بهینه سازی جواب معادله تصادفی-مالی فیشر با پیاده سازی روش بسط عددی هم محلی با پایه های متعامد
محورهای موضوعی : اقتصاد مالیشادان صدیق بهزادی 1 * , محمد علوی ششتمد 2
1 - هیات علمی گروه ریاضی و آمار دانشگاه آزاد اسلامی واحد قزوین
2 - هیات علمی گروه مدیریت بازرگانی دانشگاه آزاد اسلامی واحد تهران مرکزی
کلید واژه: روش بسط هم محلی, معادله ی فیشر , پایه متعامد ژاکوپی, پایه متعامد ایرفویل.,
چکیده مقاله :
در این مقاله، معادله ی فیشر را با روش عددی بسط هم محلی با پایه های متعامد ژاکوپی و ایرفویل، حل می کنیم. این معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی یکی از معادلات مهم و پرکاربرد در ریاضیات مالی و علم اقتصاد است. معادله فیشرنشان می دهد که چگونه انتظار تورم بر نرخ بهره و قدرت خرید تأثیر می گذارد. این فرمول روش حلی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل تصادفی ارائه می دهد. کاربردهای این فرمول در زمینه ی کنترل تصادفی ، تأمین مالی ریاضی ، تجزیه و تحلیل ریسک و زمینه های مرتبط با آن می توان نام برد.در این مقاله با پیاده سازی روش های عددی روی معادله مورد نظر، دستگاههای غیر خطی حاصل می شود که می توان آنها را با روش های حل دستگاههای غیرخطی، مثل روش تکراری نیوتن حل کرد. وجود، یکتایی جواب و همگرایی روشها مورد بررسی قرار می گیرد و در مثالی نشان خواهیم داد که با تعداد تکرار و خطای کم و سرعت همگرایی بالا به جواب تقریبی معادله همگرا می شویم و این نشان دهنده ی بهینه بودن این روش عددی نسبت به روشهای تحلیلی دیگر است.
Abstract
In this paper, we solve the Fisher equation by the numerical collocation method with the orthogonal Jacobi and airfoil bases. This partial differential equation is one of the most important and widely used equations in financial mathematics and economics. The Fisher equation shows how inflation expectations affect interest rates and purchasing power. This equation offers a solution for quadratic partial differential equations and stochastic differential equations. Applications of this equation in the field of random control, mathematical financing, risk analysis and related fields can be mentioned. In this paper, by implementing numerical methods on the desired equation, nonlinear devices are obtained that can they can be solved by methods for solving nonlinear devices, such as Newton's iterative method. The existence, uniqueness of the solution and convergence of the methods are examined and in an example we will show that with a low number of repetitions and errors and high convergence speed we converge to the approximate solution of the equation and this shows the optimality of this numerical method compared to analytical methods.
Keywords: Collocation method,Jacobi polynomial, Airfoil polynomial, Fisher equation.
فهرست منابع
بیژن باصری ،ابراهیم عباسی ،غفار کیانی، اثرات مالی گسترش انرژی های تجدید پذیر بر رشد اقتصادی در ایران. فصلنامه اقتصاد مالی، دوره 13، شماره 46، اردیبهشت 1398، صفحه 182-161.
فرزانه فراهانی آزاد ،منصوره عقیلی ،سینا نعمتی زاده، ارائه مدل بازاریابی در شرایط رکود. فصلنامه اقتصاد مالی، دوره16، شماره 1، بهار1401، صفحه 92-71.
فاطمه حجاران،رضا رادفر،علی دیواندری، داوود فدایی ، ارائه مدل بانکداری سبز مبتنی بر مؤلفه‌های مدیریت نوآوری برای کسب مزیت رقابتی پایدار. فصلنامه اقتصاد مالی، دوره 16، شماره 1، بهار1401، صفحه280-257.
R. A. Fisher, The wave of advance of advantageous genes. Ann. Eugenics. 7 (1937) 355-369.
A. Kolmogorov, N. Petrovsky, S. Piscounov, Etude de I equations de la diffusion avec croissance de la quantitate de matiere et son applicationa un probolome biologique , Bull. Univ. Mosku .1 (1937) 1-25.
K.Canan, A novel approach for solving the Fisher equation using Exp-function method. Physics Letters A. 372(2008) 3836–3840.
M. Matinfar, M. Ghanbari, The application of the modified variational iteration method on the generalized Fisher’s equation. Journal of Applied Mathematicsand Computing. 31(2009) 165– 175.
Sh. Sadigh Behzadi , Convergence of Iterative Methods Applied to Generalized Fisher Equation. International Journal of Differential Equations. 2010(2010) 1-16.
S.Dutt, D.Ghosh , A Threshold Cointegration Test of the Fisher Hypothesis Case Study of 5 European Nations. Southwestern Economic Review. 34(2007)41-45.
T.Song, C.Lee, The Fisher Hypothesis: A Revisit with Covariate Tests. Conference Paper Presented at 10th Annual Conference on Empirical Economics, in Chiay, Taiwan, 2009.
R. Victor Fuchs , G.Health, I. Fisher, American Journal of Economics and Sociology. 64 (2005) 407–425.
A. M. Wazwaz , A. Gorguis, An analytic study of Fisher’s equation by using Adomian ecomposition method. Appl. Math. Comput. 154 (2004) 609–620.
A. Şahin, İ. Dağ, B. Saka, A B-spline algorithm for the numerical solution of Fisher’s equation. Kybernetes. 37 (2008) 326–342.
R. C. Mittal , R. K. Jain, Numerical solutions of nonlinear Fisher’s reaction–diffusion equation with modified cubic B-spline collocation method. Math. Sci. 7 (2013), 1-12.
M. Aghamohamadi, J. Rashidinia , R. Ezzati, Tension spline method for solution of non-linear Fisher equation. Appl. Math. Comput. 249 (2014), 399–407.
I. Dag , O. Ersoy, The exponential cubic B-spline algorithm for Fisher equation. Chaos, Solitons Fractals. 86 (2016), 101–106.
M. Ilati ,M. Dehghan, Direct local boundary integral equation method for numerical solution of extended Fisher Kolmogorov equation. Eng. Comput. 34 (2017), 203–213.
X. Qin, Y.Xiaozhong , L.Peng , A class of explicit implicit alternating difference schemes for generalized time fractional Fisher equation. AIMS Mathematics. 10(2021) 11449-11466.
M. Alqhtani, M.S.Khaled , Numerical solutions of space-fractional diffusion equations via the exponential decay kernel. AIMS Mathematics.7( 2022) 6535-6549.
S.Kamal , N.Hafsa , M. Sarwar, T. Abdeljawad , On spectral numerical method for variable-order partial differential equations. AIMS Mathematics. 7(2022)10422-10438.