مشتق تابع، تعمیم تعریف کاراتئودُری
محورهای موضوعی : آمار
علی پارسیان
1
(
گروه ریاضی، دانشگاه تفرش، تفرش، ایران
)
کلید واژه: ", Mean value theorem", , ", Rolle', Cauchy', s mean value theorem", , ", Taylor', s theorem",
چکیده مقاله :
چکیده:تعریف متداول مشتق، مجموعة تابع های مشتق پذیر را بسیار کوچک تر از مجموعة تابع های پیوسته می سازد. بسیاری از تابع های یک متغیری با تعریف موجود مشتق پذیر نیستند و بررسی تغییرات آنها به کمک تعریف موجود مشتق میسّر نیست. در این مقاله، با استفاده از تعریف کاراتئودری، ابتدا به ارائة تعریف مشتق پذیری تعمیم یافتة یک تابع حقیقی یک متغیری, و مشتق تعمیم یافتة آن می پردازیم، به گونه ای که مجموعة تابع های مشتق پذیر افزایش می یابد و اعتبار قضیه های اساسی نظریة تابع های مشتق پذیر یک متغیری، مانند قضیة رول، قضیة مقدار میانگین کوشی، قضیة مقدار میانگین برای مشتق، و قضیة تیلور برقرار باقی می‌ماند. مقاله را با ارائة چند مثال به پایان می بریم.------------------------چکیده:تعریف متداول مشتق، مجموعة تابع های مشتق پذیر را بسیار کوچک تر از مجموعة تابع های پیوسته می سازد. بسیاری از تابع های یک متغیری با تعریف موجود مشتق پذیر نیستند و بررسی تغییرات آنها به کمک تعریف موجود مشتق میسّر نیست. در این مقاله، با استفاده از تعریف کاراتئودری، ابتدا به ارائة تعریف مشتق پذیری تعمیم یافتة یک تابع حقیقی یک متغیری, و مشتق تعمیم یافتة آن می پردازیم، به گونه ای که مجموعة تابع های مشتق پذیر افزایش می یابد و اعتبار قضیه های اساسی نظریة تابع های مشتق پذیر یک متغیری، مانند قضیة رول، قضیة مقدار میانگین کوشی، قضیة مقدار میانگین برای مشتق، و قضیة تیلور برقرار باقی می‌ماند. مقاله را با ارائة چند مثال به پایان می بریم.
ABSTRACT:The current definition of the derivative makes the set of differentiable functions much smaller than the set of continuous functions, such that most of the real single variable functions are not differentiable and the surveying the rate of their growth is not possible with the available definition. In the present paper, using Caratheodory definition, we extend the set of differentiable functions by introducing a definition for generalized differentiation of a single variable function and its generalized derivative, in such a way that the validity of the basic theorems of this theory such as Rolle's theorem, Cauchy's mean value theorem, mean value theorem and Taylor's theorem would be hold. Finally we give some examples.----------------------------ABSTRACT:The current definition of the derivative makes the set of differentiable functions much smaller than the set of continuous functions, such that most of the real single variable functions are not differentiable and the surveying the rate of their growth is not possible with the available definition. In the present paper, using Caratheodory definition, we extend the set of differentiable functions by introducing a definition for generalized differentiation of a single variable function and its generalized derivative, in such a way that the validity of the basic theorems of this theory such as Rolle's theorem, Cauchy's mean value theorem, mean value theorem and Taylor's theorem would be hold. Finally we give some examples.
[1] E. Acosta G, C. Delgado G. Frechét vs. Carathéodory. American Mathematical Monthly. 101 (4): 332-338 (1994)
[2] S. Kuhn. The derivative á la Carathéodory. American Mathematical Monthly. 98 (1): 40-44 (1991)
[3] G. B. Bartle, D. R. Sherbert. Introduction to real analysis, Hamilton Printing Company. New York (2011)
[4] S. Lang. Real Analysis, second edition. Addison-Wesley Publication Company, USA (1983)
[5] M. Spivak. Calculus on manifolds. Westview Press. USA (1998)
[6] T. M. Apostol. Mathematical analysis, Addison-Wesley Publication Company. Massachusetts (1976)
[7] W. Rudin. Principles of mathematical analysis. 5th edition. McGraw-Hill Book Company. New York (2016)
