Numer. Funct. Anal. Optim. 31, pp.22-44, 2010.

[15] S. Reich, and S. Sabach, “Two strong convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, Nonlinear Anal. 73, pp.122-135, 2010.

[16] S. Reich, and S. Sabach, “Existence and approximation of fixed points of Bregman firmly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces. In: Fixed-point algorithms for inverse problems in science and engineering”, optimization and its applications. NewYork (NY): Springer; pp. 301-316, 2011.

[17] J. F, Bonnans, and A. Shapiro, “Perturbation Analysis of Optimization Problems”, Springer Verlag, New York, 2000.

[18] S. Sabach, “Products of finitely many resolvents of maximal monotone mappings in reflexive Banach spaces”, SIAM J. Optim. 21, pp.1289-1308, 2011.

[19] Y. I. Alber, “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: Properties and applications. in: Kartsatos A.G., Theory and Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp.15-50, 1996.

[20] Y. Censor, and A. Lent, “An iterative row-action method for interval convex programming”, J. Optim. Theory Appl. 34, pp.321-353, 1981.

[21] R. P. Phelps, “Convex Functions, Monotone Operators, and Differentiability, second ed.in: Lecture Notes in Mathematics”, vol. 1364, Springer Verlag, Berlin, 1993.

[22] E. Naraghirad, and J. C. Yao, “Bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach spaces”, Fixed Point Theory Appl. doi: 10.1186/1687-1812-2013-141, 2013.

[23] C. Zalinescu, “Convex analysis in general vector spaces”, World Scientific Publishing, Singapore, 2002.

[24] F. Schopfer, T. Schuster, and A. K. Louis, “An iterative regularization method for the solution of the split feasibility problem in Banach spaces”, Inverse Problems 24, 2008.

[25] D, Butnariu, A. N. Iusem, and E. Resmerita, “Total convexity for powers of the norm in uniformly convex Banach spaces”, J. Convex Anal. 7, pp.319-334, 2000.

[26] A. Ambrosetti, and G. Prodi, “A Primer of Nonlinear Analysis”, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

[27] W. Takahashi, “Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory and its Applications”, Yokohama Publishers, Yokohama, 2000 (in Japanese).

نص كامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال دهم، شماره چهل و هفتم، فروردین و اردیبهشت 1403

شماره شاپا: x588-2588

 

 

نگاشت­های غیر­پخشی برگمن مجموعه مقدار در فضاهای باناخ

روشنک لطفی­کار¹*، غلامرضا زمانی اسکندانی2، معصومه رئیسی 3

(1)   گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه ایلام، ایلام، ایران

(2و3)   گروه ریاضی محض، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران

 

تاریخ ارسال مقاله: 19/08/1400 تاریخ پذیرش مقاله: 14/09/1401

ﭼﮑﯿﺪه

در سال 2008 کوساکا و تاکاهاشی در فضاهای باناخ هموار اکیدا محدب انعکاسی نگاشت­های غیرپخشی را معرفی و به مطالعه خواص آنها پرداختند ]1[. بعد از آن محققان زیادی به مطالعه روی این نگاشت­ها پرداختند و چندین قضیه در مورد نقاط ثابت این نگاشت­ها را ثابت کردند. لازم به ذکر است که نگاشت­های غیرپخشی به خاطر کاربردهای فراوانی که دارند از اهمیت زیادی در آنالیز غیرخطی برخوردارند. در این مقاله به معرفی و بررسی نگاشت­های غیرپخشی مجموعه مقدار، که آنها را نگاشت­های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار می­نامیم، خواهیم پرداخت. برای این منظور فاصله هاسدرف برگمن را روی زیر مجموعه­های بسته و کراندار یک فضای باناخ تعریف کرده و خواص آن را بررسی خواهیم کرد. بعلاوه یک قضیه همگرایی ضعیف برای تقریب نقطه ثابت مشترکی از یک خانواده متناهی از نگاشت­های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار در فضاهای باناخ ارائه خواهیم کرد. در نهایت یک قضیه وجودی برای نقاط ثابت نگاشت­های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار را اثبات خواهیم کرد. نتایج ارائه شده در این مقاله برخی از نتایج موجود را نیز  تعمیم و بهبود می­دهد.

 

 

 

واژهﻫﺎی ﮐﻠﯿﺪی: نگاشت­های غیر­پخشی، متر هاسدورف، فاصله برگمن، نقطه ثابت.

 

---

[1] نویسنده مسئول:                                                          Email: [e-mail] 

1- ﻣﻘﺪﻣﻪ

فرض کنید C یک زیرمجموعه محدب، بسته و ناتهی از فضای هیلبرت H باشد. نگاشت  را غیر­پخشی گویند هرگاه به ازای هر  داشته باشیم:

 

اخیراً ایموتو و تاکاهاشی]2[ نشان داده­­اند که نگاشت   غیر پخشی است اگر و تنها اگر به ازای هر  داشته باشیم:

.

فرض کنید C زیرمجموعه ناتهی از فضای هیلبرت  Hباشد، مجموعه همه زیرمجموعه­های ناتهی، بسته و کراندار C را با نماد CB(C)  و مجموعه همه زیر مجموعه­های ناتهی و فشرده C را با نماد K(C) نشان خواهیم داد. متر هاسدرف H روی CB(C) به صورت زیر تعریف می­شود:

 

به ازای هر A و B  از CB(C)  که­ در آن 

  فرض کنید  یک نگاشت مجموعه مقدار باشد،  را نقطه ثابت T می­گویند هرگاه . مجموعه همه نقاط ثابتT  را با نماد F(T) نشان می دهیم.

چولمجیاک و همکارانش در ]3،4[ نگاشت­های  -kغیرپخشی مجموعه مقدار را به صورت زیر تعریف کرده­اند:

 

که در آن  برای  این رده از نگاشتها را نگاشت‌های غیرپخشی نامیدند. آنها همچنین روش تکراری زیر را برای تقریب یک نقطه ثابت مشترک خانواده متناهی از نگاشت­های غیرپخشی  ارایه کردند:

 

و تحت شرایطی ثابت کردند که دنباله   همگرای ضعیف به عضوی از   است.

در سال 1967 برگمن ]5[  فاصله برگمن را معرفی و به کاربردهای موثر آن در مسایل آنالیز غیرخطی پی­ برد. فرض کنید یک تابع لژاندر باشد، فاصله برگمن نسبت به f  تابع   می­باشد که به صورت زیر تعریف می­شود:

 

لازم به یادآوری است که  یک متر به معنای متعارف آن نمی­باشد. واضح است که   ولی  ممکن است   را نتیجه ندهد، با این حال اگر f   تابع لژاندر باشد، این رابطه را خواهیم داشت ]6[. فاصله برگمن در کل متقارن نمی­باشد و در نامساوی مثلثی صدق نمی­کند، اما به ازای هر x از دامنه  f  و هر y از درون دامنه f   در خاصیت سه نقطه­ای زیر صدق می کند:

 

همچنین فاصله برگمن به ازای هر   و w متعلق به دامنه­ی f و هر  و  z متعلق به درون دامنه f در خاصیت چهار نقطه­ای زیر صدق می کند:

 

به آسانی دیده می­شود که اگر   فضای هیلبرت و  ، آنگاه .

فاصله برگمن کاربردهای زیادی در مسایل مختلف آنالیز غیرخطی دارد که علاقمندان می­توانند به ]6،16 [ مراجعه کنند.

در این مقاله، ابتدا فاصله هاسدرف برگمن را روی زیر مجموعه­های بسته و کراندار یک فضای باناخ تعریف کرده، سپس با استفاده از این مفهوم نگاشت­های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار را در فضاهای باناخ تعریف کرده، به بررسی خواص این نگاشت­ها خواهیم پرداخت. همچنین یک قضیه همگرایی ضعیف برای تقریب نقطه ثابت مشترکی از یک خانواده متناهی از نگاشت­های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار در فضاهای باناخ ارائه خواهیم داد. در نهایت یک قضیه وجودی برای نقاط ثابت نگاشت­های غیرپخشی برگمن ثابت خواهیم کرد. نتایج ارایه شده در این مقاله برخی از نتایج موجود را تعمیم می دهد.

٢-ﭘﯿﺶﻧﯿﺎزﻫﺎ

در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺑﻪ ﯾﺎدآوری ﺑﺮﺧﯽ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ و لم­های مقدماتی ﮐﻪ در ﻧﺘﺎﯾﺞ اﺻﻠﯽ اﯾﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﮔﺮﻓﺖ، ﻣﯽﭘﺮدازﯾﻢ. در سراسر این مقاله  را یک فضای باناخ حقیقی انعکاسی و C را زیرمجموعه‌ای محدب، بسته و ناتهی از   در نظر می گیریم. اگر   یک دنباله در   و   باشد، همگرایی ضعیف   به x  را  با   و همگرایی قوی   به  را  با  نمایش می­دهیم. فرض کنید  تابعی سره، محدب و نیم­پیوسته پایین باشد. دامنه  را با نماد  نمایش می­دهیم که برابر مجموعه  است. فرض کنید  . زیر مشتق  در x  به صورت زیر تعریف می­شود:

 

و مزدوج فنچل  تابع   می باشد که به صورت زیر تعریف می­شود:

 

می­دانیم که   اگر وتنها اگر

 

و تابعی سره، محدب و نیم­پیوسته پایین می­باشد. تابع  را محدود گویند هرگاه . فرض کنید  تابعی محدب باشد، مشتق سوئی f در نقطه x  و در جهت  y را با نماد  نشان می­دهند و به صورت زیر تعریف می شود:

 

با میل دادن ، اگر حد فوق به ازای هر  موجود باشد  را در نقطه   مشتق­پذیر گاتو می­گویند. در این صورت گرادیان  در نقطه  نگاشت خطی  می­باشد که به ازای هر  متعلق به  به فرم    تعریف می­شود. نگاشت  را مشتق­پذیر گاتو گویند هر گاه  در هر نقطه از   متعلق به درون دامنه  مشتق­پذیر گاتو باشد. اگر حد فوق برای هر  که   به طور یکنواخت موجود باشد، تابع  را در   مشتق پذیر فرشه گویند.  را روی مجموعه  به طور یکنواخت مشتق پذیر فرشه گویند، هرگاه حد  برای هر  و هر  که  به طور یکنواخت به دست آمده باشد.

تعریف 2-1  نگاشت  را لژاندر گویند هرگاه در شرایط زیر صدق کند:

(L1)  روی دامنه­اش تک مقداری و درون دامنه  ناتهی باشد،

 L2))  روی دامنه­اش تک مقداری و درون دامنه  ناتهی باشد.

چون   انعکاسی فرض شده است،    (مرجع ]17[ صفحه82) که این همراه با شرایط  (L1)و (L2)  برابری‌های زیر را ایجاب می­کند:

 

همچنین شرایط (L1) و  (L2)همراه با قضیه 5-4 از ]6[ ایجاب می­کند که نگاشت­های  و در درون دامنه­هایشان اکیداً محدب می باشند و  تابع لژاندر است اگر و تنها اگر   لژاندر باشد. مثال­های جالب بیشتری از نگاشت­های لژاندر در ]6[ مورد بررسی قرار گرفته­اند. اگر   یک فضای باناخ اکیداً محدب و هموار باشد آنگاه نگاشت­های   برای هر      لژاندر هستند.

نگاشت لژاندر  را در نقطه   کلا محدب گویند هرگاه اندازه تحدب کلی   در ، یعنی نگاشت   که به صورت

 

تعریف می­شود، برای هر  مثبت باشد. این نماد برای اولین بار توسط بوتناریو و یوسم ]8[ معرفی شده است. فرض کنید  زیرمجموعه ناتهی از  باشد، اندازه تحدب کلی نگاشت  روی   به صورت

 

تعریف می شود. نگاشت   را روی زیر مجموعه های کراندار محدب کلی گوییم هر گاه  برای هر زیر مجموعه ناتهی و کراندار   و به ازای هر   مثبت باشد.

از لم­های زیر برای اثبات نتایج خود استفاده خواهیم کرد.

لم2-2 : ]13[  اگر نگاشت  لژاندر، بطور یکنواخت مشتق پذیر فرشه و روی زیر مجموعه های کراندار  کراندار باشد، آنگاه   روی زیرمجموعه­های کراندار  به طور یکنواخت پیوسته است.

لم2-3: ]8[ نگاشت لژاندر  روی زیرمجموعه های کراندار   کلا محدب است اگر و تنها اگر برای هر دنباله کراندار در   و هر دنباله  در  داشته باشیم:

.

لم 2-4:]14[ فرض کنید  مشتق پذیر گاتو و کلا́ محدب باشد. اگر و دنباله   کراندار باشد، آنگاه دنباله  نیز کراندار است.

لم2-5: ]18[  فرض کنید   نگاشت لژاندر باشد به طوری­ که  روی زیرمجموعه­های کراندار   کراندار باشد. اگر   و  کراندار باشند، در این صورت  نیز کراندار است.

تصویر برگمن  تحت  روی زیرمجموعه ناتهی، بسته و محدب  ، بردار منحصر به فرد   می­باشد که به صورت زیر تعریف می شود ]5[:

.

مانند تصویر متری در فضاهای هیلبرت، تصویر برگمن متناظر با توابع کلا́ محدب و مشتق پذیر گاتو دارای مشخصه تغییراتی زیر است که برای اثبات می توان به نتیجه 4-4، ]10[  مراجعه کرد.

لم 2-6: فرض کنید  نگاشت مشتق پذیر گاتو و کلا́ محدب روی درون دامنه  باشد. همچنین فرض کنید

   و بسته، محدب و ناتهی باشد. اگر  ، آنگاه گزاره های زیر معادلند.

1)                                                           

2)  جواب منحصربه فرد نامساوی تغییراتی زیر می­باشد:

 

3)   جواب منحصربه فرد نابرابری زیر می­باشد:

 

مشابه مقالات ]20،19[، تابع   وابسته به نگاشت   را به صورت

 

تعریف می­کنیم، بنابراین برای هر   و داریم:

.

علاوه­براین، با استفاده از نامعادله زیرمشتق برای هر   و   داریم: 

 

که برای اثبات به مرجع ]1[ مراجعه شود. همچنین اگر   محدب، سره و نیم­پیوسته پایین باشد، آنگاه   محدب، سره و نیم­پیوسته پایین ستاره می­باشد ]21[. بنابراین   نسبت به متغیر دوم محدب است و برای هر  داریم:

 

که ­در ­آن   .

فرض کنید B و S به ترتیب گوی واحد بسته و دیسک واحد از فضای باناخ  باشد. همچنین برای هر ، فرض کنید . نگاشت  روی زیرمجموعه­های کراندار   محدب یکنواخت نامیده می­شود اگر برای هر   داشته باشیم  که در آن   به صورت زیر تعریف می­شود:

 

 

به ازاء هر  .

نگاشت   اندازه تحدب یکنواخت تابع  نامیده می­شود و یک نگاشت صعودی می­باشد. 

لم2-7: ]22[  فرض کنید X  یک  فضای باناخ،   و  روی زیرمجموعه­های کراندار  X محدب یکنواخت باشد. در این صورت برای هر  ،  ،  با فرض  داریم :

 

که­درآن   اندازه تحدب یکنواخت نگاشت می­باشد.

نگاشت روی زیرمجموعه­های کراندار هموار یکنواخت ]23[ نامیده   می­شود، اگر برای هر   ،   که­ در ­آن   به صورت زیر تعریف می­شود: 

 

 

نگاشت  را ابرافزاینده گویند اگر  .

قضیه2-8  : ]23[ فرض کنید   نگاشت محدب و ابرافزاینده باشد. در این صورت گزاره های زیر معادلند:

 ١ (   روی زیرمجموعه­های کراندار X ، کراندار و هموار یکنواخت است،

 ٢ (   مشتق پذیر فرشه و روی زیرمجموعه­های کراندار X  به طور یکنواخت پیوسته نرم به نرم می­باشد،

3)  ،  ابرافزاینده و محدب یکنواخت روی زیرمجموعه­های کراندار  است.

قضیه2-9: ]23[  فرض کنید   محدب و روی زیرمجموعه­های کراندار X کراندار باشد. آنگاه گزاره‌های زیر معادلند:

 ١ (   ابرافزاینده و روی زیرمجموعه­های کراندار X محدب یکنواخت است.

2)   و روی زیرمجموعه­های کراندار   کراندار و هموار یکنواخت است.

3)   و مشتق پذیر فرشه و  روی زیر مجموعه های کراندار   یکنواخت پیوسته است.

قضیه 2-10: ]9[ فرض کنید   نگاشت لژاندر باشد. نگاشت   روی زیرمجموعه­های کراندار کلا محدب است اگر و تنها اگر روی مجموعه های کراندار محدب یکنواخت باشد.

فرض کنید  که  که در آن   . اندازه تحدب عبارت است از نگاشت  که به صورت زیر تعریف می­شود:

 

  را محدب یکنواخت گویند اگر برای هر   داشته باشیم   و آن را  p-  محدب یکنواخت گویند اگر ثابت  وجود داشته باشد به­طوری­که برای هر ،   . اندازه همواری عبارت است از نگاشت   که به صورت زیر تعریف می­شود:

 

  را هموار گویند اگر برای هر ،   و آن را هموار  یکنواخت گویند اگر   و q- هموار یکنواخت گویند، اگر ثابت   وجود داشته باشد به­طوری­که برای هر  داشته باشیم  

برای فضای p- محدب یکنواخت، رابطه زیر بین نرم و فاصله برگمن برقرار است ]24[: 

 

که در آن   ثابت و نگاشت دوگان   برای هر    به صورت زیر تعریف می­شود:

 

قضیه 2-11: ]25[ اگر  فضای باناخ محدب یکنواخت باشد، آنگاه نگاشت   کلا محدب است.

3-نتایج اصلی

در این بخش ابتدا فاصله هاسدرف برگمن را روی  تعریف کرده سپس به معرفی دسته جدیدی از نگاشت­های مجموعه مقدار روی فضای انعکاسی باناخ پرداخته و برخی از خواص این نگاشت­ها را بررسی خواهیم کرد.

تعریف 3-1:  فرض کنید  نگاشت لژاندر باشد. فاصله هاسدرف برگمن (BH) روی  برای هر  به صورت زیر تعریف می­شود

 

که در آن   و  .

تعریف 3-2: فرض کنید نگاشت لژاندر باشد. نگاشت  را k-غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار گویند، اگر   موجود باشد به­طوری­که

 

به ازاء هر  

نگاشت مجموعه مقدار  را غیرپخشی برگمن گویند، اگر   به­عبارتی

 

به ازاء هر  .

تعریف 3-3: فرض کنید   نگاشت لژاندر باشد. نگاشت را شبه­ غیر­انبساطی برگمن مجموعه مقدار گویند، هرگاه  و  .

توجه 3-4:  به راحتی می­توان نشان داد که:

·       اگر فضای هیلبرت و باشند، آنگاه   و بنابراین تعریف نگاشت k- غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار  به نگاشت k- غیرپخشی مجموعه مقدار تبدیل می شود.

·       اگر  نگاشت غیرپخشی برگمن و   باشد، آنگاه  نگاشت شبه غیرانبساطی برگمن مجموعه مقدار است. بعلاوه، برای هر  و  داریم:

 

                                      

            در نتیجه                 .

·       بنا به تعریف 3-2، نگاشت   غیرپخشی برگمن است اگر

 

مثال 3-4: فرض کنید  باشد. نگاشت مجموعه مقدار   را به صورت زیر تعریف می­کنیم:

 

نشان می­دهیم نگاشت غیرپخشی برگمن با تابع   است. حالات زیر را خواهیم داشت:

حالت 1) اگر ، آنگاه . 

حالت 2) اگر    و  ، آنگاه   و   در نتیجه  

 

 

از طرفی

 

بنابراین

 

به طور مشابه داریم

 

حالت3) اگر   و  ، آنگاه   و  .  بنابراین

 

 

 

,

و

 

 

بنابراین

.

به طریق مشابه داریم

.

حالت4) اگر  و  . اثبات این قسمت مشابه حالت 3 می­باشد.

لم3-5: فرض کنید  ،  و   نگاشت لژاندر باشد.

1)       برای هر    وجود دارد به­طوری­که

 

2)       اگرفشرده و f مشتق­پذیر فرشه یکنواخت و روی زیرمجموعه­های کراندار X ، کراندار باشد، آنگاه  وجود دارد به­طوری­که

 

اثبات:  اثبات قسمت (1) بدیهی است.  به اثبات قسمت (2) می­پردازیم. فرض کنید    و  . بنا به (1)،  وجود دارد به­طوری­که    

 

چون  فشرده است پس زیر دنباله  از  وجود دارد به­طوری­که  . از رابطه بالا و تعریف فاصله برگمن داریم:  

 

با میل دادن   ، در رابطه بالا و استفاده از لم 2-2 نتیجه حاصل خواهد شد.

لم 3-6: فرض کنید  نگاشت لژاندر، مشتق­پذیر فرشه یکنواخت و روی زیرمجموعه­های کراندار X ، کراندار و     نگاشت k- غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار باشد که ­در­ آن  . اگر  و  ، آنگاه   وجود دارند به­طوری­­که   

الف)

 

                                                                

ب)

 

                  

اثبات: الف) فرض کنید و  . از لم 3-5 ،  وجود دارد به­طوری­که

 

با بکار بردن مشخصه سه نقطه­ای فاصله برگمن داریم:

  

                                                            

 

 

 

                     

 

که ایجاب می­کند

 

            

ب) مشابه حالت الف اثبات می­شود.

تعریف 3-7: نگاشت  را پیوسته دنباله­ای ضعیف گویند اگر برای هر دنباله  که  ، داشته باشیم .

لم 3-8 : فرض کنید   نگاشت لژاندر،   دنباله ای در   و همگرای ضعیف به  باشد. اگر  پیوسته دنباله­ای ضعیف باشد، آنگاه  

 

اثبات: با استفاده از مشخصه سه نقطه­ای فاصله برگمن نتیجه حاصل می­شود.

 

گزاره3-9: فرض کنید  نگاشت لژاندر، مشتق­پذیر فرشه و روی زیرمجموعه­های کراندار، کراندار و  نگاشت k- غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار باشد به­طوری­که . اگر  دنباله­ای در باشد به­طوری­که  و    که­ در آن ، آنگاه  .

اثبات: فرض کنید  دنباله­ای در باشد به­طوری­که  و     که در آن  . از لم 3-6،     وجود دارد به­طوری­که

 

چون  فشرده و  ، زیردنباله  از  وجود دارد به­طوری­که . به ازای هر  تابع   را به صورت زیر تعریف می­کنیم:

 

با استفاده از مشخصه سه نقطه­ای فاصله برگمن برای هر   داریم

 

که ایجاب می­کند

(1)                                                                                                                      

با استفاده از مشخصه سه نقطه ای فاصله برگمن، پیوستگی یکنواخت نگاشت f  روی زیرمجموعه­های کراندار (به قضیه 2-18 ]26[ مراجعه کنید) ،  لم 2-2  و رابطه فوق داریم:    

 

         

 

                                                  

 

روابط فوق و رابطه  (1)، ایجاب می­کند که  . چون  لژاندر است پس .

لم 3-10: فرض کنید  نگاشت لژاندر و  نگاشت غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار باشد. اگر به ازای هر  داشته باشیم ، آنگاه  بسته و محدب است.

اثبات: فرض کنید   دنباله­ای در  باشد به­طوری­که . و  . با استفاده از توجه3-4 داریم      

 

 

در نتیجه  بنابراین  بسته است. اکنون نشان می دهیم که  محدب است. فرض کنید

   که در آن  و  . فرض کنید ، از توجه 3-4 داریم

 

 

   

 

 

 

 

بنابراین   ، در نتیجه  محدب است.

 لم 3-11: ]27[ فرض کنید   نگاشت محدب، سره و نیم­پیوسته پایین باشد و همچنین   وقتی      . در این صورت   وجود دارد به­طوری­که

 

فرض کنید فضای باناخ دنباله­های کراندار با نرم سوپریمم باشد و  عضوی از  باشد. مقدار  در  را با نماد  نشان می­دهیم. مقدار  را اغلب با نماد  نیز نمایش می­دهند. تابع خطی  روی   حد باناخ نامیده می­شود اگر  و .

لم3-12: فرض کنید  زیر مجموعه بسته، محدب و غیر تهی از فضای باناخ هموار و p- محدب یکنواخت،  و دنباله ای کراندار در  باشند. همچنین فرض کنید که  حد باناخ باشد. اگر  به صورت  

 

تعریف شود، آنگاه  منحصر به فردی موجود است به طوری که

 

اثبات: فرض کنید   و  . از قضایای 2-10، 2-11، لم 2-7 ، تعریف فاصله برگمن و   برای هر  داریم:

 

 

 

از طرفی چون  حد باناخ است داریم 

(2)

 

بنابراین  نگاشتی محدب است. فرض کنید  و  دنباله­ای در باشد به­طوری­که  . از مشخصه سه نقطه ای فاصله برگمن برای هر  داریم:

(3)

 

                           

   

که در آن   . به طور مشابه داریم

(4)                   

 که در آن  . قرار می­دهیم . با استفاده از (3) و (4) داریم

 

که پیوستگی  را ایجاب می­کند. فرض کنید  دنباله ای در باشد به­طوری­که . داریم

 

 

 

 

که در آن   . داریم

 

بنابراین

 

و در نتیجه

 

در نتیجه  وقتی که . بنابراین از لم 3-11 ،  وجود دارد به­طوری­که

 

از رابطه (2) نتیجه می­شود که  محدب اکید است و در نتیجه   منحصر به فرد می­باشد.

مشابه قضیه‌های 1 و 2 از  ]3[  می‌توانیم قضایای زیر را ثابت کنیم.  

قضیه3-13: فرض کنید  زیر مجموعه بسته، محدب و ناتهی از فضای باناخ p- محدب یکنواخت ،    و  نگاشت مجموعه مقدار از  به توی  باشد. فرض کنید  و دنباله کراندار  موجود باشند به‌طوری‌که برای هر   داشته باشیم .  اگر برای هر،  موجود باشد به­طوری­که

 

آنگاه  در  دارای نقطه ثابت است.

قضیه زیر وجود نقطه ثابت برای نگاشت غیر پخشی برگمن را بیان می­کند.

قضیه 3-14: فرض کنید  زیر مجموعه بسته، محدب و ناتهی از فضای باناخ p- محدب یکنواخت  ،   و   نگاشت غیر پخشی برگمن باشد. اگر  موجود باشد به طوری که   کراندار باشد، در این صورت  در  دارای نقطه ثابت است.

 

4-نتیجه همگرایی

در این بخش، قضیه همگرایی ضعیف زیر را برای تقریب نقطه ثابت مشترک یک خانواده متناهی از نگاشت­های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار در فضاهای باناخ ارایه خواهیم داد.

قضیه 4-1: فرض کنید  زیرمجموعه بسته، محدب و ناتهی از فضای باناخ انعکاسی باشد و    نگاشت لژاندر  ابرافزاینده که روی زیرمجموعه­های کراندار ، کراندار، مشتق­پذیر فرشه یکنواخت و کلا محدب باشد. فرض کنید   پیوسته ضعیف دنباله­ای باشد. فرض کنید   دسته­ای متناهی از نگاشت­های غیرپخشی برگمن مجموعه مقدار باشند به­طوری­که   ناتهی و برای هر  ،  . برای  دنباله  را به صورت زیر تعریف می­کنیم:

 

که در آن  ،  ،  و   به ازای هر

  ، در این صورت  به عضوی از  همگرای ضعیف است.

اثبات: فرض کنید  . با استفاده از توجه 3-4 داریم:

 

 

 

 

 

بنابراین  موجود است. فرض کنید                              

. چون  و     کراندار هستند و نیز روی زیرمجموعه­های کراندار ، کراندار است، داریم  (به گزاره 1-1-11 ]8[  مراجعه شود). با استفاده از لم 2-2، قضیه 2-8 و  ، ابرافزاینده و روی زیرمجموعه­های کراندار محدب یکنواخت است. فرض کنید  اندازه تحدب یکنواخت  باشد. با بکار بردن لم 2-7 برای هر  داریم:

 

 

 

بنابراین برای هر  داریم

(5)      

چون داریم  . اکنون برای هر   نشان می­دهیم که

 

اگر رابطه فوق برقرار نباشد، آنگاه   و زیر دنباله  از   وجود دارند به­طوری­که

 

چون  غیر نزولی است، پس برای هر   داریم

 

با میل دادن  در نامساوی فوق داریم   که با محدب یکنواخت بودن    روی زیرمجموعه­های کراندار  تناقض دارد. از رابطه (5) و محدب یکنواخت بودن  روی زیرمجموعه­های کراندار ، برای هر  داریم

 (6)                                                  

چون   کراندار است، پس زیر دنباله  از  وجود دارد به­طوری­که .  بنابراین از گزاره 3-9 و (6) نتیجه می شود که  . فرض کنید   زیر دنباله دیگری از  باشد به طوری که  و  با استفاده از لم 3-8 داریم

 

                               

                               ,

که تناقض است و این اثبات را کامل می­کند.

نتیجه 4-2: فرض کنید زیرمجموعه بسته، محدب و ناتهی از فضای هیلبرت  و  دسته­ای متناهی از نگاشت­های غیرپخشی مجموعه مقدار باشند به­طوری­که   ناتهی و برای هر   داشته باشیم . دنباله  را برای هر  به صورت زیر تعریف می­کنیم: 

 

که در آن  ،  ،  و  ، به ازای هر  ، در این صورت  به عضوی از  همگرای ضعیف است.

 

 

فهرست منابع

 [1] F. Kohsaka, and  W. Takahashi, “Proximal point algorithm with Bregman functions in Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal. 6, pp. 505-523, 2005.

 

 [2] S. Iemoto,  and W. Takahashi, “Approximating common fixed points of nonexpansive mappings and nonspreading mappings in a Hilbert space”, Nonlinear Anal. 71, pp.  2080-2089, 2009.

 

 [3] W. Cholamjiaky, S. Suantai,  and Y.J. Cho, “Fixed points for nonspreading-type multi-valued mappings: existence and convergence results”, Ann. Acad. Rom. Sci. Ser. Math. Appl. Vol.10, No. 2, 2018.

 

 [4] S. Suantai, P. Cholamjiak, Y. J. Cho,  and W. Cholamjiak, “On solving split equilibrium problems and fixed point problems of nonspreading multi-valued mappings in Hilbert spaces”, Fixed Point TheoryAppl. 2016. 

 

 [5] L. M. Bregman, “A relaxation method for finding the common point of convex sets and its application to the solution of problems in convex programming, USSR Comput”, Math. Math. Phys. 7, pp. 200-217, 1967.

 

 [6] H. H. Bauschke, J. M. Borwein, and  P. L. Combettes, “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, Commun. Contemp. Math. 3, 615-647, 2001.

 

 [7] H. H, Bauschke, J. M. Borwein, and P. L. Combettes, “Bregman monotone optimization algorithms”, SIAM J. Control Optim. 42, pp. 596-636, 2003.

 

 [8] D. Butnariu,  and A. N. Iusem, “Totally Convex Functions for Fixed Points Computation and Infinite Dimensional Optimization”, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2000.

 

 [9] D. Butnariu,  A. N. Iusem,  and C. Zalinescu, “On uniform convexity, total convexity and convergence of the proximal point and outer Bregman projection algorithms in Banach spaces”, J. Convex Anal. 10, pp. 35-61, 2003.

 

 [10] D, Butnariu,  and A. N. Iusem, “Bregman distances, totally convex functions and a methodfor solving operator equations in Banach spaces”, Abstr. Appl. Anal. Pp. 1-39, 2006, Art.

 

 [11] G. Z. Eskandani, M. Raeisi, and Th. M. Rassias, “A hybrid extragradient method for solving pseudomonotone equilibrium problems using Bregman distance”, J. Fixed Point Theory Appl, pp. 20:132, 2018.

 

 [12] M. Raeisi, G. Z. Eskandani, and M. Eslamian, “A general algorithm for multiple-sets split feasibility problem involving resolvents and Bregman mappings”, Optimization. 68. Pp. 309-327, 2018.

 

 [13] S. Reich, and S. Sabach, “A strong convergence theorem for a proximal-type algorithm in reflexive Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal. 10, pp.471-485, 2009.

 

 [14] S. Reich, and S. Sabach, “Two strong convergence theorems for a proximal method in reflexive Banach spaces”, Numer. Funct. Anal. Optim. 31, pp.22-44, 2010.

 

 [15] S. Reich, and S. Sabach, “Two strong convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, Nonlinear Anal. 73, pp.122-135, 2010.

 

 [16] S. Reich,  and S. Sabach, “Existence and approximation of fixed points of Bregman firmly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces. In: Fixed-point algorithms for inverse problems in science and engineering”, optimization and its applications. NewYork (NY): Springer; pp. 301-316, 2011.

 

 [17] J. F, Bonnans, and  A. Shapiro, “Perturbation Analysis of Optimization Problems”, Springer Verlag, New York, 2000.

 

 [18] S. Sabach, “Products of finitely many resolvents of maximal monotone mappings in reflexive Banach spaces”, SIAM J. Optim. 21, pp.1289-1308, 2011.

 

 [19] Y. I. Alber, “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: Properties and applications. in: Kartsatos A.G., Theory and Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp.15-50, 1996.

 

 [20] Y. Censor, and A. Lent, “An iterative row-action method for interval convex programming”, J. Optim. Theory Appl. 34, pp.321-353, 1981.

 

 [21] R. P. Phelps, “Convex Functions, Monotone Operators, and Differentiability, second ed.in: Lecture Notes in Mathematics”, vol. 1364, Springer Verlag, Berlin, 1993.

 

 [22] E. Naraghirad, and J. C. Yao, “Bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach spaces”, Fixed Point Theory Appl. doi: 10.1186/1687-1812-2013-141, 2013.

 

 [23] C. Zalinescu, “Convex analysis in general vector spaces”, World Scientific Publishing, Singapore, 2002.

 

 [24] F. Schopfer, T. Schuster, and A. K. Louis, “An iterative regularization method for the solution of the split feasibility problem in Banach spaces”, Inverse Problems 24, 2008.

 

 [25] D, Butnariu,  A. N. Iusem,  and E. Resmerita, “Total convexity for powers of the norm in uniformly convex Banach spaces”, J. Convex Anal. 7, pp.319-334, 2000.

 

 [26] A. Ambrosetti, and  G. Prodi, “A Primer of Nonlinear Analysis”, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

 

 [27] W. Takahashi, “Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory and its Applications”, Yokohama Publishers, Yokohama, 2000 (in Japanese).

 

 

 

---