حل عددی و آنالیز خطای معادله‌ی دیفرانسیل تاخیری خطی و غیرخطی
الموضوعات :
ابراهیم امینی
1
(گروه ریاضی دانشگاه پیام نور، صندوق پستی 4697-19395، تهران، ایران)
Ali Ebadian
2
(دانشکده علوم پایه، گروه ریاضی، دانشگاه ارومیه، ارومیه، ایران)
الکلمات المفتاحية: Reproducing kernel, Error analysis, Convergence analysis, Delay differential equations,
ملخص المقالة :
اﯾﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ، جواب ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺗﺎﺧﯿﺮی ﺧﻄﯽ و ﻏﯿﺮ ﺧﻄﯽ را در فضای هسته‌ی بازتولید بدست می‌آوریم. ﺑﺪین ﻣﻨﻈﻮر با توجه به ﻣﻌﺎدله مذکور و ﺷﺮاﯾﻂ ﺣﺎﮐﻢ ﺑﺮ آن، یک ﻋﻤﻠﮕﺮ ﺧﻄﯽ ﺗﻌﺮﯾﻒ می‌کنیم و در ادامه با استفاده از ﻋﻤﻠﮕﺮ اﻟﺤﺎﻗﯽ آن و ﺗابع ﻫﺴته ﺑﺎزﺗﻮﻟید یک دستگاه متعامد یکه کامل برای فضای هسته‌ی بازتولید بدست می‌آوریم. سپس جواب ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺬﮐﻮر را بر حسب یک سری از ﺗﻮاﺑﻊ پایه‌ای بدست می‌آوریم. در واﻗﻊ ﺟﻮاب ﺗﺤﻠﯿﻠﯽ به‌صورت ﯾﮏ ﺳﺮی ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ داده می‌شود و با اﺳﺘﻔﺎده از ﯾﮏ روش تکراری، ﺟﻮاب ﺗﻘﺮﯾﺒﯽ ﻧﻈﯿﺮ ﺳﺮی ﻣﺬﮐﻮر ﺑﺪﺳﺖ آورده می‌شود. به‌عنوان یکی از اهداف اصلی, آﻧﺎﻟﯿﺰ ﻫﻤﮕﺮاﯾﯽ و ﺧﻄﺎ را برای روش ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ در حل معادلات دیفرانسیل تاخیری بررسی می‌کنیم. در ﭘﺎﯾﺎن ﺑﺮﺧﯽ از ﻣﺜﺎﻟﻬﺎی ﻋﺪدی ﺑﺮای ﻧﺸﺎن دادن درﺳﺘﯽ و ﮐﺎرﺑﺮد روش ﭘﯿﺸﻨﻬﺎدی ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﯽ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ و ﻧﺘﺎﯾﺞ ﺣﺎﺻﻞ از اﯾﻦ روش ﺑﺎ ﺟﻮاب دﻗﯿﻖ ﮐﺎرﻫﺎی ﻗﺒﻠﯽ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ می‌شوند. ﻧﺘﺎﯾﺞ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه از ﻣﺜﺎﻟﻬﺎی ﻋﺪدی ﻧﺸﺎن می‌دهد ﮐﻪ روش ﭘﯿﺸﻨﻬﺎدی ﻣﻔﯿﺪ و مناسب است.
[1] Aronszajn, N. (1951). Theory of reproducing kernels. Cambridge, MA: Harvard niversity.
[2] Cui, M. and Geng, F. (2007). A computational method for solving one-dimensional variable-coefficient Burgers equation. Applied Mathematics and Computation, 188, 1389-1401.
[3] Cui, M. and Lin, Y. (2009). Nonlinear numerical analysis in the reproducing Kernel space, NY: Nova Science Publ, New York, .
[4] Doha, E.H., Bhrawy, A.H., Blaleanu, D. and Hafez, R. M. (2014). A new Jacobi rational–Gauss collocation method for numerical solution of generalized pantograph equations. Applied Numerical Mathematics, 77, 43-54.
[5] Fardi, M. Ghasemi, M. (2016). Solving nonlocal initial-boundary value problems for parabolic and hyperbolic integro-differential equations in reproducing kernel hilbert space, Numerical Methods for Partial Differential Equations, 3, 174-198.
[6] Fardi, M., Ghasemi, M. and Khoshsiar Ghaziani, R. (2016). The Reproducing Kernel Method for Some Variational Problems Depending on Indefinite Integrals, Mathematical Modelling and Analysis, 21, 412-429.
[7] Geng, F. and Cui, M. (2012). A reproducing kernel method for solving nonlocal fractional boundary value problems, Applied mathematics Letters, 25, 818-823.
[8] Geng, F. Z. and Li, X. M. (2012). A New Method for Riccati Differential Equations Based on Reproducing Kernel and Quasiline-arization Methods, Abstract and Applied Analysis, 1-8.
[9] Ghasemi, M., Fardi, M. and Khoshsiar Ghaziani, R. (2015). Numerical solution of nonlinear delay differential equations of fractional order in reproducing kernel Hilbert space, Applied Mathematics and Computation, 268, 815-831.
[10] Ismail, H. N., Raslan, K. and Rabboh, A. A. (2004). Adomian decomposition method for Burgers–Huxley and Burgers–Fisher equations. Applied Mathematics and Computation, 159, 291-301.
[11] Jiang, W., Cui, M. and Lin, Y. (2010). Anti-periodic solutions for Rayleigh-type equations via the reproducing kernel Hilbert space method, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 15, 1754-1758.
[12] Tohidi. E., Bhrawy, A. H. and Erfani, K. (2013). A collocation method based on Bernoulli operational matrix for numerical solution of generalized pantograph equation, Applied Mathematical Modelling, 37, 4283-4294.
[13] Vahdati, S. Fardi, M. and Ghasemi, M. (2018). Option pricing using a computational method based on reproducing kernel, Journal of Computational and Applied Mathematics, 328, 252-266.
[14] Yalinbas, S., Aynigul, M. and Sezer, M. (2011). A collocation method using Hermi- -te polynomials for approximate solution of pantograph equations. Journal of the ranklin Institute, 348,1128-1139.
[15] Zhou, Y., Cui, M. and Lin, Y. (2009). Numerical algorithm for parabolic problems with non- Classical conditions, Journal of Computational and Applied Mathematics, 230, 770–780.
