تکامل اولین مقدار ویژه مساله کمانش روی منیفلدهای ریمانی تحت شار ریچی

محورهای موضوعی : آمار

شاهرود اعظمی ¹ (گروه ریاضی محض (هندسه)، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران)

تاریخ دریافت : 1397/12/15 تاریخ پذیرش : 1399/06/26 تاریخ انتشار : 1399/08/01

کلید واژه: Riemannian manifold, Ricci flow, Laplacian, Eigenvalue,

چکیده مقاله :

میان مسائل مقدار ویژه از عملگر لاپلاس، مسائل مقدار ویژه عملگر هارمونیک دوگانه از موضوعات جالب و مهم هستند، چون این مسائل ریشه در مباحث فیزیک و آنالیز هندسی دارند. مساله کمانش یکی از مهمترین مسائل فیزیک است و مطالعات زیادی توسط محققان در مورد جواب و تخمین مقدار ویژه آن انجام گرفته است. در این مقاله، ابتدا معادله تکامل اولین مقدار ویژه غیر صفر از مساله کمانش روی منیفلدهای ریمانی بسته ( منیفلد ریمانی فشرده و بدون مرز) را در امتداد شار ریچی غیرنرمال و شار ریچی نرمال بدست آورده و با استفاده از آنها ثابت می‌کنیم که اولین مقدار ویژه غیر صفر و بعضی از کمیت‌های وابسته به این مقدار ویژه، تحت بعضی از شرایط هندسی، در امتداد شار ریچی یکنوا هستند. سپس روی منیفلدهای خاصی از قبیل منیفلدهای همگن، ۳- بعدی، ۲- بعدی، رفتار تکاملی این مقدار ویژه را بررسی می‌کنیم. بویژه در حالت 2-بعدی با توجه به مقدار انحنای اسکالر در امتداد شار ریچی نرمال، کمیت‌هایی وابسته به اولین مقدار ویژه پیدا می‌کنیم که تحت شار ریچی نرمال یکنوا هستند. در نهایت هم مثال‌هایی از قبیل حالت‌های سولیتون و منیفلدهای اینشتین ارائه می‌کنیم و تکامل اولین مقدار ویژه مساله کمانش را تحت شار ریچی روی این مثال‌‌ها بدست می‌آوریم.

چکیده انگلیسی:

Among the eigenvalue problems of the Laplacian, the biharmonic operator eigenvalue problems are interesting projects because these problems root in physics and geometric analysis. The buckling problem is one of the most important problems in physics, and many studies have been done by the researchers about the solution and the estimate of its eigenvalue. In this paper, first, we obtain the evolution equation of the first nonzero eigenvalue of the buckling problem on closed Riemannian manifold (compact and without boundary Riemannian manifold) along the unnormalized Ricci flow and normalized Ricci flow and by using them, we prove that the first nonzero eigenvalue and some quantities dependent to this eigenvalue are monotonic along the Ricci flow, under the some geometric conditions. Then, on special manifold such as homogeneous, 3- dimensional, 2-dimensional manifolds, we study the evolutionary behavior of this eigenvalue. Especially in the 2-dimensional state, depending on the value of the scalar curvature along the normalized Ricci flow, we find the quantities dependent on the first eigenvalue that are monotonic under the normalized Ricci flow. Finally, we give examples of soliton states and Einstein manifolds, and we obtain the evolution of the first eigenvalue of the buckling problem under the Ricci flow on these examples.

منابع و مأخذ:

[1] B. Chow, D. Knopf, The Ricci flow: An introduction, Mathematical surveys and monographs, Vol. 110, AMS, New York, (2004)

 

[2] R. Ye, Global existence and convergence of Yamabe flow, J. Differential Geom., 39:35–50(1994)

 

[3] Y.G. Chen, Y. Giga, S. Goto, Uniqueness and existence of viscosity solutions of generalized mean curvature flow equations. J. Differential Geom. 33:749–786(1991)

 

[4]  G.  Huisken, A. Polden,  Geometric evolution equations for hypersurfaces, In: Calculus of variations and geometric evolution problems. Springer, Berlin, 45–84 (1999)

 

[5] G. Catino, L. Cremaschi, Z. D jadli , C. Mantegazza and L. Mazzieri, The Ricci-Bourguignon flow, Pacific J. Math. 287(2), 337-370(2017)

 

[6] R. Müller, The Ricci flow coupled with harmonic map heat flow, Ann. Sci. Ec. Norm, Sup 45: 101- 142(2012)

 

[7] S.Y. Cheng, Eigenfunctions and eigenvalues of Laplacian. In: Chern SS, Osserman R (eds) Proceedings of the symposium of pure mathematics, vol 27 no. part 2, differential geometry. American Mathematical Society, Providence, 185–193(1975)

 

[8] Q-M. Cheng, H.C. Yang, Estimates on eigenvalues of Laplacian, Math. Ann. 331: 445–460(2005)

 

[9] E.M. Harrell, P.L. Michel, Commutator bounds for eigenvalues with applications to spectral geometry, Commun. Partial Differ. Equ. 19: 2037–2055(1994)

 

[10] P.F. Leung, On the consecutive eigenvalues of the Laplacian of a compact minimal submanifold in a sphere, J.  Aust. Math.Soc. 50: 409–426(1991)

[11] J. Mao, Eigenvalue inequalities for the p-Laplacian on a Riemannian manifold and estimates for the heat kernel, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 101(3), 372-393(2014)

 

[12] Q. Wang, C. Cia,  Universal inequalities for eigenvalues of the buckling problem on spherical domains,  Community.  Math. Physical.  270: 759-775 (2007)

 

[13] Q.-M. Cheng, H. Yang, Universal bounds for eigenvalues of a buckling problem I I,  Amer. Math. Soc. 364 (11), 6139-6158(2012)

 

 [14] Q. S. Zhang, Sobolev inequalities, heat kernels under Ricci flow, and the Poincare conjecture, Taylor and Francis group, (2011)

 

[15] X-D. Cao, First eigenvalues of geometric operators under the Ricci flow, Proc. Amer. Math. Soc. 136: 4075–4078(2008)

 

[16] J. F. Li, Eigenvalues and energy functionals  with monotonicity formula under Ricci flow, Math. Ann.  338: 927-946(2007)

 

[17] A. Abolarinwa, Evolution and monotonicity of the first eigenvalue of p-Laplacian under the Ricci-harmonic flow, J. Appl. Anal. 21: 147-160(2015)

 

[18] J. Y. Wu, First eigenvalue monotonicity for the p-Laplace operator under the Ricci flow, Acta. mathematica sinica, English series, 27(8), 591-1598(2011)

 

[19] L. Zhao The first eigenvalue of the p-Laplacian operator under powers of the m-th mean curvature flow, Results Math, 63: 937–948(2012)

 

[20] I. Elishakoff, Inverse buckling problem for inhomogeneous columns, International Journal of Solids and Structures 38: 457-464(2001)

 

[21] C.C. Ike, C.U. Nwoji, E.U. Ikwueze, I.O. Ofondu, Solution of the Generalised Elastic Column Buckling Problem by the Galerkin Variational Method, International Journal for Research in Applied Science & Engineering Technology, 5(1), 468-475(2017)

 

[22] R. S. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Differential Geom., 17: 255-306(1982)

 

[23] D. M. De Turk, Deforming metrics in the direction of their Ricci tensor, J. Differential Geom., 18: 157-162(1983)

[24] X.-D, Cao, Eigenvalues of  on manifolds with nonnegative curvature operator, Math. Ann. 337(2),435-441(2007)