محاسبه حد بالای سرعت انجام محاسبات و نرخ رشد پیچیدگی با استفاده از روش ریاضی نظریه اختلال

محورهای موضوعی : آمار

حسین باقری ¹ , محمدرضا تنهایی ^{2 *}

1 - گروه فیزیک، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران.
2 - گروه فیزیک، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران.

تاریخ دریافت : 1399/12/20 تاریخ پذیرش : 1400/02/25 تاریخ انتشار : 1402/06/10

کلید واژه: Disruption theory, synchronized oscillator, the complexity of performing calculations,

چکیده مقاله :

سرعت انجام محاسبه و میزان توانایی در انجام محاسبات برای یک سیستم محاسباتی دو سوال بنیادی در علوم رایانه می باشند همچنین مفهوم پیچیدگی انجام محاسبه به زبان ماشین و سنجه ای که برای پیچیدگی ارایه می شود، کمیت های مهمی هستند. در این مقاله، با استفاده از روش های ریاضی و به صورت مشخص با بهره جستن از نظریه اختلال، نرخ رشد پیچیدگی انجام محاسبات را برای یک نوسانگر ناهماهنگ محاسبه می کنیم. علت انتخاب نوسانگر به این دلیل است که اکثر سیستم های فیزیکی را می توان با نوسانگر شبیه سازی کرد. همچنین حداکثر تحول دینامیکی حالت های کوانتومی را که میزان محاسبه را تغییر می دهد، محاسبه می کنیم و به عنوان دستاورد مهم این کار نشان می دهیم که برای اختلال مرتبه زوج، میزان پیچیدگی افزایش می یابد، در حالی که برای اختلال مرتبه فرد نرخ، رفتار کاهشی خواهیم داشت. این روش می تواند الگوی نظری برای حد بالای انجام محاسبات در نظر گرفته شود.

چکیده انگلیسی:

The speed of calculation and the level of ability to perform calculations for a computing system are two fundamental questions in computer science. Also, the concept of complexity of performing calculations in machine language and the measure provided for complexity are important quantities. In this article, we calculate the growth rate of the complexity of performing calculations for an asynchronous oscillator by using mathematical methods and specifically using the disturbance theory. The reason for choosing an oscillator is that most physical systems can be simulated with an oscillator. Also, we calculate the maximum dynamic evolution of the quantum states that changes the computation rate, and as an important achievement of this work, we show that for even-order perturbation, the rate of complexity increases, while for odd-order perturbation, the rate We will have a decreasing behavior. This method can be considered as a theoretical model for the upper limit of calculations.

منابع و مأخذ:

[1] S. J. Liao, The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems. Ph.D. Thesis, Shanghai Jiao Tong University (1992)

[2] J. X. Li, Y. Yan, W. Q. Wang, Time-delay feedback control of a cantilever beam with concentrated mass based on the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 108:629-645(2022)

[3] P. Khaneh Masjedi,P. M. Weaver, Analytical solution for arbitrary large deflection of geometrically exact beams using the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 103: 516-542(2022)

[4] E. Botton, J.B. Greenberg, A. Arad, D. Katoshevski, V. Vaikuntanathan, M. Ibach, B. Weigand, An investigation of grouping of two falling dissimilar droplets using the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 104:486-498(2022)

[5] S. Abbasbandy, T. Hayat, On series solution for unsteady boundary layer equations in a special third grade fluid. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16:3140-3146(2011)

[6] S. Abbasbandy, E. Shivanian, Predictor homotopy analysis method and its application to some nonlinear problems. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16:2456-2468(2011)

[7] R. A. Van Gorder, K. Vajravelu, On the selection of auxiliary functions, operators, and convergence control parameters in the application of the Homotopy Analysis Method to nonlinear differential equations: A general approach. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 14:4078-4089(2009)

[8] Chuang Yu, Hui Wang, Dongfang Fang, Jianjun Ma, Xiaoqing Cai, Xiaoniu Yu, Semi-analytical solution to one-dimensional advective-dispersive-reactive transport equation using homotopy analysis method. Journal of Hydrology 565:422–428(2018)

[9] M.R. Shirkhani, H.A. Hoshyar, I. Rahimipetroudi, H.Akhavan, D.D.Ganji,  Unsteady time-dependent incompressible Newtonian fluid flow between two parallel plates by homotopy analysis method (HAM), homotopy perturbation method (HPM) and collocation method (CM). Propulsion and Power Research 7:247-256(2018)

[10] S. Hussain, A. Shah, S. Ayub, A. Ullah, An approximate analytical solution of the Allen-Cahn equation using homotopy perturbation method and homotopy analysis method. Heliyon 5(12):1-9(2019)

[11] P.A. Naik, J. Zu and M. Ghoreishi, Estimating the approximate analytical solution of HIV viral dynamic model by using homotopy analysis method. Chaos, Solitons and Fractals, 131:1-21(2020)

[12] G. Zhang, Z. Wu, Homotopy analysis method for approximations of Duffing oscillator with dual frequency excitations. Chaos, Solitons and Fractals 127:342–353(2019)

[13] Y. Zhang, Y. Li, Nonlinear dynamic analysis of a double curvature honeycomb sandwich shell with simply supported boundaries by the homotopy analysis method. Composite Structures 221:1-12(2019)

[14] A. Jafarimoghaddam, On the Homotopy Analysis Method (HAM) and Homotopy Perturbation Method (HPM) for a nonlinearly stretching sheet flow of Eyring-Powell Fluids. Engineering Science and Technology, an International Journal 22:439-451(2019)

[15] Z. Odibat, On the optimal selection of the linear operator and the initial approximation in the application of the homotopy analysis method to nonlinear fractional differential equations. Applied Numerical Mathematics 137:203–212(2019)

 

[16] J. Rana, S. Liao, On time independent Schrödinger equations in quantum mechanics by the homotopy analysis method. Theoretical & Applied Mechanics Letters 9:376-381(2019)

[17] S.J. Liao, Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton (2003)

متن کامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال نهم، شماره چهل و یکم، فروردین و اردیبهشت 1402

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

محاسبه حد بالای سرعت انجام محاسبات و نرخ رشد پیچیدگی با استفاده از روش ریاضی نظریه اختلال

 

 

حسين باقری1، محمدرضا تنهايی اهری2¹

 

 

(1و2)   گروه فيزيک، دانشکده علوم پايه، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ايران

 

 

تاريخ ارسال مقاله:         20/12/1399   تاريخ پذيرش مقاله: 25/02/1400

چکيده

سرعت انجام محاسبه و میزان توانایی در انجام محاسبات برای یک سیستم محاسباتی دو سوال بنیادی در علوم رایانه می­باشند همچنین مفهوم پیچیدگی انجام محاسبه به زبان ماشین و سنجه­ای که برای پیچیدگی ارایه می­شود، کمیت­های مهمی هستند. در این مقاله، با استفاده از روش­های ریاضی و به صورت مشخص با بهره جستن از نظریه اختلال، نرخ رشد پیچیدگی انجام محاسبات را برای یک نوسانگر ناهماهنگ محاسبه می­کنیم. علت انتخاب نوسانگر به این دلیل است که اکثر سیستم­های فیزیکی را می­توان با نوسانگر شبیه­سازی کرد. همچنین حداکثر تحول دینامیکی حالت­های کوانتومی را که میزان محاسبه را تغییر می­دهد، محاسبه می­کنیم و به عنوان دستاورد مهم این کار نشان می­دهیم که برای اختلال مرتبه زوج، میزان پیچیدگی افزایش می­یابد، در حالی که برای اختلال مرتبه فرد نرخ، رفتار کاهشی خواهیم داشت. این روش می­تواند الگوی نظری برای حد بالای انجام محاسبات در نظر گرفته شود.

 

 

 

واژه‌هاي کليدي: پیچیدگی، اختلال، نوسانگر ناهماهنگ، تحول دینامیکی.

 

---

[1] . عهده­دار مکاتبات:                                                                                  Email:[e-mail]

1- مقدمه

سرعت پردازش اطلاعات و میزان ظرفیت پردازش اطلاعات توسط رایانه، دو موضوع اساسی حوزه عملیات محاسباتی و پردازش اطلاعات می­باشند. مشکل محدودیت در سرعت محاسبه و میزان حافظه، مسائلی چالش برانگیز هستند که می­توان آنها را به ترتیب با انرژی و تعداد درجه­های آزادی که سیستم می­تواند به دست آورد، مشخص کرد. به این ترتیب که حد مجاز سرعت محاسباتی برای یک سیستم معین را می­توان به حداکثر تعداد حالت­های مشخص و مجزایی که این سیستم در واحد زمان از آن می­گذرد، نسبت داد که این حالات متعامد فرض شده­اند. منظور از تعامد حالت­ها همان مفهوم تعامد بردارهای حالت در ریاضی می­توان تلقی کرد. در علم فیزیک و به صورت مشخص براساس مکانیک کوانتومی، محدودیتی در سرعت تحول سیستمهای کوانتومی وجود دارد که می­توان بر آن اساس، حداقل زمانی که یک سیستم نیاز دارد تا از حالت اولیه به حالت دیگر تبدیل برود را محاسبه نماییم ]1[. در واقع سرعت پردازش اطلاعات را می­توان به تعداد حالت­های مجزای متعامدی که سیستم در واحد زمان از آن می گذرد، ترجمه کرد. حالت­های متعامد بر اساس یک سازکار ریاضی تحول می­یابند و از این نظر می­توان گفت که سرعت پردازش توسط ریاضیات و مکانیک کوانتوم مشخص می­شود. لذا محاسبه محدودیت سرعت با استفاده از مکانیک کوانتومی قابل بررسی می­باشد. 

بر اساس آموزه­های علم فیزیک و به صورت مشخص با استفاده از متد هولوگرافی کارهای جالبی به جهت ارتباط علم سیاه­چاله­ها و نظریه اطلاعات وجود دارد؛ برای مثال یک سیاهچاله را می­توان به عنوان یک فروشگاه داده یا یک دستگاه محاسباتی در نظر گرفت که مقدار مشخصی از انرژی را فشرده می­کند و در واقع آن دستگاه می­تواند تعداد مشخصی عملیات را در ثانیه انجام دهد] 2[.

علاوه براین، در پردازش اطلاعات، یک حد بالای نظری وجود دارد که به طور دقیق تر برای یک سیستم کوانتومی با میانگین انرژی معین، حد بالای نظری را می­توان برای تعداد عملیات­هایی که در یک ثانیه می­تواند انجام دهد را از رابطه  بدست آورد. این حد، به حد لوید¹ معروف است] 3[. بین فیزیک سیاهچاله و نظریه اطلاعات کوانتومی تحقق عینی وجود دارد. بکنشتاین² ]4[و]5[ استدلال کرده است از دیدگاه نظری، سیاهچاله ها دارای یک بیشینه از ذخیره اطلاعات هستند؛ این جمله به این مفهوم است که میزان ذخیره اطلاعات که به اصطلاح حافظه دستگاه نامیده می­شود، دارای حد می­باشد. بنابراین درک اطلاعات کوانتومی از دیدگاه نظری مسئله جالبی و چالش برانگیزی خواهد بود. جالب­تر آنکه سیاه­چاله در اصل می­تواند دارای مجموعه­ای از حدهای بنیادی در چگالی، آنتروپی و پیچیدگی محاسباتی باشند. آنتروپی و پیچیدگی در همتنیدگی دو مفهوم مهم در فیزیک نظری هستند که ممکن است پلی بین قوانین بنیادی فیزیک و نظریه اطلاعات در نظر گرفته شوند [6]. اساساً، آنتروپی درهمتنیدگی معیاری از درجه آزادی در یک سیستم بهم جفت شده است در حالی که پیچیدگی میزان سختی انجام یک کار فیزیکی را اندازه گیری می­کند [7]. از طرف دیگر در علوم رایانه، پیچیدگی محاسباتی یا در اصل پیچیدگی یک عملکرد یک تعریف ساده دارد: که میزان منابع مورد نیاز برای به جریان انداختن مسلئه یا حداقل پیچیدگی­های لازم برای همه الگوریتم های ممکن در این مسئله است. از طرف دیگر در یک کار بنیادی، براون و همکارانش³ ]8[ ارتباط شگفت انگیزی بین کنش داخل سیاه­چاله و کران بالای پردازش کشف کردند. در حقیقت آنچه مورد بحث قرار گرفته است به شرح زیر است: کنش داخل سیاه چاله با سرعتی دقیقا برابر با  افزایش می­یابد و همین امر باعث شد كه آنها نتیجه بگیرند كه سیاه چاله­ها با سریعترین سرعت ممكن پیچیدگی ایجاد می‌كنند. نظریه اطلاعات کوانتومی در واقع یک جنبه کاربردی از مکانیک کوانتومی است و نقش مهمی در پیشرفت علوم رایانه­ای دارد. جالبی این مطلب در اینجاست که این یک بحث درباره مفهوم عینی بین فیزیک سیاه­چاله و نظریه اطلاعات کوانتومی می­باشد. یعنی در مطالعه فیزیک سیاهچاله­ها، نظریه اطلاعات کوانتومی ممکن است نقش مهمی داشته باشد. ازاین رو سؤالی که در اینجا مطرح می­شود این است که: اگر سیستم مختل شود این حدود بنیادین چگونه تغییر خواهند کرد؟

علاوه بر این مکانیک کوانتومی دارای یک تعریف استاندارد از پیچیدگی است [9]. در حقیقت پیچیدگی معیاری است که نشان می دهد انجام کار چقدر دشوار است. در اصل، پیچیدگی یک حالت کوانتومی است که ازحوزه محاسباتی کوانتومی سرچشمه می­گیرد و با تعداد عملگرهای یکانی اساسی مورد نیاز برای ایجاد یک حالت مطلوب از یک حالت مرجع، مشخص می‌شود [10].

همچنین این استدلال مطرح شد که پیچیدگی کوانتومی به ما کمک می­کند تا برخی از ویژگی­های خاص رفتار زمان دور هندسه­های سیاه­چاله ابدی را به تصویر بکشیم [11].

در ادامه از حد لوید به عنوان زیر بنای روابط پیچیدگی هولوگرافیک برای ایجاد تمایز میان متعامدسازی درنظر گرفته شده است و استدلال می شود كه این مفاهیم برای تشخیص پیچیدگی هولوگرافی مفید هستند.

در حقیقت میزان اطلاعاتی که یک سیستم فیزیکی می­تواند ذخیره یا پردازش کند به طور مستقیم با تعداد حالات قابل دسترسی سیستم در ارتباط است.

دراین مقاله در بخش 2، زمان تعامدسازی را دریک نوسانگر ساده ناهماهنگ محاسبه می­کنیم. در ادامه در بخش 3 به بررسی حد لوید برای یک سیستم کوانتومی در شرایط مختلف می­پردازیم. سخنان پایانی در بخش 4 آورده شده است. سرانجام مقاله را با یک پیوست به اتمام می­رسانیم که در آن با محاسبه صریح ریاضی نشان می­دهیم که نرخ رشد پیچیدگی برای یک نوسانگر ناهماهنگ باوارد کردن نظریه اختلال مرتبه زوج افزایش می­یابد، در حالیکه این نرخ با واردکردن اختلال مرتبه فرد، کاهش پیدا می­کند.

2- محاسبه زمان تعامد حالت­ها در نوسانگر ناهماهنگ

در زمینه پردازش اطلاعات و اندازه­گیری، تحول حالت سیستم به یک حالت متعامد و چگونگی نرخ رشد حالت دو مسئله مهم هستند که بسیار قابل توجهند. از این منظر انتقال از یک حالت به یک حالت متعامد ممکن است به عنوان یک مرحله ابتدایی از یک فرایند محاسباتی در نظر گرفته شود. در این راستا حداکثر نرخ تحول یک سیستم کوانتومی را می­توان با حداقل زمانی که یک سیستم برای تحول از یک حالت اولیه به حالت متعامد بر خود نیاز دارد، مشخص کرد.

اکنون می­خواهیم حداقل زمان لازم برای اینکه حالت سیستم فیزیکی معینی در یک تحول به حالت متعامد خود برود را محاسبه نماییم. برای این کار حالت دلخواه را به صورت برهم نهی از ویژه مقادیر انرژی به صورت رابطه (1) نمایش می­دهیم.

(1)

 

دراینجا فرض کردیم که سیستم دارای طیف گسسته است. اکنون با استفاده از روشی تحول حالت­ها، می­توان تحول زمانی  را به صورت

رابطه (2) نوشت:

(2)

برای پیدا کردن حداقل زمان تعامد رابطه زیر را تعریف می­کنیم

(۳)

پس از انجام برخی عملیات جبری و استفاده از حل معادله  و استفاده از روابط جبری برای  می­توانیم حداقل زمان  را محاسبه کنیم. با استفاده از مفهوم بالا و همچنین رابطه زیر

(۴)

می­توان نوشت

 

لازم به ذکر است که در رابطه بالا  میانگین انرژی حالت  است. با تحمیل شرایط تعامد با استفاده از رابطه ، به حداقل زمان مورد نیاز که سیستم را از، به حالت متعامد می­برد، می­رسیم [11] که از رابطه (6) محاسبه می­شود

(6)

این بدان معنی است که سیستم کوانتومی با انرژی برای رفتن از یک حالت به یک حالت متعامد، نیاز به حداقل زمان  دارد. درواقعاین قضیه مارگولوس- لویتین⁴ [12] است که یک حد بنیادی در محاسبات کوانتومی را بیان می­کند.

اکنون زمان آن فرا رسیده است که حداقل زمان تحول را برای یک نوسانگر هارمونیک ساده با

اختلال زوج و فرد را بررسی کنیم.

برای هامیلتونین یک بعدی می توان نوشت.

(7)

در اینجا  و و یک عدد صحیح مثبت است. در ابتدا یک نوسانگر ناهماهنگ مرتبه چهارم را که با میدان الکتریکی خارجی مختل کرده ایم را مورد مطالعه قرار می­دهیم (تعمیم کلی در ضمیمه ارائه شده است).

با استفاده از عبارت   که منجر به هامیلتونی (8) می­شود، می­توان تأثیر میدان الکتریکی خارجی بر نوسانگر ناهماهنگ باردار را بررسی کرد:

(۸)

دراینجا  و به ترتیب جرم و بار سیستم هستند. برای پایین­ترین مرتبه انرژی غیر صفر، می­توان تصحیح انرژی را به صورت فرمول (9) نوشت

(9)

که  عدد صحیح مثبت یا صفر است و  یک پارامتر حقیقی کوچک مثبت است، همچنین  به صورت رابطه زیر تعریف می­شود

(۱۰)

برای محاسبه میانگین انرژی در حالت ، فرض می­کنیم سیستم ما دقیقاً از  حالت متعامد دو به دو عمود برهم در یک زمان ثابت  عبور
می­کند. در نتیجه ویژه تابع را می توان به صورت رابطه (11) نشان داد. 

(۱۱)                                     

 

مقدار چشم داشتی انرژی برای یک نوسانگر ناهماهنگ مرتبه چهار در حضور میدان الکتریکی، از رابطه (12) بدست می­آید:

(۱۲)

برای آسان­تر شدن محاسبات، می­توان مجموعه تحولاتی را در نظر گرفت که در یک چرخه دقیق از حالت که دوبه دو بر هم عمود هستند با آهنگ ثابت در زمان  عبور می­کنند. دراین حالت برای  های بزرگ­داریم ،بنابراین می­توان نوشت:  

 

گفتنی است که شکل(1) برای هایی با ضرایب بزرگ می باشد و ما نتایج زمان تعامد حاصل از چهار ضریب تصادفی عمومی را برای  و  رسم کرده­ایم.

همانطور که در شکل می­بینیم برای  های بزرگ منحنی­ها بر هم منطبق هستند. به این نکته توجه داشته باشید که ما با N های بزرگ کار می­کنیم، بنابراین با در نظر گرفتن یک کران بالا برای میدان الکتریکی  همواره انرژی غیر منفی می­گردد. علاوه براین با توجه به رابطه (6) و ، داریم

 

باتوجه به تعریف ما این زمانی است که یک سیستم کوانتومی معین با انرژی  از یک حالت به حالت متعامد خود می­رود. می­توانیم از رابطه (14) کران بالای آهنگ پیچیدگی را بدست آوریم.

3- کران بالای آهنگ پیچیدگی

در اصل پیچیدگی یک حالت کوانتومی با تعداد عملگرهای یکانی اولیه مورد نیاز برای ایجاد یک حالت مطلوب از یک حالت مرجع معین تعریف
می­شود. به­طور خاص، لوید در کار اصلی خود نشان داد که سرعتی که یک دستگاه فیزیکی درآن
می­تواند اطلاعات را پردازش کند، با انرژی آن محدود شده است و میزان اطلاعاتی که می­تواند پردازش کند، با تعداد درجات آزادی که دارد، محدود شده است. این حد دارای یک کران بالایی است که سرعت محاسبات یک رایانه کلاسیک را تعیین می­کند که حد لوید نامیده می­شود. اساساً، فرایند اطلاعاتی که توسط یک رایانه انجام می­شود از طریق استفاده پیاپی از دروازه­های منطقی6، حالت اولیه معینی را به حالت نهایی برساند.

در اصل، یک دروازه منطقی اشاره به یک دستگاه فیزیکی واقعی دارد که یک عمل منطقی را انجام
می­دهد.از طرف دیگر هر دروازه یا عملی درزمان انجام می­گیرد. اگر یک کنش هامیلتونروی دروازه معین اعمال کنیم، عملگر متناظر آن
 است.

بنابراین می توان یک تحول یکانی را در نظر گرفت که حالت اولیهرا پس از زمان، به حالتنهایی مطلوب  برساند. اکنون
می­توانیم یک کاربرد متوالی از  دروازه را به کار ببریم ]13[، دراین صورت داریم: 

(15)                       

برای یک محاسبات سری می­توان نوشت

(16)                      

 

در اینجا  دروازه متعامد  عملگر ترتیب زمانی است. در این حالت آهنگ پیچیدگی دارای یک کران بالای قوی است که به­صورت رابطه (17) داده می­شود

(17)                                          

به طوریکه زمان رسیدن به حالت متعامد سیستم است. در این حالت آهنگ پیچیدگی را می­توان از رابطه زیر بدست آورد:

(18)         

در شکل (3) آهنگ پیچیدگی را برای مقادیر مختلف رسم کرده­ایم.

 

---

[1]  Lloyd’s bound

[2]  Bekenstein

[3]  Brown et al

[4]  Margolus -Levitin

 

شکل (1): زمان تعامد برای ضرایب تصادفی (خط چین) و موردی که دراینجا انتخاب کرده­ایم (خط توپر) ، برای  (پانل سمت چپ) و  (پانل سمت راست) نشان داده شده است. در هر دو شکل  قرار داده­ایم.

 

 

 

 

 

 

شکل (2): آهنگ پیچیدگی بهنجارشده نوسانگر ناهماهنگ باجرم های مختلف برای  رسم شده است که درپانل سمت چپ:  در پانل سمت راست     انتخاب کرده­ایم . ¹

 

 

شکل (3) سمت راست: آهنگ پیچیدگی بهنجارش شده نوسانگر ناهماهنگ در این شکل به تصویر کشیده شده است. هنگامی که پارامترهای آن به مقدار معین بحرانی ارائه شده توسط  معادله (19) برسد، رفتار این آهنگ تغییر می­کند . توجه داشته باشید که در اینجا  قرار داده­ایم و  را تعریف کرده­ایم. شکل (4) سمت چپ: اثر پارامتر ناهماهنگ و میدان الکتریکی روی آهنگ پیچیدگی در این شکل به تصویر کشیده شده است. در اینجا   قرار داده­ایم .

 

 

---

[1] 6 Logic gates

همانطور که در شکل­های (2) و(3)، نشان داده­ایم یک مقدار بحرانی برای پارامتر ناهماهنگ وجود دارد که فراتر از آن آهنگ پیچیدگی رفتار خود را به شدت تغییر می­دهد که برای آن می­توان نوشت:

(19)                               

نتایج نشان می­دهد که پیچیدگی بهنجارشده نوسانگر ناهماهنگ باردارشده، در مقدار بزرگ  به یک مقدار مشخص می­رسد. به عبارت دیگر، مقدار بحرانی برای پارامتر ناهماهنگ وجود دارد که نحوه رفتار این اشباع را مشخص می­کند.

شکل (4) نشان می­دهدکه میدان الکتریکی می­تواند اثرافزایشی پارامتر ناهماهنگ را خنثی کند. به عبارت ساده می­توان گفت که ­وانیم پارامترهای میدان الکتریکی و ناهماهنگ را طوری تغییر دهیم که  را داشته باشیم. در این حالت، معادله (19) کاملاً ارضاء می­شود.

اگر بخواهیم محاسبات خود را با یک نوسانگر هماهنگ باردار در حضور میدانهای الکتریکی و مغناطیسی مقایسه نماییم، به راحتی می­توان مشاهده کرد که برای نوسانگر ناهماهنگ باردار شده، مانند نوسانگر هماهنگ باردار، میدان الکتریکی آهنگ رشد پیچیدگی را کاهش می­دهد.

در عوض قبلا ثابت کرده ایم که پارامتر ناهماهنگ مانند میدان مغناطیسی در نوسانگر هماهنگ باردار، نقش موثری در افزایش آهنگ پیچیدگی دارد [11].

4- نتيجه گيري

در علوم رایانه؛ پیچیدگی یک عمل، معیاری است که نشان دهنده دشواری انجام یک کار است. این دشواری یک تعریف ساده دارد و با توجه به حداقل الگوریتم­هایی که برای انجام یک مسئله لازم است، تعریف می شود. به این ترتیب پیچیدگی مربوط است به تعداد عملگرهای اولیه که برای ایجاد یک حالت مطلوب از یک حالت مرجع مشخص مورد نیاز است. از این منظر، پیچیدگی از انرژی سیستم تأثیر می­پذیرد. پس می­توان سرعت محاسبات را با تعداد عملیاتی که در واحد زمان در هر مرحله انجام شود یازمان آهنگ تغییر پیچیدگی معین­کرد. اکثر پدیده های فیزیکی با نوسانگر قابل مدل کردن می­باشد.

در این مقاله در مورد یک نوسانگر ناهماهنگ ساده مختل شده، کمیت دشواری انجام کار را مدل سازی کردیم. برای محاسبه حداقل زمان متعامدسازی ازیک حالت کوانتومی با انرژی  به یک حالت متعامد، از قضیه مارگولوس-لویتین استفاده نمودیم که  مقدار چشم داشتی انرژی سیستم است که نقش فیزیکی دارد. از طرف دیگر برای حد لوید حداقل زمان انجام یک کار توسط انرژی  تنظیم می­شود، که محدوده­ی محاسبات را تعیین می­کند.

کران بالای تعداد عملیات برای یک سیستم کوانتومی با میانگین انرژی  با  مشخص
می­شود. عملیات انجام شده بر روی یک حالت می­تواند به صورت مکانیکی کوانتومی اجرا شود، در واقع، در هر مرحله که حالت کلاسیک باشد ورودی و خروجی وجود دارد. این حالت­ها قرار است متعامد باشند و هیچگونه برهمنهی بایکدیگر نداشته باشند. نشان دادیم که کران بالای حد لوید به صورت  در مورد نوسانگر هم صادق است. در کار قبلی (مرجع [11])، پیچیدگی یک نوسانگر هارمونیک باردار را مطالعه کردیم. و یک نوسانگر هارمونیک را در حضور میدان­های مغناطیسی و الکتریکی در نظر گرفتیم و حداقل زمان لازم برای تحول هر حالت سیستم را به یک حالت متعامد پیدا کردیم. مشاهده کردیم که زمان تعامد برای میدانهای مغناطیسی کوچک و بزرگ رفتار متفاوتی دارد و با روشن کردن میدان مغناطیسی - الکتریکی آهنگ پیچیدگی افزایش یا کاهش می­یابد. هدف اصلی این مقاله بررسی میزان پیچیدگی برای یک نوسانگر هارمونیکی ساده از طریق حالت­های متعامد است. محاسبه عددی نشان داد که برای برای اختلال مرتبه زوج، میزان پیچیدگی افزایش می­یابد. در حالیکه برای اختلال مرتبه فرد میزان پیچیدگی روند کاهشی دارد و این موضوع می تواند به­عنوان حد جدیدی برای میزان پیچیدگی انجام محاسبات تلقی گردد.

5-ضمیمه ویژه مقادیر نظریه اختلال

در اینجا، تغییر انرژی نوسانگر هارمونیکی ساده ای را که هامیلتونین آن توسط (2) داده شده است، برای اختلات زوج و فرد بررسی می­نماییم. نشان داده شده است که سرعت رشد پیچیدگی برای یک نوسانگر ناهماهنگ با وارد کردن اختلال مرتبه زوج، افزایش می­یابد در حالی که برای اختلال مرتبه فرد این نرخ دارای یک رفتار کاهشی است. تغییر مرتبه اول انرژی در مرتبه فرد از بین می­رود، پس به سراغ اصلاح مرتبه دوم در انرژی می­رویم که از رابطه (20) محاسبه می­گردد:

(20)               

این اصلاح انرژی مقداری منفی است، در حالی که این مقدار برای اختلال مرتبه زوج یک عدد مثبت می­گردد، ولی چون برای اختلال مرتبه زوج اولین مرتبه اصلاح انرژی غیر صفر است، برای اختلال مرتبه زوج از آن استفاده می­نماییم که به صورت رابطه (21) بیان می­شود:

(21)                        

در رابطه بالا عملگر به صورت رابطه زیر بیان
می­گردد.

 

حال می­خواهیم اصلاحات مرتبه اول را برای یک نوسانگر هارمونیک با اعمال نظریه اختلال محاسبه کنیم. با به­کارگیری  
می­توان نوشت:

 

 

 

با اعمال عملیات جبری می­توان نوشت:

 

 

 

 

 

همچنین می­توان اصلاحات انرژی مرتبه دوم را به صورت زیر نوشت:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

در اين مقاله برخی از محاسبات و همچنين شکل­ها با نرم افزار Mathematica انجام شده است

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

[1] P. Pfeifer, How fast can a quantum state change with time? Phys. Rev. Lett. 70, 3365 (1993). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett. 70.3365

 

[2] S. W. Hawking, \Black hole explosions", Nature 248, 30 (1974). doi:
0.1038/248030a0

 

[3] S. Lloyd, \Ultimate physical limits to computation", Nature 406 1047 (2000),
https://doi.org/10.1038/35023282. arXiv: quant-ph/9908043.

 

[4] L. B. Levitin, \Physical limitations of rate, depth, and minimum energy in information processing", Int. J. Theor. Phys. 21 299 (1982). https://doi.org/10.1007/ BF01857732

 

[5] J. D. Bekenstein, \Black Holes and Entropy", Phys. Rev. D 7, 2333 (1973).
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.7.2333

 

[6] M. Van Raamsdonk, \Evaporating Firewalls," JHEP 1411, 038 (2014) doi:10.1007/JHEP11(2014)038 [arXiv:
1307. 1796 [hep-th]].

 

[7] L. Susskind, \Entanglement is not enough," Fortsch. Phys. 64, 49 (2016) doi:10.1002/prop.201500095 [arXiv:1411.0690 [hep-th]].

 

[8] Sanjeev Arora, Boaz Barak,
Computational Complexity, A Modern Approach", Cambridge University Press (2009).

 

[9] T. Nishioka, S. Ryu and T. Takayanagi, Holographic Entanglement Entropy: An Overview, J. Phys. A 42, 504008 (2009) doi:10.1088/1751-8113/42/50/504008 [arXiv:0905.0932 [hepth]].

 

[10] S. Lloyd, Y. J. Ng, \Black hole computers". Sci. Am. 291, 5261 (2004).

 

[11] R. Pirmoradian, M. Tanhayi, \On the Complexity of a Charged Quantum Oscillator," Journal of the Korean Physical Society, 77, 2 (2020) 102-106, doi:10.3938/jkps.77.102 arXiv: 1911.
08886 [hep-th].

 

[12] N. Margolus and L. B. Levitin, The Maximum speed of dynamical evolution," Physica D 120, 188 (1998). DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00054-2, arXiv: quant-ph/9710043 [quantph].

 

[13] W. Cottrell and M. Montero, \Complexity is simple!," JHEP 1802, 039 (2018) doi:10.1007/JHEP02(2018)039 [arXiv:1710.01175 [hep-th]].

 

 

 

---