حل عددی مدل اپیدمیک SIR به کمک روش تفاضل متناهی غیراستاندارد
محورهای موضوعی : آمارعبدالرحمان یعقوبی 1 , هاشم صابری نجفی 2
1 - عضو هیات علمی گروه ریاضی کاربردی (آنالیز عددی)، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد سراوان، سراوان، ایران
2 - استاد گروه ریاضی کاربردی (آنالیز عددی)، دانشگاه گیلان، رشت، ایران
کلید واژه: Non-Standard Finite Difference Method, Equilibrium Points, Stability, Epidemic Diseases,
چکیده مقاله :
در این مقاله، یک حالت خاص از روش تفاضل متناهی که روش تفاضل متناهی غیراستاندارد نامیده می‌شود برای حل عددی یک مدل ریاضی از بیماری‌های اپیدمیک مورد مطالعه قرار گرفته است. طرح تفاضل متناهی غیر استاندارد ساخته شده دارای ویژگی‌های مهم مدل پیوسته از قبیل مثبت بودن، کرانداری و پایداری می‌باشد. پایداری نقاط تعادل سیستم بررسی شده است. فرمول‌های تفاضل متناهی غیر استاندارد ارائه شده همگرا به نقاط تعادل مدل می‌باشند. در حل مسائل غیرخطی، یکی از مزایای مهم این روش گسسته‌سازی جملات غیرخطی با استفاده از تقریب‌های غیر محلی می‌باشد. در اغلب موارد فرمول‌های تفاضل متناهی غیراستاندارد حتی وقتی اندازه طول گام شبکه بزرگ در نظر گرفته می‌شود پایدار هستند. لذا در سیستم‌های دینامیکی که در بازه‌های زمانی بزرگ مورد مطالعه قرار می‌گیرند استفاده از روش غیراستاندارد مقرون به‌صرفه خواهد بود. مثال‌های عددی دقت و کارایی روش تفاضل متناهی غیر استاندارد را تائید می‌کنند. واژگان کلیدی: روش تفاضل متناهی غیر استاندارد، پایداری، نقاط تعادل، بیماری‌های اپیدمیک.
In this paper, a special case of the finite difference method which is called non-standard finite difference method is studied for the numerical solution of a mathematical model of epidemic diseases. The constructed non-standard finite difference schemes have the main properties of the continuous model such as positivity, boundedness, and stability. The stability of the equilibrium points of the system is investigated. The proposed non-standard finite difference schemes are convergent to the equilibrium points of the system. In solving nonlinear problems, one of the important advantages of this method is that nonlinear term discretized with nonlocal approximations. In most cases, non-standard finite difference schemes are stable even when large step sizes are considered. Therefore, using non-standard method will be cost-effective in dynamical systems that are studied over a large time interval. Numerical examples confirm the accuracy and efficiency of the non-standard finite difference method.Keywords: Non-Standard Finite Difference Method, SIR Model, Equilibrium Points.
[1] R. E. Mickens, (1994), Nonstandard Finite Difference Models of Differential Equations, World Scientific, Singapore.
[2] R. E. Mickens, (2000), Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes, World Scientific, Singapore.
[3] Ronald E. Mickens‚ (2001), A Nonstandard Finite Difference Scheme for a Nonlinear PDE Having Diffusive Shock Wave Solutions‚ Mathematics and Computers in Simulation. 55, 549-555.
[4] Ronald E. Mickens‚ (2003), A Nonstandard Finite Difference Scheme for a Fisher PDE Having Nonlinear Diffusion‚ Diffusion‚ Comput. Math. Appl. 45, 429-436.
[5] R. E. Mickens, (2005), Nonstandard Finite Difference Schemes for Differential Equations, Journal of Difference Equations and Applications, Vol. 8, No. 9, pp. 823-847
[6] Ronald E. Mickens‚ (2005), Advances in the Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes, World Scientific‚ Singapore.
[7] Ronald E. Mickens‚ (2005), A Nonstandard Finite Difference Scheme for a PDE Modeling Combustion with Nonlinear Advection and Diffusion‚ Mathematics and Computers in Simulation. 69, 439-446.
[8] Ronald E. Mickens‚ (2006), Calculation of Denominator Functions for Nonstandard Finite Difference Schemes for Differential Equations Satisfying a Positivity Condition‚ Wiley Inter Science‚ 23 (3), 672-691.
[9] Ronald E. Mickens‚ (2007), Determination of Denominator Functions for a NSFD Scheme for the Fisher PDE with Linear Advection‚ Mathematics and Computers in Simulation. 74, 190-195.
[10] Najafi, H. S., Yaghoubi, A. R.,
(2014), Solving Dynamic Equation by the Non-Standard Finite Difference Method, Journal of Computer Science & Computational Mathematics, 4 (4), 57-60.
[11] Yaghoubi, A. R., Najafi, H. S., (2015), Comparison Between Standard and Non-standard Finite Difference Methods for Solving First and Second Order Ordinary Differential Equations, International Journal of Applied Mathematical Research, 4 (2), 316-324.