Subject Areas :

صفا جامی ^{1 *} , زهره حق پناه ²

1 - گروه فیزیک دانشکده علوم دانشگاه آزاد اسلامی واحد مشهد
2 - مربی دانشگاه مهندسی فناوریهای نوین قوچان

Received: 2022-01-07 Accepted : 2024-02-04 Published : 2024-12-25

Keywords:

Full-Text:



مقایسه اثرمیدان مغناطیسی در دو راستای  xو zبر ناهم خوانی کوانتومی هندسی درمدل هایزنبرگ XXZ

چكيده

 

در این مقاله سیستمی متشکل از دو ذره با اسپین 2/1 در مدل هایزنبرگ XXZ  در نظر گرفته ایم. برای این سیستم ناهمخوانی کوانتومی هندسی که یکی از همبستگیهای کوانتومی است که اخیرا در موضوع اطلاعات کوانتومی به آن توجه زیادی شده است را بدست آورده، سپس اثر تغییر دما و ضریب ناهمگنی را بر آن بررسی کرده ایم. پس از آن به سیستم میدان مغناطیسی خارجی اعمال کرده و در دوحالت متفاوت میدان در راستای x  و میدان در راستای z  تغییرات ناهم خوانی کوانتومی هندسی را در حضور میدان بررسی کرده ایم  و تغییرات ناهمخوانی در دو راستای متفاوت باهم مقایسه کرده ایم . نتایج نشان می دهد که به طور کلی اعمال میدان مغناطیسی، ناهمخوانی را کاهش می دهد. وقتی میدان در راستای z است با افزایش مقدار میدان، ناهمخوانی به سرعت کاهش و به سمت صفر میل می کند، ولی در حالت میدان در راستای x افزایش  میدان در دماهای پایین ناهمخوانی را صفر نمی کند و صفر شدن ناهمخوانی فقط در دماهای بالاتر اتفاق می افتد.

 

کلمات کلیدی : ناهمخوانی کوانتومی هندسی،  مدل هایزنبرگ XXZ  ، میدان مغناطیسی

 

 

1- مقدمه

     یکی از جذاب ترین جنبه های مکانیک کوانتومی این حقیقت است که ذرات یا سیستم ها می توانند درهم تنیده باشند، درهم تنیدگی[1] نوعی از همبستگی های کوانتومی است که در حالت های تفکیک ناپذیر وجود دارد، اما مطالعات اخیر نشان داده است که کوانتومی  بودن به غیر از درهم تنیدگی می تواند در حالت های تفکیک پذیر نیز  وجود داشته باشد. ناهمخوانی کوانتومی[2] خاصیتی است که همبستگی های کوانتومی را درهمه حالت ها نمایان می سازد و رفتارهای غیرکلاسیک حالت های درهم آمیخته غیر درهم تنیده را توجیه می کند. در یک سیستم خالص، ناهمخوانی و درهم تنیدگی با هم یکسان اند، اما در سیستم های مرکب آمیختگی باعث به وجود آمدن اختلاف بین ناهمخوانی و درهم تنیدگی می شود. نا همخوانی کوانتومی اولین بار توسط اولیور و زورک[3]، همچنین هندرسون  و ودرال [4] درسال 2001 معرفی شد. معیار های زیادی از ناهمخوانی کوانتومی پیشنهاد شده است که در حالت کلی به دو دسته تقسیم می شود. شاخه اول بر اساس آنتروپی[7-5] و شاخه دوم که از طریق روش هندسی[10-8] تعریف می شود بر اساس معیار اختلاف فاصله است، این نوع از ناهمخوانی به صورت کمترین فاصله یک حالت کوانتومی از همه حالت های با ناهمخوانی صفر بیان می شود. برای سیستم های دوکیوبیتی داکیک در[8] یک بیان تحلیلی به دست می آورد، که مشابه اندازه هندسی درهم تنیدگی کوانتومی است و ناهمخوانی کوانتومی هندسی نامیده می شود. 

2- ناهمخوانی کوانتومی

نا همخوانی کوانتومی به صورت یک معیار آنتروپیک از همبستگی های کوانتومی در یک حالت کوانتومی است که برحسب اطلاعات متقابل کوانتومی تعریف می شود. اگر آنتروپی فون نیومان زیر سیستم A،  آنتروپی کوانتومی کل سیستم وآنتروپی کوانتومی شرطی و تابع چگالی احتمال باشد آنگاه اطلاعات متقابل کوانتومی که کل همبستگی های موجود در را نشان می دهد به صورت:

 (1)    

تعریف می شود، به طوریکه  آنتروپی فون نیومان و  عملگر چگالی کاهش یافته بخشA(B) است.

 طبق تعریف[11]،  اطلاعات متقابل بر پایه اندازه گیری است که می تواند به صورت همبستگی های کلاسیک تفسیر شود :

(2)        

به طوریکه اختلاف بین آنها ناهمخوانی کوانتومی بر اساس فاصله را تعریف می کند:

                       (3)

از آنجایی که استخراج راه حل های تحلیلی برای نا همخوانی کوانتومی با این روش به دلیل الزام مینیمم کردن روی تمامی حالت ها مشکل بود ، داکیک، ودرال و براکنر[8] ، یک معیار هندسی برای ناهمخوانی کوانتومی پیشنها د کردند که درآن مقدار همبستگی های کوانتومی یک حالت برحسب حداقل فاصله هیلبرت اشمیت از مجموعه حالت های کلاسیک بیان می شد. محاسبات این معیار جایگزین نیاز به یک فرآیند مینیمم سازی می باشد که برای حالت های دو کیوبیتی کلی در [8] و برای  حالت های دو قسمتی دلخواه در [13-11] به طور تحلیلی آمده است. در روش ذکر شده محاسبه ناهمخوانی کوانتومی هندسی براساس استفاده از ماتریس چگالی عام است و برای هرحالت دوکیوبیتی به شکل زیر تعریف می شود:

(4)

که دراین روابط jσ و iσ ماتریس های پاولی هستند،1a اپراتوریکه رویHa و 1bاپراتوریکه رویHb است وt وx وy ماتریس هایی به شکل زیراند:

             (5)

معیارناهمخوانی هندسی برای یک حالت کوانتومی در روش داکیک [8]به شکل زیر بیان می شود:

 (6)     

در این رابطه مربع نرم هیلبرت اشمیت عملگرهای هرمیتی است و از رابطه زیر بدست می آید:

       (7)

در اینصورت ناهم خوانی هندسی به شکل زیر تعریف می شود:

         (8)

به طوریکه  بزرگترین ویژه مقدار ماتریس است و x و T در رابطه (5) تعریف شده اند. 

 

3- معرفی مسأله

 هامیلتونی سیستم دو ذره ای در مدل هایزنبرگ XXZ [14]، در حالت بدون میدان مغناطیسی به شکل زیر است:

 

(9)

که در اینجا J1 قدرت برهمکنش در راستای x وy ،و  J2 قدرت برهمکنش در راستای z است،  معرف دو ذره با اسپین موازی است که مربوط به مورد فرومغناطیس است و برای  جهت گیری اسپین ها پاد موازی است و مربوط به مورد آنتی فرومغناطیس است ، α ضریب ناهمگنی،  Sx و  Syو Sz عملگرهای اسپین هستند و در نظر گرفته شده است. برای این هامیلتونی ویژه مقادیر بصورت :

  (10)

 

و ویژه بردارها به شکل زیر به دست می آیند

 

(11   

 

4- محاسبهGQD  بدون حضور میدان مغناطیسی

ابتدا ناهمخوانی کوانتومی هندسی (GQD) را با استفاده از روش داکیک در[8]، محاسبه و تغییرات آن را بر حسب دما و  در نمودار1رسم کرده ایم.

 

نمودار1- الف) ناهم خوانی کوانتومی هندسی برحسب α و دما

 

نمودار1-ب) ناهم خوانی کوانتومی هندسی برحسب α در دو دمای temp=0.3 وtemp=1.

 

نمودار1-ج) ناهم خوانی کوانتومی هندسی برحسب دما در سه مقدار  و  و .

در نمودار 1-الف و1-ب می بینیم که با افزایش  مقدار GQD افزایش می یابد و به بیشینه GQD=5می رسد. نمودار 1-الف و1-ج نشان می دهد با افزایش دما مقدار GQD کاهش یافته است. همچنین نمودار1-ج نشان می دهد در  ثابت هر چه   بیشتر باشد، کاهش GQD برحسب دما دیرتر اتفاق می افتد.

4- محاسبهGQD  در حضور میدان مغناطیسی یکنواخت در راستای z

هامیلتونی سیستم دو ذره ای در مدل هایزنبرگ XXZ در حضور میدان مغناطیسی یکنواخت در راستای z به شکل زیر نوشته می شود:

(12)                      برای این هامیلتونی با محاسبه ماتریس چگالی و پس از آن مقدار ناهمخوانی هندسی، در نمودار2-الف تغییراتGQD برحسب میدان و دما را در=5α رسم کرده ایم. 

 

نمودار2- الف) ناهم خوانی کوانتومی هندسی در حضور میدان یکنواخت در راستایz برحسب دما و میدان در.α =5

در نمودار 2-الف مشاهده می کنیم که با افزایش دما ، GQD کاهش می یابد همچنین  GQDبرحسب میدان متقارن است و با افزایش میدان فارغ از علامت آن GQD کاهش یافته و به صفر می رسد. در نمودارهای دوبعدی 2-ب و2-ج می بینیم که در α ثابت، در دمای temp=0.45 نمودار یک قله ای است و بیشترین مقدار GQD در میدان صفر اتفاق می افتد. اما رسم نمودار در دمای بالاترtemp=4 نشان دهنده یک قله مرکزی و دو قله کوچکتر در طرفین است، در این دما با افزایش میدان، GQD کاهش محسوسی دارد طوریکه در B=  ناهمخوانی هندسی به کمترین مقدار خود در این دما یعنی GQD=0.001 می رسد و در ادامه با افرایش میدان مقدارGQD زیاد می شود. با توجه به نمودار 2-الف، درحالت میدان یکنواخت بیشترین مقدار ناهمخوانی هندسی، GQD0.37 است که نسبت به حالت بدون میدان، مقدار ماکزیمم GQD کاهش یافته است.

 

نمودار2- ب) ناهم خوانی کوانتومی هندسی در حضور میدان یکنواخت برحسب میدان در دما و α ثابت به ازای temp=0.45  .

 

نمودار2- ج) ناهم خوانی کوانتومی هندسی در حضور میدان یکنواخت برحسب میدان در دما و α ثابت به ازایtemp=4 .

5- محاسبهGQD  در حضور میدان مغناطیسی یکنواخت در راستای x

با اعمال میدان مغناطیسی یکنواخت در راستای x هامیلتونی سیستم دو ذره ای در مدل هایزنبرگ XXZ  بشکل زیر خواهد شد:

(13)

برای این حالت نیز با محاسبه ماتریس چگالی از هامیلتونی و سپس محاسبه ناهمخوانی هندسی،نمودارهای مربوطه را رسم کرده ایم. نمودار 3-الف تقارن GQD برحسب میدان را نشان می دهد وباز هم بیشینه ناهمخوانی هندسی GQD ، زمانی است که میدان صفر است، با افزایش میدان از دو طرف GQD کاهش می یابد اما به صفر نمی رسد. در دو نمودار 3-ب و 3-ج GQD برحسب میدان، یک قله مرکزی در=0 Bx  و دو قله درطرفین دارد طوریکه در نمودار 3-ب که دما پایین است قله مرکزی بیشترین مقدارGQD رانشان می دهد و با افزایش میدان GQD کم می شود و در1 B= ناهمخوانی هندسی به کمترین مقدارخود رسیده است که در مقایسه با میدان راستای z در نمودار 2-ب ،در اینجا کاهش GQD سریعتر بوده است.

 

نمودار3- الف) ناهم خوانی کوانتومی هندسی در حضور میدان یکنواخت در راستای x برحسب دما و میدان درα =5

 

نمودار3-ب) ناهم خوانی کوانتومی هندسی در حضور میدان یکنواخت برحسب میدان در دما و α ثابت به ازای temp=0.45  

 

نمودار3-ج) ناهم خوانی کوانتومی هندسی در حضور میدان یکنواخت برحسب میدان در دما و α ثابت به ازای ج)temp=4

 

در نمودار 3-ج قله مرکزی کوچکتر از دو قله طرفین است و دوباره با افزایش میدان از طرفین ناهمخوانی هندسی افزایش می یابد، همانطور که می بینیم در دماهای پایین مانند temp=4 مقدار نا همخوانی کوچکتر است و سرانجام در دمایtemp10  به صفر می رسد که در نمودار3-الف قابل مشاهده است. 

نتیجه گیری

در این مقاله یک سیستم متشکل از دو ذره با اسپین 2/1 را در مدل هایزنبرگ  XXZدر نظرگرفتیم. ابتدا هامیلتونی سیستم را بدون حضور میدان مغناطیسی نوشته و ناهمخوانی کوانتومی هندسی را برای این سیستم محاسبه نمودیم، آن گاه  تغییرات ناهمخوانی کوانتومی هندسی را با تغییر پارامترهای دما و ضریب ناهمگنی α بررسی کردیم.  مشاهدات مبنی بر این است که با افزایش دما مقدار ناهمخوانی کوانتومی هندسی کاهش می یابد و با افزایش α (α نسبت قدرت برهمکنش راستای z نسبت به دوراستای x وy) مقدار ناهمخوانی کوانتومی هندسی تا حد اکثر مقدار خود 0.5 افزایش می یابد. سپس به این سیستم میدان مغناطیسی یکنواخت در دو راستای x و z اعمال کرده ایم و هامیلتونی سیستم را یک بار در حضور میدان یکنواخت در راستای محور z و بار دیگر در حضور میدان یکنواخت در راستای محور x  نوشته و ناهمخوانی کوانتومی هندسی را در هردو حالت محاسبه کردیم و تغییراتGQD  را بر حسب میدان و دما، در این دو حالت مقایسه نمودیم. ملاحظه شد که در هر دو حالت در حضور میدان باز هم افزایش دما، باعث کاهش ناهمخوانی می شود و به طور کلی اعمال میدان مغناطیسی یکنواخت ناهمخوانی را کاهش می دهد. وقتی میدان در راستای z است با افزایش مقدار میدان، ناهمخوانی به سرعت کاهش و به سمت صفر میل می کند، اما در حالت میدان در راستای x افزایش میدان در دماهای پایین ناهمخوانی را صفر نمی کند و صفر شدن ناهمخوانی فقط در دماهای بالاتر اتفاق می افتد.

مراجع‌

 

[1] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki., "Quantum Entanglement", Rev. Mod. Phys. 81, 2009, pp.865-942.

 

[2] K. Modi, A. Brodutch, H. Cable, T. Paterek, V. Vedral., "The classical-quantum boundary for correlations: Discord and related measures", Rev. Mod. Phys. 84, 2012, pp.1655-1708.

 

[3] H. Ollivier, W. H. Zurek., "Quantum Discord: A Measure of the Quantumness of Correlations",

Phys. Rev. Lett. 88,2001, pp. 017901.

 

[4] L. Henderson, V. Vedral., "Classical, quantum and total correlations", J. Phys. A 34, 2001,pp. 6899-6905.

 

[5]G. L. Giorgi, B. Bellomo, F. Galve, R. Zambirini., "Genuine Quantum and Classical Correlations in Multipartite Systems", phys. Rev. Lett.107, 2011, pp. 190501.

 

[6] I. Chakrabarty,P. Agrawal,A. K. Pati., "Quantum dissension: Generalizing quantum discord for three-qubit states", Eur.Phys.J.D 65, 2011, pp. 605-612.

 

[7] M. L. Hu, H. Fan., "Dynamics of entropic measurement-induced nonlocality in structured reservoirs", Ann. phys.(NY)327, 2012, pp. 2343-2353.

 

[8] B. Dakic, V. Vedral, C. Brukner., "Necessary and Sufficient Condition for Nonzero Quantum Discord", 

 Phys.Rev.Lett. 105, ,2010, pp. 190502.  

 

[9] K. Modi, T. Paterek, W. Son,V.Vedral, M. Williamson., "Unified View of Quantum and Classical Correlations", Phys.Rev.Lett.104, 2010, pp. 080501.

 

[10] S. Luo, S. Fu., "Unified View of Quantum and Classical Correlations", phys.Rev.Lett. 106, 2011, pp. 120401.

 

[11] S. Luo, S. Fu., "Geometric measure of quantum discord", Phys. Rev. A 82, 2010. pp. 034302.

 

[12] A. S. M. Hassan, B. Lari, P. S. Joag., "Tight lower bound to the geometric measure of quantum discord", Phys. Rev. A 85, 2012, pp. 024302.

 

[13] S. Rana, P. Parashar., "Tight lower bound on geometric discord of bipartite states", Phys. Rev. A 85, 2012, pp. 024102.

[14] G. Rigolin., "Thermal entanglement in the two-qubit Heisenberg XYZ model", Int. J. Quantum Inform., 2, 2004, pp. 393-406. 

 

---