مجموعه‌های فشرده تعریف‌پذیر در فضاهای تعریف‌پذیر وابسته به ساختارهای ت-کمینه
محورهای موضوعی : آمار
سمیه تاری
1
(گروه ریاضی- دانشکده علوم پایه- دانشگاه شهید مدنی آذربایجان- تبریز- ایران)
کلید واژه: Definable space, Definable compact set, O-minimal structure,
چکیده مقاله :
نظریه مدل یک شاخه از منطق ریاضی است که در آن ساختارهای ریاضی با در نظر گرفتن جملات مرتبه اول درست در آن‌ها مطالعه می‌شوند. میدان اعداد حقیقی و میدان اعداد مختلط به عنوان مثال‌های جالب مورد توجه نظریه مدل دان‌ها هستند. ساختارهای ت-کمینه یکی از ساختارهای مورد مطالعه در طی چند دهه اخیر می‌باشند. یک ساختار مرتبه اول که بسطی از یک ترتیب خطی چگال بدون ابتدا و انتها می‌باشد، ت-کمینه گفته می‌شود، هرگاه هر زیرمجموعه تعریف‌پذیر از آن برابر اجتماعی متناهی ا ز بازه‌های باز و نقاط باشد. مفهوم فشردگی نقش اصلی را در توپولوژی جبری بازی می‌کند. از طرف دیگر هر گروه و حلقه تعریف‌پذیر در یک ساختار ت-کمینه یک گروه توپولوژیکی و حلقه توپولوژیکی می‌باشد. بنابراین نسخه تعریف‌پذیر مفهوم فشردگی در ساختارهای ت-کمینه نیز مطرح می‌باشد. البته تعریف استاندارد فشردگی در فضاهای اقلیدسی را در اینجا نمی‌توان مورد استفاده قرار داد.از تعاریف معادل فشردگی در ساختارهای ت- کمینه استفاده می‌شود. ما در این مقاله این مفاهیم را در فضاهای تعریف‌پذیر وابسته به ساختارهای ت-کمینه بررسی می‌کنیم .
A structure M is an o-minimal structure if every definable subset X of M is a finite union of intervals and points.Every o-minimal structure is a topological space. A definable set X in M is called a definably compact set if every definable curve in it is completable in X. The definable compactness of a definable set X is equivalent to be closed and bounded.A idea of definable space generalizes theorem of Robson for semialgebraic spaces, A definablespace is not a definable set but it looks like the definable sets. Indeed definable spaces are constructed by the gluing of sets which are not definable but they are relativ to definable sets. In this paper we will recall the concept of definable space and introduce the notion of definable compactness in it. We show that a definable set X in the housdorff definable space is definable compact if and only if it is closed and bounded.
[1] Van den Dries L., Tame Topology and o-minimal Structures, in: London Mathematical Society Lecture Notes Series, Vol. 248, Cambridge University Press (1998).
[2] Knight J., Pillay A., Stienhorn C., “Definable sets in ordered structures II”, Transactions of the American Mathematical Society, 295 (1986) 593-605.
[3] Marker D., Model Theory: An Introduction, Springer- Verlag New York Inc (2002).
[4] Peterzil Y., Pillay A., “Generic sets in definably compact groups", Fundamenta Mathematicae, 193 (2007) 153- 170.
[5] Peterzil Y., Steinhorn C., “Definable compactness and Definable Subgroups of O-minimal Groups", Journal of the London Mathematical Society, 59 (1999) 769-786.
[6] Pillay A., Stienhorn C., “Definable sets in ordered structures I”, Transactions of the American Mathematical Society, 295 (1986) 565- 592.
[7] Pillay A., Stienhorn C., “Definable sets in ordered structures III”, Transactions of the American Mathematical Society, 309 (1986) 469- 476.