یک ایده جدید برای اعمال شرایط مرزی اساسی در روش بدون المان گالرکین برای حل معادلات با مشتقات جزئی بیضوی

محورهای موضوعی : آمار

علی مس فروش ¹ , کمیل ایزدپناه ²

1 - گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران
2 - گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران

تاریخ دریافت : 1398/06/12 تاریخ پذیرش : 1400/02/07 تاریخ انتشار : 1400/09/01

کلید واژه: Essential boundary condition, Elliptic PDEs, Element free Galerkin method, Interpolating moving least square method,

چکیده مقاله :

روش بدون المان گالرکین یک روش شناخته شده برای حل معادلات با مشتقات جزئی است. اعمال شرایط مرزی اساسی در این روش که بر اساس تقریب کمترین مربعات متحرک انجام می شود، با پیچیدگی هایی همراه است. از آنجا که توابع شکل تقریب کمترین مربعات متحرک در خاصیت دلتای کرونیکر صدق نمی کنند، نمی توان همانند روش عناصر متناهی، شرایط مرزی اساسی را به صورت مستقیم در فرم ضعیف گالرکین معادله اعمال کرد و نیاز به روش های اصلاحی برای فرم ضعیف معادله داریم. در این مقاله یک ایده جدید برای اعمال شرایط مرزی اساسی در روش بدون المان گالرکین برای حل معادلات با مشتقات جزئی بیضوی معرفی می شود. این ایده بر اساس روش کمترین مربعات متحرک درونیاب است. در این روش ابتدا شرایط مرزی را در تقریب کمترین مربعات متحرک تابع اعمال می کنیم سپس تقریب حاصل را در روش بدون المان گالرکین به کار می بریم. بنابراین شرایط مرزی به صورت مستقیم اعمال می شود. در این مقاله ابتدا تقریب کمترین مربعات متحرک درونیاب معرفی می شود و سپس نحوه اعمال شرایط مرزی بیان خواهد شد. در انتها با ارائه چند مثال مختلف کارایی روش را نشان می دهیم.

چکیده انگلیسی:

The element free Galerkin method is a well-known method for solving partial differential equations. Applying essential boundary conditions in this method, that based on moving least squares approximation, have some complexities. Since the shape functions of the moving least squares approximation do not satisfy the property of Kronecker delta function, therefore imposing essential boundary conditions is not as trivial as in the finite element method and we need some modifications of the Galerkin weak form of the equation. In this paper we propose a new approach to apply essential boundary conditions in element free Galerkin method for solving elliptic PDEs. This approach is based on interpolating moving least square method. First we apply the essential boundary conditions in the moving least square approximation of the function then the approximation is used in element free Galerkin method. Thus the essential boundary condition is applied directly. In this paper we first introduce the interpolating moving least squares approximation, and then describe how to apply the boundary conditions. Finally, some different examples show the accuracy and efficiency of the method.

منابع و مأخذ:

[1] T. Belytschko, Y.Y. Lu, L.Gu. Element-free Galerkin methods, International journal for numerical methods in engineering, 37(2):229–256 )1994(.

 

[2] S. Fernández-Méndez, A. Huerta.  Imposing essential boundary conditions in mesh-free methods.

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 193(12):1257 – 1275, (2004). Meshfree Methods: Recent Advances and New Applications.

 

[3] P. Lancaster, K. Salkauskas. Surfaces generated by moving least squares methods. Math.Comp., 37:141–158 (1981).

 

[4] J.F. Wang, F.X. Sun, Y.M. Cheng, and A.X. Huang. Error estimates for the interpolating moving

 least-squares method. Applied Mathematics and Computation 245:321–342 (2014).

 

[5] X. Li, H. Chen, and Y. Wang. Error analysis in Sobolev spaces for the improved moving least-square

approximation and the improved element-free Galerkin method. Applied Mathematics and Computation, 262:56–78 (2015).

 

[6] J.F. Wang, S.Y. Hao, and Y.M. Cheng. The error estimates of the interpolating element-free Galerkin method for two-point boundary value problems. Mathematical Problems in Engineering, 2014, (2014).