رده‌ای از پوشش‌ها و نیم پوشش‌ها بر اساس خاصیت بالابر هموتوپی

محورهای موضوعی : هندسه

مجید کوکبی ¹ , حمید ترابی ²

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه گناباد، گناباد، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران.

تاریخ دریافت : 1400/12/19 تاریخ پذیرش : 1402/02/27 تاریخ انتشار : 1403/07/05

کلید واژه: covering map, fundamental group, semicovering map and homotopy lifting property,

چکیده مقاله :

فرض کنیم X‎ و ‎ X ̃ فضاهای توپولوژیک باشند وp∶(X ̃,x ̃_0 )→(X,x_0) پوشش‎ باشد. گوییم نگاشت p دارای خاصیت بالابر مسیری است هرگاه برای هر مسیر دلخواه α ‎‎ در X، مسیری مانند (α ) ̃ ∶ (I,0) → (X ̃,x ̃_0 )‎ وجود داشته باشد به طوری‌که p∘ α ̃= α‎. هم‌چنین نگاشت p دارای خاصیت بالابر مسیری یکتا است اگر برای هر مسیرα در X حداکثر یک بالابر (α ) ̃ ∶ (I,0) → (X ̃,x ̃_0 )از α با آغازx ̃_0 موجود باشد. اخیرا برازاس نیم‌پوشش‌ها را که تعمیمی از پوشش‌ها هستند‏،‎ معرفی کرده است. کوکبی، مشایخی و ترابی ثابت کردند،‎‎ ‏ نگاشت p∶X ̃→X نیم‌پوشش است اگر و فقط اگر همسان‌ریختی موضعی بوده و خواص بالابر مسیری و یکتایی بالابر مسیری را دارا باشد. چون هر پوشش و نیم‌پوشش p∶X ̃→X خاصیت بالابر هموتوپی را دارد، برای هر مسیرα درX با آغاز ‎x ̃‎ که [p∘ α]=1 ، یعنی p∘ α طوقه پوچ باشد می‌توان نتیجه گرفت α طوقه پوچ است. این مطلب به ما کمک کرد که در این مقاله -(G,H)پوشش و -(G,H)نیم‌پوشش را تعریف کنیم و تاکید می‌کنیم که یک (G,H)-پوشش، یک پوشش است و در نتیجه خواص پوشش‌ها مانند محک بالابر، خواص بالابر مسیری، یکتایی بالابر مسیری و ... را داراست. در این مقاله به بررسی خواص -(G,H)پوشش و -(G,H)نیم‌پوشش می‌پردازیم. برای مثال اگر p∶(X ̃,x ̃_0 )→(X,x_0) یک -(G,H)پوشش و یا -(G,H)نیم‌پوشش باشد، α مسیری در X ̃ با آغاز x ̃_0 و پایان x ̃ باشد، آن‌گاه p∶(X ̃,x ̃_0 )→(X,x_0) یک -(α^(-1) Gα,(p∘α)^(-1) H(p∘α))پوشش و یا (α^(-1) Gα,(p∘α)^(-1) H(p∘α))-نیم‌پوشش است.

چکیده انگلیسی:

Assume that 𝑋 and X ̃ are topological spaces and p∶(X̃,x̃0)→(X,x) is a covering map. The map p has path lifting property if for every path 𝛼 in X, there exists a lifting (α ) ̃ ∶ (I,0) → (X̃,x̃0) of 𝛼 such that p∘ α ̃= α. Also, the map p has unique path lifting property if for every path 𝛼 in X, there is at most one lifting (α ) ̃ ∶ (I,0) → (X̃,x̃0) of 𝛼. Recently, Brazas extend the concept of covering map to semicovering map. Kowkabi, Mashayekhy and torabi proved that, a semicovering map is a local homeomorphism with unique path lifting and path lifting properties. Since every covering or semicovering map 𝑝∶ X ̃→𝑋 has homotopy lifting property, every path 𝛼 in 𝑋̃ such that [p∘α] = 1 i.e. p∘α is null, 𝛼 is a null homotopic loop. This fact motivated us to explore the (G,H)-covering map and (G,H)-semicovering map. In this paper, we introduce the (G,H)-covering map and (G,H)-semicovering map. We note that a (G,H)-covering map is a covering map, so it has the path lifting property, the unique path lifting, the homotopy lifting property and etc.. Also we investigate the properties of (G,H)-covering map and (G,H)-semicovering map. For example, if p∶(X̃,x̃0)→(X,x0) is a (G,H)-covering map or (G,H)-semicovering map and 𝛼 is a path in 𝑋̃ with α(0)=x̃0 and α (1)=x̃, then p∶(X̃,x̃0)→(X,x0) is a (α^(-1) Gα,(p∘α)^(-1) H(p∘α))-covering map or (α^(-1) Gα,(p∘α)^(-1) H(p∘α))-semicovering map.

منابع و مأخذ:

[1] H. Seifert , W. Threlfall, Lehrbuch der Topologie, Teubner, Leipzig, 1934.
[2] J. Brazas, The topological fundamental group and free topological groups, Topology and its Application, 158 (2011) 779–802.
[3] J. Brazas, Semicoverings, coverings, overlays, and open subgroups of the quasitopological fundamental group, Topology Proceedings, 44 (2014) 285–313.
[4] J. Brazas, Semicoverings: A generalization of covering space theory, Homology Homotopy Appl, 14 (2012) 33-63.
[5] H. Fischer and A. Zastrow, A core-free semicovering of the Hawaiian Earring, Topology and its Applications, 160 (2013) 1957-1967.
[6] J. J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, New york, Springer-Verlag, 1988.
[7] E.H. Spanier, Algebraic Topology, McGraw-Hill, New York, 1966.
[8] M. Kowkabi, B. Mashayekhy, H. Torabi, When is a local homeomorphism a semicovering map?, Acta math. vietnam. 42 (2017), 653–663.