ناپایداری تورینگ و نقش های فضایی در مدل های کنش-انتشار
محورهای موضوعی : آمار
علی عطابیگی
1
(گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه رازی، کرمانشاه، ایران)
کلید واژه: Gierer-Meinhatrdt model, Reaction-diffusion equations, Turing instability, Pattern formation,
چکیده مقاله :
نقش ها همه جا در طبیعت وجود دارند و تحقیقات پنجاه سال اخیر فهم ما را نسبت به مکانیسم های تشکیل آنها تا حد زیادی افزایش داده اند. هدف از این مقاله مطالعه سیستم هایی است که در آنها نقش های فضایی پایدار بطور موقتی شکل می گیرند. بطور خاص، تأکید ویژه بر ناپایداری های تورینگ بعنوان متداول ترین مکانیسم تشکیل نقش ها خواهد بود. مدل گیرر-ماینهارت یکی از نمونه های اولیه سیستم های کنش انتشار است که پدیده تشکیل نقش را در فرایندهای طبیعی توصیف میکند. آنالیز انشعاب، بصورت تئوری و عددی، روی این مدل انجام میشود و اثر انتشار بر پایداری حالت تعادل آن بررسی میشود. نشان داده میشود که تحت شرایط خاصی، ناپایداری ناشی از انشعاب یا ناپایداری تورینگ در حالت تعادلی که در غیاب انتشار پایدار است، اتفاق می افتد.
Patterns are found everywhere and the past fifty years studies have advanced our understanding of the mechanisms . In this paper, we study those systems that develop temporary patterns. Special emphasis is made on Turing instabilities as one of the most common sources of pattern formation. Gierer-Meinhardt model acts as one of prototypical reaction diffusion systems describing pattern formation phenomena in natural events. Bifurcation analysis, including theoretical and numerical analysis, is carried out on the Gierer-Meinhardt activator-substrate model. The effects of diffusion on the stability of equilibrium points is investigated. It shows that under some conditions, diffusion-driven instability, i.e, the Turing instability, about the equilibrium point will occur, which is stable without diffusion. These diffusion-driven instabilities will lead to the occurrence of spatially nonhomogeneous solutions. Consequently, some pattern formations, like stripe and spots solutions, will appear. To illustrate theoretical analysis, we carry out numerical simulations. These diffusion-driven instabilities will lead to the occurrence of spatially nonhomogeneous solutions. Consequently, some pattern formations, like stripe and spots solutions, will appear. To illustrate theoretical analysis, we carry out numerical simulations.
[1] Turing, A. (1952). The chemical basis of morphogenesis. Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series B-Biological Sciences, 237, 37-72.
[2] Brown, K.J., Davidson, F.A. (1995). Global bifurcation in the Brusselator system, Nonlinear Anal., 24, 1713–1725.
[3] Catlla, A.J., McNamara, A., Topaz, C.M. (2012). Instabilities and patterns in coupled reaction–diffusion layers, Phys. Rev. E, 85, 026215.
[4] Ghergu, M. (2008). Non-constant steady-state solutions for Brusselator type systems, Nonlinearity, 21, 2331–2345.
[5] Kolokolnikov, T., Erneux, T., Wei, J. (2006). Mesa-type patterns in the one-dimensional Brusselator and their stability, Phys.D, 214, 63–77.
[6] McGough, J. S., & Riley, K. (2004). Pattern formation in the Gray–Scott model. Nonlinear analysis: real world applications, 5, 105-121.
[7] Peng, R., & Wang, M. X. (2009). Some nonexistence results for nonconstant stationary solutions to the Gray–Scott model in a bounded domain. Applied Mathematics Letters, 22, 569-573.
[8] Ghergu, M., & RADULESCU, V. (2011). Nonlinear PDEs: Mathematical models in biology, chemistry and population genetics. Springer Science & Business Media.
[9] Liu, P., Shi, J., Wang, Y., & Feng, X. (2013). Bifurcation analysis of reaction–diffusion Schnakenberg model. Journal of Mathematical Chemistry, 51, 2001-2019.
[10] Xu, C., & Wei, J. (2012). Hopf bifurcation analysis in a one-dimensional Schnakenberg reaction–diffusion model. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 13, 1961-1977.
[11] Atabaigi, A., Barati, A., & Norouzi, H. (2018). Bifurcation analysis of an enzyme-catalyzed reaction–diffusion system. Computers & Mathematics with Applications, 75, 4361-4377.
[12] Murray, J. D. (2003). Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, volume 2. Springer-Verlag, New York.
[13] Gierer, A. and Meinhardt, H. (1972). A theory of biological pattern formation. Kyber-netik, 12, 30-39.
[14] Maini, P. K., Woolley, T. E., Baker, R. E., Gaffney, E. A., and Lee, S. S. (2012). Turing's model for biological pattern formation and the robustness problem. Interface Focus, 2, 487-96.
[15] Kondo, S. (2009). How animals get their skin patterns: fish pigment pattern as a live Turing wave. Int. J. Dev. Biol, 53,851-856.
[16] Murray, J. D. and Myerscough, M. R. (1991). Pigmentation pattern formation on snakes. J Theor Biol, 149, 339-60.