عدد تارسکی و دستگاههای معادلات پیکربندی

الموضوعات :

اکرم یوسف زاده ¹ (گروه ریاضی دانشکده علوم پایه دانشگاه آزاد اسلامی واحد مبارکه، مبارکه، اصفهان، ایران)

تاريخ الإرسال : 15 الأحد , رجب, 1439 تاريخ التأكيد : 03 السبت , ذو القعدة, 1440 تاريخ الإصدار : 26 الثلاثاء , جمادى الأولى, 1441

الکلمات المفتاحية: Paradoxical decomposition, normal system of equations, amenability, normalized solution,

ملخص المقالة :

مفهوم پیکربندی گروه ها که بر پایه‌ی افرازهای متناهی و رشته‌های متناهی از اعضای G تعریف می‌شود، توسط رزنبلات و ویلیس بیان شده است. به هر مجموعه از پیکربندی‌های یک گروه دستگاهی متناهی از معادلات خطی موسوم به دستگاه پیکربندی نظیر می‌شود. رزنبلات و ویلیس نشان دادند که گروه گسسته‌یG میانگین‌پذیر است اگر و تنها اگر هر دستگاه ممکن از پیکربندی‌های G جواب نرمال داشته باشد. در این مقاله به بررسی مقایسه‌ای وجود جواب‌های نرمال چنین دستگاه‌هایی می‌پردازیم. نشان می‌دهیم که اگر یک دستگاه پیکربندی جواب نداشته باشد، دستگاهی که از تظریف افراز اولیه به دست می‌آید، نیز دارای جواب نخواهد بود. تجزیه‌ی متناقض نیز که برای گروه‌های میانگین‌ناپذیر قابل بیان است بر اساس افرازها و اعضای G ، تعریف می‌شود. این مفهوم دارای ارتباط نزدیکی با پیکربندی است. عدد تارسکی یک گروه میانگین‌ناپذیر کوچک‌ترین تعداد ممکن از پاره‌های تجزیه‌های متناقض آن گروه است. در مقاله‌ی حاضر همچنین ارتباط بین اعداد تارسکی زیرگروه‌های دو گروه با پیکربندی‌های یکسان را به دست می‌آوریم..

المصادر:

[1] A. I. T. Paterson, Amenability, Mathematical servey Surveys and Monographs Vol. 29 (American Mathematical Society, Providence, RI, 1988).

 

[2] S. Wagon, The Banach-Tarski Paradox, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 24 (Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1985).

 

[3]  T. G. Ceccherini-Silberstein, R. I. Grigorchuk and P. de la Harpe, Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and for discrete metric spaces, Proceding of the  Steklov  Institute of Mathematics, 224 (1999) 57–97.

 

[4] M. Ershov, G. Golan and M. Sapir, The Tarski numbers of groups, Advances in Mathematics, 284 (2015) 21–53.

 

[5]   J. M. Rosenblatt and G. A. Willis, Weak convergence is not strong for amenable groups, Canadian Mathematical Bulletin, 44 (2) (2001) 231–241.

 

[6] A. Rejali and A. Yousofzadeh, Configuration of groups and paradoxical decompositions, Bulletin of the Belgian Mathematical Society, Simon Stevin, 18 (2011) 157–172.

 

[7] A. Yousofzadeh, A constructive way to compute the Tarski number of a group, Journal of Algebra and its Applications, 17, (1) (2018), 1850139 (28 pages).

 

[8] A. Yousofzadeh, A. Tavakoli and A. Rejali, On configuration graph and paradoxical decomposition, Journal of Algebra and its Applications, 13, (2) (2014), 1350086, (11pages).

 

[9]  A. Abdollahi, A. Rejali and G. A. Willis, Group properties characterized by configuration, Illinois Journal of Mathematics, 48 (3) (2004) 861–873

 

[10] A. Abdollahi, A. Rejali and A. Yousofzadeh, Configuration of nilpotent groups and isomorphism, Journal of Algebra and its Applications, 8 (3) (2009) 339–350.

 

[11] A. Tavakoli, A. Rejali, A. Yousofzadeh and A. Abdollahi, A note about configuration of a group, Matematika, 19 (1) (2001) 3-23.

 

[12]  A. Rejali and A. Yousofzadeh, Group Properties Characterized by Two-sided Configurations, Algebra Colloquium, 17 no. 4 (2010) 583–594.

 

[13] A. Rejali and M. Soleimani Malekan, Two-sided Configuration equivalence and Isomorphism. arXiv preprint arXiv:1512.03021 (2015).

 

[14] A. Rejali and M. Soleimani Malekan, Solubility of groups can be characterized by configuration, New York J. Math., 23 (2017), 1427-1445.

 

[15] A. Rejali and M. Soleimani Malekan, Strong Configuration Equivalence and Isomorphism. arXiv preprint arXiv:1510.07209 (2015).

 

[16] M. Sapir, Combinatorial Algebra: Syntax and Semantics (Springer International Publishing, Switzerland, 2014).