توابع حافظ گسترشی روی ماتریس های قطعه ای
محورهای موضوعی : آنالیز
امیرقاسم غضنفری
1
,
سميه ملكي نژاد
2
,
حمیده محمدزاده کان
3
1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه لرستان، خرم آباد، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران
3 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران
کلید واژه: تابع ماتریس گسترشی, تابع یکنوای ماتریسی, ماتریس گسترشی, ماتریس قطعه ای, میانگین ماتریسی.,
چکیده مقاله :
در دهههای اخیر، نامساویهای میانگین ماتریسی برای ماتریسهای مثبت مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است و به دنبال آن، چگونگی این نامساویها روی ماتریسهای قطعهای حائز اهمیت است. در این مقاله، ما چندین نامساوی میانگین برای ماتریسهای قطعهای را به دست آوردهایم که برخی از این نامساویها توسعهای از نتایج بدست آمده توسط بدرانی و همکارانش میباشد. به عنوان نمونه، برای یک نگاشت خطی مثبت یکانی ، ماتریسهای قطعهای و ، تابع حقیقیمقدار و حافظ گسترشی ، و میانگینهای دلخواه ، نامساوی مهم زیر را اثبات نمودیم:
این نامساوی برای ماتریسهای مثبت و میانگینهای هارمونیک و هندسی به صورت زیر میباشد:
از جمله نتایج دیگر مقاله، با شرایط فوق، میتوان به نامساوی مفید زیر اشاره کرد:
در ادامه، به عنوان کاربردهایی از این نامساویها، حالت نرمی، دترمینان و مقادیر تکین برای ماتریسهای قطعهای را بیان و اثبات نمودهایم. درپایان نیز مثالهایی را برای نشان دادن اهمیت نامساویهای اثباتشده در مقاله آوردهایم.
Abstract
In recent decades, matrix mean inequalities for positive matrices have been studied and investigated, and it is important to understand how these inequalities are applied to piecewise matrices. In this paper, we have obtained several mean inequalities for sector matrices, some of which are extensions of the results obtained by Bedrani et al. For example, for a positive unitary linear mapping 
, sector matrices 
and 
, a real-valued function preserving 
, and arbitrary means 
, we have proved the following important inequality:
,
This inequality for positive matrices and harmonic and geometric means is as follows:
.
Among the other results of the article, with the above conditions, we can mention the following useful inequality:
.
In the following, as applications of these inequalities, we have stated and proved the smoothness condition, determinant, and singular values for piecewise matrices. Finally, we have given examples that express the importance of the inequalities proved in the article.
[1] Bedrani, Y., Kittaneh, F., Sababheh, M. (2021). From positive to accretive matrices. Positivity, 25(4), 1601–1629.
[2] Bedrani, Y., Kittaneh, F., Sababheh, M. (2021). Numerical radii of accretive matrices. Linear and Multilinear Algebra, 69(5), 957–970.
[3] Bhatia, R. (1997). Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York.
[4] Bhatia, R. (2007). Positive Definite Matrices. Princeton University Press, Princeton.
[5] Durury, S., Lin, M. (2014). Singular value inequalities for matrices with numerical ranges in a sector. Operators and Matrices, 8, 1143–1148.
[6] Ghazanfari, A., Malekinejad, S. (2021). Heron means and Pólya inequality for sector matrices. Bulletin Mathématique de la Société des Sciences Mathématiques de Roumanie, 64, 329–339.
[7] Ghazanfari, A. G., Malekinejad, S. (2023). Operator monotone functions on accretive matrices. Positivity, 27(5), 59.
[8] Horn, R. A., Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge.
[9] Lin, M. (2015). Extension of a result of Hanynsworth and Hartfiel. Archiv der Mathematik, 104, 93–100.
[10] Lin, M. (2016). Some inequalities for sector matrices. Operators and Matrices, 10(4), 915–921.
[11] Malekinejad, S., Khosravi, M., Sheikhhosseini, A. (2022). Mean inequalities for sector matrices involving positive linear maps. Positivity, 26(44), 1–17.
[12] Tan, F., Che, H. (2019). Inequalities for sector matrices and positive linear maps. The Electronic Journal of Linear Algebra, 35, 418–423.
[13] Zhan, F. (2015). A matrix decomposition and its applications. Linear and Multilinear Algebra, 63(10), 2033–2042
