𝐶𝑣-انژکتیوی 𝑆-سیستم های روی تکواره ها

محورهای موضوعی : آمار

معصومه هزارجریبی دستکی ¹ (دانشگاه آزاد اسلامی، واحد علوم و تحقیقات، گروه ریاضی، تهران، ایران)
حمید رسولی ² (دانشگاه آزاد اسلامی، واحد علوم و تحقیقات، گروه ریاضی، تهران، ایران)

تاریخ دریافت : 1398/05/24 تاریخ پذیرش : 1398/08/18 تاریخ انتشار : 1399/12/01

کلید واژه: C_v-injective, vital subact, S-system, Monoid,

چکیده مقاله :

در این مقاله مفهوم C_v-انژکتیوی از S-سیستم های روی تکواره ها را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. رفتار این نوع انژکتیوی را نسبت به حاصلضرب، هم حاصلضرب و جمعوند مستقیم بررسی می‌کنیم. همچنین تکواره هایی را مشخص می‌کنیم که در آن همه‌ی S-سیستم ها C_v-انژکتیو هستند و نتیجه می‌گیریم روی چنین تکواره هایی S-سیستم های دوری، وایتال انژکتیو خواهند بود. کلاس S-سیستم هایی که C_v-انژکتیو هستند را مشخص کرده و با استفاده از مفهوم C_v-انژکتیوی شرایطی را بررسی می‌کنیم که در آن همه‌ی S‎‎‏-سیستم های پروژکتیو‏، انژکتیو هستند. همچنین بررسی می‌کنیم که در تکواره های برگشت پذیر چپ S-سیستم های C_v-انژکتیو شامل صفر C-انژکتیو هستند. نشان می‌دهیم اگر هر ‎ S‎‎‏-سیستم ‎C_v ‎‎‏-انژکتیو وایتال انژکتیو باشد آنگاه تکواره S ‎‏تکواره برگشت ‎‎‏پذیر چپ است. در ادامه با استفاده از مفهوم پوشش انژکتیو وایتال، کلاس S‎‎‏-سیستم های ‎C_v ‎‎‏-انژکتیو را مشخص می‌کنیم. علاوه برآن مفهوم M_v-انژکتیوی را تعریف کرده و شرایطی را مطالعه می‌کنیم که تحت آن هر S ‎‎‏-سیستم خارج قسمتی ازS‎‎‏-سیستم ‎ M_v‎‎‏-انژکتیو‏، M_v‎‎‏-انژکتیو است و با توجه به این مطلب نشان می دهیم که هرS‎‎‏-سیستم خارج قسمتی ازS‎‎‏-سیستم ‏وایتال انژکتیو ضعیف‏، ‎وایتال انژکتیو ضعیف است.

چکیده انگلیسی:

In this paper, the notion of C_v-injectivity of monoid acts is studied. The behavior of C_v-injectivity with respect to products, coproducts and direct sums is investigated. We characterize monoids over which all acts are C_v-injective and show that any act over such monoids is vitally injective. The class of acts satisfying C_v-injectivity is determined. By means of the notion of C_v-injectivity, we find conditions over which any projective act is injective. Also, it is shown that on a left reversible monoid, any C_v-injective act with zero is C-injective. We prove that if any C_v-injective act on monoid S is vital injective, then monoid S is left leversible. Using the concept of vitally injective envelope, a class of C_v-injective acts is obtained. Moreover, we consider the notion of M_v-injectivity as a generalization of CC-injectivity and study when the factor act of an M_v-injective act is M_v-injective. As a result, we show that any factor of a principally weakly vital injective act is principally weakly vital injective.

منابع و مأخذ:

[1]   M. Kilp‎, U. ‎Knauer‎, A.V. ‎Mikhalev. Monoids‎, ‎Acts and Categories, de Gruyter.  ‎Berlin (2000).

[2]  P. Berthiaume. ‎The injective envelope of -sets‎. ‎Canadian Mathematical Bulletin 2(10): ‎261-273 (1967).

[3]  J. Ahsan‎. Monoids characterized by their quasi-injective                     -systems. ‎Semigroup Forum (36): ‎285-292 ‎‎(1987).

[4]  M. Satyanarayana‎. ‎Quasi‎ ‎and weakly-injective -systems‎. Mathematische ‎Nachrichten 71: ‎183-190 (1976).

[5]   E. Giuli. ‎On m-separated projection spaces‎. ‎Appl‎ied ‎Categorical ‎Structures (2):      ‎91‎- ‎99 ‎(1994).

[6]   M. Mahmoudi‎, ‎ L. Shahbaz Categorical properties of sequentially dense monomorphism of semigroup acts. ‎Taiwanese J‎ournal of ‎Mathematics ‎15: 543-557 (2011).

[7]   X. Zhang, U. Knauer, Y. Chen. Classification of monoids by injectivities I. C-injectivity. Semigroup Forum ‎76: 169–176 (2008).

[8]   X. Zhang, U. Knauer, Y. Chen. Classification of monoids by injectivities I. CC-injectivity. Semigroup Forum ‎76: 177–184 (2008).

[9]   M. Sedaghatjoo‎, ‎M. A. ‎Naghipour. ‎An approach to injective acts over monoids based on indecomposability. ‎Communications in ‎Algebra 45(7): ‎3005-3016 (2017).

[10]  L. Shahbaz. M-injectivity in the category Act-S. ‎Italian Journal of Pure and Applied ‎Mathematics ‎29: 119-159 (2012).

[11]  R. C. Linton ‎‎. ‎Injective and              vital-injective R-groups‎. ‎University of Oklahoma‎, Mathematics ‎Department ‎Preprints 91 (1969).

[12]  J. C. Pleasant. ‎‎ -bases of Modules‎. ‎University of Oklahoma, ‎ ‎ Mathematics ‎Department ‎Preprints 73 (1968).

[13]  F. R. McMorris. Vital injective              S-systems‎. ‎ Mathematische ‎Nachrichten ‎47: 121-12  (1970).

[14]  M. Hezarjaribi Dastaki, H. Rasouli. A Categorical approach        to vitally dense monomorphisms.       Italian Journal of Pure and Applied ‎Mathematics, to appear.

[15]  M. Hezarjaribi ‎ Dastaki, H.  Rasouli. The vital injectivity of Acts over monoids, submitted.

[16] J. Ahsan, L. Zhongkui. A homological Approach to the Theory of Monoids. Science Press ‎(‎2008).