بعضی ویژگی‌های گراف‌های جابجایی گروه‌های n-مرکز ساز متناهی

الموضوعات :

زینب فروزان فر ¹ , مهدی رضائی ²

1 - گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئین زهرا، بوئین زهرا، ایران
2 - گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئین زهرا، بوئین زهرا، ایران

تاريخ الإرسال : 15 الأحد , جمادى الأولى, 1443 تاريخ التأكيد : 19 الإثنين , ذو الحجة, 1443 تاريخ الإصدار : 06 الخميس , رجب, 1445

الکلمات المفتاحية: Commuting graph, Laplacian spectrum, n-centralizer, non-central element,

ملخص المقالة :

فرض کنید G یک گروه نا‌‌آبلی متناهی و Z(G) مرکز گروه G باشد. گراف جابجایی گروه G که با Γ_G نمایش داده می‌شود، یک گراف ساده غیر جهتدار است که مجموعه رئوس آن، مجموعه G-Z(G) می‌باشد و دو رأس متمایز x و y مجاور هستند اگر و تنها اگرxy=yx . گروه G را n-مرکزساز نامیم هرگاه تعداد مرکزسازهای متمایز اعضای آن برابرn باشد. همچنین گروه ناآبلی متناهی G یک AC-گروه نامیده می‌شود هرگاه C_G(x) برای هر x ϵG-Z(G) آبلی باشد. طیف یک گراف، مجموعه مقادیر ویژه متمایز ماتریس مجاورت آن گراف به همراه چندگانگی آن‌ها می‌باشد. بطور مشابه طیف لاپلاسین یک گراف، مجموعه مقادیر ویژه متمایز ماتریس لاپلاسین آن گراف به همراه چندگانگی آن‌ها می‌باشد. همچنین مجموعه مقادیر ویژه متمایز ماتریس لاپلاسین بی‌ علامت یک گراف به همراه چندگانگی آن‌ها، طیف لاپلاسین بی علامت آن گراف نامیده می‌شود. در این مقاله نشان می‌دهیم که گروه‌های 6-مرکزساز و 7-مرکزساز متناهی AC-گروه می‌باشند و گراف‌های جابجایی این گروه‌ها بصورت اجتماعی از گراف‌های کامل می‌باشند. همچنین طیف، طیف لاپلاسین و طیف لاپلاسین بی علامت گراف‌های جابجایی این گروه‌ها محاسبه می‌گردند.

المصادر:

[1] A. Abdollahi, S. M. Jafarian Amiri, A. Mohammadi Hassanabadi, “Groups with specific number of centralizers,” Houston J. Math., vol. 33, no. 1, pp. 43-57, 2007.

[2] A. Ashrafi, “Counting the centralizers of some finite groups,” Korean J. Comput. Appl. Math., vol. 7, no. 1, pp. 115-124, 2000.

[3] S. J. Baishya, “On finite groups with specific number of centralizers,” Int. Electron. J. Algebra, vol. 13, pp. 53-62, 2013.

[4] S. Belcastro, G. Sherman, “Counting centralizers in finite groups,” Math. Mag., vol. 67, no. 5, pp. 366-374, 1994.

[5] N. Biggs, “Algebraic graph theory,” New York: Cambridge University Press, 1994.

[6] R. Brauer, K. A. Fowler, “On groups of even order,” Ann. Math., vol. 62, no. 2, pp. 565-583, 1955.

[7] J. Dutta, R. K. Nath, “Spectrum of commuting graphs of some classes of finite groups,” Matematika, vol. 33, no. 1, pp. 87-95, 2017.

[8] B. Mohar, “The Laplacian spectrum of graphs, in graph theory, combinatorics, and applications,” In Proceedings of the Sixth Quadrennial International Conference on the Theory and Applications of Graphs, Western Michigan University, Kalamazoo, 1988, (Edited by Y. Alavi, G. Chartrand, O. R. Oellermann and A. J. Schwenk), pp. 871-898, Wiley, New York, 1991.

[9] R. K. Nath, “Various spectra of commuting graphs n-centralizer finite groups,” Int. J. Eng. Sci. Tech., vol. 10, pp. 170-172, 2018.

[10] M. J. Tomkinson, “Groups covered by finitely many cosets or subgroups,” Comm. Algebra, vol. 15, pp. 845-859, 1987.