گراف های اشتراکی خطی ایده آلهای یک مجموعه جزئاً مرتب
محورهای موضوعی : جبر
1 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران.
کلید واژه: complement of intersection graph, poset, Intersection graph, Line graph,
چکیده مقاله :
فرض کنید (P,≤) یک مجموعه جزئاً مرتب اتمیک با کوچکترین عنصر0 باشد. گراف اشتراکی ایده آلهای P که با G(P) نشان داده می شود، گرافی است که مجموعه رئوس آن تمام ایده آلهای غیربدیهی P است و دو رأس آن مانند I,J مجاورند اگر وتنها اگرI∩J≠{0}. مکمل گراف G(P) با Γ(P) نشان داده می شود. همچنین، گراف خطی گراف G که با L(G) نشان داده می شود، گرافی است که مجموعه رئوسش برابر با مجموعه یالهای گراف G است و دو رأس آن مجاورند اگر و تنها اگر یالهای متناظر آنها در G برخورد داشته باشند. در این مقاله، تمام مجموعه های جزئاً مرتب P که G(P)یا Γ(P) متناظر با آنها، گراف خطی است را مشخص می کنیم. ثابت می کنیم که Γ(P) گراف خطی است اگر و تنها اگر |Atom(P)|=1 یا Atom(P)={a_1,a_2} به قسمی که |{a_2 }^u\〖\{a_1}〗^u |≤2 |{a_1 }^u\\{a_2 }^u |, یا |Atom(P)|=3 و P=Atom(P)∪{0} یا اینکه |Atom(P)|=3 و عددی طبیعی مانندn موجود است که P= Atom(P)∪{0}∪{b_1,…,b_n } و برای هر a∈Atom(P) ، {b_1,…,b_n }⊆{a}^u.
Let (P,≤) be an atomic poset with the least element 0. The intersection graph of ideals of P denoted by G(P), is defined to be a graph whose vertices are all non-trivial ideals of P and two distinct vertices I and J are adjacent if and only if I∩J≠{0}. The complement of G(P) is denoted by Γ(P) Also, the .line graph of a graph G is denoted by L(G), is a graph whose vertex set is equal to the edge set of G, and two distinct vertices of L(G) are adjacent if and only if their corresponding edges are incident in G In this paper, we .determine all posets P for which G(P) or Γ(P) is a line graph. We prove that Γ(P) is a line graph if and only if |Atom(P)|=1 or Atom(P)={a_1,a_2 } such that |{a_1 }^u\〖\{a_2}〗^u |, |{a_2 }^u\\{a_1 }^u |≤2 or |Atom(P)|=3 with P=Atom(P)∪{0} or |Atom(P)|=3 and there exists natural number say n such that P= Atom(P)∪{0}∪{b_1,…,b_n }, and for every a∈Atom(P),{b_1,…,b_n }⊆{a}^u.
[1] F. Heydari, The complement of the M-intersection graph of ideals of a ring (in Persian), Journal of New Researches in Mathematics 6 (28) (2021) 17–22.
[2] M. Afkhami, K. Khashyarmanesh, The intersection graph of ideals of a poset, Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 6, No. 3 (2014) 1450036.
[3] M. Afkhami, K. Khashyarmanesh, F. Shahsavar, On the intersection graphs associated to posets, Discussiones Mathematicae General Algebra and Applications 40 (2020) 105–117.
[4] S. Akbari, H.A. Tavallaee, S. Khalashi Ghezelahmad, Intersection graph of submodules of a module, Journal of Algebra and Its Applications 11 (1) (2012), Article No. 1250019.
[5] S. Akbari, H.A. Tavallaee, S. Khalashi Ghezelahmad, On the complement of the intersection graph of submodules of a module, Journal of Algebra and Its Applications Vol. 14, No. 8 (2015) 1550116.
[6] S. Akbari, S. Khojasteh, Commutative rings whose cozero-divisor graphs are unicyclic or of bounded degree, Comm. Algebra, 42, (2014) 1594–-1605.
[7] Z. Barati, Line zero divisor graphs, Journal of Algebra and Its Applications (2021) 2150154.
[8] J.A. Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 244 Springer, New York, 2008.
[9] L. W. Beineke, Characterizations of derived graphs, J. Comb. Theory 9 (1970) 129–135.
[10] F. Heydari, The M-intersection graph of ideals of a commutative ring, Discrete Mathematics, Algorithms and ApplicationsVol. 10,No.3(2018)1850038.
[11] S. Khojasteh, Line cozero-divisor graphs, Le matematiche, Vol. 77, No. 2 (2022) 293–306
doi: 10.4418/2022.77.2.3.
[12] S. Khojasteh, The complement of the intersection graph of ideals of a poset, Journal of Algebra and Its Applications, accepted 2022, doi.org/10.1142/S0219498823502365.
[13] S. Khojasteh, The intersection graph of ideals of Z_m, Discrete Mathematics, Algorithms and Applications
Vol. 11, No. 4 (2019)1950037.
[14] S. Rudeanu, Sets and Ordered Structures, University of Bucharest, Romania, 2012.
[15] B. Zelinka, Intersection graphs of lattices, Math. Slovaca 23 (1973) 216–222.
