توسعه و بهبود شاخص رتبه بندی در روش تاپسیس با دادههای فازی تصویری
الموضوعات :
وحیده حجتی نجف آبادی
1
,
رضا مداحی
2
1 - گروه ریاضی، دانشکده کامپیوتر،واحد نجف آباد، دانشگاه آزاد اسلامی، نجف آباد، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده کامپیوتر، واحد نجف آباد، دانشگاه آزاد اسلامی، نجف آباد، ایران
الکلمات المفتاحية: TOPSIS, مجموعه فازی, مجموعه فازی شهودی, مجموعه فازی تصویری,
ملخص المقالة :
هدف: توسعه و بهبود شاخص رتبه‌بندی در روش TOPSIS با دادههای فازی تصویری روش‌شناسی تحقیق: در این مقاله، روش مناسب برای دسترسی و ارائه اطلاعات، روش کتابخانه‌ای همراه با اصول فنی مهندسی، روش‌های تحلیلی-تجربی و پیاده‌سازی نرم‌افزاری است.
یافته‌ها: در این مقاله، مقدار ثابت ۱/۲ برای L_i^- + L_i^+ اثبات شد. مزیت روش پیشنهادی این است که کاهش مسئله MCDM از n بعد به دو بعد، رتبه‌بندی را آسان‌تر می‌کند. در واقع، یک شاخص شباهت جدید در محدوده فاصله (L_i^-، L_i^+) از فازی‌سازی استفاده می‌کند.
اصالت/ارزش افزوده علمی: با حل یک مثال با اعداد فازی که در تعریف اعداد فازی بصری در این مقاله ارائه شده است، تغییرات لازم با استفاده از نرم‌افزار اکسل انجام شده و فاصله تا حالت ایده‌آل و ضد ایده‌آل محاسبه می‌شود. در نهایت، رتبه‌بندی جدیدی تعیین می‌شود.
A. De Luca, S. T. (1972). A definition of a nonprobabilistic entropy inthe setting of fuzzy sets theory. Inf. Control, 301-312.
Atanassov, K. T. (1986). Intuitionistic fuzzy sets. Fuzzy sets and Systems, 20, 87-96.
Atanassov, K. T. (1986). Intuitionistic Fuzzy Sets. Fuzzy Sets and Systems, 1-18.
C. L. Hwang, K. Y. (1981). Methods for multiple attribute decision making. Mult. attrib. Decis. Mak., 58-191, https://doi.org/10.1007/978-3-642-48318-9_3.
F. E. Boran, S. G. (2009). A multi-criteria intuitionistic fuzzy group decision making for supplier selection with TOPSIS method. Expert Systems with Applications, 36(8), 11363-11368, https://doi.org/10.1016/j.eswa.2009.03.039.
G. R. Jahanshahloo, F. H. (2006). Extension of the TOPSIS method for decision-making problems with fuzzy data. Applied Mathematics and Computation, 181(2), 1544-1551, https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.02.057.
Gandotra, S. N. (2021). Use of (R,S)-Norm concept and TOPSIS approach under picture fuzzy environment for application in multi criteria decision making issues. Materials Today: Proceedings, 307, https://doi.org/10.10.16/j.matpr.2021.03.307.
Hwang, C. a. (1981). Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications - A State-of-the-Art Survey. New York: Springer-Verlag, https://doi.org/10.1007/978-3-642-48318-9_3.
Joshi, R. (2020). A nove decision-making method using R-Norm concept and VIKOR approach under picture fuzzy environment. Expert Syst. Appl., 147, https://doi.org/10.1016/j.eswa.2020.113228.
Kreinovich, B. C. (2013). Picture Fuzzy Sets-a new concept for conputational intelligence problems. Departmental Technical Reports, 809, 1-6, https://scholarworks.utep.edu/cs_techrep/809.
LA.Zadeh. (1965). Fuzzy sets. inf. control, 338-353, https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X.
R. Joshi, S. K. (2016). (R-S)- norm information measure and a relation between coding and questionnaire theory, open Syst. Inf. Dyn., 23, https://doi.org/10.1142/S1230161216500153.
S.A. Sadabadi, A. H.-V. (2022). An Improved Fuzzy TOPSIS Method With a New Ranking Index. World Scientific, 615-641, https://doi.org/10.1142/S0219622021500620.
Son, L. H. (2016). Generalized picture distance measure and applications to picture fuzzy clustering. ELSEVIER, 284-295, https://doi.org/10.1016/j.asoc.2016.05.009.
Tzou, G. H. (1983). Fuzzy Multiple Objective Decision Making: Methods and Applications. Fuzzy Sets and Systems, 11.
V.Kreinovich, B. (2014). Picture fuzzy sets. J. Comput Science and Cybernetics, 409-416, https://doi.org/10.15625/1813-
9663/30/4/5032. Wei, G. (2016). Peacture fuzzy cross-entropy for multiple attribute decision making problems. J. Bus. Econ. Manag, 15, 491-502, https://doi.org/10.3846/16111699.2016.1197147.
Volume 10, Issue 4, Winter 2025
pp. 25-42.
Paper type: Research paper
Development and improvement of ranking index in TOPSIS method with picture fuzzy data
Vahideh Hojjati Najafabadi1, Reza Maddahi2
Received: 19/12/2023 Accepted: 13/07/2024
Extended Abstract:
Introduction
Since Professor Lotfi Asgarzadeh introduced fuzzy sets to the world in 1965, many new theories about imprecision and uncertainty have emerged. Some of these theories, as a sub-development of fuzzy set theory, proposed a new concept called image fuzzy sets. On the other hand, one of the methods that is widely used in multi-criteria decision-making is called TOPSIS method. In this article, first, the TOPSIS method is explained in the presence of image fuzzy data, and then, using this method, a new index for ranking is developed with the aim of improving its performance. Next, an example is solved using Excel software to explain the method presented in this article. Also, by solving an example with fuzzy numbers that is presented in the definition of image fuzzy numbers in this research, the necessary changes are made using Excel software and the distance to the ideal and anti-ideal state is calculated. Finally, a new ranking is determined.
Literature Review
The concept of intuitive fuzzy collections (IFS) was first introduced by Crazmir Atanas in 1983. He then examined the concept of dual fuzzy sets and presented various ways to describe these types of sets. Also, the applications of this type of fuzzy sets in the field of multi -criteria and data cover analysis were also thoroughly examined. This article is one of the basic articles in the field of dual fuzzy collections and has had a great impact on subsequent research in this field. (Atanassov, 1986). The intuitive fuzzy collection is in fact a special type of fuzzy set that can be defined as a fuzzy concept that is indefinitely and without the need for precise and transparent definition. In other words, there is also negative information in the definition of IFS (Kreinovich, 2013).
Recently, a new extensive fuzzy collection called the Fuzzy Video Collection has been proposed by Kang and Crinovic (Kreinovich, 2014). The word "image" in PFS refers to the whole; Because this set is direct extension FS and IFS (SON, 2016) In other words, PFS integrates neutral and negative information into its definition, so that when the value (s) of those degrees is zero, it goes back to the IFS (FS) set. Compared to IFS, PFS divides the degree of doubt into two parts: the degree of refusal and the degree of neutral. (SON, 2016).
In this paper, the TAPSIS method is first explained with visual fuzzy data. The ranking index is then developed to improve performance; By presenting the example and definition (SON, 2016) and expressing the soft R-S method in multi-criteria (MCDM) in the PFS (Gandotra, 2021) issue of Matrix 〖[PFM] _ (M × n) by defining the fuzzy setting set, and then, by designing a theorem to convert a subsequent N-space to a two-point N-22). , Proves the theorem for Research methodology: In this paper, the appropriate method for accessing and presenting information is the library method combined with technical engineering principles, analytical-experimental methods, and software implementation. Multi -criteria decision -making is a set of methods to prioritize several options in the presence of different criteria. The most common example of this method is to choose the best car from existing cars, taking into account criteria such as: fuel consumption, price, security, beauty, and so on; That usually options (in this example of cars) in the rows of a matrix; The criteria (fuel consumption, price, etc.) are displayed in the columns of that matrix and the performance of each option in each criterion in the component in the row of that option and the column of that criterion, which is referred to as the Matrix. It is clear that the matrix is a decision when the performance of each option in each criterion is available and calculated. One of the multiple decision -making methods used to prioritize and rank options is the Tapisis method. This method was first presented in 1981 by Huang and Yun (Hwang, 1981). The main basis of this method is to determine the ideal option (a virtual option based on the data observed from existing options, which performs the best in each criterion), determine the anti -ideal option (a virtual option based on the data observed from existing options that have the worst performance in each criterion), determine the distance of each option with ideal and anti -ideal options. See (Joshi, 2016) to read the details of this method. In the conventional tapis method, a decision matrix consists of ordinary numbers, and consequently all calculations are performed using normal calculations. Results: Picture fuzzy sets solve multiple decision -making problems (MCDM); So;; In this article, the new R-S image calculates the details and measurement of R-S studied by Joshi & Kumar (2016) using the accepted criteria for PFSS entropy. In addition, the sum of PIS and NIS intervals in relation: n by Hadi and Saadabadi (Sadabadi, 2022) from a next N space to a two-dimensional space, and in this research, this fixed value was proven for In addition, solving an example with fuzzy numbers presented in the defining image fuzzy numbers in this study, the necessary changes were made with the help of Excel software and the distance to ideal and anti -ideal was calculated. Finally, the new ranking was identified. Keywords: TOPSIS, Fuzzy set, Intuitive Fuzzy set, Picture Fuzzy set JEL: C02,C10,C29 مهندسی مدیریت نوین سال دهم، زمستان 1403، شماره 4 صفحات 42-25 نوع مقاله: پژوهشی توسعه و بهبود شاخص رتبه‌بندی در روش تاپسیس با دادههای فازی تصویری
+ 
and the example presented in the article (Gandotra, 2021) is analyzed and analyzed using Excel software.
n(
+ 
)
+ It is suggested that reducing the dimensions of the MCDM problem from the dimension makes the ranking in fact, in fact, a new index in the distance ( , 
) uses fuzzy.
وحیده حجتی نجفآبادی3، رضا مداحی4
تاریخ دریافت: 28/9/1402 تاریخ پذیرش: 25/5/1403
چکیده:
هدف: توسعه و بهبود شاخص رتبه‌بندی در روش TOPSIS با دادههای فازی تصویری روش‌شناسی تحقیق: در این مقاله، روش مناسب برای دسترسی و ارائه اطلاعات، روش کتابخانه‌ای همراه با اصول فنی مهندسی، روش‌های تحلیلی-تجربی و پیاده‌سازی نرم‌افزاری است.
یافته‌ها: در این مقاله، مقدار ثابت ۱/۲ برای L_i^- + L_i^+ اثبات شد. مزیت روش پیشنهادی این است که کاهش مسئله MCDM از n بعد به دو بعد، رتبه‌بندی را آسان‌تر می‌کند. در واقع، یک شاخص شباهت جدید در محدوده فاصله (L_i^-، L_i^+) از فازی‌سازی استفاده می‌کند.
اصالت/ارزش افزوده علمی: با حل یک مثال با اعداد فازی که در تعریف اعداد فازی بصری در این مقاله ارائه شده است، تغییرات لازم با استفاده از نرم‌افزار اکسل انجام شده و فاصله تا حالت ایده‌آل و ضد ایده‌آل محاسبه می‌شود. در نهایت، رتبه‌بندی جدیدی تعیین می‌شود.
کلمات کلیدی: TOPSIS، مجموعه فازی، مجموعه فازی شهودی، مجموعه فازی تصویری
طبقه‌بندی موضوعی: C02,C10,C29
1- مقدمه
مجموعه فازی5 (FS) (Zadeh, 1965) برای اولین بار در سال 1965 توسط پروفسور لطفی عسگرزاده، دانشمند ایرانی‌تبار و استاد دانشگاه ارائه شد. نظریه فازی، نظریه‌ای برای اقدام‌کردن در شرایط عدم قطعیت است. این نظریه، می‌تواند بسیاری از مفاهیم، متغیرها و سیستم‌هایی را که نامشخص و مبهم هستند، به شکل ریاضی درآورد و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم‌گیری در شرایطی که اطمینان وجود ندارد، فراهم آورد.
مفهوم مجموعه‌های فازی شهودی6 (IFS) برای اولین بار توسط کراسمیر آتاناسف7 در سال 1983 مطرح گردید. سپس او به بررسی مفهوم مجموعه‌های فازی دوگانه پرداخت و روش‌های مختلفی برای توصیف این نوع از مجموعه‌ها ارائه کرد. همچنین، کاربردهای این نوع از مجموعه‌های فازی در حوزه تصمیم‌گیری چند معیاره و تحلیل پوششی داده‌ها نیز به طور کامل مورد بررسی قرار گرفت. این مقاله، یکی از مقالات پایه‌ای در حوزه مجموعه‌های فازی دوگانه است و تأثیر بسیاری در پژوهش‌های بعدی، در این حوزه داشته است(Atanassov, 1986). مجموعه فازی شهودی، در واقع نوع خاصی از مجموعه فازی است که به کمک آن می‌توان مفهومی را که به صورت نامحدود و بدون نیاز به تعریف دقیق و شفاف است، به صورت فازی تعریف کرد. به عبارت دیگر، در تعریف IFS اطلاعات منفی هم آمده است (Kreinovich, 2013).
اخیراً مجموعه فازی تعمیم‌یافته جدیدی به نام مجموعه فازی تصویری، توسط کانگ و کرینویچ8 پیشنهاد شده است(Kreinovich, 2014). کلمه «تصویر» در PFS به کلیت اشاره دارد؛ زیرا این مجموعه، پسوند مستقیم FS و IFS است .(Son, 2016) به عبارت دیگر،PFS اطلاعات خنثی و منفی را در تعریف خود ادغام می‌کند، به طوری که وقتی مقدار(های) یک (هر دو) از آن درجه‌ها برابر با صفر است، به مجموعه IFS (FS) برمی‌گردد. در مقایسه با IFS،PFS درجه تردید را به دو بخش تقسیم می‌کند: درجه امتناع و درجه خنثی .(Son, 2016) در ادامه مقاله، در قسمت‌های تعریف 2 و مثال 1 بحث می‌شود.
روش فازی تاپسیس برای اولین بار توسط هربرت سایمنز9 در دهه 1960 معرفی شد. او این روش را برای انتخاب بهترین گزینه‌ها در برنامه‌ریزی فضایی استفاده کرد. سپس در دهه 1980، جرج ه. تزو10 و دیگران این روش را به شکل فازی توسعه داده و آن را به عنوان روشی برای تصمیم‌گیری چندمعیاره در شرایط عدم قطعیت معرفی کردند. جهانشاهلو11 و همکاران، روش تاپسیس را به مسائل تصمیم‌گیری با دادههای فازی گسترش دادند. در تحقیقات آنها، رتبه‌بندی هر جایگزین و وزن هر معیار اعداد فازی مثلثی بیان شده است (Jahanshahloo, 2006). از آن زمان به بعد، فازی تاپسیس، به عنوان یکی از مهمترین روش‌های تصمیم‌گیری چندمعیاره در شرایط فازی، شناخته شده است. در روش تاپسیس فازی، مزیت تاپسیس با قابلیت تئوری مجموعه‌های فازی برای مدیریت عدم دقت و عدم قطعیت ترکیب می‌شود، به طوری‌که تصمیم مناسب در یک محیط فازی به‌دست می‌آید (Tzou, 1983).
روش تاپسیس12 یک روش تحلیلی چندمعیاره است که برای انتخاب بهترین گزینه از میان فهرست گزینه‌ها، استفاده می‌شود. در این روش، ابتدا ماتریسی از فهرست گزینه‌ها و معیارهای مشخص شده برای ارزیابی آنها تهیه می‌شود. سپس با استفاده از این ماتریس، برای هر گزینه، فاصله آن با بهترین و بدترین گزینه‌ها به روش اقلیدوسی محاسبه می‌گردد. در نهایت، امتیاز تاپسیس برای هر گزینه، به شکل فاصله گرفته شده از بهترین گزینه تقسیم بر مجموع فاصله‌ها محاسبه می‌شود .(Hwang, 1981)
سرانجام، بوران13 و همکاران، روش تاپسیس را با مجموعه فازی شهودی ترکیب کردند تا بهترین گزینه را در یک محیط تصمیم‌گیری انتخاب کنند .(Boran, 2009) آنها با استفاده از اعداد فازی شهودی، امتیاز هر گزینه و وزن هر معیار را بیان کردند. سپس، عدد فازی شهودی نرمال شده را محاسبه نمودند و در نهایت رتبه‌بندی را برای آن اعمال کردند.
در این تحقیق، ابتدا روش تاپسیس با دادههای فازی تصویری، توضیح داده می‌شود. سپس شاخص رتبه‌بندی به منظور بهبود عملکرد، توسعه داده می‌شود؛ با ارایه مثال و تعریف بیان شده در (Son, 2016) و بیان روش R-S نرم در تصمیم‌گیری چندمعیاره14 (MCDM) در مسئله PFS (Gandotra, 2021) ماتریس 
با تعریف مجموعه فازی تصویری ساخته می‌شود و در ادامه، با طرح یک قضیه برای تبدیل یک فضای n بعدی به یک فضای دوبعدی و معرفی شاخص پیشنهادی(Sadabadi, 2022) ، قضیه را برای 
+ 
اثبات نموده و همچنین مثال ارائه شده در مقاله (Gandotra, 2021) به کمک نرم افزار اکسل، تحلیل و بررسی می‌گردد.
2-ادبیات تحقیق
2-1 تعاریف پایه
مجموعه فازی، بر اساس تابع عضویت تعریف می‌شود که تصویر مجموعه، در بازه بسته صفر و یک است. هریک از اعضا، درجه عضویت دارند. اگر درجه عضویت یک عنصر از مجموعه، برابر با صفر (یا یک) باشد، آن عضو، کاملاً از مجموعه خارج (در مجموعه قرار دارد) است. اگر به صورت جزئی، شامل مجموعه فازی باشد، آنگاه درجه عضویت آن بین صفر و یک خواهد بود. چون مجموعه فازی، فقط مقدارهای عضویت و عدم عضویت را نشان می‌دهد، تعریف تعمیم یافته‌ای وجود دارد که علاوه بر موارد ذکر شده، میزان عضویت خنثی را نیز می‌توان محاسبه نمود که در زیر، ارائه شده است.
تعریف 1:
A یک مجموعه فازی شهودی در یک مجموعه مرجع به صورت
A = {(x, 
(x) , 
(x))│ x
X }
که در آن 
(x)درجه عضویت هر عنصر و 
(x) درجه عدم عضویت هر عنصر، معرفی شده است که محدودیت‌ها را برآورده می‌کند Atanassov, 1986)).
(x) , 
(x) [0,1] , 
x 
X,
0
(x) + 
(x) 
1, x X.
ازآنجاکه مجموعه فازی شهودی، فقط مقدارهای عضویت و عدم عضویت و خنثی را نشان می‌دهد، تعریف جامع و کاملی مطرح گردیده که علاوه بر موارد ذکر شده، میزان عضویت امتناع را نیز می‌توان محاسبه نمود که در زیر، تعریف شده است.
تعریف 2:
یک مجموعه فازی تصویری در یک مجموعه غیر خالی X
A = {(x, (x) , 
(x) ,
(x))│ xX }
که در آن (x) درجه مثبت هر عنصر x ∈ X،
درجه خنثی و (x) درجه منفی است که محدودیت‌ها را برآورده می‌کند(Atanassov, 1986)
(x) , (x) ,(x) [0,1] , x X,
0 (x) + (x) +(x) 1, x X.
درجه امتناع یک عنصر به صورت 
(x) = 1 - ( (x) +
(x) + (x))، ∀x ∈ X محاسبه می‌شود. در حالت PFS اگر 0= (x) به مجموعه IFS برمی‌گردد و وقتی هر دو (x) =
= 0، PFS به مجموعه FS برمی‌گردد(Son, 2016) برخی از ویژگی‌های عملیات PFS، ترکیب محدب PFS و غیره، همراه با اثبات را می‌توان در Atanassov, 1986)) دید.
در ادامه، مثال 1 به منظور تفهیم دو تعریف مذکور، آورده می‌شود.
مثال 1. در یک مرکز انتخاباتی محلی، شورا 500 برگه رأی برای یک نامزد صادر می‌کند. نتایج رأی‌گیری به چهار گروه به همراه تعداد اوراق به نام‌های «رأی موافق» (300)، «ممتنع» (64)، «رأی مخالف» (115) و «امتناع از رأی گیری» (21) تقسیم شده است. گروه «ممتنع» به این معنی است که برگه رأی‌گیری، یک کاغذ سفید است که هر دو «موافق» و «مخالف» را برای نامزد رد می‌کند، اما همچنان رأی می‌دهد. گروه «امتناع از رای دادن» یا استفاده از اوراق رأی‌گیری نامعتبر یا رأی ندادن است. این مثال در واقعیت هم اتفاق افتاد و IFS نتوانست آن را توصیف کند زیرا، عضویت خنثی (گروه «ممتنع») وجود ندارد. از طرف دیگر دقت کنید که در این مثال می توان از PFS برای فازی‌سازی مثال فوق استفاده کرده و تمام حالت های ممکن را در نظر گرفت؛ به این صورت که: میزان عضویت در رای موافق را با (x) ، میزان عضویت در رای مخالف را با (x) ، میزان عضویت در رای ممتنع را با (x) و در نهایت، میزان عضویت در امتناع از رای دادن را با (x) نمایش داد. در قسمت بعد، روش تاپسیس فازی به طور اجمالی معرفی می‌گردد.
3 -روش تاپسیس برای مجموعه فازی تصویری
تصمیم‌گیری چند معیاره، مجموعه روش‌هایی برای اولویت‌بندی بین چندین گزینه در حضور معیارهای مختلف است. مرسوم‌ترین مثالی که برای این روش زده می‌شود، انتخاب بهترین خودرو از بین خودروهای موجود با در نظر گرفتن معیارهایی مانند: مصرف سوخت، قیمت، امنیت، زیبایی و ... است؛ که معمولا گزینه‌ها (در این مثال خودروها) در سطرهای یک ماتریس؛ معیارها (مصرف سوخت، قیمت و ...) در ستون‌های آن ماتریس و عملکرد هر گزینه در هر معیار در مولفه واقع در سطر آن گزینه و ستون آن معیار، نمایش داده می‌شود که به ماتریس مذکور، ماتریس تصمیم گفته می‌شود. واضح است زمانی ماتریس تصمیم قابل تشکیل است که عملکرد هر گزینه در هر معیار، موجود و قابل محاسبه کمی باشد. یکی از روش‌های تصمیم‌گیری چندگانه که برای اولویت‌بندی و رتبه‌بندی گزینه‌ها استفاده می‌شود، روش تاپسیس است. این روش، برای اولین بار در سال 1981 توسط هوانگ و یون15 (Hwang, 1981)ارائه شد. مبنای اصلی این روش، تعیین گزینه ایدئال (گزینه‌ای مجازی براساس دادههای مشاهده شده از گزینه‌های موجود، که بهترین عملکرد را در هر معیار داشته باشد)، تعیین گزینه ضد ایدئال (گزینه‌ای مجازی براساس دادههای مشاهده شده از گزینه‌های موجود که بدترین عملکرد را در هر معیار داشته باشد)، تعیین فاصله هر گزینه با گزینه‌های ایدئال و ضد ایدئال و در نهایت، ترکیب این دو فاصله به عنوان شاخص اصلی اولویت‌بندی گزینه‌ها است. برای مطالعه جزئیات این روش، به (Joshi, 2016) مراجعه شود. در روش تاپسیس معمولی، از یک ماتریس تصمیم استفاده می‌شود که شامل اعداد معمولی است و به تبع آن کلیه محاسبات، با استفاده از محاسبات عادی اعداد حقیقی صورت می‌گیرد.
در سال 1980 جورج ه. تزو و همکاران، روش تاپسیس را برای حالتی که اعداد ماتریس تصمیم، به صورت اعداد فازی باشند، توسعه دادند. از طرفی، اندیس نهایی در روش تاپسیس، دارای معایبی است که راه‌حل‌هایی برای بهبود آن توسط لای، لیو و هوانگ16 در سال 1994 ارائه شد. روش تاپسیس در حضور اعداد فازی تصویری، توسط چن17 در سال 2000 ارائه شد که همچنان اشکال موجود در اندیس نهایی روش تاپسیس که به منظور رتبه‌بندی استفاده می‌شود، همانند روش تاپسیس معمولی، را دارد. دراین پژوهش، مشکل مذکور در روش تاپسیس در حضور اعداد فازی تصویری حل می‌گردد. در ادامه، ابتدا روش تاپسیس در حضور مجموعه فازی تصویری با استفاده از تحقیق سومان و نیراج گاندوترا18 بیان می‌شود.
4-روش شناسی
در نظر بگیرید گروهی کارشناس جمع شده‌اند تا در مورد 
، 
و 
و جایگزینی با معیارهای دقیق، راهنمایی کنند. بنابراین، برای محاسبه هر کدام از موارد خواسته شده، کافی است متناسب با تعریف هر کدام و با توجه به مجموعه مرجع، قابل اندازه‌گیری باشد. به عنوان مثال: در صورت عدم اطمینان، یک مقدار مشخص ارائه دهند: . 
(i; j)در صورت اطمینان از 
و برای محاسبه مقدار عضویت خنثی از 
استفاده می‌کنند. اگر تعداد مجموعه مرجع را Z در نظر بگیریم، آنگاه ، و را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد (Luca, 1972):
(1-4) 
= , 
= , 
=
مرحله اول: ساخت ماتریس تصمیم فازی تصویری19 (PFDM)
مرحله اولیه رویکرد تاپسیس، مربوط به ساخت ماتریس تصمیم است؛ بنابراین، مسئله تصمیم‌گیری چندمعیاره با استفاده از اعداد فازی تصویری را می‌توان با ماتریس تصمیم فازی تصویری [PFM]m×n نشان داد. (Luca, 1972) برای , 
,…... 
(4-2) = 
مرحله دوم: محاسبه وزن برای معیارهای از پیش تعریف شده
محاسبه وزن در این مرحله، با استفاده از اطلاعات ارائه شده در (Gandotra, 2021) انجام شده است.
J=1,2,…,n)) 
= 
] 
-
= 
به شرطی که 0 R,S 
یا R1 و 
؛ یا S 1 و 
باشد.
مرحله سوم: تشکیل ایدئال مثبت و ایدئال منفی
با توجه به PFSها و روش تاپسیس، گزینه ایدئال مثبت20 PIS (
) و گزینه ایدئال منفی21 NIS (
) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم (Luca, 1972):
(4-3) ؛ (
, ..... , 
, 
) =
(4-4) ، (
, ..... , 
, 
) =
برای اینکه گزینه ایدئال مثبت و گزینه ایدئال منفی با تعریف مجموعه اعداد فازی تصویری مطابقت داشته باشد، لازم است در صورتی که مجموع درجه عضویت مثبت، خنثی و منفی بیشتر از یک شود، باید هر درجه عضویت، به مجموع درجات عضویت گفته شده، تقسیم شود؛ بنابراین تعریف 2 تعمیم داده شده و نیاز است تعریف 
و 
اصلاح شود:
تعریف 3 :
و همچنین تعریف می‌شود:
(4-5) . n , ... , 2 , 1 = j ؛ 
- 
- 
- 1 = 
؛ 
- 
- 
- 1 = 
مرحله سوم: محاسبه فاصله از PIS () و NIS ()
محاسبه فاصله از گزینه ایدئال مثبت و گزینه ایدئال منفی، به شرح زیر انجام می‌شود]4[ :
=) , 
L(
(6-4) ) 
+
+
+
)
=) , L(
(7-4) ) 
+ 
+
+
)
مرحله چهارم: محاسبه شاخص نهایی رتبه‌بندی
برای مشخص‌شدن مقدار شاخص نهایی رتبه‌بندی، نیاز به 
و 
داریم تا در رابطه زیر قرار دهیم:
= 
, i= 1,2,…,n
مرحله پنجم: رتبه‌بندی
با توجه به شاخص نهایی رتبه‌بندی، ترتیب رتبه‌بندی همه گزینه‌ها، مشخص می‌شود. همان‌طور که خواهیم دید، در بیشتر موارد، تاپسیس فازی، مجموع فواصل PIS و NIS برای همه گزینه‌ها تقریباً یکسان است. ازاین‌جهت، تاپسیس فازی فقط فاصله تا NIS را در ترتیب رتبه‌بندی گزینه‌ها استفاده می‌کند و فاصله تا PIS را به طور هم‌زمان در نظر نمی‌گیرد. در ادامه، این اشکال از نظر ریاضی بیان می‌شود. مجموع فواصل از PIS و NIS برای هر جایگزین، تقریباً برابر با تعداد اصلی مجموعه معیارها یعنی n است. اگرچه شاخص شباهت در مرحله 4 به‌خوبی کار می‌کند، اما فاصله تا PIS را در نظر نمی‌گیرد. در ادامه، نشان خواهیم داد که مجموع فواصل PIS و NIS برای هر جایگزین، تقریباً برابر 
است.
در ادامه، قضیه مطرح شده در مقاله هادی22 و همکاران(Sadabadi, 2022) که به این صورت است (
+ 
) n + n را برای 
+ اثبات می‌کنیم.
قضیه: فرض کنید 
= و 
= باشد، در این صورت
+
اثبات:
= 
+ 
= +
+( 
+ 
+ 
+ 
) 
=( 
+ 
+ 
+ 
)
( + + .... + + )
طبق نامساوی مثلث داریم:
+ 
بنابراین:
( 
+ 
+ 
+ 
)
( 
)
( 
)
و طبق تعریف می‌توان گفت:
1 = 
می‌دانیم: 1= ؛ پس می‌توان نتیجه گرفت:
=
در ادامه اثبات برای کران بالا + (برای معیار مثبت)
+ + + Max
1 = S.t.
1 0
1 
0
1 
0
1 
0
= } ) + ) (
+ ) )+ (
(
} Max
= + ) 
+ (
Max + 
= + ) 
+ 1 ( Max + 
= + ) + 1 (
Max + 
= Max + ) ( Max - ) ( Max2 -
= ) ( Max - Max + 
= } -{ Max +
1 0 : S.t
( Max - )2 = ) ( Max2 - 2 
If
2 If
از آنجا که اعداد بسیار کوچکی هستند، با توجه به تعریف 1 می‌توان گفت:
( Max - ) بسیار کوچک خواهد شد. در نهایت 
( Max - ) در نظر می‌گیریم. بنابراین نتیجه می‌گیریم:
( Max - )2
و در ادامه:
{ + + + } Max
1 = S.t.
1 0
1 0
1 0
1 0
می‌دانیم 
= 
است. بنابراین:
= } ) + ) (
+ ) )+ (
(
} Max
= Max + {) + 
+ -(-} Max + + + 
می‌دانیم max {-f} = -min {f} ؛ بنابراین:
= Max + { + + -} Min - + +
= Max + - -
) ( Max - If
) ( Max ) ( Max + - If
- = Max- = ( - ) Max + = ( ) Min-
این روند اثبات، برای معیار منفی نیز قابل‌اثبات است. در پایان می‌توان نتیجه گرفت:
+
5-شاخص پیشنهادی
ازآنجاکه در(Sadabadi, 2022) داریم 
+ و طبق قضیه ارایه شده در این تحقیق می‌توان به جای n از استفاده کرد. بنابراین داریم: 
+
شکل 1 : نمودار مساحت ناحیه‌ها
Figure 1 : Diagram area of areas
پس به طور کلی، برای هر 
روی خط + ؛ سه ناحیه وجود دارد (Sadabadi, 2022) و مساحت ناحیه‌ها به صورت زیر تغییر خواهد کرد:
(1-5) ( = 
+ ) 
= 
= 
(2-5) ( = + ) 
= 
= 
و به این صورت ارزش‌گذاری می‌شود.
(3-5) ) 
+ 
( = 
شاخص
که 
معرف کمترین مقدار از بین ها است و 
معرف بیشترین مقدار از بین ها است.
برای درک بهتر و تحلیل مراحل روش‌شناسی، در ادامه، مثال مقاله(Gandotra, 2021)
مجدد با تعریف 3 به کمک نرم‌افزار اکسل حل می‌شود.
مثال 2. فرض کنید نمونه‌ای از انتخابات ایالتی در هند که می‌خواهند وزیر ارشد خود را انتخاب کنند که مشکلات آنها را درک کرده و آنها را به روش بهتری حل کند. اجازه دهید از چهار حزب مختلف: 1) حزب بهارتیا جاناتا (BJP) 2) حزب کنگره 3) حزب Aam Aadmi (AAP) 4) حزب کمونیست هند، 4 نامزد به عنوان چهار گزینه جایگزین در نظر بگیریم (
, 
, 
, 
) که در آن شهروندان این ایالت، می‌خواهند وزیر ارشد خود را انتخاب کنند. یک نظرسنجی، توسط کانالی رسانه‌ای از 1000 نفر از ساکنان، انجام شد. 4 ویژگی به عنوان معیار در نظر می‌گیریم: 1- توانایی برقراری ارتباط با تشکیلات 2- توانایی در برابر فساد 3- اعتبار خوب 4- درک صحیح از مسایل داخلی (
, 
, , )
روش تعیین ، و به شرح زیر است:
اگر انتخاب تصادفی، به عنوان حجم نمونه از بین 1000 نفر در نظر گرفته شود که در آن 690 نفر بر اساس معیار به نفع کامل حزب هستند؛ 90 نفر دچار سردرگمی هستند و 20 نفر مخالف با حزب هستند.
پس 
بر اساس معیار و 1000 = Z و = و = و = برابر است با:
02/0 = 
= و 09/0 = 
= و 69/0 = 
=
بنابراین، می‌توان سایر ورودی‌های ماتریس را نیز پیدا کرد .(Gandotra, 2021)
جدول 1 : ماتریس تصمیم
Table 1 : Decision Matrix
|
|
|
|
| |||
0/70,0/12,0/04 | 0/07,0/79,0/03 | 0/52,0/24,0/16 | 0/69,0/09,0/02 |
| |||
0/73,0/10,0/14 | 0/63,0/14,0/08 | 0/04,0/72,0/13 | 0/34,0/54,0/11 |
| |||
0/53,0/11,0/23 | 0/58,0/26,0/05 | 0/03,0/75,0/10 | 0/62,0/16,0/04 |
| |||
0/65,0/06,0/08 | 0/13,0/74,0/07 | 0/05,0/77,0/06 | 0/55,0/08,0/21 |
|
|
|
|
|
| |||
0/73,0/06,0/04 | 0/63,0/14,0/03 | 0/52,0/24,0/26 | 0/69,0/08,0/02 |
| |||
0/53,0/12,0/23 | 0/07,0/79,0/08 | 0/03,0/77,0/16 | 0/34,0/54,0/21 |
|
|
|
|
|
| |||
0/411274 | 0/268269 | 0/317790 | 0/233375 | ) | |||
0/203034 | 0/252630 | 0/237754 | 0/332262 | ) |
|
|
|
|
| |||
1/416 | 3/375 | 2/372 | 4/397 |
| |||
4 | 2 | 3 | 1 | Ranking |
بهترین گزینه |
رتبه‌بندی | نتایج روش پیشنهادی | بهترین گزینه |
رتبه‌بندی |
نتایج موجود | روش‌های موجود | |
| 1 3 2 4 | 0/5989 = 0/4821 = 0/4959 = 0/3239 = |
| 1 2 4 3 | 0/4872 = 0/4611 = 0/3011 = 0/3128 =
|
| |
| 1 3 2 4 | 0/5989 = 0/4821 = 0/4959 = 0/3239 = |
| 1 3 2 4 | 0/5041 = 0/3492 = 0/3941 = 0/3291 =
|
| |
| 1 3 2
4 | 0/5989 = 0/4821 = 0/4959 = 0/3239 = |
| 1 3 4 2 | 0/4532 = 0/3814 = 0/2621 = 0/4121 =
|
| |
| 1 3 2
4 | 0/5989 = 0/4821 = 0/4959 = 0/3239 = |
| 1 3 2
4 | 0/3321 = 0/2593 = 0/2667 = 0/1759 = | Suman
|
COPYRIGHTS © 2023 by the authors. Licensee Modern Management Engineering Journal. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
|
[1] Master's student, Department of Mathematics, Na.C., Islamic Azad University, Najafabad, Iran
[2] Assistant Professor, Department of Mathematics, Na.C., Islamic Azad University, Najafabad, Iran
How to cite this paper: Hojjati Najafabadi,Vahideh,. Maddahi, Reza. (2025). Development and improvement of ranking index in TOPSIS method with picture fuzzy data. Modern Management Engineering, 10 (4),25-42 [In Persian]
[3] . دانشجوی ارشد گروه ریاضی، واحد نجفآباد، دانشگاه آزاد اسلامی، نجفآباد، ایران
[4] . استادیار گروه ریاضی، واحد نجفآباد، دانشگاه آزاد اسلامی، نجفآباد، ایران reza.maddahi.esf@gmail.com
استناد: حجتی نجفآبادی، وحیده و رضا مداحی (1403). توسعه و بهبود شاخص رتبه‌بندی در روش تاپسیس با دادههای فازی تصویری. مهندسی مدیریت نوین، 10(4). 25-42.
[5] Fuzzy Set
[6] Intuitive Fuzzy Sets
[7] Krassimir T. Atanassov
[8] Cuong&Kreinovich
[9] Herbert Simon
[10] George H. Tzou
[11] G.R.Jahanshahloo
[12] TOPSIS
[13] F.E.Boran
[14] Multi-Criteria Decision-Making
[15] K. Yoon & C. L. Hwang
[16] Y.J. Lai & T.Y. Liu & C.L. Hwang
[17] C.T. Chen
[18] Suman & Neeraj Gandotra
[19] Picture Fuzzy Decision Matrix
[20] Positive Ideal Selection
[22] A. Hadi-Vencheh
سند
الروابط
المراكز ذات الصلة
دعامة
الصفحات الرسمية
حقوق هذا الموقع الإلكتروني مملوكة لنظام SANAD Press Management. © 1442-1447