انعکاس پذیری از عملگرهای کاون داگلاس

محورهای موضوعی : آمار

علی کشکولی ¹ , زهرا فتاحی ²

1 - گروه ریاضی، دانشگاه یاسوج، یاسوج، ایران.
2 - گروه ریاضی، دانشگاه یاسوج، یاسوج، ایران.

تاریخ دریافت : 1398/02/21 تاریخ پذیرش : 1400/04/22 تاریخ انتشار : 1400/05/01

کلید واژه: Von Neuman operator, adjoint, Cowen-Douglas, unitarily equivalent, multiplication operator,

چکیده مقاله :

فرض کنید H یک فضای هیلبرت، Ω یک زیر مجموعه‌ی باز همبندی از صفحه‌ی مختلط C ، n یک عدد صحیح مثبت و B_n (Ω) یک کلاس کاون-داگلاس شامل عملگر خطی کراندار T روی H باشد. در این مقاله برای یک حالت خاصی از Ω، نشان می‌دهیم که اگر T∈B_n (Ω ) طوری باشد که مدل متعارفش یک عملگر ون نیومن گردد، آنگاه T انعکاس پذیر است.به علاوه، در این مطالعه فرض می‌کنیم که الحاقی از مدل متعارف متناظر با هسته‌ی برگمن تعمیم یافته‌ی K، یک عملگر ون نیومن باشد. ما می‌توانیم این را با فرضی که ‖M_P ‖≤c‖P‖_Ω یا ‖M_P ‖=c‖P‖_Ω، برای هر چند جمله‌ای P جایگزین کنیم. در حقیقت K یک هسته‌ی باز مولد برای فضای هیلبرت تابعک هم-تحلیلی K می‌باشد که ما می‌توانیم عملگر ضرب شده بوسیله‌ی Z ̅ را روی آن تعریف کنیم. توجه به این نکته لازم است که اگرK یک تابع هسته‌ی اکیداً مثبت روی مجموعه‌ی Λ باشد آنگاه این هسته می‌تواند به یک فضای هیلبرت تابعکی بر Λ با هسته‌ی باز مولدK گسترش یابد. لازم به یادآوری است که عملگر خطی کراندار T: H→ H را یک عملگر ون-نیومن گوییم هرگاه جبر C^* تولید شده توسط T یک جبر ون-نیومن باسد. باید متذکر شد که در حالت کلی عملگرهایی از کلاس کاونداگلاس انعکاس پذیر نیستند زیرا هر عملگری از این کلاس با الحاقی از عملگر ضربی غیر انعکاسی ضرب شده به وسیله‌ی Z ̅ هم ارز یکانی است. ما نیازمند شرایط اضافی برای انعکاس پذیری T هستیم.

چکیده انگلیسی:

For a connected open subset Ω of the plane and n a positive integer, let B_n (Ω) be the Cowen-Douglas class of operators. In this article, for a special case of Ω, we show that if T∈B_n (Ω) and its canonical model is a Von Neumann operator, then T is reflexive.In the main theorem of this paper we assume that the adjoint of the canonical model associated with g.B.K is a Von Neuman operator. We may replace this by the assumption that ‖M_P ‖≤c‖P‖_Ω or ‖M_P ‖=c‖P‖_Ω for every polynomial P. Actually K is the reproducing kernel for a coanalytic functional Hilbert space K on which we can define the operator M_z^* of multiplication byz.Note that if K is stricly positive kernel function on Λ, it gives rise to a functional Hilbert space on Λ with reproducing kernel K.A bounded linear operator T is said to be Von Neumann if the C^*-algebra generated by T is a Von Neumann algebra. We must point out that the operators of Cowen-Douglas class is not reflexive in general, since every operator of this class is unitarily equivalent to the adjoint of non-reflexive operator multiplication by Z ̅. We need to impose the additional conditions for reflexivity of T.