حل جبری معادلات ماتریسی غیرمربعی بازهایی به فرم 𝑨 [𝑿]=[𝑩]

محورهای موضوعی : آمار

راهله نورایی ¹ , مجتبی قنبری ²

1 - گروه ریاضی، واحد تهران جنوب، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
2 - گروه ریاضی، واحد علی آباد کتول، دانشگاه آزاد اسلامی، علی آباد کتول، ایران

تاریخ دریافت : 1400/07/22 تاریخ پذیرش : 1401/03/11 تاریخ انتشار : 1402/10/28

کلید واژه: Algebraic solving, Interval arithmetic, Interval number, Interval matrix equation,

چکیده مقاله :

یکی از معادلات پرکاربرد در برخی از شاخه های علمی، معادلات ماتریسی می باشد. در این مقاله، نوع خاصی از این معادلات بنام معادلات ماتریسی بازه‌ایی به فرم A[X]=[B] در حالت کلی (مربعی و غیرمربعی) مورد مطالعه قرار گرفته است. دو روش ساده برای حل جبری این گونه معادلات ارائه شده است. در روش اول، براساس حساب بازه‌ایی، یک معادله ی ماتریسی بازه‌ایی تبدیل به یک معادله ی ماتریسی قطعی (غیربازه‌ایی) با اندازه‌ایی بزرگتر می شود. همچنین براساس روش دوم و با توجه به بعضی مفهومات یک معادله ی ماتریسی بازه‌ایی تبدیل به دو معادله ی ماتریسی قطعی (غیربازه‌ایی) با همان ابعاد و اندازه شده است. شرایط لازم و کافی برای وجود جواب جبری یکتا، در حالتی خاص ارائه شده است. ضمناً برای نشان دادن توانایی و کارایی این دو روش، مثال های عددی در حالت هایی که معادله دارای جواب جبری یکتا و یا دارای بی نهایت جواب جبری است، ارائه شده است.

چکیده انگلیسی:

One of the most widely used equations in some scientific branches is matrix equations. In this paper, a special class of these equations namely the interval matrix equations in the form A [X]=[B] and in its general form (square and non-square) are investigated. Two simple methods for algebraic solving of these equations are presented. In the first proposed method by using the interval arithmetic, an interval matrix equation is transformed into a crisp matrix equation with a much larger dimension. Also, based on the second proposed method and by using some presented concepts, an interval matrix equation is transformed into two crisp matrix equations with the same initial dimension. A necessary and sufficient condition for the existence of a unique algebraic solution is presented in a special case. In addition, to show the ability and efficiency of these two methods, numerical examples are provided in cases where the equation has unique algebraic solution or infinite algebraic solution.

منابع و مأخذ:

[1] B. Kearfott, V. Kreinovich (Eds.). Applications of Interval Computations. Kluwer Academic Publishers (1996)
[2] J. Kuttler. A fourth-order finite-difference approximation for the fixed membrane eigenproblem. Math. Comp. 25:237-256(1971)
[3] A. Rivaz, M. Mohseni Moghadam, S. Zangoei Zadeh. Interval system of matrix equations with two unknown matrices. Electronic Journal of Linear Algebra 27:478-488(2014)
[4] N.P. Seif, S.A. Hussein, A.S. Deif. The interval Sylvester equation. Computing 52:233-244(1994)
[5] B. Hashemi, M. Dehghan. Results concerning interval linear systems with multiple right-hand sides and the interval matrix equation AX = B. Journal of Computational and Applied Mathematics 235:2969-2978(2011)
[6] B. Hashemi, M. Dehghan. The interval Lyapunov matrix equation: Analytical results and an efficient numerical technique for outer estimation of the united solution set. Mathematical and Computer Modelling 55:622-633(2012)
[7] M. D. Madiseh, M. Dehghan. Generalized solution sets of the interval generalized Sylvester matrix equation ∑_(i=1)^p▒〖A_i X_i 〗+∑_(j=1)^q▒〖Y_j B_j 〗=C and some approaches for inner and outer estimations. Computers and Mathematics with Applications 68:1758-1774(2014)
[8] S. Zangoei Zadeh. The interval matrix equation AXB=C. 46th Annual Iranian Mathematics Conference. Yazd University. Iran (2015)
[9][12] H. Myšková. Interval max-plus matrix equations. Linear Algebra and its Applications 492:111-127(2016)
[10] E. Drazenská, H. Myšková. Interval fuzzy matrix equations. Kybernetika 53(1):99-112(2017)
[11] M. D. Madiseh, M. Hladik. Efficient approaches for enclosing the united solution set of the interval generalized Sylvester matrix equations. Appl. Numer. Math. 126:18-33(2018)
[12] D. E. Popova. Enclosing the solution set of parametric interval matrix equation A(p)X=B(p). Numerical Algorithms 78:423-447(2018)
[13] H. Myšková. Universal solvability of interval max-plus matrix equations. Discrete Applied Mathematics 239:165-173(2018)
[14] H. Myšková, J. Plavka. On the solvability of interval max-min matrix equations. Linear Algebra and its Applications 590:85-96(2020)
[15] L.M. Wang, C.X. Li. New sufficient conditions for the unique solution of a square Sylvester-like absolute value equation. Applied Mathematics Letters 116:106966(2021)
[16] R.E. Moore. Interval Analysis. Prentice-Hall. Englewood Cliffs. NJ (1966)
[17] G. Alefeld,G. Mayer. The Cholesky method for interval data. Linear Algebra Appl. 194:161-182(1993)
[18] G. Alefeld, G. Mayer. On the symmetric and unsymmetric solution set of interval systems. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 16:1223-1240(1995)