یافتن مقادیر فرینه شاخص بی نظمی کامل زنجیرهای پولیومینو به روش انتقال
محورهای موضوعی : آمار
1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، واحد خرم آباد، دانشگاه آزاد اسلامی، خرم آباد، ایران
کلید واژه: extremal, polyomino chain, linear chain, zigzag chain, total irregularity,
چکیده مقاله :
فرض می کنیم یک گراف ساده ی بدون جهت با مجموعه رئوس و مجموعه یال های است. یک یال مانند به صورت در نظر گرفته می شود، که در آن و گوییم و در گراف رئوس مجاورند. درجه رأس از گراف برابر تعداد یال هایی است که رأس بر آن واقع است و آن را با نشان می دهیم. یک شاخص توپولوژیک یک کمیت عددی است که به یک گراف نسبت داده می شود به طوری‌که تحت یکریختی گراف ها پایاست. فرض می کنیم یک شاخص توپولوژیک روی گراف باشد، به ازای هر دو گراف یکریخت و ، داریم: . اولین شاخص هایی که بر اساس درجه رئوس تعریف شده اند، شاخص های زاگرب نوع اول و دوم می‌باشند. در این مقاله روی نوع دیگری ازین پایاهای گراف، به نام شاخص بی نظمی کامل مطالعاتی خواهیم داشت. شاخص بی نظمی کامل گراف به صورت تعریف می‌شود،. در این مقاله ابتدا دو روش انتقال روی زنجیرهای پولیومینو معرفی کرده سپس با استفاده از این انتقال‌ها، کران بالا و پایین برای شاخص بی نظمی کامل به دست می‌آوریم. به‌علاوه ثابت می کنیم که زنجیر خطی و زنجیر زیگزاگ ، فرینه های زنجیرهای پولیومینو تحت شاخص بی‌نظمی کامل می‌باشند.
Let be a simple and undirected graph, consists of a set of vertices and a set of edges If the vertices and are connected by an edge then we write . For any vertices , the degree of a vertex in , denoted by , is the number of edges of incident with . A topological index is a numerical quantity related to a graph which is invariant under graph automorphisms, Let be a topological index of a graph , for every graph isomorphic to , we have . The first of topological indices, which based on degree of vertices of graphs are first and second Zagreb indices. In this paper we study on another kind of this graph invariants called total irregularity. The total irregularity of G is a graph invariant and defined as the follows, . In this paper, we introduce two kind of transformations on polyomino chains and by using these transformations obtain upper and lower bounds of the total irregularity of polyomino chains. Moreover, we prove that the linear chain and zigzag chain are extremal polyomino chains with respect to total irregularity.
[1] H. Wiener, Structural determination of the paraffin boiling points, Journal of the American Chemical Society, 69(1947), 17-20.
[2] M. Azari, Some results on vertex-edge Wiener polynomials and indices of graphs, Journal of new research in mathematics 4(15)(2018)149-162.
[3] F. Falahatinejad, some results on the forgotten index, Journal of new research in mathematics, in press.
[4] Sh. Sahebi, M. deldar, Calculating Different Topological Indices of Von Neumann Regular Graph of Z_(p^α ), Journal of new research in mathematics, 6(23)(2020)47-52.
[5] I. Gutman, N. Trinajstić, Graph theory and molecular orbitals, Total π−electron energy of alternant hydrocarbons, Chemical Physics Letters, 17(1972), 535-538.
[6] I. Gutman, K.C. Das, The first Zagreb index 30 years after, MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 50(2004), 83-92.
[7] S. Nikolić, G. Kovacević, A. Milicević, N. Trinajstić, The Zagreb indices 30 years after, Croatica Chemica Acta, 76(2003), 113-124.
[8] M. Albertson, The irregularity of a graph, Ars Combinatoria,46(1997), 219-225.
[9] H. Abdo, S. Brandt, and D. Dimitrov, The total irregularity of a graph, Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science, 16 (2014), 201-206.
[10] D. Dimitrov, R. Škrekovski, Comparing the irregularity and the total irregularity of graphs, Ars Mathematica Contemporanea 9(2015) 45–50.
[11] A.R. Ashrafi, A. Ghalavand, Note on non-regular graphs with minimal total irregularity, Applied Mathematics and Computation, 369(2020), 124891.
[12] A. Ghalavand, A.R. Ashrafi, Ordering of c-cyclic graphs with respect to total irregularity, Journal of Applied Mathematics and Computing, 63(2020), 707–715.
[13] D. A. Klarner, Polyominoes, in: J.E. Goodman, J. O’Rourke (Eds.), Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press LLC, 1997, pp. 225 -242
[14] Y.Zeng and F. Zhang, Extremal Polyomino Chains on k-matchings and k-independent Sets, Journal of Mathematical Chemistry, 42(2)(2007), 125-140.
[15] L. Xu, S. Chen, The PI Index of polyomino chains, Applied Mathematics Letters21(2008), 1101-1104.
[16] J. Yang, F. Xia and S. Chen, On the Randić Index of of Polyomino Chains, Applied Mathematical Sciences 5(5)(2011), 255-260.
[17] Z. Yarahmadi, A.R. Ashrafi and S. Moradi, Extremal polyomino chains with respect to Zagreb indices, Applied Mathematics Letters 25(2012), 166-171.