یک روش نیمه تحلیلی بهبود یافته‌ی جدید و سریع برای حل رده‌ای از معادلات انتگرال فوق منفرد نوع دوم
محورهای موضوعی : آماررضا نوین 1 , محمد علی فریبرزی عراقی 2 , یعقوب محمودی 3
1 - گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
2 - گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
3 - گروه ریاضی، واحد تبریز، دانشگاه آزاد اسلامی، تبریز، ایران
کلید واژه: New fast modified homotopy perturbation method, Standard modified homotopy perturbation method, Hypersingular integral equation of the second kind, Standard homotopy perturbation method, Prandtel’s integral equation,
چکیده مقاله :
هدف اصلی این تحقیق یافتن جواب تحلیلی رده ای از معادلات انتگرال فوق منفرد نوع دوم به نام پراندتل است که در مباحث فنی من جمله مکانیک پدید می آید. بدین منظور از یک روش بهبود یافته‌ی جدید و سریع بر اساس روش اختلال هموتوپی استفاده می شود. با ارائه‌ی مثال‌هایی نشان خواهیم داد که روش اختلال هموتوپی استاندارد در حالت کلی برای حل این رده از معادلات انتگرال همگرا نبوده و روش اختلال هموتوپی اصلاح شده نیز صرفاً زمانی همگرا است که جواب دقیق معادله از قبل مشخص باشد، اما روش پیشنهادی در این مقاله، بدون نیاز به دانستنن جواب دقیق مسئله، جواب دقیق این رده از معادلات انتگرال را در دومین تکرار از روش مشخص می‌کند. نتایج حاصل از مثالها مزایای روش بهبود یافته اختلال هموتوپی جدید را در مقایسه با روشهای استاندارد و اصلاح شده اختلال هموتوپی از جمله سادگی و سرعت بیشتر را نشان می دهد.
هدف اصلی این تحقیق یافتن جواب تحلیلی رده ای از معادلات انتگرال فوق منفرد نوع دوم به نام پراندتل است که در مباحث فنی من جمله مکانیک پدید می آید. بدین منظور از یک روش بهبود یافته‌ی جدید و سریع بر اساس روش اختلال هموتوپی استفاده می شود. با ارائه‌ی مثال‌هایی نشان خواهیم داد که روش اختلال هموتوپی استاندارد در حالت کلی برای حل این رده از معادلات انتگرال همگرا نبوده و روش اختلال هموتوپی اصلاح شده نیز صرفاً زمانی همگرا است که جواب دقیق معادله از قبل مشخص باشد، اما روش پیشنهادی در این مقاله، بدون نیاز به دانستنن جواب دقیق مسئله، جواب دقیق این رده از معادلات انتگرال را در دومین تکرار از روش مشخص می‌کند. نتایج حاصل از مثالها مزایای روش بهبود یافته اختلال هموتوپی جدید را در مقایسه با روشهای استاندارد و اصلاح شده اختلال هموتوپی از جمله سادگی و سرعت بیشتر را نشان می دهد.
[1] Iovane, G., Lifanov, I. K., & Sumbatyan, M. A. (2003). On direct numerical treatment of hypersingular integral equations arising in mechanics and acoustics. Acta mechanica, 162(1-4), 99-110.
[2] Martin, P. A. (1992). Exact solution of a simple hypersingular integral equation. The Journal of Integral Equations and Applications, 197-204.
[3] Kármán, T. V. (1954). Aerodynamics. New York: McGraw-Hill Book Co, Inc.
[4] Mandal, B. N., & Chakrabarti, A. (2011). Applied singular integral equations.
[5] Monegato, G., & Pennacchietti, V. (1986). Quadrature rules for Prandtl's integral equation. Computing, 37, 31-42.
[6] Mahmoudi, Y. (2014). A new modified Adomian decomposition method for solving a class of hypersingular integral equations of second kind. Journal of Computational and Applied Mathematics, 255, 737-742.
[7] Mandal, B. N., Chakrabarti, A., & others. (2011). Book Review Applied Singular Integral Equations (PA MARTIN). Journal of Integral Equations and Applications, 23(4), 597-598.
[8] Novin, R., Fariborzi Araghi, M. A., & Mahmoudi, Y. (2018). A novel fast modification of the Adomian decompositions method to solve integral equations of the first kind with hypersingular kernels. Journal of Computational and Applied Mathematics , 2018, 619-634.
[9] Ioakimidis, N. I. (1981). On the numerical evaluation of derivatives of Cauchy principal value integrals. Computing, 27(1), 81-88.
[10] Ioakimidis, N. I. (1982). Application of finite-part integrals to the singular integral equations of crack problems in plane and three-dimensional elasticity. Acta Mechanica, 45(1-2), 31-47.
[11] Ioakimidis, N. I. (1983). On the Numerical Evaluation of a Class of Finite-Part Integrals. ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 63(11), 572-574.
[12] Ioakimidis, N. I. (1984). A natural interpolation formula for Prandtl's singular integrodifferential equation. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 4, 283-290.
[13] Dragoş, L. (1994). A collocation method for the integration of Prandtl's equation. ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 74, 289-290.
[14] Dragoş, L. (1994). Integration of Prandtl’s equation with the aid of quadrature formulae of Gauss type. Quarterly of applied mathematics, 52, 23-29.
[15] Chakrabarti, A. (1995). A note on singular integral equations. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 26, 737-742.
[16] Chakrabarti, A. (2007). Solution of a simple hypersingular integral equation. The Journal of Integral Equations and Applications, 465-471.
[17] Chakrabarti, A., & Berghe, G. V. (2004). Approximate solution of singular integral equations. Applied mathematics letters, 17, 553-559.
[18] Chakrabarti, A., Mandal, B. N., Basu, U., & Banerjea, S. (1997). Solution of a hypersingular integral equation of the second kind. ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 77(4), 319-320.
[19] Mandal, B. N., & Bhattacharya, S. (2007). Numerical solution of some classes of integral equations using Bernstein polynomials. Applied Mathematics and computation, 190(2), 1707-1716.
[20] He, J.-H. (1998). Approximate analytical solution for seepage flow with fractional derivatives in porous media. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 167, 57-68.
[21] He, J.-H. (1998). Approximate solution of nonlinear differential equations with convolution product nonlinearities. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 167, 69-73.
[22] He, J.-H. (1998). Generalized Variational Principle in Fluids (in Chinese). Shanghai University Press.
[23] He, J.-H. (2003). Linearized perturbation technique and its applications to strongly nonlinear oscillators. Computers & Mathematics with Applications, 45(1-3), 1-8.
[24] Kutt, H. R. (1975). The numerical evaluation of principal value integrals by finite-part integration. Numerische Mathematik, 24(3), 205-210.
[25] Kythe, P. K., & Schäferkotter, M. R. (2004). Handbook of computational methods for integration. CRC Press.
[26] Novin, R., & Sohrabi Dastjerd, Z. (2015). Solving Duffing equation using an improved semi-analytical method. Communications on Advanced Computational Science with Applications, 2, 54-58.
[27] Novin, R., Fariborzi Araghi, M. A., & Mahmoudi, Y. (2018). Solving a class of hypersingular integral equations by using the modified homotopy perturbation method. Proceeding of the third international conference on intelligent decision science, 9-11.
[28] Novin, R., Fariborzi Araghi, M. A., & Mahmoudi, Y. (2018). Solving the Prandtl's equation by the modified Adomian decomposition method. Communications on Advanced Computational Science with Applications, 1, 9-14.
