بهینه سازی جواب معادله تصادفی-مالی فیشر با پیاده سازی روش بسط عددی هم محلی با پایه های متعامد
محورهای موضوعی : اقتصاد مالیشادان صدیق بهزادی 1 * , محمد علوی ششتمد 2
1 - هیات علمی گروه ریاضی و آمار دانشگاه آزاد اسلامی واحد قزوین
2 - هیات علمی گروه مدیریت بازرگانی دانشگاه آزاد اسلامی واحد تهران مرکزی
کلید واژه: روش بسط هم محلی, معادله ی فیشر , پایه متعامد ژاکوپی, پایه متعامد ایرفویل.,
چکیده مقاله :
در این مقاله، معادله ی فیشر را با روش عددی بسط هم محلی با پایه های متعامد ژاکوپی و ایرفویل، حل می کنیم. این معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی یکی از معادلات مهم و پرکاربرد در ریاضیات مالی و علم اقتصاد است. معادله فیشرنشان می دهد که چگونه انتظار تورم بر نرخ بهره و قدرت خرید تأثیر می گذارد. این فرمول روش حلی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل تصادفی ارائه می دهد. کاربردهای این فرمول در زمینه ی کنترل تصادفی ، تأمین مالی ریاضی ، تجزیه و تحلیل ریسک و زمینه های مرتبط با آن می توان نام برد.در این مقاله با پیاده سازی روش های عددی روی معادله مورد نظر، دستگاههای غیر خطی حاصل می شود که می توان آنها را با روش های حل دستگاههای غیرخطی، مثل روش تکراری نیوتن حل کرد. وجود، یکتایی جواب و همگرایی روشها مورد بررسی قرار می گیرد و در مثالی نشان خواهیم داد که با تعداد تکرار و خطای کم و سرعت همگرایی بالا به جواب تقریبی معادله همگرا می شویم و این نشان دهنده ی بهینه بودن این روش عددی نسبت به روشهای تحلیلی دیگر است.
Abstract
In this paper, we solve the Fisher equation by the numerical collocation method with the orthogonal Jacobi and airfoil bases. This partial differential equation is one of the most important and widely used equations in financial mathematics and economics. The Fisher equation shows how inflation expectations affect interest rates and purchasing power. This equation offers a solution for quadratic partial differential equations and stochastic differential equations. Applications of this equation in the field of random control, mathematical financing, risk analysis and related fields can be mentioned. In this paper, by implementing numerical methods on the desired equation, nonlinear devices are obtained that can they can be solved by methods for solving nonlinear devices, such as Newton's iterative method. The existence, uniqueness of the solution and convergence of the methods are examined and in an example we will show that with a low number of repetitions and errors and high convergence speed we converge to the approximate solution of the equation and this shows the optimality of this numerical method compared to analytical methods.
Keywords: Collocation method,Jacobi polynomial, Airfoil polynomial, Fisher equation.