کاربرد روش تابع هسته برای حل یک کلاس از معادلات انتگرال خطی دو بعدی با هسته منفرد ضعیف
محورهای موضوعی : آمارمحمد رضا اصلاحچی 1 , مریم رضایی 2
1 - گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه تربیت مدرس، تهران، ایران
2 - گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه تربیت مدرس، تهران، ایران
کلید واژه: Volterra integral equation, Reproducing kernel Hilbert space, Convergence analysis, Weakly singular kernel, Two-dimensional integral equation,
چکیده مقاله :
در این مقاله، یک روش برای حل یک کلاس از معادله انتگرال ولترای خطی دو بعدی نوع دوم با هسته منفرد ضعیف از نوع آبل در فضای هسته‌ی باز تولید شده، ارائه می‌کنیم. این تابع هسته‌ی باز تولید شده در جزئیات بحث شده است. منفردی ضعیف مساله با بکارگیری انتگرال‌گیری جزء به جزء رفع می‌شود. علاوه بر این، انتگرال ناسره متعلق به فضای (L_2 (Ω می‌باشد. در روش ما، جواب دقیق (ϕ(x,t به صورت سری در فضای هسته‌ی باز تولید شده (W(ω نمایش داده می‌شود و جواب تقریبی (ϕ_n (x,t از طریق قطع کردن n جمله اول سری ساخته می‌شود. و در ادامه آنالیز همگرایی روش ثابت می‌شود. همچنین تعدادی مثال‌های عددی که برای نشان دادن کارایی و صحت روش ارائه شده‌‌اند، مطالعه می‌شوند. نتایج بدست آمده نشان می‌دهد که خطای جواب تقریبی، در مفهوم نرم فضای (W(ω، وقتی که تعداد نقاط افزایش می‌یابد، یکنوای نزولی است، همچنین نشان می دهد که روش ساده و کاراست.
In this paper, we will present a new method for solving a class of two-dimensional linear Volterra integral equation of the second kind with weakly singular kernel from Abel type in the reproducing kernel space. The reproducing kernel function is discussed in detail. Weak singularity of problem is removed by applying integration by parts. Further, improper integral belongs to L_2 (Ω). In our method the exact solution ϕ(x,t) is represented in the form of series in the reproducing kernel space W(ω), and the approximate solution ϕ_n (x,t) is constructed via truncating the series to n terms. Convergence analysis of the method is proved in detail. Some numerical examples are also studied to demonstrate the efficiency and accuracy of the presented method. The obtained results show that the error of the approximate solution is monotone decreasing in the sense of the norm of W(ω), when increasing the number of the nodes. Also, that indicate the method is simple and effective. It turns out that this method is valid.
[1] A. M. Wazwaz. A first course in integral equations. World Scientific. Singapour (1997).
[2] A. M. Wazwaz. Linear and nonlinear integral equation: methods and applications. Higher Education Press and Springer Verlage (2011).
[3] M. H. Reihani, Z. Abadi. Rationalized Harr functions method for solving Fredholm and Volterra integral equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 12-20 (2007).
[4] J. Saberi-Nadjafi, M. Mehrabinezhad, T. Diogo. The Coiflet-Galerkin method for linear Volterra integral equations. Applied Mathematics and Computation 221:469-483 (2013).
[5] J. Saberi-Nadjafi, M. Mehrabinezhad, H. Akbari. Solving Volterra integral equations of the second kind by WaveletGalerkin scheme. Computer and Mathematics with Applications 63:1536- 1547 (2012).
[6] Miggen Cui, Yingzhen Lin.Nonlinear Numerical Analysis in the Reproducing Kernel Space.Nova Science Publishers, Inc (2008)