مقایسه‌ی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان در حل مسائل تناسبی بر اساس نظریه پردازش دوگانه

محورهای موضوعی : آموزش و پرورش

علی محمدیان خطیر ¹ , امیرعلی طباطبایی عدنانی ² , علی برهمند ³ , محمدعلی فریبرزی عراقی ⁴

1 - دانشجوی دکتری آموزش ریاضی، گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
2 - استادیار گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
3 - دانشیار گروه ریاضی، واحد همدان، دانشگاه آزاد اسلامی، همدان، ایران
4 - استاد تمام گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران

تاریخ دریافت : 1403/10/03 تاریخ پذیرش : 1403/12/03 تاریخ انتشار : 1403/12/05

کلید واژه: نظریه پردازش دوگانه, تناسب مستقیم و معکوس, مسائل غیرتناسبی.,

چکیده مقاله :

هدف: هدف از این مطالعه بررسی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر پایه هفتم براساس نظریه پردازش دوگانه در حل مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی و مقایسه آنها با یکدیگر است.

روش: روش این پژوهش، کمی- توصیفی و از نظر هدف کاربردی بود. داده‌ها از 16 دانش‌آموز کلاس هفتم (8 دختر و 8 پسر) از دو مدرسه دولتی مختلف از دوره اول متوسطه در استان تهران جمع آوری شد. از دانش‌آموزان خواسته شد تا 9 مساله باز پاسخ را حل کنند که شامل 3 مساله تناسبی مستقیم و  3  مساله تناسبی معکوس و 3 مساله غیر تناسبی بود.

یافته‌ها: نتایج نشان داد که در مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی، دانش‌آموزان هر دو گروه تقریبا بطور یکسان به سئوالات بصورت درست پاسخ دادند. در بخش پاسخ‌های شهودی و استنتاجی مربوط به هر سه نوع مساله، گروه پسران بیشتر از گروه دختران به سوالات بصورت شهودی پاسخ دادند، ولی پاسخ‌های درست شهودی و استنتاجی گروه دختران بیشتر از گروه پسران بود. همچنین در مسائل غیر تناسبی اکثر پاسخ‌های شهودی و استنتاجی هر دو گروه بصورت نادرست بود. همچنین در بررسی 9 سئوال مشخص شد که در سئوالات 3 و 4  اختلاف معنی داری وجود دارد و بیشتر دانش‌آموزان دو گروه از روش شهودی برای پاسخ‌گویی به مسائل استفاده ‌کرده اند. علاوه بر این نتایج نشان داد که بطور کلی، اکثر دانش‌آموزان هر دو گروه که به مسائل غیر تناسبی پاسخ نادرست دادند، در تشخیص مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیر تناسبی از یکدیگر با مشکل مواجه بودند که معمولا به دلیل استفاده از استراتژی‌های تناسبی نادرست برای این نوع مسائل بود.

نتیجه‌گیری: می‌توان نتیجه گرفت که نوع استفاده از تفکر دانش‌آموزان دختر و پسر پایه‌ی هفتم در حل مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی بر اساس نظریه پردازش دوگانه می‌تواند به نتایج بهتری در آموزش بینجامد.

چکیده انگلیسی:

Purpose: The purpose of this study is to investigate the type of thinking and responses of seventh grade male and female students based on dual processing theory in solving direct and inverse proportional problems and non-proportional problems and comparing them with each other.

Method: The method of this research was quantitative-descriptive and practical in terms of purpose. Data were collected from 16 seventh grade students from two different public schools from the first period of secondary school. Students were asked to solve 9 open-ended problems, which included 3 direct proportional problems, 3 inverse proportional problems, and 3 non-proportional problems.

Findings: The results showed that in direct and inverse proportional problems and non-proportional problems, the students of both groups answered the questions correctly. In the section of intuitive and inferential answers related to all three types of problems, the group of boys answered the questions more intuitively than the group of girls, but the correct intuitive and inductive answers of the group of girls were more than the group of boys. Also, in non-proportional problems, most of the intuitive and inferential answers of both groups were incorrect. Also, in the examination of 9 questions, it was found that there is a significant difference in questions 3 and 4, and most of the students of the two groups used the intuitive method to answer the questions. But in the rest of the questions, there was no significant difference in students' answers to the questions with intuitive and inferential methods. Conclusion: It can be concluded that the type of thinking used by seventh grade male and female students in solving direct and inverse proportional problems and non-proportional problems based on dual processing theory can lead to better results in education.

منابع و مأخذ:

احمدی، غلامعلی، ریحانی، ابراهیم، نخستین روحی، ندا. (1394). تأثير آموزش مبتني بر گفتمان رياضي بر توانايي استدلال رياضي دانش‌آموزان دوره ي متوسطه. مجله ي روان شناسي مدرسه، 4(1): 22-37.
اسکمپ، ریچارد. (1989). " فهم رابطه‌ای و فهم ابزاری، ترجمه رضا حیدری قزلجه، گویا، زهرا. (1381). مجله رشد آموزش ریاضی، 15-4.
بازرگان، عباس. (1387). مقدمه‌ای بر روش‌های تحقیق‌های کیفی و آمیخته، رویکردهای متداول در علوم رفتاری. تهران: انتشارات دیدار.
خاکی، غلامرضا. (1383). روش تحقیق در مدیریت، مرکز انتشارات علمی دانشگاه آزاد اسلامی، چاپ سوم.
شیخ الاسلامی، علی، امیدوار، عظیم. (1396). اثربخشی آموزش تفکر انتقادی بر سبک حل مساله‌ی (کارآمد و ناکارآمد) دانش‌آموزان. مجله‌ی روان‌شناسی مدرسه، 6(2): 83-99.
طاهرزاده بروجنی، نسترن و ربیعی، مهدی. (1390). مروری بر حل مساله ریاضی در دوره ابتدایی. مجله آموزش ریاضی، 28(4): 28-50.
گویا، زهرا (1377). نقش فراشناخت در یادگیری حل مساله ریاضی. مجله رشد آموزش ریاضی، 11(3): 20-32.
گویا، زهرا (1377). نقش فراشناخت در یادگیری حل مساله ریاضی. مجله رشد آموزش ریاضی، 11(3): 20-32.
Attridge, N., & Inglis, M. (2015). Increasing cognitive inhibition with a difficult prior task: implications for mathematical thinking, 47(5), 723-734.
Ayan, R., & Işıksal-Bostan, M. (2019). Middle school students’ proportional reasoning in real life contexts in the domain of geometry and measurement. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 50(1), 65-81.
Bago, B. (2018). Testing the corrective assumption of dual process theory in reasoning (Doctoral dissertation, Sorbonne Paris Cité).
Beckmann, S. (2011). From the common core to a community of all mathematics teachers. The Mathematics Educator, 20(2), 100-124.
Ben-Chaim, D., Fey, J. T., Fitzgerald, W. M., Benedetto, C., & Miller, J. (1998). Proportional reasoning among 7th grade students with different curricular experiences. Educational Studies in Mathematics, 36(3), 247-273.
Borodin, A. (2016). The need for an application of dual-process theory to mathematics education. Cambridge Open-Review Educational Research e-Journal, 3(4), 12-25.
Burton, L. (1984). Mathematical thinking: The struggle for meaning. Journal for research in mathematics education, 15(1), 35-49.
Cramer, K., Post, T., & Behr, M. (1989). Interpreting proportional relationships. Mathematics Teacher, 82(6), 445-452.
Cramer, K. A., Post, T., & Currier, S. (1993). Learning and teaching ratio and proportion: Research implications: Middle grades mathematics. In Research ideas for the classroom: Middle grades mathematics (pp. 159-178). Macmillan Publishing Company.
Cramer, K., Post, T., & Graeber, A. O. (1993). Connecting research to teaching: Proportional reasoning. The Mathematics Teacher, 86(5), 404-407.
Ersoy, E., & Guner, P. (2015). The place of problem solving and mathematical thinking in the mathematical teaching. The Online Journal of New Horizons in Education-January, 5(1), 120-130.
Evans, J. S. B. (2003). In two minds: dual-process accounts of reasoning. Trends in cognitive sciences, 7(10), 454-459.
Evans, J. S. B. (2010). Thinking twice: Two minds in one brain. Oxford University Press.
Evans, J. S. B., & Stanovich, K. E. (2013). Dual-process theories of higher cognition: Advancing the debate. Perspectives on psychological science, 8(3), 223-241.
Frankish, K. (2015). Dennett’s dual-process theory of reasoning. In Content and consciousness revisited (pp. 73-92). Springer, Cham.
Gillard, E., Van Dooren, W., Schaeken, W., & Verschaffel, L. (2009a). Dual processes in the psychology of mathematics education and cognitive psychology. Human Development, 52(2), 95-108
Gillard, E., Van Dooren, W., Schaeken, W., & Verschaffel, L. (2009b). Proportional reasoning as a heuristic-based process: time constraint and dual task considerations. Experimental Psychology, 56(2), 92-99.
Gómez-Chacón, I. M., García-Madruga, J. A., Vila, J. Ó., Elosúa, M. R., & Rodríguez, R. (2014). The dual processes hypothesis in mathematics performance: Beliefs, cognitive reflection, working memory and reasoning. Learning and Individual Differences, 29, 67-73.
Heller, P. M., Ahlgren, A., Post, T., Behr, M., & Lesh, R. (1989). Proportional reasoning: The effect of two context variables, rate type, and problem setting. Journal of Research in Science Teaching, 26(3), 205-220.
Lamon, S. J. (1995). Ratio and proportion: Elementary didactical phenomenology. Providing a foundation for teaching mathematics in the middle grades, 167-198.
Lamon, S.J. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers. Routledge.
Leron, U., & Hazzan, O. (2006). The Rationality Debate: Application of Cognitive Psychology to Mathematics Education. Educational Studies in Mathematics, 62(2), 105–126.
Lim, K. H. (2009). Burning the candle at just one end. Mathematics Teaching in the Middle School, 14(8), 492-500.
Özgün-Koca, S. A., & Kayhan-Altay, M. (2009). An investigation of proportional reasoning skills of middle school students. Investigations in Mathematics Learning, 2(1), 26-48.
Park, J. S., Park, J. H., & Kwon, O. N. (2010). Characterizing the proportional reasoning of middle school students. Seoul National, University Journal of Education Research, 19(5), 119–144.
Pişkin-Tunç, M. (2020). Investigation of Middle School Students’ Solution Strategies in Solving Proportional and Non-proportional Problems. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education (TURCOMAT), 11(1), 1-14.
Watson, A. (2001). Instances of mathematical thinking among low attaining students in an ordinary secondary classroom. The Journal of Mathematical Behavior, 20(4), 461-475.

متن کامل:



فصلنامه رهبری و مدیریت آموزشی دانشگاه آزاد اسلامی‌واحدگرمسار سال هجدهم، شماره 3، پاییز 1403 صص 266-236

 

 

 

 

 

 

مقایسه‌ی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان در حل مسائل تناسبی بر اساس نظریه پردازش دوگانه

علی محمدیان خطیر¹، امیرعلی طباطبایی عدنانی²، علی برهمند³، محمدعلی فریبرزی عراقی⁴

چکیده:

هدف: هدف از این مطالعه بررسی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر پایه هفتم براساس نظریه پردازش دوگانه در حل مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی و مقایسه آنها با یکدیگر است.

روش: روش این پژوهش، کمی- توصیفی و از نظر هدف کاربردی بود. داده‌ها از 16 دانش‌آموز کلاس هفتم (8 دختر و 8 پسر) از دو مدرسه دولتی مختلف از دوره اول متوسطه در استان تهران جمع آوری شد. از دانش‌آموزان خواسته شد تا 9 مساله باز پاسخ را حل کنند که شامل 3 مساله تناسبی مستقیم و 3 مساله تناسبی معکوس و 3 مساله غیر تناسبی بود.

یافته‌ها: نتایج نشان داد که در مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی، دانش‌آموزان هر دو گروه تقریبا بطور یکسان به سئوالات بصورت درست پاسخ دادند. در بخش پاسخ‌های شهودی و استنتاجی مربوط به هر سه نوع مساله، گروه پسران بیشتر از گروه دختران به سوالات بصورت شهودی پاسخ دادند، ولی پاسخ‌های درست شهودی و استنتاجی گروه دختران بیشتر از گروه پسران بود. همچنین در مسائل غیر تناسبی اکثر پاسخ‌های شهودی و استنتاجی هر دو گروه بصورت نادرست بود. همچنین در بررسی 9 سئوال مشخص شد که در سئوالات 3 و 4  اختلاف معنی داری وجود دارد و بیشتر دانش‌آموزان دو گروه از روش شهودی برای پاسخ‌گویی به مسائل استفاده ‌کرده اند. علاوه بر این نتایج نشان داد که بطور کلی، اکثر دانش‌آموزان هر دو گروه که به مسائل غیر تناسبی پاسخ نادرست دادند، در تشخیص مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیر تناسبی از یکدیگر با مشکل مواجه بودند که معمولا به دلیل استفاده از استراتژی‌های تناسبی نادرست برای این نوع مسائل بود.

نتیجه‌گیری: می‌توان نتیجه گرفت که نوع استفاده از تفکر دانش‌آموزان دختر و پسر پایه‌ی هفتم در حل مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی بر اساس نظریه پردازش دوگانه می‌تواند به نتایج بهتری در آموزش بینجامد.

کلیدواژه‌ها: نظریه پردازش دوگانه، تناسب مستقیم و معکوس، مسائل غیرتناسبی.

پذیرش مقاله: 3/12/ 1403                دریافت مقاله: 3/10/1403

مقدمه

آموزش ریاضی، یکی از اصلی‌ترین چالش‌های نظام‌های آموزشی است. و تفكر ریاضی، یكی از مهمترین اهداف آموزش ریاضی است که نقشی اساسی در ارتقاي یادگیري مفهومی بازي می‌کند. برخی از توصیف‌هاي موجود از تفكر ریاضی بر روشهاي حل مساله تأکید می‌کنند، در حالی‌‌‌که بعضی دیگر، بر توسعه درك مفهومی ریاضی تمرکز دارند (واتسون⁵، 2001).

از نظر ریاضیدانان، ریاضیات یکی از مهمترین روش‌های تفکری است که انسان را به دانش معینی هدایت می‌کند(ییلدیریم⁶، 2004). هدف از تدریس ریاضیات از یک سو این است که فرد را قادر به حل مساله و آموزش مراحل حل مساله کند و از سوی دیگر، به او اجازه دهد ریاضی‌وار فکر کند( اسن ارسوی، پینار گونر⁷، 2015). بورتون⁸ (1984) بر این باور است که تفکر ریاضی در اکثر دانش-‌آموزان توسعه نیافته است. توسعه‌‌ی تفکر ریاضی در سطوح مختلف تحصیلی، تحت تاثیر مفاهیم مختلف ریاضی قرار دارد. یکی از مباحث مهم و در ریاضیات ابتدایی که درک و یادگیری آن در مقاطع بالاتر نیز بسیار مهم است، مبحث "نسبت وتناسب⁹" است. 

نسبت و تناسب دو مفهومی هستند که زیر چتر کلی استدلال تناسبی قرار می گیرند (پیشکین-تونچ¹⁰، 2020). نسبت، مقایسه کمیت ها است و تناسب، برابری بین نسبت هایی است که همان رابطه را نشان می‌دهد(لامون¹¹، 1995). روابط بین کمیت ها در نسبت ها یا تناسب ها ماهیت ضربی دارند (کرامر، پست و کریر¹²، 1993). برای درک این رابطه به استدلال تناسبی نیاز است. بنابراین، درک مفهومی در مفاهیم نسبت و تناسب مستلزم داشتن یک استدلال کننده تناسبی است (بن-چایم، فی، فیتزجرالد، بندتو و میلر¹³، 1998؛ لو و واتانابه¹⁴، 1997). لامون (2007) استدلال تناسبی را اینگونه تعریف می کند: ارائه دلایلی برای حمایت از ادعاهای مطرح شده در مورد روابط ساختاری بین چهار کمیت (مثلاً a، b، c، d) در یک زمینه‌ای که به طور همزمان شامل کوواریانس¹⁵(تغییرپذیری یکسان) مقادیر(کمیت‌ها) و عدم تغییر(تغییر ناپذیری - ناوردایی)¹⁶ نسبت‌ها یا حاصلضرب‌ها است؛ این شامل توانایی تشخیص یک رابطه ضربی بین دو کمیت و همچنین توانایی گسترش همان رابطه به جفت‌ کمیت‌های دیگر است. همچنین تعریف لش، پست و بهر¹⁷(1988) از استدلال تناسبی اینگونه است؛ «مهم‌ترین بخش(سنگ بنای) ریاضیات عالی و بخش نهاییِ مفاهیم ریاضیات ابتدایی»¹⁸ است. بن چایم، کرت و ایلانی¹⁹(2012) نیز با عبارات دیگری همین تعریف را ارائه دادند، و اعلام کردند که، در سطح مدرسه ابتدایی، استدلال تناسبی «نقطه اوج اصول اساسی ریاضیات است». علاوه بر این، شورای ملی معلمان ریاضی (NCTM)²⁰ در گزارش برنامه آموزشی‌ و استانداردهای ارزشیابی(1989) اشاره می‌کند که: «توانایی استدلال تناسبی در دانش‌آموزان از کلاس پنجم تا هشتم رشد می‌کند. این توانایی از چنان اهمیت زیادی برخوردار است که ارزش هرقدر وقت و تلاش را دارد که باید صرف اطمینان از رشد دقیق آن شود.»

مطالعات نشان داده اند که بطور کلی توانایی‌های استدلال تناسبی دانش‌آموزان مشکل‌ساز است (آیان و ایشکال بوستان²¹، 2019؛ آتاباش و اونر²²، 2016؛ بن‌چایم، کرت، و ایلانی، 2012؛ کرامر²³، پست، و بهر، 1989؛ لامون، 2007؛ اوزکان-کوکا و کیهان آلتای²⁴، 2009؛ تولوک-اوچار و بوزکوش²⁵، 2018). علاوه بر این، دانش‌آموزان عموماً در تشخیص موقعیت‌های تناسبی از غیرتناسبی با مشکلاتی مواجه هستند (آیان و ایشکال بوستان، 2019؛ آتاباش و اونر، 2016؛ تولوک-اوچار و بوزکوش، 2018). 

همچنین در سراسر چشم‌انداز وسیع آموزش ریاضی، دانش‌آموزانی وجود دارند که با وجود بهره‌مندی از دانش لازم در رشته ریاضی، بارها نشان داده‌اند که نمی‌توانند استدلال رسمی(استنتاجی یا تحلیلی)²⁶ را در حل مسائل به کار ببرند. دانش‌آموزان اغلب، به جای استفاده از مبنای دانش رسمی خود، بر استراتژی‌های حل مسأله‌ی مبتنی بر درک شهودی تکیه می‌کنند که منجر به پاسخ‌های اشتباه می‌شوند. با توجه به تضاد بی‌اندازه موجود بین حل مسأله مبتنی بر درک شهودی و یادگیری و آموزش موثر، روز به روز بر اهمیت آموزشی چاره‌جویی برای اصلاح چنین سوگیری‌های سیستماتیک که در استدلال یادگیرندگان وجود دارد، از طریق چارچوبهای مورد تائید در حوزه‌ی تفکر افزوده می‌شود (اتریج و انگلیس²⁷، 2015؛ بابائی، شالو و استاوی²⁸، 2015؛ لرون و هازان²⁹، 2006). یکی از چارچوب‌های مرتبط در خصوص بررسی فرایند تفکر انسان، نظریه‌ی پردازش دوگانه است.

نظریه‌پردازان پردازش دوگانه برای اینکه ریشه‌های شناختی زیربنایی این چالش آموزشی را بررسی کنند سعی دارند تا توضیح دهند که چگونه استدلال انسان توسط تعامل دو نوع متمایز پردازش شناختی شکل می‌گیرد (استانوویچ و وست³⁰، 2000). درحالیکه معمولا از پردازش نوع 1 به عنوان اکتشافی یا شهودی³¹ یاد می‌شود و گفته می‌شود که فرآیندهای شناختی اولین برداشت خودکار را ایجاد می کند، پردازش نوع 2 به‌عنوان تحلیلی(استنتاجی)³² توصیف شده است که نیازمند تلاش شناختی است که حافظه فعال افراد نقش بسزایی در آن دارد(بورودین³³، 2016).

بطور کلی در ادبیات آموزش ریاضی دو دسته اصلی از انواع مسائل و استدلال های تناسبی توصیف شده‌اند(کرامر و پست، 1993؛ هلر³⁴، پست، بهر و لش، 1990؛ پارک، پارک و کوون³⁵، 2010). این مسائل عبارتند از: مسائل مقایسه عددی³⁶ و مسائل مقدار مجهول³⁷.

مسائل مقدار نامعلوم، مسائلی هستند که در آنها، سه تا از چهار مقدار و رابطه تناسبی بین این چهار مقدار داده می‌شود، که باید مقدار مجهول را پیدا کرد(لامون، 1993، 2007). همچنین، مسائل مقایسه عددی، شامل مسائلی است که در آن چهار مقدار (a، b، c، و d) داده می شوند و هدف، تعیین یک رابطه ترتیبی بین دو نسبت a/b و c/d است(لامون، 1993، 2007). به عبارت دیگر، مسائل مقایسه عددی نیاز به مقایسه دو نسبت دارند تا مشخص شود که آیا این دو نسبت مساوی هستند یا کدام نسبت بزرگتر یا کوچکتر از دیگری است (بن-چایم، کرت و ایلانی، 2012). لوباتو و الیس³⁸ (2010) در کتابشان درباره اهمیت درک پایه‌ای از نسبت، تناسب و استدلال تناسبی چنین بیان می کند که وقتی دو کمیت با هم رابطه تناسبی داشته باشند، نسبتِ یک کمیت به دیگری ثابت است، چرا که مقادیر عددی هر دو کمیت با یک ضریب تغییر می‌کنند (ون دی وال،کارپ و بی-ویلیامز³⁹، 2016). بیکمن⁴⁰(2011) نشان داد که دو نوع رابطه تناسبی بین کمیت‌ها وجود دارد: 1)رابطه تناسبی مستقیم⁴¹ و 2) رابطه تناسبی معکوس (غیرمستقیم)⁴². بر اساس NCTM   (2006)، دانش‌آموزان کلاس هفتم باید روابط تناسبی مستقیم را  از دیگر روابط، از جمله تناسب معکوس، تشخیص دهند. 

تناسب مستقیم بین دو کمیت زمانی اتفاق می افتد که تغییرات کمّی روی آنها بطور یکنواخت اتفاق بیافتد. این یعنی، اگر کمیت a با ضریب(یا عامل) m ضرب می‌شود، کمیت b باید بطور مشابه با ضریب(یا عامل) m ضرب شود که ضریب ثابت است. در این مورد خارج قسمت(نسبت)⁴³ بین دو کمیت اول همانند خارج قسمت(نسبت) جفت دوم است(بن-چایم، کرت و ایلانی، 2012). 

بعنوان مثال، ماشینی 80 کیلومتر را در یک ساعت با سرعت ثابت طی می‌کند. به عبارت دیگر، این ماشین با سرعت 80 کیلومتر در ساعت حرکت می‌کند. رابطه تناسبی بین مسافت پیموده شده و زمان مورد نیاز برای اینکه ماشین آن مسافت را طی کند مستقیم است. اگر این فاصله برای پیمودن با ضریب، m افزایش یابد، در این صورت زمان لازم برای پیمودنش (بدون تغییر سرعت) هم باید با ضریب m افزایش یابد(بن چایم، کرت و ایلانی، 2012).

تناسب معکوس بین دو کمیت زمانی اتفاق می افتد که تغییرات کمّی روی آنها بطور یکنواخت اما در جهت‌های مخالف اتفاق بیافتد(ضرب شده در مقابل تقسیم شده - ضرب در مقابل تقسیم). این یعنی، اگر کمیت a با ضریب(عامل) m (m مخالف صفر است) ضرب ‌شود، آنگاه کمیت b باید بر m تقسیم شود(m ضریب ثابت است). در این مورد، حاصلضرب دو کمیت اول با حاصلضرب جفت دوم یکسان است(بن-چایم، کرت و ایلانی، 2012). 

بعنوان مثال، برای هر شغلی، تناسب معکوسی بین تعداد کارگران (n) و تعداد روزهای (t) مورد نیاز برای انجام آن کار وجود دارد. اگر تعداد کارگران با ضریب m افزایش یابد، تعداد روزهای مورد نیاز برای انجام آن کار با ضریب m کاهش خواهد یافت؛ اگر تعداد کارگران با ضریب m کاهش یابد، زمان مورد نیاز با ضریب m افزایش خواهد یافت. به عبارت دیگر، حاصلضرب تعداد کارگران و تعداد روزها ثابت باقی می‌ماند. (بن چایم، کرت و ایلانی، 2012).

و اما غیر از انواع مسائل تناسبی که در بالا ذکر شد، مسائلی وجود دارند که تناسبی نیستند. مسائلی که روابط غیر تناسبی بین متغیرها دارند اما این تصور را ایجاد می کنند که نیاز به استدلال تناسبی دارند، مسائل غیرتناسبی⁴⁴ نامیده می شوند (ون دورن، دی بوک، هسلز، یانسنز، و ورسچافل، 2005)⁴⁵. برای حل مسائل غیرتناسبی، قطعاً استراتژی تناسبی نادرست است، اما می توان از استراتژی دیگری برای حل اینگونه مسائل استفاده کرد(پیشکین-تونچ، 2020). ون دورن و همکاران (2005) مسائل غیرتناسبی را به عنوان مسائل افزایشی(جمعی)⁴⁶، مسائل ثابت⁴⁷ و مسائل خطی⁴⁸ طبقه بندی کردند. 

مسائل افزایشی(جمعی)، یک اختلاف ثابت بین دو متغیر دارند، بنابراین یک رویکرد صحیح، اضافه کردن این اختلاف به مقدار سوم است (پیشکین-تونچ، 2020). مساله‌ی مقابل را در نظر بگیرید:  ژانت و ژینت⁴⁹ داشتند به مدرسه می‌رفتند و هر دو با یک سرعت راه می‌رفتند. ژینت اول شروع کرد. وقتی ژینت 6 بلوک طی کرده بود، ژانت 2 بلوک طی کرده بود. وقتی ژینت در بلوک 12 باشد، ژانت چه مسافتی طی کرده است؟ (ون دی وال،کارپ و بی-ویلیامز، 2016). بین تعداد بلوک‌های طی شده توسط ژانت و ژینت اختلاف ثابتی وجود دارد، لذا این موقعیت، جمعی است. ژانت هنوز هم 4 بلوک عقب است، بنابراین 8 بلوک طی کرده است. اما اگر این مسئله به شکل نادرست از طریق استدلال ضربی حل شود، به جواب 4 بلوک می‌رسید (ون-دی-وال، کارپ و بی-جنیفر، 2016؛ کرامر و همکاران، 1993). 

در مسائل ثابت، هیچ رابطه ای بین دو متغیر وجود ندارد. مقدار متغیر دوم تغییر نمی کند، بنابراین پاسخ صحیح در مساله کلامی⁵⁰ ذکر شده است(پیشکین-تونچ، 2020). بعنوان مثال، مساله زیر را در نظر بگیرید: لیزا و لیندا⁵¹ در یک مزرعه ذرت (از یک نوع) می‌کارند. لیندا 4 ردیف و لیزا 6 ردیف می‌کارد. اگر ذرت لیندا ظرف 8 هفته آماده چیدن باشد، آماده شدن ذرت لیزا چند هفته طول می‌کشد؟ (ون دی وال،کارپ و بی-ویلیامز، 2016). این موقعیت یک مساله‌ی ثابت است. هنوز هم رشد ذرت 8 هفته طول می‌کشد و این زمان به تعداد ردیف‌های کاشته شده ربطی ندارد. در صورت حل این مسئله از طریق استدلال ضربی، جواب نادرست برابر با 12 هفته خواهد بود(ون دی وال، کارپ و بی-جنیفر، 2016). 

در مسائل خطی، تابع خطی زیربنای موقعیت مسئله به شکل f(x)=ax+b (b مخالف صفر) است. به عنوان مثال، به این مساله توجه کنید: یک راننده تاکسی برای دریافت کرایه، مبلغ 10000 ریال را بعنوان مبلغ ثابت و مبلغ 5000 ریال را به ازای هر کیلومتر دریافت می‌کند، تعیین کنید برای مسافت 3 کیلومتر و 4 کیلومتر چقدر کرایه دریافت خواهد کرد؟ در این مساله رابطه ریاضی بین کمیت ها، خطی است اما تناسبی نیست، زیرا این رابطه به صورت جبری به صورت (هزینه = 5000 * کیلومتر + 10000) بیان می شود؛ به عبارت دیگر، هم با ضرب و هم با جمع تعریف می شود(کرامر و همکاران، 1993). در موقعیت مساله، رابطه بین کمیت ها را می توان به صورت تابع آفین⁵² به شکل f(x)=ax+b با (b مخالف صفر) نشان داد، که بر یک رابطه ی خطی، اما غیر تناسبی، دلالت می کند؛ به جای آن تابعی به شکل f(x)=cx، که دلالت بر یک رابطه خطی و تناسبی دارد(پیشکین-تونچ، 2020).

استدلال تناسبی⁵³ کاملا فراتر از مفهوم نوشتن یک تناسب برای حل یک مسئله است؛ آن راهی برای استدلال درباره موقعیت‌های ضربی است. تخمین زده می‌شود بیش از نیمی از جمعیت بزرگسال به شیوه تناسبی فکر نمی‌کنند(لامون، 2012). توانایی حل مسائل تناسبی، نشان دهنده وجود استدلال تناسبی است که منجر به تفکر انتزاعی می‌شود(بن چایم، کرت و ایلانی، 2012).

یک استدلالگر تناسبی می تواند تشخیص دهد که آیا کمیت ها در یک مساله در حالت جمعی، ضربی، یا به نحو دیگری مرتبط هستند(لامون، 2007). دانش‌آموزان باید قادر باشند موقعیت‌ها را مقایسه کرده و در مورد اینکه آیا این مقایسه ناشی از رابطه جمعی، ضربی و یا ثابت است بحث کنند(ون دورن،دی بوک، ولیوگلس⁵⁴ و ورسچافل، 2010).

با این حال، مطالعات پژوهشی نشان داده‌اند که دانش‌آموزان در تشخیص روابط ریاضی نهفته در این دو رابطه و تمایز یک رابطه از دیگری مشکل داشتند. بنابراین، آنها تمایل داشتند که استراتژی های تناسبی را در موقعیت های غیرتناسبی به کار گیرند(آتاباش و اونر، 2016؛ کرامر و همکاران، 1993؛ ون دورن و همکاران، 2005). برای نمونه، ون دورن و همکاران(2005) اظهار داشتند که دانش‌آموزان مایلند دامنه(محدوده) موقعیت‌هایی را که تفکر تناسبی در آنها قابل استفاده است بیش از حد بسط دهند. آنها سه نوع مسئله غیرتناسبی تعیین کردند که دانش‌آموزان اغلب وقتی ضرورتی ندارد به استدلال تناسبی روی می‌آورند: موقعیت‌های ثابت، خطی، و جمعی.

مطالعات نشان می‌دهد که طیف گسترده ای از استراتژی‌ها برای حل مسائل تناسب وجود دارد(بن-چایم و همکاران، 2012؛ کرامر و همکاران، 1993؛ لامون، 2012). 

یکی از استراتژی‌های معمول(متداول) برای حل مسائل تناسبی، ضرب متقاطع⁵⁵ است، اما در عین حال انتزاعی‌ترین و با کمترین جنبه شهودی هم هست(ون دی وال،کارپ، بی-ویلیامز، 2016). تحقیقات نشان می‌دهد که دانش‌آموزان برای حل مسائل تناسب تقریباً به الگوریتم ضرب متقاطع(طرفین وسطین) متکی هستند، و اغلب تشخیص نمی‌دهند که روش‌های بهتری برای حل این مسائل وجود دارد (سیگلر⁵⁶ و همکاران 2010). متداول‌ترین استراتژی‌های حل موقعیت‌های تناسبی عبارتند از: فرآیند ایجاد(ساختن)⁵⁷، فرآیند ایجاد به اختصار⁵⁸، فرآیند نرخ(عامل) واحد⁵⁹، و رویکرد مبتنی بر معادله⁶⁰(لامون، 2012؛ ون-دی-وال، کارپ و بی-جنیفر، 2016؛ بن-چایم و همکاران، 2012). پیشکین-تونچ (2020)، استراتژی راه حل دانش‌آموزان در مسائل تناسبی و غیرتناسبی در پایه‌های ششم و هشتم را مورد بررسی و مقایسه قرار داد. او اذعان داشت که استراتژی های راه حل دانش‌آموزان بر اساس نوع مسئله و سطح پایه متفاوت است. دانش‌آموزان کلاس هشتم از ضرب متقاطع به عنوان یک استراتژی پیشرو استفاده می کردند، در حالی که دانش‌آموزان کلاس ششم از استراتژی عامل تغییر استفاده می کردند. علاوه بر این، نتایج نشان داد که دانش‌آموزان معمولاً از استراتژی های تناسبی نادرست برای حل مسائل غیر تناسبی استفاده می‌کردند. پارک، پارک و کوون(2010) در پژوهشی به شناسایی ویژگی های استدلال تناسبی دانش‌آموزان دوره راهنمایی پرداختند. آنها در پژوهش خود از آزمون کتبی برای تحلیل راهبردهای استدلال تناسبی دانش‌آموزان و مصاحبه برای بررسی افکار آنها استفاده کردند. در نتایج، تفاوت آماری معنی داری بین نمرات پایه‌ها وجود نداشت. همچنین دانش‌آموزان اغلب استراتژی‌های حل را بسته به زمینه مسائل انتخاب می‌کردند و آنها عدم درک ضربی را نشان ‌دادند. 

بن چایم، فی، فیتزجرالد، بندتو و میلر(1998) در پژوهش خود، استدلال تناسبی در میان دانش‌آموزان پایه هفتم با تجارب آموزشی متفاوت را مورد بررسی قرار دادند. در پژوهش آنها، مسائل موضوعی شامل اعداد گویا و استدلال تناسبی به دانش‌آموزان پایه هفتم ارائه شد که تجارب آموزشی متفاوتی داشتند. نتایج نشان داد که عملکرد دانش‌آموزان در برنامه‌های آموزشی اصلاح‌شده، که تشویق می‌شوند تا از طریق فعالیت‌های دسته‌جمعیِ حلّ مسأله، دانش‌ مفهومی و روندی مخصوص به خودشان را درباره تناسب شکل دهند، از عملکرد دانش‌آموزانی که به‌صورت سنّتی و با راهنمایی معلّم آموزش می‌بینند، بهتر است. دانش‌آموزان پایه هفتم، بویژه آنهایی که با برنامه‌های آموزشی جدید آموزش می‌بینند، می‌توانند مجموعه‌ای از ابزارهای معناسازی مخصوص به خودشان را تشکیل دهند که به آنها کمک می‌کند تا توضیحات و راه‌حل‌های خلاقانه ارائه دهند.

هیلتون، هیلتون، دال و گاوس⁶¹(2016) در پژوهشی به بررسی ارتقاء مهارت‌های استدلال تناسبی دانش‌آموزان دوره راهنمایی از طریق یک برنامه در حال توسعه حرفه‌ای برای معلمان پرداختند. یافته‌های آنها حاکی از آن است که پیشرفت حرفه‌ای و هدفمند معلمان و تدریس صریح آنها می‌تواند در استدلال تناسبی دانش‌آموزان تغییر ایجاد کند. 

اخیرا نظریه‌ی پردازش دوگانه برای تفکر ریاضی نیز به کار رفته‌اند (به عنوان مثال گیلارد، ون دورن، شائکن و ورسچافل⁶² 2009 الف، گومز-چیکُن، گارسیا-مادروگا، ویلا، اِلُسوآ و رودریگز⁶³ 2014). در این نظریه‌ها دو مکانیزم پردازش مختلف برای تکالیف حل مسئله‌ای در نظر گرفته شده است و معمولا نوع۱ و نوع ۲ نامیده می‌شوند، که شامل رویه‌ها و فرآیندهای متفاوتی‌اند و ممکن است نتایج مغایر و متناقضی به همراه داشته باشند(فرانکیش، 2015). تفسیرهای زیادی از نظریه پردازش دوگانه وجود دارد و در عین حال که این تفاسیر در جزئیات با هم متفاوتند در چند ویژگی مهم به یکدیگر شبیه هستند. همگی حداقل دو نوع پردازش را که به آنها پردازش نوع اول و پردازش نوع دوم می‌گوییم مطرح می‌کنند (اِوَنس⁶⁴ و استانوویچ، 2013).

پردازش نوع اول، که اصطلاحا به آن شهودی یا اکتشافی و یا بصری گفته می‌شود، معمولاً با عناوینی مثل سریع، بدون زحمت، خودکار، ناخودآگاه، انعطاف ناپذیر، دارای زمینه‌های فراوان و بدون نیاز به حافظه‌ی فعال توصیف می‌شوند و معمولاً باعث پاسخگویی‌های مغرضانه و کلیشه‌ای به تکالیف حل مسئله‌ای هستند (به عنوان مثال تشخیص چهره دوست). در مقابل، پردازش نوع دوم، که به آن استنتاجی یا تحلیلی نیز می‌گویند، با عناوینی مثل کند، پرزحمت، کنترل شده، خودآگاه، انعطاف‌پذیر، انتزاعی و نیازمند به حافظه‌ی فعال توصیف می‌شوند و ادعا شده است که منبع ظرفیت ما برای پاسخگویی هنجاری مطابق با قوانین منطقی هستند(مثلا حفظ کردن شماره تلفن).(استانوویچ، 2009؛ فرانکیش، 2015؛ اتریج و انگلیس، 2015). درحالیکه پردازش نوع اول به طور پیوسته در حال کار است و ما کنترلی بر آن نداریم پردازش نوع دوم را می‎‌توان بسته به فرد و موقعیت در سطوح مختلفی به کار گرفت. به عنوان مثال طرز تفکر افراد با یکدیگر متفاوت است همین امر باعث می‌شود که تمایل کمتر یا بیشتری به شرکت در تفکر نوع دوم که به طور کلی زحمت بیشتری دارد داشته باشند (استانوویچ، 2009). 

همچنین ظرفیت افراد برای تفکر نوع دوم نیز متفاوت است به طوری که ممکن است این ظرفیت در بعضی افراد بیشتر و در بعضی دیگر کمتر به کار گرفته ‌شود (استانوویچ، 2009).

عقیده بر این است که تفکر نوع اول از نظر تکاملی قدیمی است(اونس 2003)، همین امر باعث می‌شود که ما تفکر نوع اول را به خوبی به کار گیریم تا بتوانیم به بیشتر تکالیفی که با آنها مواجه هستیم به صورت رضایت‌بخش و ثمربخش بپردازیم. با اینهمه مواقعی هم هستند که تفکر نوع اول کافی نیست یا حتی ممکن است زیانبار باشد. در چنین مواردی مهم است که از برداشت ذهنی نوع اول ممانعت به عمل آید تا راه برای پردازش نوع دوم باز شود (آتریج و انگلیس، 2015).

اغلب ادعا می‌شود که پردازش نوع ۲ از نظر تکاملی جدید بوده و حتی منحصر به انسان است(مثل اونس، 2010)، و به نظر می رسد پردازش نوع ۲ قابلیت ایجاد شاهکارهای فکری فوق العاده را دارد. در واقع، به نظر می‌رسد این پردازش نقش چیزی شبیه یک مدیر اجرایی مرکزی را دارد که می‌تواند پاسخ‌های غریزی‌، تداعی و احساسی را با افکار و تصمیمات منطقی جایگزین کند (فرانکیش، 2015). 

چندین حوزه در ریاضیات وجود دارد که در آن تفکر نوع دوم ضروری است اما ممکن است برداشت ذهنی(پردازش نوع اول) بر سر راه تفکر نوع دوم قرار گیرد. بعنوان مثال، یکی از این موارد که ممکن است برداشت ذهنی با پاسخ‌های ریاضی صحیح در تضاد باشد در استدلال تناسبی است (اتریج و انگلیس، 2015).

گیلارد، ون دورن، شائکن و ورسچافل (2009 ب) درباره تمایل بزرگسالان به دادن جواب‌های تناسبی به مسأله‌های ریاضی غیر تناسبی تحقیق کردند. به عنوان مثال آنها درباره پاسخ بزرگسالان به مسأله زیر تحقیق کردند: «الن و کیم⁶⁵ در حال دویدن دور یک مسیر هستند. سرعت هر دو یکسان است، اما الن دیرتر شروع به دویدن کرده است. وقتی الن 5 دور مسیر را می‌دود، کیم 15 دور مسیر را طی می‌کند. اگر الن 30 دور بدود، کیم چند دور می‌دود؟» جواب درست 40 است (یعنی 40=10+30 یا 40=25+15) اما بیشتر پاسخ دهندگان به این مسئله تناسب می‎بندند و 30 را در 3 ضرب می‌کنند و به جواب اشتباه 90 می‌رسند (ون دورن، دی باک، هسل، یانسنز و ورسچافل 2005). حتی کارآموزان دوره آموزگاری نیز مستعد این خطا هستند (کرامر، پُست و کاریر 1993). گیلارد و همکاران (2009) این بحث را مطرح کردند که از آنجایی که استدلال تناسبی ابزاری بسیار مهم در زندگی روزمره و اوایل تحصیل است دانش‌آموزان با آن بسیار آشنا و توانمند می‌شوند. این موضوع سبب می‌شود که از استدلال تناسبی در مواقع نادرست استفاده کنند و در این زمینه آسیب‌پذیر شوند. گیلارد و همکاران (2009) به شرکت‌کنندگان در تحقیق خود مسأله‌های تناسبی و غیر تناسبی تحت محدودیت زمان کوتاه یا تحت بار حافظه فعال⁶⁶ دادند و نشان دادند که خطاهای تناسبی ریشه در تفکر نوع اول دارد در حالیکه فائق شدن بر این خطاها به تفکر نوع دوم بستگی دارد(فرانکیش، 2015). بورودین(2016) در پژوهشی به بررسی نیاز به کاربرد نظریه پردازش دوگانه برای آموزش ریاضیات پرداخت. او از طریق دو مطالعه تجربی به این کار مبادرت ورزید. اولین تحقیق تجربی نشان می‌دهد که چگونه استدلال احتمالاتی دانش‌آموزان دبیرستانی (15 تا 18 سال) توسط پاسخ‌های نامناسب ارزیابی می‌شوند. این پاسخ‌های نامناسب نتیجه ناگزیر پردازش‌های شناختی نوع اول هستند که وابسته به درک مستقیم هستند. 

تحقیق تجربی دوم، تاثیر سودمندی که آموزش آمار بر استدلال آماری دامنه عمومی دانشجویان دوره کارشناسی دارد را توضیح می‌دهد. همچنین این پژوهش روش‌شناسی طراحی-تجربی را به عنوان راهی مناسب تعیین می‌کند که از طریق آن نظریه پردازش دوگانه می‌تواند تاثیر مداخلات کلاسی را افزایش دهد.

با توجه به اینکه براساس نظریه پردازش دوگانه، دو نوع پردازش(شهودی و استنتاجی) برای ذهن انسان وجود دارد. بررسی و مقایسه‌ی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر بر اساس این نظریه(نظریه پردازش دوگانه) در مواجهه با مساله‌های ریاضی، بویژه در حل مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است و تاثیر غیر قابل انکاری بر عملکرد دانش‌آموزان در موقعیت‌های حل مساله و همچنین در امر آموزش معلمان در این نوع مسائل دارد. خصوصا اینکه در حوزه نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر و مقایسه ی پاسخ های آنها در حل مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی و بخصوص براساس نظریه پردازش دوگانه تحقیقات انگشت‌شماری(اندکی) انجام شده است؛ لذا این پژوهش به بررسی و مقایسه نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر پایه هفتم براساس نظریه پردازش دوگانه در پاسخگویی به مسائل تناسبی(مسقیم و معکوس) و مسائل غیرتناسبی می‌پردازد. 

سوالات تحقیق

1)       دانش‌آموزان دختر و پسر پایه هفتم تا چه اندازه مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی را درست حل می‌کنند؟

2)       با توجه به نظریه پردازش دوگانه، عملکرد دانش‌آموزان دختر و پسر پایه هفتم در پاسخ‌گویی به مسائل تناسبی مسقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی چه تفاوتی دارد؟

روش‌ تحقیق 

مطالعه حاضر با 16 دانش آموز پایه‌ی هفتم (8 پسر، 8 دختر) از دو مدرسه مختلف متوسطه دوره اول در استان تهران بصورت مصاحبه‌ی رو در رو و انفرادی انجام شد. به منظور بررسی و مقایسه‌ی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر پایه‌ی هفتم در حل انواع مسائل تناسبی(مستقیم و معکوس) و مسائل غیرتناسبی براساس نظریه پردازش دوگانه (شهودی یا استنتاجی)، از طرح تحقیق توصیفی و استنباطی استفاده شد. هدف طرح تحقیق توصیفی، توصیف یک پدیده و ویژگی های آن در محیط طبیعی آن بدون هیچ گونه مداخله یا دستکاری متغیرها است. در واقع این روش به منظور کشف واقعیتهاي موجود یا آنچه هست انجام می‌شود. به همین دلیل محقق درباره‌ي علت وجودي توزیع بحث نمی کند، بلکه تنها به "چگونگی" آن در جامعه ی مورد پژوهش می پردازد و آن را توصیف می کند. بنابراین، اغلب از ابزارهای مشاهده و نظرسنجی(بررسی) برای جمع آوری داده های توصیفی استفاده می شود (گال، گال، و بورگ، 2007). در این نوع تحقیق، داده‌ها ممکن است به صورت کیفی جمع‌آوری شوند، اما اغلب به صورت کمی و با استفاده از فراوانی‌ها، درصدها یا میانگین‌ها تحلیل می‌شوند (نساجی، 2015).  

جامعه آماری شامل گروهی از افراد، اشیاء یا حوادث می‌باشد که حداقل دارای یک صفت یا ویژگی مشترک هستند. و نمونه گیری تصادفی به مفهوم انتخاب تعدادی از افراد، حوادث و اشیاء از یک جامعه آماری مشخص و بصورت تصادفی به عنوان نماینده آن جامعه است. در پژوهش حاضر، با توجه به محدودیت‌های محقق، شرکت کنندگان این پژوهش از نمونه های در دسترس انتخاب شدند. 16 دانش آموز پایه هفتم شامل 8 دختر و 8 پسر از طریق همسان‌سازی از دو مدرسه مختلف انتخاب شدند، که در این تحلیل، کدهای G1 تا G8 برای دختران و B1 تا B8 برای پسران در نظر گرفته شد. کلیه دانش‌آموزان شرکت‌کنند‌ه در این پژوهش، با مفاهیم نسبت و تناسب مستقیم و معکوس و همچنین مسائل غیرتناسبی بطور کامل آشنا بودند. در این تحقیق گروره های دختر و پسر بر اساس مصاحبه بالینی و کسب یک میانگین، انحراف معیار و واریانس از نمرات تحصیلی دانش‌آموزان و سایر متغیرهای مورد نظر در پژوهش همانندسازی شدند. جدول1، بیان می کندکه در تمام مولفه ها اختلاف معناداری بین دختران و پسران وجود ندارد.

جدول 1. نتایج توصیفی نمرات تحصیلی گروه های دختر و پسر

گروه	تعداد	میانگین	انحراف معیار	واریانس
پسر	8	13/16	96/2	78/8
دختر	8	35/16	00/3	02/9

 برای انجام مصاحبه، تعداد  9 مساله باز پاسخ به دانش‌آموزان هر دو گروه داده شد و از آنها خواسته شد که به این مسائل پاسخ دهند. این مسائل شامل، 3 مساله تناسب مستقیم و 3 مساله تناسب معکوس و 3 مساله غیر تناسبی بودند. همزمان این مصاحبه توسط محقق ضبط شد. 

هدف این ابزار، بررسی و مقایسه‌ی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر پایه‌ی هفتم براساس نظریه پردازش دوگانه در پاسخ‌گویی به این 3 نوع مسائل بود. برای اطمینان از روایی ابزار، از متخصصین آموزش ریاضی خواسته شد تا قضاوت کنند که آیا آیتم های موجود در سؤالات تحقیق با هدف مطالعه مطابقت دارند یا خیر. سپس، موارد(آیتم‌ها) مورد بازنگری قرار گرفت تا اینکه توافق حاصل شد.  سپس، مسائل آزمایشی با 10 دانش‌آموز آزمایش شد تا اطمینان حاصل شود که عبارات(بیان) مساله به راحتی قابل درک هستند و مسائل مرتبط هستند. اگرچه دانش‌آموزان از نظر مدت زمان پاسخگویی به آزمون محدودیتی نداشتند، ولی اکثر دانش‌آموزان در مدت زمان معقولی به مسائل پاسخ دادند. جدول زیر نسخه نهایی مسائل را نشان می‌دهد. 

جدول 2. انواع مسائل تناسبی مستقیم و تناسبی معکوس و مسائل غیر تناسبی مورد استفاده در مصاحبه

مساله	نوع مساله
1) از یک شیر آب در هر 3 ساعت 24 لیتر آب چکه می‌کند. در 6 ساعت چند لیتر آب از این شیر می‌چکد؟	تناسبی مستقیم
2) محمد و رضا دور یک پیست در حال دویدن هستند. آنها با سرعت یکسان می‌دوند. هنگامی که محمد 5 دور دویده است، رضا  15 دور دویده است. اگر محمد 30 دور دویده باشد، رضا چند دور خواهد دوید؟	غیر تناسبی
3) کودکی با سرعت ثابتی می‌دود و دویدن او مدت زمان مشخصی طول می‌کشد. در صورتی که سرعت دویدن او دو برابر شود، مدت زمان دویدن او چقدر خواهد بود؟	تناسبی معکوس
4) گروه سرودی که 6 نفر عضو دارد، سرودی را در 10 دقیقه می‌خوانند. اگر تعداد افراد این گروه سرود را دو برابر، (یعنی 12 نفر) کنیم، خواندن همان سرود چه مدت طول خواهد کشید؟	غیر تناسبی
5) اگر دوچرخه سواری در 2 ساعت 40 کیلومتر طی کند، این دوچرخه سوار با همان سرعت پس از 5 ساعت چند کیلومتر طی خواهد کرد؟	تناسبی مستقیم
6) 3 نقاش، ساختمانی را در 24 ساعت نقاشی می‌کنند. اگر سرعت نقاشی یکسان باشد، معلوم کنید 6 نقاش این ساختمان را در چه مدت نقاشی می‌کنند؟	تناسبی معکوس
7) مادر فاطمه 4 حوله‌ی خیس را روی طناب پهن کرد، بعد از 6 ساعت خشک شدند. مادر بزرگ فاطمه 8 حوله‌ی خیس از همان جنس را روی طناب پهن کرد. چه مدت طول می‌کشد تا خشک شوند؟	غیر تناسبی
8) اگر شخصی روزی 5 صفحه از یک کتاب 200 صفحه‌ای را بخواند 40 روزه این کتاب را می‌خواند. اگر سرعت خواندن کتاب این شخص در هر روز 2 برابر شود، این کتاب چند روزه توسط این شخص خوانده می‌شود؟	تناسبی معکوس
9) روی نقشه، هر 6 سانتی متر نشان دهنده 9 کیلومتر است. 18 سانتی متر نمایانگر چند کیلومتر است؟	تناسبی مستقیم

برای تجزیه و تحلیل داده های جمع آوری شده از روش های تحلیل توصیفی و استنباطی استفاده شد. در تجزیه و تحلیل داده های توصیفی، داده ها را می توان بر اساس مضامین از پیش تعیین شده مرتب کرد یا با در نظر گرفتن سؤالات یا ابعاد مورد استفاده در فرآیند مصاحبه یا مشاهده ارائه کرد. علاوه بر این، نساجی (2015) اظهار داشت که در تحقیق توصیفی، داده ها ممکن است به صورت کیفی جمع آوری شوند، اما اغلب به صورت کمی و با استفاده از فراوانی‌ها، درصدها یا میانگین‌ها برای تعیین روابط تحلیل می شوند. داده ها بر اساس برخی کدهای از پیش تعیین شده بر اساس ادبیات(نوشتجات) مرتب شده اند.

این کدها نوع تفکر دانش‌آموزان در حل مسائل تناسبی مستقیم و مسائل غیرتناسبی براساس نظریه پردازش دوگانه مشخص می‌کردند، که عبارت بودند از «شهودی درست»، «شهودی نادرست»⁶⁷، «استنتاجی درست» و «استنتاجی نادرست»⁶⁸. برای اینکه پاسخ‌های «شهودی درست»، «شهودی نادرست»، «استنتاجی درست» و «استنتاجی نادرست» را دقیقا شناسایی کنیم براساس پروتکل زیر (جدول 3-3) در نظر گرفتیم. علاوه بر این، برخی از مسائل بی پاسخ وجود داشت، که در گروه «استنتاجی نادرست» قرار گرفت. کدگذاری داده‌ها با همکاری محقق و یک متخصص آموزش ریاضی(آموزشگر ریاضی) انجام شد. که پس از مطالعه فراوان، اختلافات را مورد بحث قرار دادند تا اینکه به اجماع رسیدند. در ادامه پروتکل مورد استفاده برای شناسایی دقیق انواع پاسخ‌های شهودی و استنتاجی معرفی می شود

1. پاسخهای شهودی

الف) پاسخ‌های شهودی درست

الف-1: پاسخ سریع - درست - بدون استفاده از قلم و کاغذ- ناقص و رد شدن از مساله

الف-2: پاسخ سریع - درست - بدون استفاده از قلم و کاغذ- کامل و رد شدن از مساله

الف-3: ابتدا پاسخ سریع نادرست- تردید در پاسخ داده شده- اصلاح سریع پاسخ و رسیدن به پاسخ درست در مدت زمان کوتاه

ب) پاسخ‌های شهودی نادرست

ب-1: پاسخ سریع نادرست-تردید در پاسخ داده شده- ویرایش سریع پاسخ و ارائه پاسخ نادرست دیگر در مدت زمان کوتاه

ب-2: پاسخ سریع نادرست - بلافاصله رد شدن از مساله توسط دانش آموز

ب-3: ابتدا پاسخ سریع درست-تردید در پاسخ داده شده- ویرایش سریع پاسخ و ارائه پاسخ نادرست در مدت زمان کوتاه

2. پاسخ استنتاجی

ج) استنتاجی درست

ج-1) ارائه پاسخ درست - بدون استفاده از قلم و کاغذ ( پاسخ شفاهی)، با صرف زمان زیاد جهت تفکر و تحلیل

ج-2) ارائه پاسخ درست - با استفاده از قلم و کاغذ، با صرف زمان زیاد جهت تفکر و تحلیل

ج-3) ابتدا پاسخ نادرست- تردید در پاسخ داده شده- ویرایش پاسخ و رسیدن به پاسخ درست با صرف زمان بیشتر

د) استنتاجی نادرست

د-1) ارائه پاسخ نادرست- استفاده از تناسب مستقیم در مساله های تناسبی معکوس، با صرف زمان زیاد جهت تفکر و تحلیل

د-2) ارائه پاسخ نادرست- استفاده از تناسب مستقیم در مساله های غیر تناسبی، با صرف زمان زیاد جهت تفکر و تحلیل

د-3) ارائه پاسخ و راه حل نادرست با راه حلی غیرمنطقی و نادرست برای مساله‌های تناسبی مستقیم، با صرف زمان زیاد جهت تفکر و تحلیل

د-4) ابتدا پاسخ سریع نادرست- تردید در پاسخ داده شده- ویرایش پاسخ و عدم رسیدن به پاسخ درست با صرف زمان بیشتر

د-5) سئوالات "بدون پاسخ" یا سئوالاتی که دانش‌آموز پس از صرف زمان زیاد جهت تفکر و تحلیل از کلمه "نمی‌دانم" استفاده کرده است.

یافته‌ها

در این بخش، یافته‌های تحقیق بر اساس پاسخ‌های دو گروه از دانش‌آموزان دختر و پسر ارائه شده است.

فراوانی پاسخ‌های صحیح دانش‌آموزان گروه دختر به 3 نوع مساله: این ابزار(پرسشنامه) دارای 9 مساله از نوع تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی بود که در جدول 3، مشاهده می‌شود، که فراوانی و درصد پاسخ‌های داده شده‌ی دانش‌آموزان دختر براساس نظریه پردازش دوگانه برای حل این مسائل را نشان می‌دهد.

جدول 3. جدول فراوانی پاسخ‌های صحیح گروه دختران به 3 نوع مساله

دختران	شماره سئوالات	G1	G2	G3	G4	G5	G6	G7	G8	مجموع	درصد
تناسبی مستقیم	(1-5-9)	2	1	3	3	3	3	3	0	18	75%
تناسبی معکوس	(3-6-8)	0	3	2	1	3	2	3	1	15	62.50%
غیر تناسبی	(2-4-7)	0	0	0	1	0	0	2	1	4	16.67%

تجزیه و تحلیل داده‌های مسائل نشان داد که 75 درصد دانش‌آموزان دختر به مسائل تناسبی مستقیم پاسخ درست داده‌اند. همچنین 62.5 درصد دانش‌آموزان دختر به مسائل تناسبی معکوس  پاسخ‌ درست داده‌اند. و همچنین 16.67 درصد دانش‌آموزان دختر به مسائل غیرتناسبی پاسخ درست داده‌اند. نمودار میله‌ای درصد پاسخ‌های درست داده شده گروه دختران به مسائل بصورت زیر است: 

 

 

نمودار 1. نمودار درصد پاسخ‌های صحیح دانش‌آموزان دختر به 3 نوع مساله

به نظر می‌رسد که گروه دختران بیشترین پاسخ صحیح را به مسائل تناسبی مستقیم داده‌اند، و کمترین پاسخ صحیح را به مسائل غیرتناسبی داده‌اند.

فراوانی پاسخ‌های صحیح دانش‌آموزان گروه پسر به سه نوع مساله: این ابزار(پرسشنامه) دارای 9 مساله از نوع تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی بود که در جدول 4، مشاهده می‌شود، که فراوانی و درصد پاسخ‌های داده شده‌ی دانش‌آموزان پسر براساس نظریه پردازش دوگانه برای حل این مسائل را نشان می‌دهد.

جدول 4. جدول فراوانی پاسخ‌های صحیح گروه پسران به 3 نوع مساله

پسران	شماره سئوالات	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	مجموع	درصد
تناسبی مستقیم	(1-5-9)	0	3	2	2	2	3	2	3	17	70.83%
تناسبی معکوس	(3-6-8)	1	3	3	3	0	3	2	2	17	70.83%
غیر تناسبی	(2-4-7)	0	0	0	2	0	2	0	0	4	16.67%

تجزیه و تحلیل داده‌های مسائل نشان داد که 70.83 درصد دانش‌آموزان پسر به مسائل تناسبی مستقیم پاسخ درست داده‌اند. همچنین 70.83 درصد دانش‌آموزان پسر به مسائل تناسبی معکوس  پاسخ‌ درست داده‌اند. و همچنین 16.67 درصد دانش‌آموزان پسر به مسائل غیرتناسبی پاسخ درست داده‌اند.  نمودار میله‌ای درصد پاسخ‌های درست داده شده گروه پسران به مسائل بصورت زیر است:

 

نمودار 2. نمودار درصد پاسخ‌های صحیح دانش‌آموزان پسر به 3 نوع مساله

 

به نظر می‌رسد که درصد پاسخ‌های صحیح گروه پسران به مسائل تناسبی مستقیم و معکوس در حد قابل قبول و یکسان بوده است، و کمترین پاسخ صحیح را به مسائل غیرتناسبی داده‌اند.

جدول 5. جدول مربوط به سطح معنی‌داری

	مساله 1	مساله 2	مساله 3	مساله 4	مساله 5	مساله 6	مساله 7	مساله 8	مساله 9
سطح معنی داری	0.157	0.157	0.013	0.001	0.724	1.000	0.077	0.289	0.157

با توجه به سطوح معنی­­داری بدست آمده اختلاف معنی‌داری بین تعداد پاسخ شهودی و استنتاجی در سوالات 1،2،5،6،7،8،9 وجود ندارد. در سوالات 3 و 4 اختلاف معنی‌دار است و دانش‌آموزان بیشتر از روش شهودی استفاده کرده‌اند.

مقایسه‌ی درصد پاسخ‌های صحیح گروه دختران و پسران: نمودار میله‌ای درصد پاسخ‌های دو گروه دختر و پسر بصورت زیر است:

 

نمودار 3. نمودار مقایسه درصد پاسخ‌های صحیح دانش‌آموزان دختر و پسر به 3 نوع مساله

 

با توجه به نمودار 3 به نظر میرسد که در مسائل تناسبی مستقیم درصد پاسخ‌های درست گروه دختران از گروه پسران بالاتر بوده است، و گروه دختران در این مسائل عملکرد بهتری داشتند. ولی در مسائل تناسبی معکوس درصد پاسخ‌های درست گروه پسران از گروه دختران بالاتر بوده است، و گروه پسران در این مسائل عملکرد بهتری داشتند. همچنین در مسائل غیرتناسبی، درصد پاسخ‌های درست دو گروه یکسان بوده است و هر دو گروه عملکرد ضعیفی در این نوع مسائل داشته‌اند.

در ادامه بررسی پاسخ‌های گروه دختران به هر سه نوع مساله از نظر شهودی و استنتاجی بررسی می شود. 

جدول 6. جدول فراوانی پاسخ‌های گروه دختران به هر سه نوع مساله از نظر شهودی و استنتاجی

دختران	G1	G2	G3	G4	G5	G6	G7	G8	مجموع	درصد
تعداد کل پاسخهای شهودی	5	9	4	5	7	1	7	2	40	55.56%
تعداد پاسخهای شهودی درست	2	4	3	3	4	1	7	1	25	62.50%
تعداد پاسخهای شهودی غلط	3	5	1	2	3	0	0	1	15	37.50%
تعداد کل پاسخهای استنتاجی	4	0	5	4	2	8	2	7	32	44.44%
تعداد پاسخ استنتاجی درست	0	0	2	2	2	4	1	1	12	37.50%
تعداد پاسخ استنتاجی غلط	4	0	3	2	0	4	1	6	20	62.50%
تعداد کل پاسخهای درست	2	4	5	5	6	5	8	2	37	51.39%
تعداد کل پاسخهای نادرست	7	5	4	4	3	4	1	7	35	48.61%

 

 

نمودار 4. نمودار درصد پاسخ‌های گروه دختران به هر سه نوع مساله از نظر شهودی و استنتاجی

با توجه به جدول و نمودار بالا به نظر می‌رسد که گروه دختران به 3 نوع مساله بیشتر بصورت شهودی پاسخ داده‌اند(55.56 درصد) تا استنتاجی(44.44 درصد). همچنین به میزان 62.5 درصد پاسخ‌های شهودی بصورت درست و 37.5 درصد آن بصورت نادرست بوده است. و همچنین به میزان 37.5 درصد درصد پاسخ‌های استنتاجی بصورت درست و 62.5 درصد آن بصورت نادرست بوده است.

در ادامه بررسی پاسخ‌های گروه پسران به هر سه نوع مساله از نظر شهودی و استنتاجی بررسی می شود. 

جدول 7. جدول فراوانی پاسخ‌های گروه پسران به هر سه نوع مساله از نظر شهودی و استنتاجی

پسران	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	مجموع	درصد
تعداد کل پاسخهای شهودی	8	2	6	7	5	7	3	5	43	59.70%
تعداد پاسخهای شهودی درست	1	1	4	6	1	7	1	3	24	55.80%
تعداد پاسخهای شهودی غلط	7	1	2	1	4	0	2	2	19	44.20%
تعداد کل پاسخهای استنتاجی	1	7	3	2	4	2	6	4	29	40.30%
تعداد پاسخ استنتاجی درست	0	5	1	1	1	1	3	2	14	48.28%
تعداد پاسخ استنتاجی غلط	1	2	2	1	3	1	3	2	15	51.72%
تعداد کل پاسخهای درست	1	6	5	7	2	8	4	5	38	52.78%
تعداد کل پاسخهای نادرست	8	3	4	2	7	1	5	4	34	47.22%

                

نمودار 5. نمودار درصد پاسخ‌های گروه پسران به هر سه نوع مساله از نظر شهودی و استنتاجی

با توجه به جدول 7 و نمودار 5 به نظر می‌رسد که گروه پسران به 3 نوع مساله بیشتر بصورت شهودی پاسخ داده‌اند(59.7 درصد) تا استنتاجی(40.3 درصد). همچنین به میزان 55.8 درصد پاسخ‌های شهودی بصورت درست و 44.2 درصد آن بصورت نادرست بوده است. و همچنین به میزان 48.28 درصد درصد پاسخ‌های استنتاجی بصورت درست و 51.72 درصد آن بصورت نادرست بوده است.

در ادامه مقایسه‌ی درصد پاسخ‌های شهودی و استنتاجی گروه دختران و پسران ارائه می شود. نمودار میله‌ای درصد پاسخ‌های شهودی و استنتاجی دو گروه بصورت زیر است:

 

نمودار 6. نمودار میله‌ای درصد پاسخ‌های شهودی و استنتاجی دو گروه

با توجه به نمودار بالا، مشاهده می‌شود که در بررسی پاسخ‌های شهودی دو گروه، درصد پاسخ‌های شهودی گروه پسران بیشتر از دختران بوده است. همچنین درصد پاسخ‌های درست شهودی گروه دختران بیشتر از گروه پسران بوده است. همچنین مشاهده می‌شود که در بررسی پاسخ‌های استنتاجی دو گروه، درصد پاسخ‌های استنتاجی گروه دختران بیشتر از پسران بوده است. ولی درصد پاسخ‌های درست استنتاجی گروه پسران بیشتر از گروه دختران بوده است.

بحث و نتیجه­گیری

این پژوهش به مقایسه‌ی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر پایه‌ی هفتم بر اساس نظریه پردازش دوگانه در پاسخ به مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیر تناسبی پرداخت. نظریه فرآیند دوگانه، تفکر انسان را به عنوان تعامل یک سیستم سریع، خودکارتر و شهودی (سیستم یا نوع 1) و یک سیستم کندتر، کنترل شده و مشورتی تر (سیستم یا نوع 2) تصور می کند(باگو⁶⁹، 2018). بر اساس دیدگاه باگو (2018) غالب‌ترین دیدگاه در مورد فرآیندهای دوگانه، مدل پیش‌فرض مداخله‌گرایانه است. این یک تعامل سریالی بین دو سیستم را ایجاد می کند. هنگامی که شخصی با مساله‌ی استدلال مواجه می شود، در ابتدا یک پاسخ بصری(شهودی) سیستم 1 شکل می گیرد. سپس، پس از آن، سیستم 2 ممکن است درگیر فرآیند شود. نظریه پردازان برجسته فرآیند دوگانه استدلال می کنند که سوگیری استدلال در نتیجه شهود اشتباه سیستم 1 رخ می دهد. تصور می‌شود که سیستم 1 می‌تواند پاسخ‌هایی را براساس نشانه‌های "اکتشافی" مانند کلیشه‌ها به جای اصول منطقی ریاضی ایجاد کند. در مواردی که نشانه‌های اکتشافی با اصول منطقی-ریاضی در تضاد هستند، سیستم 2 باید به منظور تصحیح شهودهای اولیه شکل‌گرفته شده (توسط) سیستم 1، وارد عمل شود و بر اساس اصول منطقی قضاوت کند. نظریه پردازش دوگانه نشان می‌دهد که معمولاً استدلال‌کنندگان به‌طور پیشفرض پاسخ شهودی و سریع (نوع 1) تولید می‌کنند، و سپس، ممکن است بار دیگر این پاسخ با پردازش‌های سنجیده‌تر (نوع 2) رد شود(باگو، 2018).

با توجه به مشاهدات انجام شده در این پژوهش، بعضی از دانش‌آموزان به تعدادی از سئوالات ابتدا و بلافاصله پاسخ شهودی نادرست می‌دادند، ولی وقتی زمان کافی در اختیار آنها قرار می‌گرفت تا بیشتر تفکر و تحلیل کنند در اینصورت پس از مدتی تفکر و تجزیه و تحلیل به همان سئوال پاسخ درست می‌دادند که در گروه استنتاجی درست قرار می‌گیرد. نتیجه این قسمت از مطالعه با پژوهش باگو (2018) که درباره آزمون فرض اصلاحی نظریه پردازش دوگانه در استدلال با مدل پیش‌فرض مداخله‌گرایانه بود همخوانی دارد. و همچنین نتایج حاصل از مطالعه بورودین (2016) را تایید می کند.

با توجه به 3 نوع مساله (مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی)، مشخص شد که تعداد و درصد پاسخ‌های شهودی دانش‌آموزان پسر کمی بیشتر از تعداد و درصد پاسخ‌های شهودی دختر بوده است. ولی میزان پاسخ های درست گروه دختران از گروه پسران بیشتر بوده است. با توجه به 3 نوع مساله (مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیرتناسبی)، مشخص شد که گروه دختران در مسائل تناسبی مستقیم عملکرد بهتری را نسبت به تناسبی معکوس داشتند و همچنین در مسائل غیرتناسبی عملکرد بسیار ضعیفی داشتند. بطوریکه تعداد پنج نفر از دانش‌آموزان دختر به هیچکدام از مسائل غیرتناسبی پاسخ درست ندادند. همچنین مشخص شد که گروه پسران در پاسخگویی به مسائل تناسبی مستقیم و معکوس عملکرد یکسانی داشتند و بمانند گروه دختران در پاسخگویی به مسائل غیرتناسبی عملکرد بسیار ضعیفی داشتند بطوریکه شش نفر از آنها به هیچکدام از مسائل غیرتناسبی پاسخ درست ندادند. همچنین اغلب دانش‌آموزانی که به مسائل غیر تناسبی پاسخ نادرست داده‌اند تمایل داشتند که این نوع مسائل را با راهبردهای مسائل تناسبی مستقیم حل کنند.

در گروه دختران دانش‌آموز G1 و G8 ضعیف‌ترین عملکرد را نسبت به بقیه دختران داشته‌اند، بطوریکه فقط به 2 مساله پاسخ درست داده‌اند. همچنین در گروه پسران دانش‌آموز B1 ضعیف‌ترین عملکرد را نسبت به بقیه پسران داشته است، بطوریکه فقط به یک مساله پاسخ درست داده است. همچنین این دانش‌آموز (B1) ضعیفترین عملکرد را نسبت به کل دانش‌آموزان هر دو گروه دختر و پسر در پاسخ‌گویی به سئوالات داشته است.

همچنین مساله 2 دارای کمترین پاسخ درست بوده است که فقط 3 نفر به آن پاسخ درست داده‌اند. اکثر دانش‌آموزان مساله 2 را که یک مساله غیر تناسبی از نوع جمعی است را به اشتباه، تناسبی مستقیم در نظر می‌گرفتند، که منجر به پاسخ اشتباه می‌شد. نتایج این قسمت از پژوهش، نتایج حاصل از مطالعه گیلارد، ون دورن، شائکن و ورسچافل (2009 ب) که درباره تمایل بزرگسالان به دادن جواب‌های تناسبی به مسأله‌های ریاضی غیر تناسبی تحقیق کردند را تایید می‌کند.

 علاوه بر این، بررسی‌ها نشان داد که زمینه مساله بر راهبردهای حل دانش‌آموزان هر دو گروه تأثیر گذاشت. مثلا؛ هر دو گروه زمانیکه با مسائل غیر تناسبی مواجه شدند،  اغلب از استراتژی‌های افزودنی نادقیق(جمعی نادرست) و یا از راهبرد ضرب متقاطع استفاده می‌کردند، اگرچه آنها می‌توانستند از استراتژی‌های تناسبی درست در زمینه مسائل تناسبی مستقیم استفاده کنند. دلیل ممکن است این باشد که مسائل تناسبی مستقیم یک زمینه‌ای است که در کتاب‌های درسی تا پایه هفتم بیشتر مورد توجه قرار گرفته است.

به گفته هلر، اهلگرن، پست، بهر و لش (1989)، زمانی که دانش‌آموزان با زمینه مساله کمتر آشنا مواجه شدند، دشواری مساله افزایش یافت. به روشی مشابه، نتایج مطالعات هلر و همکاران (1989) و کرامر و پست (1993) نشان داد که زمینه مساله بر دشواری مساله تأثیر می‌گذارد.

با توجه به سطوح معنی­­داری بدست آمده اختلاف معنی‌داری بین تعداد پاسخ شهودی و استنتاجی در سوالات 1،2،5،6،7،8،9 وجود ندارد. در سوالات 3 و 4 اختلاف معنی‌دار است و دانش‌آموزان بیشتر از روش شهودی استفاده کرده‌اند. همچنین این پژوهش نشان داد که بطور کلی، اکثر دانش‌آموزانی که به مسائل غیر تناسبی پاسخ نادرست دادند، در تشخیص مسائل تناسبی مستقیم و مسائل غیر تناسبی از یکدیگر با مشکل مواجه بودند. و اکثرا مایل بودند که مسائل غیر تناسبی را با روش تناسبی مستقیم حل کنند. نتایج این قسمت از پژوهش با نتایج حاصل از مطالعه بن‌چایم، کرت و ایلانی (2012) و  کرامر، پست و کوریر(1993) و لیم(2009) و اوریل، آیزاک، کوهن، تمپلین و لوباتو(2010) مطابقت دارد.

محققان آموزش ریاضیات بیش از پیش از نظریه پردازش دوگانه به عنوان چارچوب تحلیلی ارزشمندی برای ارزیابی و بهبود استدلال ریاضی دانش‌آموزان آگاه هستند. درحالیکه نظریه پردازش دوگانه برای مطالعه آموزش ریاضی تنها در ابتدای راه خود است این مسیر تحقیق با سرعت و تاثیر زیاد شروع به پیشروی می‌کند (مورسانی، بوسدراقی و پریمی ، 2014).

در این مطالعه محقق به بررسی و مقایسه‌ی نوع تفکر و پاسخ‌های دانش‌آموزان دختر و پسر پایه هفتم در حل مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیر تناسبی براساس نظریه پردازش دوگانه پرداخت، تا مشخص کند که اولا تا چه اندازه دانش‌آموزان دختر و پسر به سئوالات پاسخ درست می‌دهند. و ثانیا در حل این نوع مسائل از روش شهودی استفاده می‌کنند یا روش استنتاجی. نتایج پژوهش نشان داد که بطور کلی دانش‌آموزان هر دو گروه بیشتر بطور شهودی به مسائل پاسخ دادند. ولی درصد پاسخ‌های درست گروه دختران از پسران بیشتر بوده است. همچنین در مسائل غیر تناسبی اکثر پاسخ‌های شهودی و استنتاجی هر دو گروه بصورت نادرست بوده‌اند، که به نظر می‌رسد بدلیل عدم تشخیص درست این نوع مسائل از مسائل تناسبی (مستقیم و معکوس) و معمولا استفاده از استراتژی‌های تناسبی نادرست برای حل این نوع مسائل است. همچنین این پژوهش نشان داد که بطور کلی، اکثر دانش‌آموزانی که به مسائل غیر تناسبی پاسخ نادرست دادند، در تشخیص مسائل تناسبی مستقیم و معکوس و مسائل غیر تناسبی از یکدیگر با مشکل مواجه بودند. و اکثرا مایل بودند مسائل غیر تناسبی را با روش تناسبی حل کنند.

در پایان پیشنهاد می‌شود که محققان دیگر، اولا این موضوع را در دیگر پایه‌های تحصیلی و ثانیا در دیگر موضوعات و مباحث ریاضی نیز بررسی کنند. که اینکار می‌تواند اطلاعات بسیار مهمی از نحوه تفکر و پاسخگویی دانش‌آموزان در حل مسائل مختلف ریاضی در اختیار معلمان قرار دهد تا با تغییر و اصلاح روش‌های آموزش و تدریس خود، یادگیری دانش‌آموزان را بهبود بخشند. 

منابع

احمدی، غلامعلی، ریحانی، ابراهیم، نخستین روحی، ندا. (1394). تأثير آموزش مبتني بر گفتمان رياضي بر توانايي استدلال رياضي دانش‌آموزان دوره ي متوسطه. مجله ي روان شناسي مدرسه، 4(1): 22-37.

اسکمپ، ریچارد. (1989). " فهم رابطه‌ای و فهم ابزاری، ترجمه رضا حیدری قزلجه، گویا، زهرا. (1381). مجله رشد آموزش ریاضی، 15-4. 

بازرگان، عباس. (1387). مقدمه‌ای بر روش‌های تحقیق‌های کیفی و آمیخته، رویکردهای متداول در علوم رفتاری. تهران: انتشارات دیدار. 

خاکی، غلامرضا. (1383). روش تحقیق در مدیریت، مرکز انتشارات علمی دانشگاه آزاد اسلامی، چاپ سوم. 

شیخ الاسلامی، علی، امیدوار، عظیم. (1396). اثربخشی آموزش تفکر انتقادی بر سبک حل مساله‌ی (کارآمد و ناکارآمد) دانش‌آموزان. مجله‌ی روان‌شناسی مدرسه، 6(2): 83-99.

طاهرزاده بروجنی، نسترن و ربیعی، مهدی. (1390). مروری بر حل مساله ریاضی در دوره ابتدایی. مجله آموزش ریاضی، 28(4): 28-50.

 گویا، زهرا (1377). نقش فراشناخت در یادگیری حل مساله ریاضی. مجله رشد آموزش ریاضی، 11(3): 20-32.

گویا، زهرا (1377). نقش فراشناخت در یادگیری حل مساله ریاضی. مجله رشد آموزش ریاضی، 11(3): 20-32.

Attridge, N., & Inglis, M. (2015). Increasing cognitive inhibition with a difficult prior task: implications for mathematical thinking, 47(5), 723-734.

Ayan, R., & Işıksal-Bostan, M. (2019). Middle school students’ proportional reasoning in real life contexts in the domain of geometry and measurement. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 50(1), 65-81.

Bago, B. (2018). Testing the corrective assumption of dual process theory in reasoning (Doctoral dissertation, Sorbonne Paris Cité).

Beckmann, S. (2011). From the common core to a community of all mathematics teachers. The Mathematics Educator, 20(2), 100-124.

Ben-Chaim, D., Fey, J. T., Fitzgerald, W. M., Benedetto, C., & Miller, J. (1998). Proportional reasoning among 7th grade students with different curricular experiences. Educational Studies in Mathematics, 36(3), 247-273.

Borodin, A. (2016). The need for an application of dual-process theory to mathematics education. Cambridge Open-Review Educational Research e-Journal, 3(4), 12-25.

Burton, L. (1984). Mathematical thinking: The struggle for meaning. Journal for research in mathematics education, 15(1), 35-49.

Cramer, K., Post, T., & Behr, M. (1989). Interpreting proportional relationships. Mathematics Teacher, 82(6), 445-452.

Cramer, K. A., Post, T., & Currier, S. (1993). Learning and teaching ratio and proportion: Research implications: Middle grades mathematics. In Research ideas for the classroom: Middle grades mathematics (pp. 159-178). Macmillan Publishing Company.

Cramer, K., Post, T., & Graeber, A. O. (1993). Connecting research to teaching: Proportional reasoning. The Mathematics Teacher, 86(5), 404-407.

Ersoy, E., & Guner, P. (2015). The place of problem solving and mathematical thinking in the mathematical teaching. The Online Journal of New Horizons in Education-January, 5(1), 120-130.

Evans, J. S. B. (2003). In two minds: dual-process accounts of reasoning. Trends in cognitive sciences, 7(10), 454-459.

Evans, J. S. B. (2010). Thinking twice: Two minds in one brain. Oxford University Press.

Evans, J. S. B., & Stanovich, K. E. (2013). Dual-process theories of higher cognition: Advancing the debate. Perspectives on psychological science, 8(3), 223-241.

Frankish, K. (2015). Dennett’s dual-process theory of reasoning. In Content and consciousness revisited (pp. 73-92). Springer, Cham.

Gillard, E., Van Dooren, W., Schaeken, W., & Verschaffel, L. (2009a). Dual processes in the psychology of mathematics education and cognitive psychology. Human Development, 52(2), 95-108

Gillard, E., Van Dooren, W., Schaeken, W., & Verschaffel, L. (2009b). Proportional reasoning as a heuristic-based process: time constraint and dual task considerations. Experimental Psychology, 56(2), 92-99.

Gómez-Chacón, I. M., García-Madruga, J. A., Vila, J. Ó., Elosúa, M. R., & Rodríguez, R. (2014). The dual processes hypothesis in mathematics performance: Beliefs, cognitive reflection, working memory and reasoning. Learning and Individual Differences, 29, 67-73.

Heller, P. M., Ahlgren, A., Post, T., Behr, M., & Lesh, R. (1989). Proportional reasoning: The effect of two context variables, rate type, and problem setting. Journal of Research in Science Teaching, 26(3), 205-220.

Lamon, S. J. (1995). Ratio and proportion: Elementary didactical phenomenology. Providing a foundation for teaching mathematics in the middle grades, 167-198.

Lamon, S.J. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers. Routledge.

Leron, U., & Hazzan, O. (2006). The Rationality Debate: Application of Cognitive Psychology to Mathematics Education. Educational Studies in Mathematics, 62(2), 105–126.

Lim, K. H. (2009). Burning the candle at just one end. Mathematics Teaching in the Middle School, 14(8), 492-500.

Özgün-Koca, S. A., & Kayhan-Altay, M. (2009). An investigation of proportional reasoning skills of middle school students. Investigations in Mathematics Learning, 2(1), 26-48.

Park, J. S., Park, J. H., & Kwon, O. N. (2010). Characterizing the proportional reasoning of middle school students. Seoul National, University Journal of Education Research, 19(5), 119–144.

Pişkin-Tunç, M. (2020). Investigation of Middle School Students’ Solution Strategies in Solving Proportional and Non-proportional Problems. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education (TURCOMAT), 11(1), 1-14.

Watson, A. (2001). Instances of mathematical thinking among low attaining students in an ordinary secondary classroom. The Journal of Mathematical Behavior, 20(4), 461-475.

 

 

---

[1] . دانشجوی دکتری آموزش ریاضی، گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران. [e-mail] 

[2] . استادیار گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران (نویسنده مسئول)[e-mail] 

[3] . دانشیار گروه ریاضی، واحد همدان، دانشگاه آزاد اسلامی، همدان، ایران[e-mail] 

[4] . استاد تمام گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران[e-mail] 

[5] .Watson 

[6] . Yildirim

[7] . Esen Ersoy, Pinar Guner

[8] . Burton

[9] . Ratio and Proportion

[10] . Pişkin-Tunç

[11] . Lamon

[12] . Cramer, Post & Currier

[13] . Ben-Chaim, Fey, Fitzgerald, Benedetto & Miller

[14] . Lo & Watanabe

[15] . Covariance

[16] . Invariance

[17] . Lesh, Post, and Behr

[18] . The cornerstone of higher mathematics and the capstone of elementary concepts

[19] . Keret, & Ilany

[20] . The National Council of Teachers of Mathematics

[21] . Ayan & Işıksal-Bostan

[22] . Atabaş & Öner

[23] . Keramer

[24] . Özgün-Koca & Kayhan-Altay

[25] . Toluk-Uçar & Bozkuş

[26] . formal reasoning (inferential or analytical)

[27] . Attridge & Inglis

[28] . Babai, Shalev, & Stavy

[29] . Leron & Hazzan

[30] . Stanovich & West

[31] . heuristic or intuitive

[32] . analytical (inferential)

[33] . Borodin 

[34] . Heller

[35] . Park, Park, & Kwon

[36] . numerical comparison problems

[37] . missing-value problems

[38] . Lobato and Ellis  

[39] . Van-de-Walle, Karp, & Bay-Williams

[40] . Beckmann

[41] . directly proportional relationship

[42] . inversely (indirectly) proportional relationship

[43] . quotient (ratio) 

[44] . non-proportional problems

[45] . Van Dooren, De Bock, Hessels, Janssens, & Verschaffel

[46] . additive problems

[47] . constant problems

[48] . linear problems

[49] . Janet and Jeanette

[50] . word problem

[51] . Lisa and Linda

[52] . affine function

[53] . Proportional reasoning

[54] . Vleugels

[55] . cross-multiplication

[56] . Siegler

[57] . The building–up process

[58] . abbreviated building-up process

[59] . unit rate (factor) approach

[60] . The formal equation-based approach

[61] 2. Hilton, Hilton, Dole, & Goos

[62] . Gillard, Van Dooren, Schaeken and Verschaffel

[63] . Gómez-Chacon, García- Madruga, Vila, Elosúa and Rodríguez

[64] . Evans 

[65] . Ellen and Kim

[66] . under a short time limit or under a working memory load

[67] . "correct intuition", "incorrect intuition"

[68] . "correct inference (inferential)" and "incorrect inference (inferential)" 

[69] . Bago

Comparing the type of thinking and answers of male and female students in solving proportional problems based on dual processing theory

Ali Mohammadian Khatir¹, Amir Ali Tabatabaei Adnani², Ali Barahmand³, Mohammad Ali Faribourzi Araghi⁴

Abstract:

Purpose: The purpose of this study is to investigate the type of thinking and responses of seventh grade male and female students based on dual processing theory in solving direct and inverse proportional problems and non-proportional problems and comparing them with each other.

Method: The method of this research was quantitative-descriptive and practical in terms of purpose. Data were collected from 16 seventh grade students from two different public schools from the first period of secondary school. Students were asked to solve 9 open-ended problems, which included 3 direct proportional problems, 3 inverse proportional problems, and 3 non-proportional problems.

Findings: The results showed that in direct and inverse proportional problems and non-proportional problems, the students of both groups answered the questions correctly. In the section of intuitive and inferential answers related to all three types of problems, the group of boys answered the questions more intuitively than the group of girls, but the correct intuitive and inductive answers of the group of girls were more than the group of boys. Also, in non-proportional problems, most of the intuitive and inferential answers of both groups were incorrect. Also, in the examination of 9 questions, it was found that there is a significant difference in questions 3 and 4, and most of the students of the two groups used the intuitive method to answer the questions.

Conclusion: It can be concluded that the type of thinking used by seventh grade male and female students in solving direct and inverse proportional problems and non-proportional problems based on dual processing theory can lead to better results in education.

Keywords: dual processing theory, direct and inverse proportion, disproportion problems.

---

[1]  - Ph. D. Candidate in Mathematics Education, Department of Mathematics, Central Tehran Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran. [e-mail]

[2]  - Assistant Professor of Mathematics, Department of Mathematics, Central Tehran Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran. (Corresponding Author) [e-mail]

[3]  - Associate Professor of Mathematics, Department of Mathematics, Hamedan Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran. Corsponding Author, [e-mail]  

[4]  - Full Professor of Mathematics, Department of Mathematics, Central Tehran Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran. [e-mail]