بررسی پایداری عددی و همگرایی مرتبه‌ی دوم برای حل کلاس جدیدی از معادلات مقدار قدر مطلقی.

محورهای موضوعی : آمار

مظفر رستمی ¹ (استاد، گروه ریاضی، دانشکده‌ی علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد همدان، همدان، ایران)
طاهر لطفی ² (استاد، گروه ریاضی، دانشکده‌ی علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد همدان، همدان، ایران)
علی برهمند ³ (استاد، گروه ریاضی، دانشکده‌ی علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد همدان، همدان، ایران)

تاریخ دریافت : 1399/11/28 تاریخ پذیرش : 1400/12/16 تاریخ انتشار : 1401/08/01

کلید واژه: convergence order, absolute value equation, Iterative method, Non-linear systems, numerical stability,

چکیده مقاله :

در این مقاله، کلاس جدیدی از معادلات مقدار قدر مطلقی به صورت زیر را مطالعه می‌کنیم:Ax-B|x|-b=o, ( B≠I, σ_"max" (|B|)<σ_"min" (A) ) در این کلاس جدید مقادیر منفرد ماتریس قدر مطلق Bکمتر از مقادیر منفرد ماتریسAاست و ماتریسBمنحصرا همانی نمیباشدو بخاطر همین دلیل قدرت انتخابمان وسیعتر از دیگر روش ها میباشدو همچنین کلیه ماتریس ها دلخواه میباشندو همچنین این کلاس جزء مسائل ان پی سخت محسوب میشود.کلاس جدید معادلات مقدار قدر مطلقی را با استفاده از روش نیوتن تعمیم‌یافته حل می‌کنیم و همچنین همگرایی و پایداری عددی کلاس جدید را بررسی می‌کنیم. همچنین با تست مثال‌های عددی، کارایی و مؤثر بودن روش حل برای کلاس جدید با دیگر کارهایی که انجام شده است از جمله روش لطفی و زینلی و روش منگسرین و روش خاکسارمورد بررسی واقع شده است.بجز این روش و روش لطفی و زینلی که دارای همگرایی مرتبه دوم هستند بقیه روش ها دارای همگرایی خطی میباشند.

چکیده انگلیسی:

In this paper, a new class of absolute value equations is studied as follows:Ax-B|x|-b=o, ( B≠I, σ_"max" (|B|)<σ_"min" (A) ), This new class of absolute value equations, the single value absolute matrix B is less than the single value matrix A and the matrix B is not exclusively the identity matrix..Therfore the power of choice is wider than other methods of the absolute value equations and all matrices are arbitrary and this new class of absolute value equation is the NP hard problem..We solve this new class using a generalized Newton method and also convergence and numerical stability. Also, by testing the numerical examples of the efficiency and effectiveness of the solution method for the new class, it has been studied with other works that have been done including Lotfi and Zainali and Mangasarain and Khaksars method.Eceptthis new class and Lotfi and Zainali method are quadratic convergence, the rest methods are linear convergence.

منابع و مأخذ:

 

• Caccetta, B. Qu, and G. Zhou. A globally and quadratically convergent method for absolute value equations. Computational Optimization and Applications, 48(1):45–58, 2011.
  
  
  
  •  
  
  
  
  


• Cordero, J. L. Hueso, E. Martinez, and J. R. Torregrosa. A modified Newton-Jarratts composition. Numerical Algorithms, 55(1):87–99, 2010.

 

• Cordero, T. Lotfi, K. Mahdiani, and J. R. Torregrosa. A stable family with high order of convergence for solving nonlinear equations. Applied Mathematics and Computation, 254:240–251, 2015.

 

• Farhadsefat, T. Lotfi, and J. Rohn. A note on regularity and positive definiteness of interval matrices. Open Mathematics, 10(1):322–328, 2012.

 

• K. Haghani. On generalized Traubs method for absolute value equations. Journal of Optimization Theory and Applications, 166(2):619–625, 2015.

 

• J. Higham. Accuracy and stability of numerical algorithms. SIAM, 1996.

 

• L. Hueso, E. Martinez, and J. R. Torregrosa. Modified Newtons method for systems of nonlinear equations with singular Jacobian. Journal of Computational and Applied Mathematics, 224(1):77–83, 2009.

 

• Lotfi, P. Bakhtiari, A. Cordero, K. Mahdiani, and J. R. Torregrosa. Some new efficient multipoint iterative methods for solving nonlinear systems of equations. International Journal of Computer Mathematics, 92(9):1921–1934, 2015.


• Lotfi, K. Mahdiani, P. Bakhtiari, and F. Soleymani. Constructing two-step iterative methods with and without memory. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 55(2):183–193, 2015.
  
  
  
  •  
  
  
  
  


• Mangasarian. A generalized newton method for absolute value equations. Optimization Letters, 3(1):101–108, 2009.

 

• Mangasarian and R. Meyer. Absolute value equations. Linear Algebra and Its Applications, 419(2-3):359–367, 2006.

 

• L. Mangasarian. Absolute value equation solution via concave minimization. Optimization Letters, 1(1):3–8, 2007.

 

• L. Mangasarian. A hybrid algorithm for solving the absolute value equation. Optimization Letters, 9(7):1469–1474, 2015.

 

• Prokopyev. On equivalent reformulations for absolute value equations. Computational Optimization and Applications, 44(3):363, 2009.

 

• Rohn. On unique solvability of the absolute value equation. Optimization Letters, 3(4):603–606, 2009.

 

• Rohn, V. Hooshyarbakhsh, and R. Farhadsefat. An iterative method for solving absolute value equations and sufficient conditions for unique solvability. Optimization Letters, 8(1):35–44, 2014.

 

• Soleymani, T. Lotfi, and P. Bakhtiari. A multi-step class of iterative methods for nonlinear systems. Optimization Letters, 8(3):1001–1015, 2014.


• Stoer and R. Bulirsch. Introduction to numerical analysis, volume 12. Springer Science & Business Media, 2013.
  
  
  
  •  
  
  
  
  


• F. Traub. Iterative methods for the solution of equations, volume 312. American Mathematical Soc., 1982.

 

• Wozniakowski. Numerical stability for solving nonlinear equations. Numerische Mathematik, 27(4):373–390, 1976.

 

• Zainali and T. Lotfi. On developing a stable and quadratic convergent method for solving absolute value equation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 330:742–747, 2018.

 

• Lotfi; Y. Seif, An improved generalized Newton generalized method for absolute value equation, New Researches in Mathematics, 29 (7) 103-110, 2021

 

• Wang, A., Cao, Y., Chen, J.-X., Modified Newton-Type iteration methods for generalized absolute value equations, J. Optimization Theory and Applications,  181(1), 216-230, 2019

 

• Zheng, L. The Picard-HSS-SOR iteration method for absolute value equations. J Inequal Appl 2020, 258 2020.

 

• Cao, Q. Shi, S. Zhu, A relaxed generaized Newton iteration method for generalized absolute value equation, AIMS Mathematics, 6(2), 1258-1275, 2021