شبه میانگین پذیری برخی جبرهای نیم گروهی وزندار

محورهای موضوعی : آمار

کبری اوستاد ¹ , امین محمودی ² , محمدصادق عسگری ³

1 - گروه علوم پایه، واحد دهدشت، دانشگاه آزاد اسلامی، دهدشت، ايران
2 - گروه ریاضی و آمار، دانشکده علوم پایه، واحد تهران مرکزي، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
3 - گروه ریاضی و آمار، دانشکده علوم پایه، واحد تهران مرکزي، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران

تاریخ دریافت : 1400/09/12 تاریخ پذیرش : 1401/03/02 تاریخ انتشار : 1403/05/23

کلید واژه: Archimedean semigroup, weakly cancellative commutative semigroup, biprojective,

چکیده مقاله :

شرایط هم ارز میانگین پذیری 〖l^1 (S,ω)〗^(**) و خواص معادل شبه میانگین پذیری 〖l^1 (S,ω)〗^(**) را برای یک نیم گروه معکوس S و یک تابع وزن ω به S بیان و اثبات خواهیم نمود. تحت مفروضات معینی نشان خواهیم داد که میانگین پذیری، شبه میانگین پذیری و تقریباً میانگین پذیری 〖l 〗^1 (S,ω) مفاهیمی یکسان هستند. میانگین پذیری و شبه میانگین پذیری 〖l 〗^1 (S,ω) را برای برخی نیم گروه ها مانند نیم گروه های ارشمیدسی، نیم گروه های نواری مستطیلی و نیم گروه های صفر چپ (راست) بررسی خواهیم کرد. ارتباط میان میانگین پذیری 〖l 〗^1 (S,ω) و 〖l^1 (S,ω)〗^(**) که در آن S یک نیم گروه به طور ضعیف حذفی تعویض پذیر است، بیان خواهد شد. نتایجی در خصوص دوسطحی بودن 〖l 〗^1 (S,ω) به ازای برخی نیم گروه ها بدست خواهیم آورد. اگر S یک نیم گروه معکوس متناهی و 〖l^1 (S,ω)〗^(**) شبه میانگین پذیر باشد آنگاه نشان خواهیم داد 〖l 〗^1 (S,ω) دوسطحی است. بعلاوه برای یک نیم گروه صفر چپ (راست) خواهیم دید که 〖l 〗^1 (S,ω) دوسطحی است. اگر S=M^0 (G,I)نیم گروه برندت وl^1 (S,ω) همانی تقریبی کراندار داشته باشد، آنگاه دوسطحی بودن 〖l^1 (S,ω)〗^(**) با متناهی بودن G معادل است.

چکیده انگلیسی:

We shall find some equivalence conditions for amenability/ pseudo-amenability of 〖l^1 (S,ω)〗^(**) whereas S is an inverse semigroup and ω is a weight on S. We will see that amenability, pseudo-amenability and approximate amenability of l^1 (S,ω) are the some notions for inverse semigroup S. Amenability/ pseudo-amenability of l^1 (S,ω) is characterized for some types of semigroups such as Archimedean semigroups, rectangular band semigroups and left (right) zero semigroups. We will find the relation between amenability of l^1 (S,ω) and that of 〖l^1 (S,ω)〗^(**) whenever S is an abelian weakly cancellative semigroup. Some results regording biflatness of l^1 (S,ω) for some semigroups are also included. If S be an inverse semigroup and finite and l^1 〖(S,ω)〗^(**) is pseudo-amenable, then we show that l^1 (S,ω) is biflat. Also, we will see that for a left (right) zero semigroup, l^1 (S,ω) is biflat. If 〖 S= M〗^0 (G,I) be a Brandet semigroup and l^1 (S,ω) has a bounded approximate identity, then the biflatness of 〖l^1 (S,ω)〗^(**) and the finiteness of G are equivalent.

منابع و مأخذ:

] Y. Choi, F. Ghahramani and Y. Zhang, Approximate and pseudo-amenability of various classes of Banach algebras,J.Func. Anal. 3191-3158، (2009)256.

[2] J . Duncan and I. Namioka, Amenability of inverse semigroup and their semigroup algebras, Proc. Royal- Soc . Edinburgh , Section A 321-309، (1978).

[3] M. Essmaili and A. Medghalchi , Biflatnese of certain semigroup algebras , Bulletin of the Iranian Mathematical society Vol . 39 No . 5(2013) , pp 969-959.

[4] M. Essmaili , M. Rostami , and A. R . Medghalchi, Pseudo-contractibility and Pseudo-amenability of semigroup algebrs, Arch . Math. 97 (2011) ,167 177 -.

[5] M . Essmaili ,M . Rostami, A. Pourabbas , Pseudo-amenability of certain semigroup algebras, Semigroup Forum 82 (2011) , 478-484..

[6 ] F. Ghahramani and Y. Zhang, Pseudo-amenability and pseudo-contractible Banach algebras , Math . Proc . Combridge philos . soc .142 (2007) , 111-123.

[7] A. Ya. Helemskii,Flat Banach modules and amenable algebras, Trans. Moscow Math. Soc. 47(1985), 199-224.

[8] B. E. Johnson, Approximate digonals and cohomology of certain annihilator Banach alebras, Amer. J.Math. 94 (1972), 685-698.
[9] B. E. Johnson, Cohomology in Banach algebras, Mem . Amer. Math. Soc. 127 (1972).

[10] W .D . Munn , A class of irrecucible matrix representations of an arbitrary inverse semigroup , Proc . Glasgow , math. Assoc . 5 (1961) , 41-48 .

[11] S. Naseri, Approximate amenability of weighted group algebras, International mathematical forum , vol , 6 , 2011 , no . 2 , 49-56.

[12] P. Ramsden , Biflatness of semigroup algebras , Semigroup Forum 79 (2009) , 515-530.
[13] M . Rostami , A. Pourabbas , M. Essmaili , Approximate amenability of certain inverse semigroup algebras, Acta Mathematica Scientia 2013, 33B (2) :565-577.

[14] M. Soroushmehr .M. Rostami. M. Essmaili, On pseudo-amenability of commutative semigroup algebras and their second duals,semigroup Forum, Springer Science+Business Media, LLC 2017.

[15] M. Soroushmehr, Weighted Ress matrix semigroup and their applications , Arch , Math , 100 (2013) 139-147.

متن کامل:



 

دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال نهم، شماره چهل و ششم، بهمن و اسفند  1402

شماره شاپا: X2588-588

 

 

 

 

 

شبه ميانگين­پذيري برخی جبرهای نیم­گروهی وزندار

 

کبری اوستاد1، امین محمودی کبریا 2*¹، محمد صادق عسگری3 

 

(1)   گروه علوم پایه، واحد دهدشت، دانشگاه آزاد اسلامی، دهدشت، ايران

(2و3) گروه ریاضی و آمار، دانشکده علوم پایه، واحد تهران مرکزي، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران

 

 

تاريخ ارسال مقاله:         12/09/1400   تاريخ پذيرش مقاله: 02/03/1401

چکيده

شرایط هم ارز میانگین­پذیری  و خواص معادل شبه میانگین­پذیری  را برای یک نیم­گروه معکوس S و یک تابع وزن  به  بیان و اثبات خواهیم نمود. تحت مفروضات معینی نشان خواهیم داد که میانگین­پذیری، شبه میانگین­پذیری و تقریباً میانگین­پذیری  مفاهیمی یکسان هستند.

میانگین­پذیری و شبه میانگین­پذیری   را برای برخی نیم­گروه­ها مانند نیم­گروه­های ارشمیدسی، نیم­گروه­های نواری مستطیلی و نیم­گروه­های صفر چپ (راست) بررسی خواهیم کرد.

ارتباط میان میانگین­پذیری  و  که در آن S یک نیم­گروه به طور ضعیف حذفی تعویض­پذیر است، بیان خواهد شد. نتایجی در خصوص دوسطحی بودن  به ازای برخی نیم­گروه­ها بدست خواهیم آورد.

 اگر S یک نیم­گروه معکوس متناهی و  شبه میانگین­پذیر باشد آنگاه نشان خواهیم داد  دوسطحی است. بعلاوه برای یک نیم­گروه صفر چپ (راست) خواهیم دید که  دوسطحی است.

 اگر نیم­گروه برندت و همانی تقریبی کراندار داشته باشد، آنگاه دوسطحی بودن   با متناهی بودن G معادل است.

 

واژه‌هاي کليدي: دوتصويري، نيم­گروه ارشميدسي، نيم­گروه تعويض­پذير به طور ضعيف حذفي.   

1. مقدمه

مفاهیم میانگین­پذیری جبرهای باناخ به وسیله جانسون در [9] معرفی شدند. فرض کنید  یک جبر باناخ و E یک  - دو مدول باناخ باشد. نگاشت خطی و کراندار  را یک اشتقاق گوییم هر گاه برای هر  .

فرض کنیم , نگاشت  را که به صورت  تعریف می­شود, یک اشتقاق درونی نامیم. جبر باناخ  را میانگین­پذیر گوییم، هر گاه برای هر  - مدول باناخ E، هر اشتقاق از  به ، دوگان E، درونی باشد.

قطر تقریبی برای جبر باناخ  ، نتی مانند  می­باشد، به طوری که  براي هر  :         

 

 در [8]، جانسون نشان داد جبر باناخ  میانگین­پذیر است اگر و تنها اگر  دارای یک قطر تقریبی کراندار باشد.

جبر باناخ  را شبه میانگین­پذیر گوییم هرگاه  دارای یک قطر تقریبی باشد.

قهرماني و ژانگ، مفاهیم شبه ميانگين­پذیری را برای جبرهای باناخ معرفی و بررسی کردند.

برای جزییات بیشتر مطالعه کنید[1و 6] .

فرض کنید  یک جبر باناخ و X یک  – دو مدول باناخ باشد. یک اشتقاق  ، تقریباً درونی است، اگر نت  درX چنان موجود باشد که برای هر ،

 

جبر باناخ  تقریباً میانگین­پذیر است هرگاه برای هر - مدول X، هر اشتقاق پیوسته ، تقریباً درونی باشد.

برای جبر باناخ  ، ضرب تانسوری تصويري یک  - مدول با اعمال زیر است:

 

 

براي هر (a,b,c∈) . نگاشت ضربی  به صورت زیر تعریف می­شود:

 

 

مفاهیم دوتصويري و دوسطحي توسط هلمسكي در [7] معرفی و ثابت شدند.

جبر باناخ  دوتصويري است هر گاه یک  -مدول همومورفیسم کراندار  چنان موجود باشد که   ، در آن  نگاشت همانی روی  می­باشد.

جبر باناخ  را دوسطحي گوییم، هرگاه  -مدول همومورفیسم   چنان موجود باشد که  و  نشاننده طبیعی از  بتوی دوگان دوم خودش است.

تعریف. فرض کنید S یک نیم­گروه باشد. تابع پیوسته ) (0, S : یک وزن روی S نامیده می­شود هرگاه براي هر  ،.

تذکر:  و

 

 جبر باناخ با ضرب پیچشی  می­باشد ، این جبرها را جبرهای نيم­گروهي وزندار می­نامیم.

تعریف. نیم­گروه S را نیم­گروه معکوس گوییم هرگاه برای هر  ، عضو منحصر بفرد چنان موجود باشد که. برای هر نیم­گروه معکوس S ، رابطه ترتیبی روی S به صورت زیر تعریف می­شود، براي هر،

 

اگر  یک رابطه جزيي مرتب باشد،  را متناهی موضعی گوییم هر گاه برای  ،

  متناهی باشد و به طور یکنواخت متناهی موضعی گوییم هرگاه

 

تذکر. اگر S یک نیم­گروه معکوس و  ، زیرگروه ماکسیمال S در p را با  نشان می­دهیم و

 

تذکر. فرض کنیدS یک نیم­گروه معکوس باشد. ضرب • روی فضای باناخ  را به صورت زیر تعریف می­کنیم:

 

 و اگر هیچ s و t در S موجود نباشد که  آن گاه

 

 جبر باناخ   را با B(S) نشان می­دهیم و در این حالت:

 

 برای جزییات بیشتر مطالعه کنید.[3،4،6،11،13]

سپس در قسمت 2 ، ثابت می­کنیم برای نیم­گروه معکوس گسسته S ، هرگاه  همانی تقریبی کراندار داشته باشد، میانگین­پذیری  معادلند با این که  دوتصويري بوده و S متناهی باشد. در قسمت 3، ثابت می­کنیم برای نیم­گروه ارشمیدسی S، هرگاه Ω  روی هر زیرگروه ماکسیمال S، کراندار باشد، تقریباً میانگین­پذیری، شبه­ میانگین­پذیری و میانگین­پذیری ، با هم معادلند و همچنین اگر S نیم­گروه تعویض­پذیر به طور ضعيف حذفي باشد، در شرایطی، این موضوع نیز برای دوگان دوم  ثابت می­شود و در قسمت 4، میانگین­پذیری و شبه میانگین­پذیری  را برای کلاس معینی از نیم­گروه­ها بررسی می­کنیم.

2. دوسطحي بودن و شبه میانگین پذیری

 در این قسمت ثابت می­کنیم برای نیم­گروه معکوس گسسته S، اگر همانی تقریبی کراندار داشته باشد،  میانگین­پذیر است اگر و تنها اگر  دوتصويري باشد. همچنین برای نیم­گروه برندت  نیز ثابت می­کنیم در صورتی که ناتهی و متناهی و  همانی تقریبی کراندار داشته باشد، دوسطحي بودن   و متناهی بودن G معادلند.

 قضیه2-1. فرض کنید S نیم­گروه معکوس متناهی و  وزن روی S باشد. اگر   شبه میانگین­پذیر باشد، آن گاه  دوسطحي می­باشد.

 برهان .  فرض کنید  شبه میانگین­پذیر باشد بنابر گزاره [6، گزاره 2.3]،  شبه میانگین­پذیر است. می­دانیم هر نیم­گروه معکوس متناهی، میانگین­پذیر است[2]. لذا S نیم گروه میانگین­پذیر است و طبق [2، قضیه 8]،  میانگین­پذیر است. از آنجا که S متناهی است پس  روی S کراندار است بنابر[15، قضیه 3.6]،  میانگین­پذیر بوده و لذا دوسطحي است. ∎ 

 قضیه 2-2. فرض کنید S نیم­گروه معکوس گسسته،  وزن روی S و  همانی تقریبی کراندار داشته باشد، آن گاه شرایط زیر معادلند:

1) میانگین­پذیر است.

2) دوتصويري و S متناهی است.

3) دوتصويري است.

 برهان. 2→1 از این که  میانگین­پذیر است حال بنابر [15،قضیه 3.7]، میانگین­پذیر و S متناهی است پس  دوسطحي می­باشد. طبق [12 قضیهi  3.7 [، S به طور یکنواخت متناهی موضعی و به ازای هر  ،  گروه میانگین­پذیر است. چون S متناهی است پس  متناهی است و لذا بنابر [12 قضیهii  3.7 [،  دوتصويري است.

3→2 بنابر متناهی بودنS ، کراندار بودن  نیز ثابت می­شود و  ،همینطور  و لذا  دوتصويري است.

   1→3 چون  دوتصويري است ، پس دوسطحي است و بنابر فرض  نیز دارای همانی تقریبی کراندار است و بنابراین  میانگین­پذیر است. ∎

 تعریف 2 -3 . فرض کنید G یک گروه و I مجموعه­ای ناتهی باشد. تعریف می­کنیم:

 

که در آن  ماتریسی  می­باشد که درایه ( i ,j) ام آن g و بقیه درایه­ها صفر است.

   با ضرب تعریف شده زیر،

 

یک نیم­گروه معکوس است با  که نیم­گروه برندت تحت G  همراه با مجموعه اندیس I نامیده می­شود.

 نتیجه2-4 . فرض کنید G یک گروه و I مجموعه ناتهی متناهی ونیم­گروه برندت، وزن روی S و همانی تقریبی کراندار داشته باشد، در آن صورت  دوسطحي است اگر و تنها اگر G متناهی باشد.

 برهان . فرض کنید  دوسطحي باشد. از این که I متناهی است و   متناهی است.دارای همانی تقریبی کراندار است و لذا ميانگين­پذير است. حال بنابر قضیه 2-2 ،  دوتصويري است و طبق [12 قضیهii  3.7]، هر زیر­گروه ماکسیمال از S متناهی بوده و لذا G متناهی است.

برعکس، اگر G متناهی باشد. چون طبق فرض I نیز متناهی است ، پس S متناهی است و

 

پس بنابر [3، نتیجه 3.12]،  دوسطحي می­باشد.∎

 تذکر. فرض کنید S یک نیم­گروه و I یک ایده­آل رویS  بوده و  وزن روی S باشد. برای   ، قرار می­دهیم  اگر  یا  باشد. واضح است که  یک رابطه هم­ارزی روی S می­باشد. کلاس­های هم­ارزی شامل s را با  [s]نشان می­دهیم. فرض کنید  و تعریف می­کنیم . کاملا روشن و مشخص است که این یک عمل نیم­گروهی خوش­تعریف، بر روی مجموعه کلاس­های هم­ارزی  می­باشد و یک فرمی از گروه خارج قسمتی  را با عضو صفر I  نشان می­دهد. همچنین نگاشت  ، که  یک اپی­مورفیسم می­باشد.

تعریف می­کنیم  به طوریکه 1  برای همه­ی  و  برای هر ، به آسانی دیده می­شود که  یک وزن روی  می­باشد. در ادامه به لم زیر نیاز داریم.

 لم [15، لم 3.1] . فرض کنیدS  یک نیم­گروه،  I یک ایده­آل روی S و  وزن روی S باشد. آن گاه   یک ایده­آل از  بوده و 

 

 هرگاه S=I ، داریم :

 

 قضیه 2-5. فرض کنید S نیم­گروه گسسته معکوس،  به طور یکنواخت متناهی موضعی و  وزن روی S باشد ، آن گاه شرایط زیر معادلند:

1) شبه میانگین­پذیر است.

2 ) شبه میانگین­پذیر و S متناهی است.

3 )  شبه میانگین پذیراست.

 برهان . 2→1 چون  شبه میانگین­پذیر است، پس  شبه میانگین­پذیر است[6، گزاره 2.3]. فرض کنیدS یک نیم­گروه معکوس باشد، رابطه  روی S رابه صورت زیر تعریف می­کنیم:

 

 به طوری که . می­بینیم که  یک رابطه هم­ارزی روی S است و فضای خارج قسمتی  یک گروه است [10].

فرض کنید  نگاشت خارج قسمتی باشد ، پس همومورفیسمی از  به  که در آن  می­باشد، وجود دارد. بنابر[6، گزاره 2.2] ، شبه میانگین­پذیر است، چون  یک گروه است لذا دارای عضو همانی مانند e می­باشد پس  همانی،   هست و  تقریباً میانگین­پذیر است[6، قضیه 2.3] و حال بنابر[11، قضیه 2.4] ،  یک گروه میانگین­پذیر است. حال بنابر[2، قضیه 1] ، S یک نیم­گروه معکوس میانگین­پذیر است. بنابر[2، قضیه 1] ، هر زیر­گروه ماکسیمال از S، میانگین­پذیر است و طبق [5، قضیه 3.7]،  شبه میانگین­پذیر است.

در ادامه ثابت می­کنیم S متناهی است. از اینکه S گسسته است بنابراین S سری زیر را دارد

 

به طوری که هر خارج قسمت  یک نیم­گروه ماتریسی ریس منظم با فرم  برای هر  iکه

  و  مجموعه همه زیرگروه­های ماکسیمال از  Sباشد. همچنین،  یک زیرگروه ایده­آل از S است. پس  طبق لم قبل یک ایده­آل از  و  است، بنابر[6، گزاره 2.7]،  شبه میانگین­پذیر است و  گروه میانگین­پذیر است. از این که  یک گروه است پس متناهی است و لذا   ، نیم­گروه 0- ساده کامل می­باشد و بنابر [6، گزاره 2.2] ،   شبه میانگین­پذیر بوده و بنابر [15، قضیه 2.1] برای داریم:

 

پس  شبه میانگین­پذیر است. پس بنابر[5، نتیجه 3.3] ،   شبه میانگین­پذیر است و بنابر [6، گزاره 4.2]،  متناهی بوده و لذا   متناهی است، پس  متناهی است. به همین ترتیب، S متناهی می­باشد.

  3↔2 چون S متناهی است پس  و لذا این دو معادلند.

1→2 فرض کنید   شبه میانگین­پذیر و S متناهی باشد، بنابر [5، قضیه 3.7] و [2، قضیه 1] ، S نیم­گروه معکوس میانگین­پذیر است. چون S متناهی است پس  روی S کراندار و لذا  و همینطور  . بنابراین  شبه میانگین­پذیر است.∎

 قضیه 2-6. فرض کنید S یک نیم­گروه معکوس به طور یکنواخت متناهی موضعی،  وزن روی S ، Ω روی هر زیر­گروه ماکسیمال از S کراندار و  دارای همانی تقریبی کراندار باشد. آن گاه شرایط زیر معادلند:

1) شبه میانگین­پذیراست.

2)E(S)  متناهی و هر زیر­گروه ماکسیمال از S میانگین­پذیر است.

3) میانگین­پذیر است.

4)  تقریباً میانگین­پذیر است.

 برهان. 2→1 فرض کنید  شبه میانگین­پذیر باشد، بنابر برهان قضیه 2-5، S میانگین­پذیر است و لذا بنابر[2، قضیه 1]، هر زیرگروه ماکسیمال از S میانگین­پذیر است و کافی است ثابت کنیم، E(S) متناهی است.

چون  به طور یکنواخت متناهی موضعی است، بنابر [12، گزاره 2.14] ،  به طور یکنواخت متناهی موضعی می­باشد. بنابر[5، قضیه 3.7] ،  شبه میانگین­پذیر است . با فرض  ،  و  دارای همانی تقریبی کراندار است و لذا طبق [6، گزاره 3.2]،  تقریباً میانگین­پذیر بوده و بنابر [13، قضیه 4.1]، E(S) متناهی است.

3→2 با توجه به [13، قضیه 4.3] ، شرط 2، معادل با میانگین­پذیری  است. پس چون  میانگین­پذیر و Ω روی S کراندار است، طبق[15، قضیه 3.6] ،  میانگین­پذیر است.

 4→3 واضح است.

   1→4 چون  دارای همانی تقریبی کراندار و تقریباً میانگین­پذیر است، پس بنابر[6، گزاره 3.2] ،  شبه میانگین­پذیر می­باشد.∎

 نتیجه2-7. فرض کنید S یک نیم­گروه معکوس با E(S) متناهی،  وزن روی Sو  روی هر زیر­گروه ماکسیمال ازS ، کراندار باشد، در آن صورت شبه میانگین­پذیر است اگر و تنها اگر میانگین­پذیر باشد.

 برهان . فرض کنید شبه میانگین­پذیر باشد آن گاه S یک نیم­گروه معکوس میانگین­پذیر است و لذا بنابر [2، قضیه 1]، هر زیر­گروه ماکسیمال از S، میانگین­پذیر است و سپس با توجه به[2، قضیه 8] ،  میانگین­پذیر است. چون Ω روی هر زیر­گروه ماکسیمال از S، کراندار می­باشد، پس طبق [15، قضیه 3.6]،  میانگین­پذیر است و بر عکس نیز واضح است.∎

3. شبه میانگین پذیری جبرهای نیم گروهی وزندار و دوگان دوم آن روی نیم گروه هاي تعویضپذیر

در این قسمت ثابت می­کنیم هرگاه S یک نیم­گروه ارشمیدسی باشد و Ω روی هر زیرگروه ماکسیمال S کراندار باشد آن گاه شبه میانگین­پذیری، تقریباً میانگین­پذیری و میانگین­پذیری   با هم معادلند و همین موضوع را برای دوگان دوم  ، با وجود شرایطی اثبات می­کنیم.

نیم­گروه S را نیم­گروه ارشمیدسی گوییم هرگاه S تعویض­پذیر بوده و برای هر  وجود داشته باشد  به طوری که  .

قضیه 3-1. فرض کنید S  یک نیم­گروه ارشمیدسی،  وزن روی S و Ω روی هر زیرگروه ماکسیمال G از S، کراندار باشد.آن گاه شرایط زیر با هم معادلند:

1)        شبه میانگین­پذیر است.

2)       S یک گروه میانگین­پذیر است.

3)        میانگین­پذیر است.

4)        تقریباً میانگین­پذیر است.

برهان. 2→1 فرض کنید  شبه میانگین­پذیر باشد. بنابراین  همانی تقریبی داشته و همینطور . نتیجه می­گیریم   و  .در ادامه ثابت می­کنیم S=sS برای همه  و S دارای عضو همانی است. ثابت در نظر می­گیریم، بنابر تعریف ارشمیدسی بودن، وجود دارند به طوری که s=su و u=sv. بنابراین داریم:

 

پس  و به عبارت دیگر S=uS و لذا u عضو همانی S می­باشد. می­خواهیم ثابت کنیم S نیم­گروه حذفی چپ می­باشد. اگر  st=sb آن گاه  هست که u=sv و لذا

bv=svb=ub=b.

پسS حذفی می­باشد، حال با توجه به برهان قضیه [4، قضیه3.6 ii] ،  Sیک گروه هست حال بنابر برهان قضیه 2-4 ، S یک گروه میانگین­پذیر می­باشد.

 3→2  فرض کنید S گروه میانگین­پذیر باشد، پس  میانگین­پذیر است و لذا طيق [15، قضیه 3.6]،  میانگین­پذیر است.

   4→3 بدیهی است.

 1→4 از این که S تعویض­پذیر است،  تعویض­پذیر بوده و بنابر [6، نتیجه 3.4]،  شبه میانگین­پذیر است.∎

در ادامه گزاره­ای در مورد شبه میانگین­پذیری دوگان دوم جبرهای نیم­گروهی وزندار تعویض­پذیر اثبات می­کنیم.

نیم­گروه تعویض­پذیر S، را به طور ضعيف حذفي گوییم هر گاه برای هر ،  متناهی باشد.

 گزاره3-2.  فرض کنید S نیم­گروه تعویض­پذیر به طور ضعيف حذفي ،  وزن روی S و  باشد. اگر  یکدار باشد ، آن گاه شرایط زیر معادلند:

1) میانگین­پذیر و S متناهی است.

2) میانگین­پذیر است.

3) تقریباً میانگین­پذیر است.

4)  شبه میانگین­پذیر است.

 برهان. 2→1 از این که S متناهی است ، پس  روی S کراندار است و لذا   و همچنین    متناهی­البعد بوده و داریم  . بنابراین  میانگین­پذیر است.

  3→2  بدیهی است.

  4→3 از اینکه S تعویض­پذیر است،  تعویض­پذیراست و لذا  نیز تعویض­پذیر می­باشد .حال بنابر[6، نتیجه 3.4]، برهان کامل می­شود.

  1→4 در ابتدا ثابت می­کنیم S نیم­گروهی متناهی است. اگر ،، حال طبق [14، نتیجه 3.6]، وجود دارد به طوری که tS  متناهی باشد. پس برای هر  ، بنابر فرض   متناهی می­باشد. به عبارتی دیگر، با توجه به این که ، پس S نیز متناهی می­باشد.

چون   شبه میانگین­پذیر است،  نیز شبه میانگین­پذیر است حال بنابر قضیه 3-1 نتیجه می­گیریم  میانگین­پذیر است.∎

 4. شبه میانگین­پذیری برخی جبرهای نیم­گروهی وزندار

در این قسمت، میانگین­پذیری و شبه میانگین­پذیری  را برای کلاس معینی از نیم­گروه­ها بررسی می­کنیم. فرض می­کنیم S یک نیم­گروه صفر چپ یا راست باشد، ثابت می­کنیم که شبه میانگین­پذیری  معادل با میانگین­پذیری آن و این شرایط معادل با تک عضوی بودن S است. همین طور نشان می­دهیم بعضی نتایج زمانی که S نیم­گروه نواری مستطیلی  و    وزن جدایی­پذیر باشد، برای  ، حفظ می­شود. ما ثابت می­کنیم  دو­سطحی است هرگاه S نیم­گروه صفر چپ (راست) یا نیم­گروه نواری مستطیلی باشد. 

نیم­گروه S، نیم­گروه صفر چپ است هر گاه  st=s  و نیم­گروه صفر راست است هرگاه  st=t  برای هر  . برای هر  ، اگر S نیم­گروه صفر راست باشد، آن گاه  و هر گاه S نیم­گروه صفرچپ باشد،  که در آن   کاراکتر افزایشی روی  می­باشد. 

 گزاره 4-1. فرض کنید S یک نیم­گروه صفر راست(چپ) و  وزن روی  S باشد. آن گاه   دو­سطحی است.

 برهان. فرض کنید S نیم­گروه صفر راست باشد. تعریف می­کنیم: 

 

که در آن  عضو دلخواهی از  S می­باشد، آن گاه برای هر  داریم:

 

و به طور مشابه    . همچنین ، نگاشت همانی روی   می­باشد. پس  دوتصویری است و می­دانیم که هر جبر باناخ دوتصویری، دوسطحی می­باشد، لذا   دوسطحی است. ■

 تعریف 4-2.  نیم گروه­های  و  را در نظر بگیرید. گوییم وزن  روی ، جدایی­پذیر است، هر گاه دو وزن  و  به ترتیب روی  و  چنان موجود باشند که  . به آسانی ثابت می­شود : 

 

 تعریف 4-3. فرض کنید S یک نیم­گروه و   ، گوییم  S، نیم­گروه نواری  است، هرگاه . نیم­گروه نواریS  که در آنsts=s  برای هر  ، نیم­گروه نواری مستطیلی  نامیده می­شود.

برای هر نیم­گروه نواری مستطیلی S ، داریم  که در آن  و  به ترتیب نیم­گروه های صفر چپ و راست هستند.

 گزاره 4-4. فرض کنید S یک نیم­گروه نواری مستطیلی و   یک وزن جدایی­پذیر روی S باشد، آن گاه  دوتصویری بوده و لذا دوسطحی است.

 برهان. بنابر مطالب فوق و گزاره 4-1 و همینطور [12، گزاره 2.4] ، واضح است. ■

 قضیه 4-5. فرض کنید  S، نیم­گروه نواری مستطیلی و  وزن  جدایی­پذیر رویS  باشد، آن گاه  شرایط زیر معادلند:

1)        شبه میانگین­پذیر است.

2)       S تک عضوی است.

3)        میانگین­پذیر است.

 برهان.  2→1 فرض کنید  شبه میانگین­پذیر باشد. از آنجا که S، نیم­گروه نواری مستطیلی است پس نیم­گروه صفر چپL  و  نیم­گروه راستR  و وزن­های  و  به ترتیب روی  L  و  R چنان موجودند که  و . داریم:

 

بنابراین نگاشت  با ضابطه

       برای  و ، یک اپی­مورفیسم( برونسانی) از جبرهای باناخ می­باشد که در آن  ، کاراکتر افزایشی روی   می­باشد. از این که   شبه میانگین­پذیر است لذا  ، همانی تقریبی راست و چپ دارد، لذا  L  تک عضوی است زیرا نیم­گروه صفر چپ است. به طور مشابه  R نیز تک عضوی است و لذا S ، تک عضوی است.

3→2  فرض کنید S تک عضوی باشد، بنابر [3، قضیه 3.3]،  میانگین­پذیر می­باشد و لذا طبق [15، قضیه 3.6] ،  میانگین­پذیر است.

1→3  بدیهی است. ■

برای نیم­گروه  S ، نیم گروه  ، همان نیم­گروه S می باشد که حاصل ضرب در آن برعکس می­شود. 

 قضیه 4-6.  فرض کنید S یک نیم­گروه صفر راست (چپ) و   وزن روی  S  باشد، آن گاه  شرایط زیر معادلند:

1)        شبه میانگین­پذیر است.

2)       S تک عضوی است.

3)        میانگین­پذیر است.

برهان. فرض کنید  S یک نیم­گروه صفر چپ باشد، در آن صورت   یک نیم­گروه صفر راست است. به راحتی می­توان دید که   یک نیم­گروه نواری مستطیلی است. حال قضیه قبل را برای نیم­گروه نواری مستطیلی   با فرض  به کار می­بریم. ■

5. نتیجه­گیری

هرگاه S یک نیم­گروه معکوس باشد، میانگین­پذیری، شبه میانگین­پذیری و تقریباً میانگین­پذیری ، با هم معادلند و این شرایط معادل با متناهی بودن E(S) و میانگین­پذیر بودن هر زیر ­گروه ماکسیمال از S می­باشد. همچنین برای نیم­گروه معکوس گسسته S هرگاه  به طور یکنواخت متناهی موضعی باشد،  شبه میانگین­پذیر است، اگر و تنها اگر  شبه میانگین­پذیر و S متناهی باشد.

در ادامه اگر S یک نیم­گروه صفر چپ یا راست باشد، ثابت می­شود که شبه میانگین­پذیری  معادل با میانگین­پذیری آن و این شرایط معادل با تک عضوی بودن S است. همین طور بعضی نتایج زمانی که S نیم­گروه نواری مستطیلی و    وزن جدایی­پذیر باشد، برای  ، حفظ می­شود. ثابت می­شود  دو­سطحی است هر گاه S نیم­گروه صفر چپ (راست) یا نیم­گروه نواری مستطیلی باشد. 

 

فهرست منابع

[1] Y. Choi, F. Ghahramani and Y. Zhang, Approximate and pseudo-amenability of various classes of Banach algebras,J.Func. Anal. 3191-3158، (2009)256.

 

  [2] J . Duncan and I. Namioka, Amenability of inverse semigroup and their semigroup algebras, Proc. Royal- Soc . Edinburgh , Section A 321-309، (1978).

 

[3] M. Essmaili and A. Medghalchi , Biflatnese of certain semigroup algebras , Bulletin of the Iranian Mathematical society Vol . 39 No . 5(2013) , pp   969-959.

 

[4]  M. Essmaili , M. Rostami , and A. R . Medghalchi, Pseudo-contractibility and Pseudo-amenability of semigroup algebrs, Arch . Math. 97 (2011) ,167 177 -.

 

[5]  M . Essmaili ,M . Rostami, A. Pourabbas , Pseudo-amenability of certain semigroup algebras, Semigroup Forum 82 (2011) , 478-484..

 

[6 ]  F. Ghahramani and Y. Zhang, Pseudo-amenability and pseudo-contractible Banach algebras , Math . Proc . Combridge philos . soc .142  (2007) , 111-123.

 

[7]  A. Ya. Helemskii,Flat Banach modules and amenable algebras, Trans. Moscow Math. Soc. 47(1985), 199-224.

 

[8]  B. E. Johnson, Approximate digonals and cohomology of certain annihilator Banach alebras, Amer. J.Math. 94 (1972), 685-698.

[9] B. E. Johnson, Cohomology in Banach algebras, Mem . Amer. Math. Soc. 127 (1972).

 

[10] W .D . Munn , A class of irrecucible matrix representations of an arbitrary inverse semigroup , Proc . Glasgow , math. Assoc . 5 (1961) , 41-48 .

 

[11]  S. Naseri, Approximate amenability of weighted group algebras, International mathematical forum , vol , 6 , 2011 , no . 2 , 49-56.

 

[12]  P. Ramsden , Biflatness of semigroup algebras , Semigroup Forum 79 (2009) , 515-530.

[13]  M . Rostami , A. Pourabbas , M. Essmaili , Approximate amenability of certain inverse semigroup algebras, Acta Mathematica Scientia  2013, 33B (2) :565-577.

 

[14]  M. Soroushmehr .M. Rostami. M. Essmaili, On pseudo-amenability of commutative semigroup algebras and their second duals,semigroup Forum, Springer Science+Business Media, LLC 2017.

 

[15]  M. Soroushmehr, Weighted Ress matrix semigroup and their applications , Arch , Math , 100 (2013) 139-147.

 

 

 

---

[1] * عهده­دار مکاتبات:                       [e-mail]  Email:

---