تکامل اولین مقدار ویژه مساله کمانش روی منیفلدهای ریمانی تحت شار ریچی
الموضوعات :
1 - گروه ریاضی محض (هندسه)، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران
الکلمات المفتاحية: Riemannian manifold, Ricci flow, Laplacian, Eigenvalue,
ملخص المقالة :
میان مسائل مقدار ویژه از عملگر لاپلاس، مسائل مقدار ویژه عملگر هارمونیک دوگانه از موضوعات جالب و مهم هستند، چون این مسائل ریشه در مباحث فیزیک و آنالیز هندسی دارند. مساله کمانش یکی از مهمترین مسائل فیزیک است و مطالعات زیادی توسط محققان در مورد جواب و تخمین مقدار ویژه آن انجام گرفته است. در این مقاله، ابتدا معادله تکامل اولین مقدار ویژه غیر صفر از مساله کمانش روی منیفلدهای ریمانی بسته ( منیفلد ریمانی فشرده و بدون مرز) را در امتداد شار ریچی غیرنرمال و شار ریچی نرمال بدست آورده و با استفاده از آنها ثابت می‌کنیم که اولین مقدار ویژه غیر صفر و بعضی از کمیت‌های وابسته به این مقدار ویژه، تحت بعضی از شرایط هندسی، در امتداد شار ریچی یکنوا هستند. سپس روی منیفلدهای خاصی از قبیل منیفلدهای همگن، ۳- بعدی، ۲- بعدی، رفتار تکاملی این مقدار ویژه را بررسی می‌کنیم. بویژه در حالت 2-بعدی با توجه به مقدار انحنای اسکالر در امتداد شار ریچی نرمال، کمیت‌هایی وابسته به اولین مقدار ویژه پیدا می‌کنیم که تحت شار ریچی نرمال یکنوا هستند. در نهایت هم مثال‌هایی از قبیل حالت‌های سولیتون و منیفلدهای اینشتین ارائه می‌کنیم و تکامل اولین مقدار ویژه مساله کمانش را تحت شار ریچی روی این مثال‌‌ها بدست می‌آوریم.
[1] B. Chow, D. Knopf, The Ricci flow: An introduction, Mathematical surveys and monographs, Vol. 110, AMS, New York, (2004)
[2] R. Ye, Global existence and convergence of Yamabe flow, J. Differential Geom., 39:35–50(1994)
[3] Y.G. Chen, Y. Giga, S. Goto, Uniqueness and existence of viscosity solutions of generalized mean curvature flow equations. J. Differential Geom. 33:749–786(1991)
[4] G. Huisken, A. Polden, Geometric evolution equations for hypersurfaces, In: Calculus of variations and geometric evolution problems. Springer, Berlin, 45–84 (1999)
[5] G. Catino, L. Cremaschi, Z. D jadli , C. Mantegazza and L. Mazzieri, The Ricci-Bourguignon flow, Pacific J. Math. 287(2), 337-370(2017)
[6] R. Müller, The Ricci flow coupled with harmonic map heat flow, Ann. Sci. Ec. Norm, Sup 45: 101- 142(2012)
[7] S.Y. Cheng, Eigenfunctions and eigenvalues of Laplacian. In: Chern SS, Osserman R (eds) Proceedings of the symposium of pure mathematics, vol 27 no. part 2, differential geometry. American Mathematical Society, Providence, 185–193(1975)
[8] Q-M. Cheng, H.C. Yang, Estimates on eigenvalues of Laplacian, Math. Ann. 331: 445–460(2005)
[9] E.M. Harrell, P.L. Michel, Commutator bounds for eigenvalues with applications to spectral geometry, Commun. Partial Differ. Equ. 19: 2037–2055(1994)
[10] P.F. Leung, On the consecutive eigenvalues of the Laplacian of a compact minimal submanifold in a sphere, J. Aust. Math.Soc. 50: 409–426(1991)
[11] J. Mao, Eigenvalue inequalities for the p-Laplacian on a Riemannian manifold and estimates for the heat kernel, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 101(3), 372-393(2014)
[12] Q. Wang, C. Cia, Universal inequalities for eigenvalues of the buckling problem on spherical domains, Community. Math. Physical. 270: 759-775 (2007)
[13] Q.-M. Cheng, H. Yang, Universal bounds for eigenvalues of a buckling problem I I, Amer. Math. Soc. 364 (11), 6139-6158(2012)
[14] Q. S. Zhang, Sobolev inequalities, heat kernels under Ricci flow, and the Poincare conjecture, Taylor and Francis group, (2011)
[15] X-D. Cao, First eigenvalues of geometric operators under the Ricci flow, Proc. Amer. Math. Soc. 136: 4075–4078(2008)
[16] J. F. Li, Eigenvalues and energy functionals with monotonicity formula under Ricci flow, Math. Ann. 338: 927-946(2007)
[17] A. Abolarinwa, Evolution and monotonicity of the first eigenvalue of p-Laplacian under the Ricci-harmonic flow, J. Appl. Anal. 21: 147-160(2015)
[18] J. Y. Wu, First eigenvalue monotonicity for the p-Laplace operator under the Ricci flow, Acta. mathematica sinica, English series, 27(8), 591-1598(2011)
[19] L. Zhao The first eigenvalue of the p-Laplacian operator under powers of the m-th mean curvature flow, Results Math, 63: 937–948(2012)
[20] I. Elishakoff, Inverse buckling problem for inhomogeneous columns, International Journal of Solids and Structures 38: 457-464(2001)
[21] C.C. Ike, C.U. Nwoji, E.U. Ikwueze, I.O. Ofondu, Solution of the Generalised Elastic Column Buckling Problem by the Galerkin Variational Method, International Journal for Research in Applied Science & Engineering Technology, 5(1), 468-475(2017)
[22] R. S. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Differential Geom., 17: 255-306(1982)
[23] D. M. De Turk, Deforming metrics in the direction of their Ricci tensor, J. Differential Geom., 18: 157-162(1983)
[24] X.-D, Cao, Eigenvalues of on manifolds with nonnegative curvature operator, Math. Ann. 337(2),435-441(2007)
