فرم رد جیکوبسن تعمیم‌یافته

الموضوعات :

امیرحسین نخودکار ¹ (استادیار دانشکده علوم ریاضی دانشگاه کاشان)

تاريخ الإرسال : 11 السبت , ذو الحجة, 1438 تاريخ التأكيد : 27 الأربعاء , جمادى الأولى, 1441 تاريخ الإصدار : 08 الأربعاء , شعبان, 1441

الکلمات المفتاحية: quadratic form, Hermitian form, Jacobson’s trace form, quaternion algebra with involution,

ملخص المقالة :

نظریه‌ی فرم‌های هرمیتی به عنوان تعمیمی طبیعی از نظریه‌ی فرم‌های مربعی، با جایگذاری میدان زمینه با یک جبر تقسیم مجهز به برگردان، ظاهر می‌شود. با توجه به این مطلب، یک مسأله‌ی مهم در نظریه‌ی فرم‌های هرمیتی، نسبت دادن فرم‌های مربعی به این فرم‌هاست، به گونه‌ای که برخی از خواص آن را بازتاب دهد. نخستین گام در این راستا توسط جیکوبسن برداشته شد. در [5] وی به هر فرم‌ هرمیتی متقارن روی یک جبر کواترنیون با برگردان کانونی در مشخصه‌ی مخالف دو، یک فرم مربعی روی میدان زمینه نسبت داد. این فرم که به نام فرم رد جیکوبسن شناخته می‌شود، فرم‌‌های هرمیتی مذکور را به طور کامل رده‌بندی می‌کند. پس از آن، این فرم توسط ساه در [10] به مشخصه‌ی دو تعمیم داده شد. وی نشان داد خواص اساسی فرم رد جیکوبسن، در تعمیم به مشخصه‌ی دو نیز برقرارند. همچنین با استفاده از این فرم، ساه تجزیه‌ای برای فرم‌های هرمیتی روی یک جبر ساده‌ی‌ مرکزی از درجه‌‌ی حداکثر چهار با u-ناوردای پایین به دست آورد. فرم رد جیکوبسن تاکنون در مقالات بسیاری به کار رفته که از آن جمله می‌توان به [1]، [2]، [3]، [8] و [9] اشاره کرد. در این مقاله، فرم رد جیکوبسن را به فرم‌های هرمیتی پادمتقارن روی جبرهای تقسیم با برگردان متعامد در مشخصه‌ی دلخواه تعمیم می‌دهیم. همچنین ثابت می‌کنیم یک فرم هرمیتی ایزوتروپ (متابولیک) است اگر و تنها اگر فرم رد آن ایزوتروپ (متابولیک) باشد. به علاوه، نشان خواهیم داد فرم رد تعمیم‌یافته، رده‌‌ی طولپایی فرم‌های هرمیتی مذکور را به طور کامل مشخص می‌کند.

المصادر:

[1]  V. Astier, T. Unger, Signatures of hermitian forms and the Knebusch trace formula. Math. Ann. 358 (2014), no. 3-4, 925–947.

 

[2]  D. M. Cohen, H. L. Resnikoff, Hermitian quadratic forms and Hermitian modular forms. Pacific J. Math. 76 (1978), no. 2, 329–337.

 

[3]  A. Dolphin, Totally decomposable symplectic and unitary involutions. Manuscripta Math. 153 (2017), no. 3-4, 523–534.

 

[4]  R. Elman, N. Karpenko, A. Merkurjev, The algebraic and geometric theory of quadratic forms. American Mathematical Society Colloquium Publications, 56. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008.

 

[5] N. Jacobson, A note on hermitian forms.  Bull. Amer. Math. Soc.  46 (1940). 264–268.

 

[6]  M.-A. Knus,  Quadratic and Hermitian Forms Over Rings, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  294, Springer-Verlag, 1991.

 

[7]  M.-A. Knus, A. S. Merkurjev, M. Rost, J.-P. Tignol,  The book of involutions. American Mathematical Society Colloquium Publications, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.

 

[8]  D. W. Lewis, The isometry classification of Hermitian forms over division algebras. Linear Algebra Appl. 43 (1982), 245–272.

 

[9] A.-H. Nokhodkar, Hermitian forms and systems of quadratic forms. Doc. Math. 23 (2018), 747--758. 

 

[10]  C.-H. Sah, A note on Hermitian forms over fields of characteristic  Amer. J. Math.  86 (1964) 262–270.