روش جدید تفاضلات متناهی ضمنی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه کسری زمان- مکان دوطرفه
محورهای موضوعی : آمار
حمید رضا خدابنده لو
1
,
الیاس شیوانیان
2
,
شعبان مصطفائی
3
1 - گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران
2 - گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران
3 - گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران
کلید واژه: Implicit finite difference approximation, numerical fractional PDE, stability analysis, two sided space-time fractional partial differential equations, shifted Grunvald-letinkov formula,
چکیده مقاله :
معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه کسری تعمیمی از معادلات دیفرانسیل جزئی کلاسیک می‌شد. تاریخ حساب دیفرانسیل کسری، تقریبا هم قدمت حساب دیفرانسیل مرتبه‌ی صحیح است، حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری زمینه‌ای از مطالعات ریاضی است که از تعاریف اولیه، از عملگرهای مشتق و انتگرال حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولی به وجود آمده است. هرچند بخاطر فقدان سابقه ی کاربردی، حساب دیفرانسیل کسری پیشرفت کمی داشته است .بعلاوه این مدلها در موضوعاتی مثل جریانات سیال و... کاربرد دارد. در این مقاله، ما بعضی از روش‌های کاربردی را برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی کسری زمانی با مقادیر اولیه و مرزی با ضرایب متغییر روی دامنه‌ی متناهی مورد استفاده قرار داده‌ایم. سازگاری، پایداری و در نتیجه همگرایی روش را اثبات کرده، و نشان داده ایم که روش کرانک - نیکلسون کسری با تقریب گرانوالد انتقال یافته بدون شرط پایدار است. این پژوهش از هردوجنبه‌ی تئوری و عددی حائز اهمیت می باشد، که در اینجا ما با ساختمان و تحلیل همگرایی الگوهای گسسته سازی سروکار داریم. و همچنین نتایج عددی ارائه و از نظر مرتبه همگرایی با جواب تحلیلی دقیق مقایسه گردیده است.
Fractional order partial differential equations are generalizations of classical partial differential equations. Increasingly, these models are used in applications such as fluid flow, finance and others. In this paper we examine some practical numerical methods to solve a class of initial- boundary value fractional partial differential equations with variable coefficients on a finite domain. Stability, consistency, and (therefore) convergence of the method are examined. It is shown that the fractional method based on the shifted Grunwald formula is unconditionally stable. This study concerns both theoretical and numerical aspects, where we deal with the construction and convergence analysis of the discretization schemes. A numerical example is presented and compared with exact solution for its order of convergence./////////Fractional order partial differential equations are generalizations of classical partial differential equations. Increasingly, these models are used in applications such as fluid flow, finance and others. In this paper we examine some practical numerical methods to solve a class of initial- boundary value fractional partial differential equations with variable coefficients on a finite domain. Stability, consistency, and (therefore) convergence of the method are examined. It is shown that the fractional method based on the shifted Grunwald formula is unconditionally stable. This study concerns both theoretical and numerical aspects, where we deal with the construction and convergence analysis of the discretization schemes. A numerical example is presented and compared with exact solution for its order of convergence.
[1] Goreno R., Mainardi F., Scalas E., Raberto M., Fractional calculus and continuous-time finance. III, The diffusion limit. Mathematical finance (Konstanz, 2000), Trends in Math., Birkhuser, Basel, 2001, pp. 171-180.
[2] Lubich C., Discretized fractional calculus, SIAM J. Math. Anal. 17 (1986) 704719. 13.
[3] Meerschaert M.M. , Tadjeran C ., Finite difference approximations for fractional advection - diffusion flow
equations, J.comput. Appl. Numer. Math. 172 (2004) 6577.
[4] Podlubny I., Fractional Differential Equations, Academic Press, New York, 1999.
[5] Samko S., Kilbas A., Marichev O., Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach, London, 1993.
[6] Oldham K.B., Spanier J., The Fractional Calculus, Academic Press, New York, 1974.
[7] Tadjeran C., Meerschaert M.M., H.P. Scheffer, A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation, J. Comput. Phys. 213 (2006) 205-213.
[8] Miller K., Ross B., An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential, Wiley, New York, 1993.
[9] zhang Y., A Finite difference method for fractional partial differential equation, Appl. Math. comput. 215 (20009) 524-529.
[10] Shivanian. E, Khodabandehlo. H.R., A second-order accurate numerical approximation for fractional advection-dispersion flow equations, J. Sci. I. A. U (JSIAU), Vol. 23, No. 90.2, Winter 2014.
[11] Hilfer. R., Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore,2000.
[12] Magin. R.L., Fractional Calculus in Bioengineering, Begell House Publishers, 2006.