گسترش ساختارهای ریاضی از X به P^*(X)، و چند گزاره معادل با اصل انتخاب
محورهای موضوعی : آمار
1 - گروه ریاضی، دانشکده ریاضی، آمار و علوم کامپیوتر، دانشگاه سیستان و بلوچستان، زاهدان، ایران
کلید واژه: گزاره‌های معادل, عمل دوتایی, متر, ترتیب جزئی, رابطه هم‌ارزی,
چکیده مقاله :
فرض کنید X یک مجموعه ناتهی، و P^*(X) مجموعه تمام زیرمجموعه‌های ناتهی X باشد. در این مقاله نشان می‌دهیم که وجود حداقل یک تابع انتخاب بر ، که نتیجه‌ای از اصل انتخاب است، گسترش برخی از ساختارهای ریاضی تعریف شده بر به ساختارهای مشابه بر را ممکن می‌سازد. به عنوان نمونه، نشان می‌دهیم که هر عمل دوتایی بر را می‌توان به یک عمل دوتایی بر ، و هر متر تعریف شده بر را می‌توان به یک شبه‌متر بر گسترش داد. به این ترتیب، به چند گزاره معادل با اصل انتخاب می‌رسیم. چنین نتایجی بر خلاف مشاهدات معمول ما در ریاضیات هستند، زیرا به طور معمول، ساختارها و خاصیت‌ها از یک مجموعه به زیرمجموعه‌های آن به ارث می‌رسند. به عنوان یکی از نتایج مهم این مقاله، گزاره‌ای ارائه می‌دهیم که ترکیب عطفی آن با اصل ، اصل انتخاب را نتیجه می‌دهد. سرانجام، دو نتیجه توپولوژیک از اصل انتخاب به دست می‌آوریم.
Let be a nonempty set, and be the set of all nonempty subsets of . In this paper we show that the existence of a choice function on , which is a consequence of the axiom of choice, makes it possible to extend some mathematical structures defined on to similar ones on . For instance, we show that every binary operation on can be extended to one on , and any metric defined on can be extended to a pseudo-metric on . In this way, we obtain some new equivalents of the axiom of choice. Such results are against our usual observations in mathematics, because in usual, structures and properties are inherited from a set to its subsets. As one of the important results of this paper, we present a statement whose conjunction with the principle implies the axiom of choice. Finally, we obtain two topological consequences of the axiom of choice.
[1] E. Zermelo, (1904). Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Mathematische Annalen, 59, 514-516.
[2] P. Howard and J. E. Rubin, (1998). Consequences of the Axiom of Choice, The American Mathematical Society.
[3] H. Rubin and J. E. Rubin, (1963). Equivalents of the Axiom of Choice, North-Holland Publishing Company, Amsterdam.
[4] E. Schechter, (1992). Two topological equivalents of the axiom of choice, Mathematical Logic Quarterly, 38, 555-557.
[5] H. Hosseini Giv, (2015). The axiom of choice, well-ordering, and well-classification, The American Mathematical Monthly, 122, 56-59.
[6] H. Herrlich and K. Keremedis, (2011). Extending compact topologies to compact Hausdorff topologies in ZF, Topology and Its Applications, 158, 2279-2286.
[7] K. Keremedis, (1998). Filters, antichains and towers in topological spaces and the axiom of choice, Mathematical Logic Quarterly, 44, 359-366.
[8] K. Keremedis, (2001). The vector space Kinna-Wagner principle is equivalent to the axiom of choice, Mathematical Logic Quarterly, 47, 205-210.
