مطالعه‌‌ی خاصیت (شبه-)مورفیک برای حلقه‌های توسیع‌های بدیهی

محورهای موضوعی : آمار

نجمه دهقانی ¹ (گروه ریاضی، دانشکده مهندسی سیستم‌های هوشمند و علم داده، دانشگاه خلیج فارس، بوشهر، ایران.)
مجتبی صداقت جو ² (گروه ریاضی، دانشکده مهندسی سیستم‌های هوشمند و علم داده، دانشگاه خلیج فارس، بوشهر، ایران.)

تاریخ دریافت : 1400/06/25 تاریخ پذیرش : 1401/03/11 تاریخ انتشار : 1401/10/01

کلید واژه: Annihilator, bimodule, trivial extension, quasi-morphic, morphic,

چکیده مقاله :

فرض کنید R یک حلقه و M یک R-R دو مدول باشد. R شبه-مورفیک چپ نامیده می‌شود هرگاه به ازای هر a∈R، عناصر b,c∈R موجود باشند به طوری کهl_R (a)=Rb و l_R (c)=Ra. همچنین R مورفیک چپ نامیده می‌شود اگر در تعریف فوق بتوان عناصر b و c را مساوی اختیار کرد. در این مقاله، شرایطی را بررسی می‌کنیم که توسیع بدیهی R⋉M از حلقه‌ی R توسط مدول M دارای خاصیت (شبه-)مورفیک می‌باشد. مثال‌هایی ارائه می‌دهیم که نشان می‌دهند خاصیت (شبه-)مورفیک از R⋉M به حلقه‌ی R و مدول M منتقل نمی‌شود و برعکس. لذا شرایط لازم و کافی متعددی را برای (شبه-)مورفیک بودن R⋉M بدست می‌آوریم. به عنوان مثال، نشان می‌دهیم خاصیت شبه-مورفیک چپ برای R⋉M نتیجه می‌دهد که M_R بخش‌پذیر باشد. علاوه بر این، ثابت می‌کنیم اگر R⋉M شبه-مورفیک چپ باشد و x∈M چنان موجود باشد که l_R (x)=0 یا 〖،r〗_R (x)=0 آن‌گاه (_R^ )M دوری است. بویژه، اگر R یک حلقه‌ی جابجایی باشد آن‌گاه M≃R و R نیز مورفیک است. علاوه بر این، در حالتی که M به عنوان R-مدول چپ (راست) آزاد باشد نیز (شبه-)مورفیک بودن R⋉M را بررسی می‌کنیم. نتیجتاً، قضیه‌ی زیر که ماحصل اصلی این مقاله است را بدست می‌آوریم: اگر R دامنه‌ی صحیح (نه لزوماً جابجایی) و (_R^ )M آزاد باشد آن‌گاه R⋉M (شبه-)مورفیک چپ است اگر و تنها اگر R حلقه‌ی بخشی و (_R^ )M≃(_R^ )R . به عنوان کاربردی از این قضیه، ‌نتیجه‌ای که توسط لی و ژو و همچنین توسط وَن آن به همراه همکارانش، به ترتیب در سال‌های 2007 و 2016، ثابت شد، بدست می‌آید.

چکیده انگلیسی:

Let R be a ring and M be an R-R bimodule. R is called left quasi-morphic if for every a∈R, there exist elements b,c∈R such that l_R (a)=Rb and l_R (c)=Ra. Besides, R is said to be left morphic whenever in the above definition b and c can be chosen the same. In this paper, we investigate conditions under which the trivial extension R⋉M of R by M is (quasi-)morphic. We present some examples showing that neither R nor M inherits the (quasi-)morphic property from R⋉M, and vice versa. So, we obtain several necessary and sufficient conditions under which R⋉M is (quasi-)morphic. For instance, we show that left quasi-morphic property of R⋉M implies that M_R is divisible. Moreover, we prove that if R⋉M is left quasi-morphic and there exists x∈M such that either r_R (x)=0 or l_R (x)=0 then (_R^ )M is cyclic. In particular, if R is commutative, then M≃R and R is also quasi-morphic. In addition, we investigate the (quasi-)morphic property of R⋉M whenever M is free as a left (right) module over R. Consequently, we prove the following theorem which is the main outcome of this paper: if R is an integral domain and (_R^ )M is free, then R⋉M is left (quasi-)morphic if and only if R is a division ring and (_R^ )M≃(_R^ )R . As an application of this theorem, the result which is proved by Lee and Zhou, and also by Van An and et al., in 2007 and 2016, respectively, is deduced.

منابع و مأخذ:

[1]	J. von-Neumann, "ON REGULAR RINGS," Proc. Nat. Acad. Sci., vol. 22, pp. 707-713, 1936.
[2]	G. Ehrlich, "Unit regular rings," Portugal. Math., vol. 27, pp. 209-212, 1968.
[3]	G.Ehrlich, "UNITS AND ONE-SIDED UNITS IN REGULAR RINGS," Trans.Amer.Math.Soc., vol. 216, pp. 81-90, 1976.
[4]	W. K. Nicholson, E. S. Campos, "Rings with the dual of the isomorphism theorem," J. Algebra, vol. 271, pp. 391-406, 2004.
[5]	W. K. Nicholson and V. Camillo , "Quasi-morphic rings," J. Algebra Appl., vol. 6, no. 5, pp. 789-799, 2007.
[6]	V. Camillo, W. K. Nicholson and Z. Wang,, "Left quasi-morphic rings," J. Algebra Appl., vol. 7, pp. 725-733, 2008.
[7]	W. K. Nicholson and E. S. Campos, "Morphic Modules," Comm. Algebra, vol. 33, pp. 2629-2647, 2005.
[8]	J. Chen and Y. Zhou, "Morphic rings as trivial extensions," Glasgow Math. J., vol. 47, pp. 139-148, 2005.
[9]	J. Chen, Y. Li, Y. Zhou, "Morphic group rings," J. Pure Appl. Algebra, vol. 205, pp. 621-639, 2006.
[10]	T. J. Doresey, "Morphic and principal-ideal group rings," J. Algebra, vol. 318, pp. 393-411, 2007.
[11]	T. K. Lee and Y. Zhou, "A theorem on unit regular rings," Canad. Math. Bull., vol. 53, no. 2, pp. 321-326, 2007.
[12]	T. K. Lee and Y. Zhou, "Morphic rings and unit regular rings," J. Pure Appl. Algebra, vol. 210, no. 2, pp. 501-510, 2007.
[13]	T. K. Lee and Y. Zhou, "Regularity and morphic property of rings," J. Algebra, vol. 322, pp. 1072-1085, 2009.
[14]	L. V. An, T. G. Nam and N. S. Tung, "On quasi-mrphic rings and Related problems," Southest Asian Bull. Math., vol. 40, pp. 23-34, 2016.
[15]	N. Dehghani, "On (quasi-)morphic property of skew polynomial rings,"Int. Electron. J. Algebra, Published Online: 12 April 2022
[16]	W. K. Nicholosn, J. K. Park and M. F. Yousif , " Extensions of Simple-injective Rings," Comm. Algebra,, vol. 28, no. 10, pp. 4665-4675, 2008.
[17]	C. Faith , "Self-injective Rings," Prue. Amer. Math. Sec., vol. 77, no. 2, pp. 157-164, 1979.
[18]	W. Yunxia, C. Jianlong,  " On trivial extensions of rings". Nanjin Daxue Xuebao Shuxue Bannian Kan., vol. 22, no. 2, pp. 234-243,  2005.
[19]	K. R. Goodearl, Von-Neumann Regular Rings, Pitman, 1979.