تقریب منحنی های انتقال معادله دیفرانسیل متیو با دو مشتق کسری

محورهای موضوعی : آنالیز عددی

حجت قربانی ¹ , یعقوب محمودی ² , فرهاد دستمالچی ساعی ³ , محمد جهانگیری راد ⁴

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، واحد تبریز، دانشگاه آزاد اسلامی، تبریز، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، واحد تبریز، دانشگاه آزاد اسلامی، تبریز، ایران
3 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، واحد تبریز، دانشگاه آزاد اسلامی، تبریز، ایران
4 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، واحد تبریز، دانشگاه آزاد اسلامی، تبریز، ایران

تاریخ دریافت : 1400/07/01 تاریخ پذیرش : 1401/09/14 تاریخ انتشار : 1403/07/04

کلید واژه: Harmonic balance method, Mathieu differential equation, Caputo fractional derivative, Transition curve,

چکیده مقاله :

معادله دیفرانسیل متیو یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم می باشد که در مدل بندی بسیاری از مسائل در ریاضی کاربردی و مهندسی ظاهر می شود. بسیاری از نوسانگر های مسطح به شکل معادله دیفرانسیل متیو مدل بندی می شوند. یکی از مهم ترین مباحث در حل معادله متیو بررسی منحنی های انتقال و رفتار پایداری جواب است. در این مقاله معادله دیفرانسیل متیوی خطی با دو مشتق کسری از نوع کاپوتو مطالعه شده است. در صفحه پارامتر های معادله، منحنی های انتقال که مرز ناحیه پایداری و ناپایداری را از هم جدا می کنند، با استفاده از روش موازنه هارمونیک تقریب شده اند. نمودار تغییرات پارامتر ها جهت رسیدن به ناپایداری ترسیم شده است. در مورد پیدا کردن مقدار بهینه مرتبه مشتقات کسری برای رسیدن به بیشترین دامنه جهت شروع ناپایداری بحث شده است. نتایج نشان می دهند که اگر مشتقات معادله دیفرانسیل متیو را به مشتق مرتبه صحیح تبدیل کنیم، معادلات حاصل از این روش با نتایج به دست آمده در سایر متون برای معادله دیفرانسیل متیوی معمولی منطبق است

چکیده انگلیسی:

Mathieu differential equation in a linear second kind differential equation, which appears in different areas in applied mathematics and engineering. Most of the flat oscillators are modeled as Mathieu differential equation. One of the most important studies in this area is the study of transition curves and stability behavior of the solution. In this paper, the Mathieu differential equation with two fractional derivatives is studied. The transition curves, which separate the stability and the instability region in the parameters plane of the problem, are approximated using Harmonic Balance method. The Graph of parameter changes is plotted to achieve instability. Finding the optimal order of fractional derivatives to reach the maximum amplitude to initiate instability is discussed. The results show that if we convert the derivatives of the Mathieu differential equation to the integer order derivative, the results obtained from this method are consistent with the results obtained in other texts.

منابع و مأخذ:


[1] Rand R.H., Lecture notes on nonlinear vibrations (version 52), Available from http://audiophile.tam.cornell.edu/randdocs/, 2007.

[2] Stoker J.J., Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. New York, Wiley, 1950.

[3] Galucio A.C., Deu J.F., Ohayon R., Finite element formulation of viscoelastic sandwich beams using fractional derivative operators, Computer Mechanics, 33 (2004) 282–291.

[4] Naber M., Linear fractionally damped oscillator, International Journal of Differential Equations, (2010), doi:10.1155/2010/197020. Article ID 197020

[5] Petras I., A note on the fractional-order Volta’s system. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 15 (2010) 384–393.

[6] Meral F.C., Royston T.J., Magin R., Fractional calculus in viscoelasticity: an experimental study. Commun Nonlinear Sci. Numer. Simul. 15 (2010) 939–945.

[7] Morrison T.M., Rand R.H., 2:1 resonance in the delayed nonlinear Mathieu equation, Nonlinear Dyn, 50 (2007) 341–352.

[8] Bobryk R.V., Chrzeszczyk A., Stability regions for Mathieu equation with imperfect periodicity. Physics Letters A, 373(39) (2009) 3532-3535, https://doi.org/10.1016/j.physleta.2009.07.069

[9] Rand R.H., Sah S.M., Suchorsky M.K., Fractional Mathieu equation, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 15 (2010) 3254–3262.

[10] Najafi H., Mirshafaei S., Toroqi E., An approximate solution of the Mathieu fractional equation by using the generalized differential transform method (GDTM), Applications and Applied Mathematics, 7(1) (2012) 347-384.

[11] Abdelhalim E., Elsayed D.M., Aljoufi M.D., Fractional calculus model for damped Mathieu equation: Approximate analytical solution. Applied Mathematical Science, 6(82) (2012) 4075-4080.

[12] Wen S., Shen Y., Li X., Yang S., Dynamical analysis of Mathieu equation with two kinds of van der Pol fractional-order terms. International Journal of Non-Linear Mechanics, 84 (2016) 130-138, https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2016.05.001

[13] Kovacic I., Rand R., Sah S.M., Mathieu’s equation and its generalizations: overview of stability charts and their features. Applied Mechanics Reviews, 70(2) (2018) 020802, https://doi.org/10.1115/1.4039144

[14] Eugene I. Butikov, Analytical expressions for stability regions in the Ince–Strutt diagram of Mathieu equation, American Journal of Physics, 86 (2018) 257, doi: 10.1119/1.5021895

[15] Wilkinson S.A., Vogt N., Golubev D.S., Cole J.H., Approximate solutions to Mathieu’s equation.Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 100 (2018) 24-30, https://doi.org/10.1016/j.physe.2018.02.019

[16] Pirmohabbati P., Sheikhani A.R., Najafi H.S., Ziabari A.A., Numerical solution of fractional mathieu equations by using block-pulse wavelets. Journal of Ocean Engineering and Science, 4(4) (2019) 299-307, https://doi.org/10.1016/j.joes.2019.05.005

[17] Ghorbani H., Mahmoudi Y., Saei F.D., Numerical Study of Fractional Mathieu Differential Equation Using Radial Basis Functions, Mathematical Modelling of Engineering Problems, 7(4) (2020) 568-576.

[18] Oldham K.B., Spanier J., The fractional calculus, New York, Academic Press, 1974.

[19] Podlubny I., Fractional differential equations, San Diego, Academic Press, 1990.

[20] Miller K., Ross B,. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, New York, Wiley, 1993.