کاربرد توابع مفصل درنظام بانکی و اقتصادی

محورهای موضوعی : آمار

کیانوش فتحی واجارگاه ^{1 *} , حمید متقی گلشن ²

1 - گروه آمار، واحد تهران شمال، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
2 - گروه ریاضی، واحد شهریار، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران

تاریخ دریافت : 1400/11/18 تاریخ پذیرش : 1401/06/16 تاریخ انتشار : 1403/04/16

کلید واژه: قرض الحسنه, رکود قرض‌الحسنه, توابع مفصل, سیاست‌های پولی,

چکیده مقاله :

درکشورهای صنعتی و پیشرفته نیز اهداف اقتصادی اغلب دربرگیرنده موضوعاتی نظیر تامین اشتغال، مبارزه با تورم و غیره است، تا همواره ثبات قیمت‌ها وحفظ اعتبار پول ملی و موارد مشابه را ایجاد نمایند. در این راستا، یکی از روش‌های نیل به ثبات اقتصادی، مدیریت صحیح نظام پولی کشور بر پایه ابزار، نهاد و روش مناسب است. به‌طوری‌که در نظام بانکداری کشور کاربرد ابزارهای اسلامی مختلفی نظیر قرض الحسنه می‌تواند موجب دستیابی به اهداف فوق باشد. اما، مدیریت و استفاده ناکاراء از این ابزار نیز به نوبه خود موجب اثرات نامطلوب در نظام اقتصادی می‌گردد. زیرا، به نظر می‌رسد که درسال‌های اخیر نظام پولی کشور درخصوص ابزار قرض الحسنه با وضعیت رکود مواجه بوده، لذا، بررسی علمی آن و اتخاذ تدابیر مناسب بر پایه نتایج پژوهشی می‌تواند باعث کاهش رکود قرض الحسنه و رسیدن به اهداف اقتصادی کشور باشد. لذا، در این مقاله رابطه بین این سیاست‌ها در مفاهیم اقتصادی و میزان رکود قرض الحسنه را با استفاده از توابع مفصل مورد بررسی قرار گرفته است. از اینرو، با توجه به این که توابع مفصل ساختار وابستگی بین متغیرها را به صورت یک مدل نشان می‌دهند وبه‌ کمک آنها می‌توان اندازه همبستگی بین متغیرها را تعیین و رابطه بین آنها را مدل‌بندی کرد در این مقاله هم دوره های رکود قرض الحسنه در سیستم اقتصاد بررسی شده است. مورد مطالعاتی این تحقیق استان کرمانشاه است. نتایجی بدست آمده در این تحقیق بیانگر آن است که توابع مفصل ابزار مفیدی برای تعیین توزیع توام وساختار وابستگی متغیر های همبسته رکود هستند.

چکیده انگلیسی:

درکشورهای صنعتی و پیشرفته نیز اهداف اقتصادی اغلب دربرگیرنده موضوعاتی نظیر تامین اشتغال، مبارزه با تورم و غیره است، تا همواره ثبات قیمت‌ها وحفظ اعتبار پول ملی و موارد مشابه را ایجاد نمایند. در این راستا، یکی از روش‌های نیل به ثبات اقتصادی، مدیریت صحیح نظام پولی کشور بر پایه ابزار، نهاد و روش مناسب است. به‌طوری‌که در نظام بانکداری کشور کاربرد ابزارهای اسلامی مختلفی نظیر قرض الحسنه می‌تواند موجب دستیابی به اهداف فوق باشد. اما، مدیریت و استفاده ناکاراء از این ابزار نیز به نوبه خود موجب اثرات نامطلوب در نظام اقتصادی می‌گردد. زیرا، به نظر می‌رسد که درسال‌های اخیر نظام پولی کشور درخصوص ابزار قرض الحسنه با وضعیت رکود مواجه بوده، لذا، بررسی علمی آن و اتخاذ تدابیر مناسب بر پایه نتایج پژوهشی می‌تواند باعث کاهش رکود قرض الحسنه و رسیدن به اهداف اقتصادی کشور باشد. لذا، در این مقاله رابطه بین این سیاست‌ها در مفاهیم اقتصادی و میزان رکود قرض الحسنه را با استفاده از توابع مفصل مورد بررسی قرار گرفته است. از اینرو، با توجه به این که توابع مفصل ساختار وابستگی بین متغیرها را به صورت یک مدل نشان می‌دهند وبه‌ کمک آنها می‌توان اندازه همبستگی بین متغیرها را تعیین و رابطه بین آنها را مدل‌بندی کرد در این مقاله هم دوره های رکود قرض الحسنه در سیستم اقتصاد بررسی شده است. مورد مطالعاتی این تحقیق استان کرمانشاه است. نتایجی بدست آمده در این تحقیق بیانگر آن است که توابع مفصل ابزار مفیدی برای تعیین توزیع توام وساختار وابستگی متغیر های همبسته رکود هستند.

منابع و مأخذ:

1. قدیری اصلی، باقر،1366، کلیات علم اقتصاد. تهران: نشر سپهر. کتابخانه ومرکز اسناد علمی دانشگاه صنعتی امیرکبیر (شهید صبوری).
2. توانایان فرد،حسن،1361، مکتب‌های اقتصادی، تهران: دانشگاه تهران، کتابخانه دانشکده جغرافیا.
3. ماجدی، علی گلریز، حسن، 1377، پول و بانک از نظریه تا سیاست گذاری.تهران: انتشارات بانک مرکزی جمهوری اسلامی ایران، موسسه عالی بانکداری ایران.
4. اثنی عشری، ابوالقاسم؛ 1388، برآورد تابع تقاضای پول درسپرده¬های قرض الحسنه بانکهای ایران، فصلنامه پژوهش¬ها و سیاست‌های اقتصادی، سال هفتم، شماره 51، صص:93-104.
5. غیاث،م،1393، مقدمه¬ای برروش شبیه سازی مونت کارلو، فصلنامه عملی-ترویجی بسپارش، سال چهارم، شماره1، صص:67-77
6. Cherubini, Umberto, Elisa Luciano, and Walter Vecchiato. Copula methods in finance. John Wiley & Sons, 2004.
7. Chen, Lu, and Shenglian Guo. Copulas and its application in hydrology and water resources. Springer Singapore, 2019.
8. Hofert, Marius, et al. Elements of copula modeling with R. Springer International Publishing, 2018.
9. Badakhshan Farahabadi, Fazel, Kianoush Fathi Vajargah, and Rahman Farnoosh. "Dimension Reduction Big Data Using Recognition of Data Features Based on Copula Function and Principal Component Analysis." Advances in Mathematical Physics 2021 (2021).
10. Nelsen, Roger B. An introduction to copulas. Springer Science & Business Media, 2007.
11. Alsina, Claudi, Berthold Schweizer, and Maurice J. Frank. Associative functions: triangular norms and copulas. World Scientific, 2010.
12. A.Wellner ,J, and D.Perlman, M,Squaring the Circle and Cubing the Sphere: circular and spherical copula, Department of statistical University of Washington 30 December 2010
13. Bee,M,Simulating Copula- based distribution and estimation tail probabilities by means of adaptive, Importance Sampling ,3/2010
14. Di Roma, B, and Tupini, V, ‘Applying Copula Function to risk managment’,18-114 Roma,Italy.
15. Fortiana, J, Simulation of High- Dimensinal t-student Copulas with a Given Block Correlation Matrix, A procedure for simulation with contracted copulas, May 2007.
16. Malgrat, M , Pricing of a ”worst of” option using a copula method Royal Institute of Technology School of Engineering Sciences WPS(Depr):4/201
17. Roy, I, ‘Estimation of Portfolio Value at risk using Copula’, Department of Economic and policy Research, April 2011.
18. Yan, J, ‘Enjoy the Joy of copulas: with a packing copula’, Journal of Statistical Software, October 2007,Valume 21 Issue 4.

متن کامل:



کاربرد توابع مفصل درنظام بانکی و اقتصادی

چکیده

درکشورهای صنعتی و پیشرفته نیز اهداف اقتصادی اغلب دربرگیرنده موضوعاتی نظیر تامین اشتغال، مبارزه با تورم و غیره است، تا همواره ثبات قیمت‌ها وحفظ اعتبار پول ملی و موارد مشابه را ایجاد نمایند. در این راستا، یکی از روش‌های نیل به ثبات اقتصادی، مدیریت صحیح نظام پولی کشور بر پایه ابزار، نهاد و روش مناسب است. به‌طوری‌که در نظام بانکداری کشور کاربرد ابزارهای اسلامی مختلفی نظیر قرض الحسنه می‌تواند موجب دستیابی به اهداف فوق باشد. اما، مدیریت و استفاده ناکاراء از این ابزار نیز به نوبه خود موجب اثرات نامطلوب در نظام اقتصادی می‌گردد. زیرا، به نظر می‌رسد که درسال‌های اخیر نظام پولی کشور درخصوص ابزار قرض الحسنه با وضعیت رکود مواجه بوده، لذا، بررسی علمی آن و اتخاذ تدابیر مناسب بر پایه نتایج پژوهشی می‌تواند باعث کاهش رکود قرض الحسنه و رسیدن به اهداف اقتصادی کشور باشد. لذا، در این مقاله رابطه بین این سیاست‌ها در مفاهیم اقتصادی و میزان رکود قرض الحسنه را با استفاده از توابع مفصل مورد بررسی قرار گرفته است. از اینرو، با توجه به این که توابع مفصل ساختار وابستگی بین متغیرها را به صورت یک مدل نشان می‌دهند وبه‌ کمک آنها می‌توان اندازه همبستگی بین متغیرها را تعیین و رابطه بین آنها را مدل‌بندی کرد در این مقاله هم دوره های رکود قرض الحسنه در سیستم اقتصاد بررسی شده است. مورد مطالعاتی این تحقیق استان کرمانشاه است. نتایج بدست آمده در این تحقیق بیانگر آن است که توابع مفصل ابزار مفیدی برای تعیین توزیع توام وساختار وابستگی متغیر های همبسته رکود هستند. دراین تحقیق با استفاده از توابع مفصل، ابعاد و متغیرهای موثر در رکود را شناسایی می کنیم و سپس با استفاده از این متغیرها بدون از دست دادن اطلاعات کلی جامعه، به تعیین توزیع توام و ساختار وابستگی متغیر های همبسته رکود می پردازیم. 

واژه‌های کلیدی: ساختاروابستگی، توابع مفصل، سیاست‌های انبساطی و انقباضی،قرض الحسنه، رکود قرض‌الحسنه

 

 

 

 

 

1- مقدمه

تابع مفصل به عنوان یک مدل برای مشاهدات چند متغیره و وابسته توانسته است در مطالعات اخیر توجه بسیاری از کاربران آمار را به خود جلب کند و به منظور به­دست آوردن ساختار وابستگی بین متغیرهای تصادفی در حالت چند بعدی بدون هیچ اثر نگران‌کننده ناشی از اثرات توابع توزیع حاشیه ای مورد استفاده قرار گیرد. در حقیقت می­توان گفت توابع مفصل از یک نقطه نظر توابع توزیع چند متغیره را به توابع توزیع حاشیه­ای آن­ها پیوند می دهند و از دیدگاه دیگر، مفصل را می توان به صورت توابع توزیع چند متغیره ای تعریف کرد که توابع توزیع حاشیه ای آن ها به صورت یکنواخت روی فاصله (0,1) توزیع شده است. 

چنانچه توزیع های حاشیه ای پیوسته باشند تابع مفصل یکتاست. به علاوه تابع مفصل، تحت تبدیلات اکیداً صعودی پایا می باشد.اهمیت مطالعه توابع مفصل از یک جهت به این دلیل است که ابزاری توانمند برای شبیه­سازی نمونه تصادفی از توزیع­های چند متغیره با حاشیه­ای های دلخواه است و از جهت دیگر به این دلیل که   می توان با استفاده از آن­ها معیارهای آزاد-مقیاس برای اندازه­گیری و وابستگی بدست آورد و ساختار وابستگی را توصیف نماید. برای بیان ساختار وابستگی و برازش یک توزیع چند متغیره مناسب، با استفاده از تابع مفصل لازم است دو مرحله طی شود. مرحله اول مدل بندی همه توزیع­های حاشیه ای یک متغیری و مرحله دوم، برآورد یک تابع مفصل که وابستگی بین متغیرها را بیان کند. 

توابع مفصل به آماردان کمک می­کند تا بتواند وابستگی بین متغیرهای تصادفی را صرف نظر از نوع توزیع­های حاشیه­ای آن­ها مدل­بندی کند.  لذا به دلیل ویژگی های قابل توجه، توابع مفصل در مسائل مالی مورد استفاده قرار می گیرند تا ساختار وابستگی بین سرمایه­ها را مدل بندی کنند و به عنوان ابزاری توانا در تحلیل سری های چند متغیره به­کار می روند. در این راستا در این پژوهش، به بررسی کاربرد توابع مفصل در تحلیل بازارهای مالی در ابعاد بالا پرداخته می شود. به طوری که پیش بینی از آینده بازار با استفاده از شیوه جدید و با توجه به متغیرهای ایفاکننده نقش در این فرآیند فراهم گردد.

2- مبانی نظری پژوهش

2-1- تعریف سیاست های پولی 

سیاست هایی که توسط بانک مرکزی در جهت کنترل نقدیندگی اعمال می شود سیاست های پولی گویند. در واقع متولی این سیاست بانک مرکزی است. بعضی سیاست پولی را تنظیم اوضاع و احوال اقتصادی از طریق نرخ بهره می دانند و عده ای آن را سیاستی تلقی می کنند که مقدار پول در جریان را کم و زیاد کند ]1[. اما، مانتریستها معتقدند که سیاست پولی کلیه اقداماتی می باشد که بانک مرکزی جهت تغیر در عرضه پول انجام می دهد ]2[.

2-2- انواع سیاست های پولی

الف) سیاست پولی انبساطی: سیاست هایی که موجب افزایش عرضه پول در اقتصاد شود را سیاست های پولی انبساطی می گویند.

ب) سیاست پولی انقباضی: سیاست هایی که عرضه پول را در اقتصاد کاهش دهد سیاست پولی انقباضی گویند.

2-3- عمده ترین اهداف سیاست پولی در اقتصاد:

الف) تسریع رشد اقتصادی

ب)‌ ایجاد اشتغال کامل

ج) تثبیت سطوح عمومی قیمت‌ها

د) ایجاد تعادل در موازنه ی پرداخت های خارجی ]3[.

2-4- نقش حساب‌های قرض الحسنه در اقتصاد

سپرده گذاری در حساب قرض الحسنه نوعی کمک به بانک برای انجام امور خیریه و یا مساعدت های مالی به اشخاص حقیقی و حقوقی است. قرض الحسنه، حسابی است که در بانک هیچ سودی برای آن لحاظ نمی شود و در ازای آن بانک ها در فواصل معینی (شش ماه یا یکساله) برای دارندگان این گونه حساب ها به قید قرعه جوایزی و یا تسهیلات بدون سود و به صورت   قرض الحسنه در نظر می گیرند. 

سپرده گذاری در حساب های قرض الحسنه به دلیل تاثیر مشهودی که بر سرمایه گذاری و تورم دارند از اهمیت بسیاری در بررسی‌های کلان اقتصاد برخوردار است. قرض الحسنه با تاثیر بر حجم نقدینگی،  از عوامل اصلی در اجرای سیاست های پولی دولت به شمار می رود و با تاثیر بر عرضه پول و سرعت گردش پول بسیاری از شاخص های ملی را تحت تاثیر قرار می دهد. در واقع، سپرده های قرض الحسنه یکی از مهم ترین منابع فعالیت های اقتصادی بانک ها است . بنابراین بررسی این موضوع که در آینده افراد چه مقدار از پول خود را در حساب های     قرض الحسنه قرار می دهند ، برای سیاستگذاری بانکی کشور و به ویژه بانکها از اهیمت بسیاری برخوردار است ]4[.

2-5- تورم

در خصوص تورم ، تعاریف متعددی ارائه شده است. یک تعریف به نسبت کامل از تورم عبارت است از : تورم ناشی از وضعیتی است که سطح عمومی قیمت ها به طور بی رویه و یا بی تناسب وبه طور مدام و به مرور زمان افزایش می یابد.از تعاریف دیگر تورم می توان به این نمونه ها اشاره کرد:طبق تعریف لاواسیچ (1976) تورم وضعیتی است که در آن سطح عمومی قیمت ها افزایش می یابد و به وسیله نرخ رشد سطح عمومی قیمت ها درطول یک دوره  مشخص زمانی اندازه گیری می شود. طبق تعارف اتول، میگلیت و نیومن (1987) تورم افزایش مداوم در سطح عمومی  قیمت ها و کاهش مستمر در قدرت خرید پول است. طبق تعریف گرینوالد (1982) منظور از تورم ، بالا رفتن سطح عمومی قیمت ها ی پولی کالاها و خدمات است.

اقتصاددانان از جهت اهداف سیاست کلان اقتصادی بر مواردی مانند اشتغال کامل، ثبات قیمت ها (مهار تورم)، توزیع عادلانه درآمد و رشد مداوم اقتصادی تاکید دارند. تورم به عنوان یکی از اهداف مهم سیاست  کلان همواره مورد توجه اقتصاددانان بوده است . آثار منفی تورم بر پیکر اقتصاد را بطور خلاصه می توان به صورت زیر طبقه بندی کرد: آثار تور م بر توزیع درآمد، آثار تورم بر پس انداز، آثار تورم بر مصرف،آثار تورم بر سرمایه گذاری،آثار تورم از جهت ایجاد عدم اطمینان در تصمیم گیری های اقتصادی ، آثار تورم از جهت انحراف امکانات تولید از فعالیت های مولد به فعالیت های غیر مولد، آثار تورم بر بودجه دولت و آثار تورم بر بازرگانی خارجی.

3- روش شناسی پژوهش

 3-1- معرفی تابع مفصل

توابع مفصل به دو دلیل مورد علاقه محققان رشته آمار قرار دارد و کاربرد های فراوانی در علوم مختلف در اقتصاد، کلاس بندی اطلاعات، آنالیز داده ها، ریاضیات مالی و غیره دارد، بعنوان مثال رجوع کنید به ]6-18[. اول بعنوان راهی برای مطالعه وابستگی بین متغیرها بصورت ناپارامتری و دوم بعنوان نقطه شروع ساخت توابع توزیع چند متغیره مدت های زیادی آماردانان علاقمند به بدست آوردن ارتباط بین توابع توزیع توام چند بعدی با توابع توزیع با بعد پایین تر بوده اند. فرچت (1951) و دال اگلی (1960) کارهای زیادی در رابطه با بدست آوردن این ارتباط انجام دادند. اسکلار (1959) کلاس جدیدی از توابع را با عنوان تابع مفصل معرفی نمود، این توابع در واقع توزیع چند متغیره با حاشیه ای های توزیع  یکنواخت بر  می باشند. در این قسمت ابتدا زیر مفصل ها را بعنوان کلاس مشخصی از توابع جهت دار دو-صعودی تعریف می کنیم ،سپس تابع مفصل بعنوان تابع زیر مفصلی با دامنه  معرفی خواهد شد.

تعریف 1. فرض کنید  و  دو زیر مجموعه ناتهی از مجموعه اعداد حقیقی توسیع یافته و  تابعی حقیقی مقدار با دامنه و   مستطیلی در دامنه    باشد. در این صورت  - حجم  به صورت زیر تعریف می شود.

         

تعریف 2. تابع حقیقی  را دو- صعودی گوییم، هرگاه برای هر مستطیلی که رئوس آن در دامنه  قرارداد  باشد.

 

تعریف 3. تابع  یک زیر مفصل نامیده می شود هرگاه دارای خصوصیات زیر باشد:

الف) دامنه  مجموعه  است ،  که در آن  و  زیر مجموعه هایی از هستند.

ب)  تابع جهت دار و دو-صعودی است.

ج) برای هر  و   داریم   و   یعنی    نیز در   قرار دارد.

یک زیر مفصل با دامنه ، تابع مفصل دو بعدی نامیده می شود.

تعریف معادل دیگری برای تابع مفصل بصورت زیر ارائه می شود:

تعریف 4. تابع  را  تابع مفصل دو بعدی گوییم هرگاه:

الف) برای هر  

         

  ب) (شرط یکنوایی) برای هر  در ، اگر    و   آنگاه

 

در این قسمت دو تعریف دیگر از توابع مفصل که استفاده بیشتری نسبت به تعاریف بالا دارند، ارائه  می شود.

تعریف 5. دو متغیر  به ترتیب با توابع توزیع:

         

و  

         

و تابع توزیع توام

         

را در نظر بگیرید. برای هر جفت عدد حقیقی   می توان سه مقدار  را در نظر گرفت ، که هر کدام به یک نقطه  در مربع واحد   و این زوج با مقدار  در بازه   مطابقت دارد. این رابطه که یک مقدار مربوط به تابع توزیع توام را به توابع توزیع یک بعدی اختصاص می دهد،تابع مفصل نامیده می شود.

3-2-روش ساخت و خانواده های توابع مفصل

جو (1997) و چروبینی (2004) خانواده های توابع مفصل که در علوم مختلف کاربرد دارند را مورد بررسی قرار دادند. نلسن (1999) روش های مهم ساخت توابع مفصل و طیف وسیع تری از خانواده ها آنها را که توسط محققین در زمینه های مختلف بکار گرفته شده، جمع آوری نموده است. در این بخش روش های ساخت توابع مفصل را مطرح نموده، خانواده ی مهم از این توزیع را که با توجه به روش های ذکر شده بدست می آیند معرفی و خصوصیات وابستگی برای هر خانواده را مورد بررسی قرار می دهیم. اطلاعات بیشتر در مراجع ]6،7،9-11[ موجود است.

3-2-1 روش وارون

فرض کنید تابع توزیع توام دو متغیر تصادفی  با حاشیه های  باشد و به ترتیب شبه معکوس دو تابع  باشند.  رابطه بین تابع توزیع توام و تابع مفصل به صورت   است . با قرار دادن  و   در تابع توزیع توام داریم:

         

به این طریق می توان برای هر توزیع توام یک تابع مفصل تعیین نمود. به این روش روش وارون نامیده می شود.

 3-2-2 روش جبری

بر اساس نسبت بخت ها یا نسبت حاصلضرب متقاطع مشاهدات موجود در جداول توافقی می توان خانواده ای از توابع مفصل را ساخت ، که به خانواده مفصل پلاکت معروف هستند. یک جدول توافقی مانند جدول (1) را در نظری بگیرد، که در آن هر سطر و ستون شامل دو رده بالا و پایین است و مشاهدات خانه ها با  نمایش داده شده اند در این صورت نسبت بخت ها عبارتند از:

جدول1: جدول توافقی  

جمع
			جمع

         

دو متغیر تصادفی پیوسته  را با تابع توزیع توام   و حاشیه ایهای را در نظرگیرید. فرض کنید  مشاهدات متناظر با این دو متغیر تصادفی باشند. گروه های پایین و بالا در جدول (1) با توجه به این متغیر ها به دو گروه  و   تعیین می کنیم ، مقادیر  را به ترتیب با مقادیر ،، ،   جایگزین و جدول 2 حاصل می شود.

جدول2: جدول توافقی  برای تابع توزیع توام

با توجه به جدول (2) مقدار   به صورت:

         

بدست می آید  که از تعاریف  قبل  می توان آنرا به صورت 

         

نوشت  و با استفاده از آن داریم

         

چون مقدار صورت با علامت "" در خصوصیات تابع مفصل صدق نمی کند ، لذا خانواده توابع مفصل پلاکت با علامت منفی 

بدست می آید.

3-3- خانواده های توابع مفصل

توابع مفصل برای اولین بار توسط شوایزر و اسکلار (1961) کشف شدند ولی توسط لینگ (1965) نامگذاری شدند. این توابع بطور فراوان در امور مالی و بیمه بکار می روند. ایده کاربرد توابع مفصل ارشمیدسی در بیمه بصورت غیر مستقیم توسط کلایتون (1978) مطرح و توسط اوکس (1982) وکوک و جانسون (1981) بکار برده شدند. در این بخش ابتدا ارتباط این خانواده از توابع مفصل و چولگی محاسبه اندازه های وابستگی مورد بررسی قرار می گیرد سپس چند خانواده مهم از آنها که کاربرد زیادی در زمینه های مختلف علمی دارند، معرفی می شوند. اطلاعات بیشتر توابع مفصل را در مراجع ]6-11 [ میتوان یافت.

3-3-1- خانواده گاوسی

خانواده تابع گاوسی به صورت

         

است، که در آن  تابع توزیع نرمال استاندارد دو متغیره  با ضریب  همبستگی   است .  در نتیجه تابع توزیع توام به صورت 

         

ساده می شود.

تابع مفصل چگالی توام خانواده گاوسی نیز به صورت

         

است.

3-3-2- خانواده استودنت

فرض کنید تابع توزیع  -استودنت با درجه آزادی  است. تابع توزیع توام دو متغیره با ضریب همبستگی  بصورت

         

         

است . بنابراین تابع مفصل دو متغیره استودنت بصورت 

         

و تابع مفصل چگالی آن بصورت زیر تعریف می شوند

         

3-3-3- خانواده فرشه

فرشه (1958) برای مقادیر  و  خانواده تابع مفصل 

  را تعریف نمود . تابع مفصل چگالی برای این خانواده بصورت

         

است. این خانواده برای  و   کران پایین فرچه – هافدینگ ، و برای   و  کران بالای فرچه – هافدینگ، مقدار -کندال و -اسپرمن نیز به ترتیب برابر و  است.

3-3-4- خانواده گالامبوس

گالامبوس (1978) برای  تابع مفصل

         

 را معرفی نمود ، که تابع مفصل چگالی آن به صورت:

         

می باشد. 

3-3-5- خانواده مارشال اُلکین

خانواده مارشال الکین اولین بار توسط مارشال الکین (a1967و b1967) بصورت:

         

معرفی شدند. تابع چگالی برای این خانواده از مفصل ها بصورت:

         

بدست می آید. ضریب همبستگی اسپیرمن و کندال برای این خانواده به ترتیب بصورت  ‌و  است. مقدار وابستگی دنباله ای بالایی برای این خانواده برابر است.

3-3-6- خانواده فارلی–گامبل–مورگنسترن

خانواده توابع مفصل فارلی – گامبل – مورگنسترن توسط مورگنسترن (1956) برای:

         

بصورت 

         

معرفی شد، که تابع مفصل چگالی آن بصورت

         

بدست می آید.. مقدار ضریب کندال و ضریب اسپیرمن به ترتیب برابر و است. ضرایب همبستگی برای این خانواده همواره در بازه   قرار می گیرد و بیشترین مقدار همبستگی پیرسون برای این تابع زمانی بدست می آید که توزیع حاشیه ای یکنواخت بر بازه  باشند. بعنوان مثال برای حاشیه ای نمایی با پارامتر یک ، ضریب همبستگی پیرسون در بازه قرار دارد.

3-3-7- خانواده علی–میخاییل–حق

یکی از توابع مفصل که از روش تجربی بدست آمده است تابع مفصل علی- میخاییل- حق است که برای: 

 

بصورت:

         

تعریف می شود. تابع مفصل چگالی این خانواده نیز به صورت:

         

بدست می آید. ضریب کندال برای این خانواده برابر

 

است و برای ضریب اسپیرمن فرم بسته ای وجود ندارد.

3-3-8- خانواده پلاکت

خانواده تابع مفصل پلاکت که برای: 

 

 بصورت رابطه 

 

است که تابع مفصل چگالی آن بصورت: 

بدست می آید. ضریب اسپیرمن برای این خانواده برابراست و برای ضریب کندال فرم بسته ای وجود ندارد.

4- یافته‌های پژوهش 

استان کرمانشاه مورد مطالعاتی این تحقیق است. این استان از لحاظ تنوع مذهب (اهل تشییع، اهل تسنن، اهل حق) مورد توجه بوده و این بدان خاطر است که  بحث قرض الحسنه از مباحث اعتقادی می باشد. 

4-1-انتخاب شاخص

شاخص های رکود و رونق قرض الحسنه با توجه به استقبال مردم از این نوع سپرده می باشد عوامل انگیزشی متفاوتی سبب این استقبال می باشد. بانک ها با توجه به سیاست های مورد توجه خود گاها اقدام به طرح های مختلف جهت جذب این منابع ارزان قیمت می نمایند از جمله این طرح ها می توان به اعطای جواهر و تسهیلات ارزان قیمت به مشتریان نام برد. لذا افتتاح حساب مشتریان و منابع موجود در این بخش نشان دهنده نحوه استقبال مشتریان از سپرده های قرض الحسنه می باشد. در این میان بانک قرض الحسنه مهر ایران به عنوان نخستین بانک تخصصی قرض الحسنه که مبادرت به جذب سپرده های قرض الحسنه و اعطای تسهیلات قرض الحسنه به اقشار مختلف مردم ، می نماید به عنوان بانک مورد مطالعه در استان کرمانشاه مورد توجه محقق قرار گرفته است .

4-2-تعیین توزیع رکود قرض الحسنه

رکود قرض الحسنه توسط دو عامل مدت وشدت رکود آن تفسیر می شود. تحلیل جداگانه این دوعامل برای بررسی رکود قرض الحسنه نمی تواند میران ارتباط و تاثیراتی که این دو عامل در تحلیل رکود قرض الحسنه برهم دارند نمایان سازند. لذا لازم است توزیع توام دو عامل مدت و شدت این رکود تعیین گردد.با توجه به خروجی نرم افزار چون همبستگی بین این دو عامل 90٪ است و فرض استقلال آنها معنی دار نیست ، نمی توان توزیع توام مدت و شدت رکود قرض الحسنه را به سادگی از طریق ضرب توزیع های کناری آنها بدست آورد. بنابراین با استفاده از توابع مفصل مناسب توزیع توام آنها را بدست می آوریم . برای این منظور لازم است ابتدا توزیع کناری هر یک از دو عامل مدت و شدت رکود قرض الحسنه برآورد شوند. سپس از بین خانواده های توابع مفصل معرفی شده، خانواده هایی را که شرایط مدل‌بندی رکود قرض الحسنه را دارا باشند انتخاب می کنیم. چون خانواده های فارلی- گامبل- مورگنسترن فقط برای مدل‌بندی عامل هایی با همبستگی بین و  مورد استفاده قرار می گیرد، با توجه به اینکه همبستگی بین داده ها 90٪ است ، از این خانواده برای مدل بندی رکود قرض الحسنه استفاده نخواهد شد و خانواده های علی- میخاییل- حق، کلایتون، فرانک، گامبل- بارنت ، گامل- هوگارد، جو و پلاکت برای مدل بین متغیر مورد نظر  ما مورد بررسی قرار می گیرند.

با توجه به اینکه در اغلب تحقیقات انجام شده در این زمینه توزیع های نمایی، گاما، وایبل و گامبل به داده های مربوط به موضوع این تحقیق برازش داده شده و برای مدت رکود وقتی داده ها گسسته باشند توزیع هندسی در نظر گرفته شده است . در این تحقیقات تمام توزیع های مذکور به داده ها برازش داده شد و نهایتا توزیع نمایی به داده های مدت رکود و توزیع گاما به داده های شدت رکود برازش مناسب تری را داشته اند.

تابع چگالی توزیع نمایی به صورت

         

است، که در آن پارامتر   را می توان به روش ماکسیمم درستنمایی یا با کمینه کردن عبارت

(1)         

برآورد نمود، که در آن تابع توزیع تجربی مشاهدات و  تابع توزیع تجمعی نمایی است.

برای داده های شهرستانهای مورد مطالعه ازاستان کرمانشاه برآورد ماکسیمم درستنمایی حاصل گردید و از کمینه کردن عبارت (1) مقدار  بدست می آید. اما با انجام آزمون نیکویی برازش کولوموگرف – اسمیرنوف ملاحظه می شودکه تابع چگالی نمایی با  برازش بهتری را فراهم می آورد. شکل (1) نیکویی برازش توزیع نمایی برای داده های مدت رکود قرض الحسنه را نشان می دهد. برای شدت رکود قرض الحسنه نیز توزیع گاما با تابع چگالی 

 

      به داده ها برازش داده شد،که در آن  پارامتر نما و  پارامتر مقیاس این توزیع می باشند. پارامترهای این توزیع نیز با کمینه کردن عبارت (1) برآورد شده اند، که در آن تابع توزیع تجربی مشاهدات و  تابع توزیع تجمعی گاما است. شکل (2) برازش توزیع گاما به داده های رکود قرض لحسنه را نشان می دهد.

برای داده های شهرهای مورد نظر این تحقیق از کمینه کردن عبارت (1) مقادیر و حاصل گردیده است . مقادیر برآورد این پارامتر ها برای شهرهای مورد نظر استان کرمانشاه طبق جدول (1) ارائه شده است.

جدول1 برآورد پارامترهای توزیع نمایی و گاما

شهر		کرمانشاه	اسلام آبادغرب	روانسر	سرپل ذهاب	گیلانغرب
نمایی		4.76	3.36	3.14	4.06	3.28
گاما		1.36	75.	68.	1.25	53.
		2.92	3.83	4.44	2.59	3.95

برای برآورد پارامتر هر یک از توابع مفصل ابتدا مقادیر  را در رابطه (1) قرار داده و تابع حاصل را برحسب پارامتر  ماکسیمم می نماییم. با توجه به پیچیده بودنه فرم تابع چگالی برای خانواده های استفاده شده و زمان بر بودن اجرای برنامه، برای برآورد پارامتر ابتدا نمودار لگاریتم تابع درستنمایی را در بازه تعریف شده برایرسم نموده سپس با محدود نمودن بازه ای که ماکسیمم لگاریتم تابع درستنمایی در آن قرار دارد. طول نقطه ماکسیمم را به روش نیوتن رافسون بعنوان برآورد ماکسیمم درستنمایی بدست می آوریم.

 

 

شکل 1: نمودار مشاهدات مدت رکود قرض الحسنه با توزیع تجمعی نمایی برازش شده

 

شکل شماره (1)، رابطه همبستگی بین مشاهدات مدت رکود قرض الحسنه با توزیع تجمعی نمایی برازش شده را نشان می‌دهد. همان‌طوری‌که ملاحظه می‌شود رابطه برآورد شده از نظر همبستگی مستقیم و مثبت است. در نتیجه با افزایش مشاهدات مدت رکود قرض الحسنه احتمال نکول نیز افزایش یافته و تا زمان افزایش مشاهدات مدت رکود این جریان ادامه خواهند داشت و به سمت یک میل خواهند کرد و بلعکس. یعنی با کاهش مدت رکود قرض الحسنه احتمال نکول نیز کاهش یافته و تا زمان کاهش مشاهدات مدت رکود این جریان ادامه خواهند داشت و به سمت صفر میل خواهند کرد.

 

 

 

شکل 2: نمودار مشاهدات شدت رکود قرض الحسنه با توزیع 

تجمعی گاما برازش شده

شکل شماره (2)، رابطه همبستگی بین مشاهدات شدت رکود قرض الحسنه با توزیع تجمعی نمایی برازش شده را نشان می‌دهد. همان‌طوری‌که ملاحظه می‌شود رابطه برآورد شده از نظر همبستگی مستقیم و مثبت است. در نتیجه با افزایش مشاهدات شدت رکود قرض الحسنه احتمال نکول نیز افزایش یافته و تا زمان افزایش مدت رکود این جریان ادامه خواهند داشت و به سمت یک میل خواهند کرد و بلعکس. یعنی با کاهش مشاهدات شدت رکود قرض الحسنه احتمال نکول نیز کاهش یافته و تا زمان کاهش مشاهدات شدت رکود این جریان ادامه خواهند داشت و به سمت صفر میل خواهند کرد.

 

جدول3: برآورد ماکسیمم درستنمایی

تابع مفصل	برآوردماکسیمم درستنمایی
علی- میخاییل- حق	95 .0
کلایتون	54. 1
فرانک	69 10
گالامبوس	98. 1
گامبل-بارنت	34 .0
گامبل-هوگارد	69 .2
پلاکت	78 .0
جوی	46 .3

تابع مفصل برتر بر اساس روش ماکسیمم مقدار لگاریتم تابع درستنمایی انتخاب شده است، که مقادیر آن برای داده های شهرستان های مورد نظر استان کرمانشاه در جدول (3) ارائه شده است . همانطور که ملاحظه می شود ماکسیمم مقدار لگاریتم درستنمایی خانواده فرانک از سایر خانواده ها بیشتر می باشد. یعنی تابع مفصل فرانک بیشترین شانس را برای نمودار مشاهده شده به ازای مقدار برآورد شده نسبت به خانواده های دیگر فراهم می سازد. بنابراین تابع مفصل فرانک با مقدار پارامتر 69 .10=   را برای تعیین توزیع توام مدت وشدت رکود قرض الحسنه در شهرستان های استان کرمانشاه بکار می گیریم.

 

 

شکل 3: نمودار توزیع توام مدت و شدت رکود

 

شکل شماره (3)، رابطه همبستگی به شکل نمودار توزیع توام بین مدت و شدت و احتمال رکود قرض الحسنه را نشان می‌دهد. همان‌طوری‌که ملاحظه می‌شود رابطه برآورد شده بین متغیرهای مدت و شدت و احتمال رکود قرض الحسنه از نظر همبستگی مستقیم و مثبت است مشروط بر اینکه مدت و شدت با هم افزایش و کاهش یابند.

تابع چگالی توام دو عامل مدت و شدت نیز با استفاده از رابطه

  که با تابع مفصل  بصورت زیر در ارتباط است.

        

(2)         

         

و شکل (4) نمودار آن را نمایش می دهد.

 

شکل4: نمودار تابع چگالی توام مدت و شدت رکود قرض الحسنه

 

شکل شماره (4)، رابطه همبستگی تابع چگالی توام بین مدت و شدت و احتمال رکود قرض الحسنه را نشان می‌دهد. همان‌طوری‌که ملاحظه می‌شود رابطه برآورد شده از نظرهمبستگی مستقیم و مثبت است. در نتیجه با افزایش مدت و شدت رکود قرض الحسنه مقدار احتمال رکود قرض الحسنه نیز افزایش یافته و تا زمان افزایش مدت و شدت این جریان رکود ادامه خواهند داشت و به سمت معینی (یک) میل خواهند کرد و بلعکس. یعنی باکاهش مدت و شدت رکود قرض الحسنه احتمال نکول کاهش یافته وتا زمان کاهش همزمان مدت و شدت این جریان کاهشی نیز ادامه خواهند داشت و به سمت معینی (صفر) میل خواهند کرد.  

4-3-بررسی دوره های رکود قرض الحسنه

با استفاده از توزیع توام بین دو متغیر  و   می‌توان اطلاعات مهمی در باره این رویداد بدست آورد، برای مثال احتمال وقوع یک رکود با مدت وشدت بیشتر ار مقدار آستانه مشخص با توجه به تابع توزیع توام قابل حصول است. این احتمال در شرایط بحرانی اقتصادی نظیر (بحران  16ماه منتهی به بهمن1394) باعث می‌شود این سوال در ذهن ایجاد گردد که چگونه مدیریت اعطای تسهیلات قرض الحسنه را می‌توان انجام داد؟ با استفاده ازتوابع توزیع حاشیه‌ای نمی‌توان چنین احتمالات و سایر اطلاعات در این مورد که در رابطه بین مدت وشدت متغیر مورد بحث است را بدست آورد، اما با استفاده از تابع مفصل وتوابع توزیع حاشیه ای و جایگذاری در رابطه

 

براحتی می توان این احتمال را محاسبه نمود. به عنوان مثال یک رکود با مدت بیشتر از 3 ماه و شدت بیشتر از 2 بر اساس رابطه (2) با احتمال 32/0 رخ می‌دهد. بعلاوه این مقدار را می توان به کمک تابع توزیع توام مدت و شدت رکود نیز بدست آورد،که نمودار خطوط تراز آن در شکل (5) نمایش داده شده است.

 

 

 

شکل5: نمودار خط تراز توزیع توام مدت وشدت رکود

شکل شماره (5)، رابطه همبستگی خط تراز بین مدت و شدت رکود قرض الحسنه را نشان می‌دهد. همان‌طوری‌که ملاحظه می‌شود رابطه برآورد شده از نظر همبستگی مستقیم و مثبت است. در نتیجه با افزایش مدت رکود قرض الحسنه احتمال شدت رکود نیز افزایش یافته وتا زمان افزایش مدت جریان افزایش شدت رکود نیز ادامه خواهند داشت و به سمت معینی (یک) میل خواهند کرد و بلعکس. یعنی باکاهش مدت رکود قرض الحسنه احتمال شدت رکود نیزکاهش یافته وتا زمان کاهش مدت جریان کاهش شدت رکود نیز ادامه خواهند داشت و به سمت معینی (صفر) میل خواهند کرد. 

شایان ذکر بوده که توابع توزیع شرطی را نیز می‌توان با استفاده از توابع مفصل تعیین و بر اساس آنها احتمال چگونگی تغییر یک عامل در قبال تغییرات کنترل شده عامل دیگر بحث نمود. توزیع شرطی شدت رکود برای مدت رکود بیشتر از آستانه  بصورت

         

و توزیع شرطی مدت رکود برای شدت رکود بیشتر از آستانه  به صورت

         

بدست می آید. که نمودارهای آنها به ترتیب در شکل‌های (6) و (7) برای داده مورد نظر نشان می‌دهیم. 

 

شدت رکود

 

 

شکل6: نمودار توزیع شرطی شدت رکود برحسب مدت رکود بیشتر از آستانه

شکل شماره (6)، رابطه همبستگی تابع توزیع شرطی شدت رکود بر حسب مدت رکود بیشتر از آستانه بین شدت رکود قرض الحسنه و توزیع شرطی را نشان می‌دهد. همان‌طوری‌که ملاحظه می‌شود رابطه برآورد شده از نظرهمبستگی مستقیم و مثبت است. در نتیجه با افزایش شدت رکود قرض الحسنه احتمال رکود نیز به شکل توزیع شرطی افزایش یافته و تا زمان افزایش شدت رکود این جریان ادامه خواهند داشت و به سمت معینی (یک) میل خواهند کرد و بلعکس. یعنی باکاهش شدت رکود قرض الحسنه احتمال رکود نیز به شکل توزیع شرطی کاهش یافته و تا زمان کاهش شدت رکود این جریان ادامه خواهند داشت و به سمت معینی (صفر) میل خواهند کرد. 

 

 

 

شکل7: نمودار توزیع شرطی مدت رکود برحسب شدت رکود بیشتر از آستانه

شکل شماره (7)، رابطه همبستگی تابع توزیع شرطی مدت رکود برحسب شدت رکود بیشتر از آستانه را نشان می‌دهد. همان‌طوری‌که ملاحظه می‌شود رابطه برآورد شده از نظر همبستگی مستقیم و مثبت است. در نتیجه با افزایش مدت رکود قرض الحسنه احتمال نکول نیز به شکل توزیع شرطی افزایش یافته و تا زمان افزایش مدت رکود این جریان ادامه خواهند داشت و به سمت یک میل خواهند کرد و بلعکس. یعنی باکاهش مدت رکود قرض الحسنه احتمال رکود نیز به شکل توزیع شرطی کاهش یافته وتا زمان کاهش مدت رکود این جریان نیز ادامه خواهند داشت و به سمت معینی میل خواهند کرد.   

4-4-دوره بازگشت رکود

اگر مدت زمان بین دو رکود را دوره بازگشت این پدیده در نظر گیریم در برخی شرایط ممکن است بین دوپدیده رکود بیش از یکسال ویا اینکه در یکسال چند پدیده رکود داشته باشیم. در مطالعات انجام شده برای پدیده های دیگرکه مشمول دوره بازگشت می شوند، مدت یا شدت آنها را بصورت زیر محاسبه نموده اند.

(3)         

و

(4)         

در این روابط مقدار متوسط زمان بین دو پدیده رکود قرض الحسنه است و از طریق مشاهدات قابل برآورد است.

جدول 4: مقدار متوسط زمان بین دو رکود برای شهرستان های مورد نظر استان کرمانشاه

شهر
کرمانشاه	70 .0
اسلام آبادغرب	55 .0
روانسر	54 .0
سرپل ذهاب	64 .0
گیلانغرب	58 .0

با توجه به روابط (3) و(4) دوره بازگشت 2 و 5 و 10 و 20 و 50 و 100 ساله برای مدت و شدت رکود محاسبه شده که خلاصه نتایج در جدول (5) ارائه شده اند.

جدول 5: دوره بازگشت رکود بر اساس مدت وشدت رکودقرض الحسنه

شدت رکود	مدت رکود	دوره تناوب
42 .1	21 .1	2
93 .3	71 .3	5
91 .5	12 .6	10
99 .7	24 .8	20
76 .10	83 .10	50
89. 12	15 /13	100

 

روابط (3) و(4) دوره بازگشت رکود قرض الحسنه را تنها برحسب یک عامل مشخص  می‌کنند درحالیکه می توان این پدیده را بر اساس دو عامل مدت و شدت رکود تواما تفسیر کرد. دوره بازگشت توام رکود برحسب مدت و شدت آن برای حالات   و  به صورت زیر را پیشنهاد میشود.

         

و

        

تعریف می‌شوند و نمودار آنها به ترتیب در شکل‌های (8) و (9) ارائه شده اند.

 

شکل8: نمودار دوره بازگشت توام 

 

 

 

شکل9: نمودار دوره بازگشت توام 

اشکال شماره (8) و (9)، نمودار تابع توزیع دوره بازگشت توام و، رکود قرض الحسنه را بر حسب سال نمایش می‌دهد. به‌طوریکه در آن هر چه قدر شدت ومدت بیشتر باشد دوره بازگشت رکود قرض الحسنه برحسب سال طولانی‌تر خواهد شد و بلعکس. به عنوان مثال، اگر هر چه مدت رکودکمتر و شدت آن کمتر نیز باشد، دوره بازگشت رکود قرض الحسنه به سمت سال کمتر (به عنوان مثال 2 ساله) میل خواهد نمود و هرچه هرچه قدر مدت و شدت رکود قرض الحسنه بیشتر باشد این دوره بازگشت طولانی تر و به سمت تعداد سال‌های بیشتری میل خواهد کرد (مثلا 5 ساله و 10 ساله و غیره).

5- نتیجه‌گیری

توابع مفصل را می توان برای تعیین ساختار وابستگی متغیرهای تصادفی همبسته بکار گرفت. نتایج بدست آمده در این تحقیق بیانگر آن است که توابع مفصل ابزار مفیدی برای تعیین توزیع توام و ساختار وابستگی متغیر های همبسته رکود هستند. در این مطالعه توزیع های دو متغیره توابع مفصل یک پارامتری مورد بحث و بررسی قرار گرفت اما می توان تکنیک های مطرح شده را برای توزیع ها چند متغیره نیز بکار گرفت مثلا در این تحقیق می توان شدت–مدت–نرخ سود سپرده به عنوان یک تحقیق چند متغیره درنظر گرفت.

نتایج بدست آمده در این مقاله بیانگر آن است که حذف متغیرهای زائد بر اساس توابع مفصل باعث کاهش هزینه و بهینه سازی در محاسبات می شود. با استفاده از توابع کاپولا ابتدا ابعاد و متغیرهای موثر را شناسایی کرده و سپس توزیع توام متغیرها را برآورد کردیم.

مشاهده کردیم که توابع مفصل ابزار مفیدی برای تعیین توزیع توام و ساختار وابستگی متغیر های همبسته رکود بوده و می تواند برای تعیین ساختار وابستگی متغیرهای تصادفی همبسته به کار گرفته شود. در این مطالعه توزیع های دو متغیره توابع مفصلِ یک پارامتری مورد بحث و بررسی قرار گرفت، اما می توان تکنیک های مطرح شده را برای توزیع های چند متغیره نیز تعمیم داد.

 

فهرست منابع 

1.       قدیری اصلی، باقر،1366، کلیات علم اقتصاد. تهران: نشر سپهر. کتابخانه ومرکز اسناد علمی دانشگاه صنعتی امیرکبیر (شهید صبوری). 

2.       توانایان فرد،حسن،1361، مکتب‌های اقتصادی، تهران: دانشگاه تهران، کتابخانه دانشکده جغرافیا.

 

3.       ماجدی، علی  گلریز، حسن، 1377، پول و بانک از نظریه تا سیاست گذاری.تهران: انتشارات  بانک مرکزی جمهوری اسلامی ایران، موسسه عالی بانکداری ایران.

4.       اثنی عشری،  ابوالقاسم؛ 1388، برآورد تابع تقاضای پول درسپرده های قرض الحسنه بانکهای ایران، فصلنامه پژوهشها وسیاست‌های اقتصادی، سال هفتم، شماره 51، صص:93-104.

5.       غیاث،م،1393، مقدمه ای برروش شبیه سازی مونت کارلو، فصلنامه عملی-ترویجی بسپارش، سال چهارم،شماره1، صص:67-77

6.       Cherubini, Umberto, Elisa Luciano, and Walter Vecchiato. Copula methods in finance. John Wiley & Sons, 2004.

7.       Chen, Lu, and Shenglian Guo. Copulas and its application in hydrology and water resources. Springer Singapore, 2019.

8.       Hofert, Marius, et al. Elements of copula modeling with R. Springer International Publishing, 2018.

9.       Badakhshan Farahabadi, Fazel, Kianoush Fathi Vajargah, and Rahman Farnoosh. "Dimension Reduction Big Data Using Recognition of Data Features Based on Copula Function and Principal Component Analysis." Advances in Mathematical Physics 2021 (2021).

10.       Nelsen, Roger B. An introduction to copulas. Springer Science & Business Media, 2007.

11.       Alsina, Claudi, Berthold Schweizer, and Maurice J. Frank. Associative functions: triangular norms and copulas. World Scientific, 2006.

12.       A.Wellner ,J, and D.Perlman, M,Squaring the Circle and Cubing the Sphere: circular and spherical copula, Department of statistical University of Washington 30 December 2010

13.       Bee, Marco. Simulating copula-based distributions and estimating tail probabilities by means of Adaptive Importance Sampling. No. 1003. 2010.

14.       Di Roma, B, and Tupini, V, ‘Applying Copula Function to risk managment’,18-114 Roma,Italy.

15.       Fortiana, J, Simulation of High- Dimensinal t-student Copulas with a Given Block Correlation Matrix, A procedure for simulation with contracted copulas, May 2007.

16.       Malgrat, M , Pricing of a ”worst of” option using a copula method Royal Institute of Technology School of Engineering Sciences WPS(Depr):4/201

17.       Roy, I, ‘Estimation of Portfolio Value at risk using Copula’, Department of Economic and policy Research, April 2011.

18.       Yan, Jun. Enjoy the joy of copulas: with a package copula. Journal of Statistical Software 21 (2007): 1-21.

 

 

 

10

 

---

مقالات مرتبط