The use of genetic algorithm to find the eqiulibrium of the behavior of current investors in a bargaining game

Subject Areas : تحقیق در عملیات

Maryam Rahimi ¹ , Hamid Reza Vakili Fard ² , Reza Habibi ³ , Bizhan Abedini ⁴ , Davood Khodadadi ⁵

1 - Azad U
2 - دانشیار و عضو هیئت علمی گروه حسابداری، واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
3 - iran banking institute
4 - Azad U
5 - گروه حسابداری دانشگاه ازاد اسلامی واحد بندرعباس

Received: 2023-08-14 Accepted : 2023-11-19 Published : 2024-07-06

Keywords: مدل مارکویتز, رفتارهای استراتژیک, تعادل نش, تخصیص بهینه,

Abstract :

Traditional models assign a limited role to trading volume, while in practice the annual volume in stock exchanges reaches 100% of issued shares and more. Also, while the benefits of diversification are emphasized through modern theories, most investors limit their portfolio to a number of stocks. Finally, it seems that the cross-sectional variation of expected return is not only due to the risk difference between the companies' stocks. The main goal of this research is to design and explain the strategic behavior model of investors using game theory and Nash equilibrium to analyze the mutual behavior of investors during the years 2009-2010. The statistical population of the research is all the companies admitted to the stock exchange, and 84 companies were selected as the research sample by systematic elimination method. The thesis consists of two parts: the bargaining game and the implementation of Markowitz's average variance model, which uses MATLAB software to implement the bargaining game and the genetic algorithm.

References:


1. اسلامی بیدگلی، غ، احتشام راعی، ر. کاربرد تئوری بازی¬ها در ارزیابی سرمایه¬گذاری در سهام. مجله دانش مالی تحلیل اوراق بهادار، دوره 4، شماره 3، ص101-129. (1390)

2. تاتایی، پ ؛ رهنمای رودپشتی، ف ؛). شکست بازار با استفاده از سبد توصیه شده بر مبنای بازی ائتلاف. فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار ، دوره 8، شماره 33. (1396(.

3. جامی. الاحمدی، م؛ رازدار؛ م). تورش¬های رفتاری و تأثیر آن بر تصمیم¬گیری سرمایه¬گذاران در بورس اوراق بهادار. کنفرانس بین المللی تازه های مدیریت حسابداری و اقتصاد. دبیرخانه دائمی کنفرانس، تهران. (1397).

4. خوشنود، م، رهنمای رودپشتی، ف، نیکومرام، ه. بهینه سازی الگوی سرمایه¬گذاری در نزول¬های اساسی بورس اوراق بهادار تهران در چارچوب رویکرد عوامل ناهمگن و مدل سازی عامل بنیان با استفاده از الگوریتم ژنتیک. فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، شماره 42. (1399)

5. رهنمای رودپشتی،ف؛ هیبتی،ف؛ موسوی،س.بررسی الگوی ریاضی انتخاب پرتفوی سرمایه¬گذاری مبتنی بر مالی رفتاری. مجله مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار ،دوره3،شماره12. (1391)

6. راعی،ر؛ علی بیگی ، ه بهینه سازی پرتفوی سهام با استفاده از روش حرکت تجمعی ذرات . مجله پژوهشات مالی ، دوره 12،شماره 29. (1389).

7. سینایی، ح ، زمانی ، س). تصمیم¬گیری برای انتخاب سبد سهام ؛ مقایسه الگوریتم ژنتیک و زنبور عسل . مجله پژوهشنامه مدیریت اجرایی، دوره 6 ، شماره 11 . (1393).

8. شهریاری، س؛ سرنقی، ت، فرازمند؛ ن). بررسی سیاست¬های نفتی ایران در اوپک بر اساس نظریه بازی ها. فصلنامه پژوهش های سیاسی جهان اسلام، دوره 9، شماره 1، ص 1-28. (1398).

9. هیبتی،ف؛ رهنمای رودپشتی، ف؛ افشار کاظمی،م؛ عبیری،ا (1390). ارزیابی مدل گزینش سبد سهام با استفاده از فرآیند تحلیل سلسله مراتبی (AHP.) ، آنالیز رابطه ای خاکستری (GRA) و برنامه ریزی آرمانی ( GP) . مجله مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار،دوره2،شماره6.

10. Campbell, J. Y. , Grossman, S. J. , & Wang, J. Trading volume and serial corre- lation in stock returns. The Quarterly Journal of Economics, 108 (4), 905–939. (1993).

11. Kolm, P. N. , Tütüncü, R. , & Fabozzi, F. J. 60 years of portfolio optimization: Practical challenges and current trends. European Journal of Operational Research, 234 (2), 356–371. (2014).

12. Kannai, Y. , & Rosenmüller, J. Strategic behavior in financial markets. Journal of Mathematical Economics, 46 (2), 148–162 . (2010).

13. Lee, K. H., Powell, L. M., Nguyen, L., & Eryilmaz, E. The Strategic Responses from Sophisticated Investors to Inaccurate Forecast of Financial Analysts. Accounting and Finance Research, 7(1), 272. (2018).

14. Markowitz, H. Portfolio selection. Journal of Finance, 7 , 77–91 . (1952).

15. Mangoubi, O. Strategic behavior in multiple-period financial markets. In Optimization theory and related topics: Israel mathematical conference proceedings, a workshop in memory of dan Butnariu, January 11-14, 2010. (2012). Haifa, Israel: Vol. 568 (p. 191). American Mathematical Society .

16. Mantovi,A .Augusto, S. A game-theoretic traverse analysis: price competition and strategic investment. Structural change and economic dynamics. Elsevier, vol, 49(c), 301-311. (2018).

17. Marcelo, J. Villena. Lorenzo Reus. (2016).On the strategic behavior of large investors: A mean-variance portfolio approach. European Journal of Operational Research 254 679–688. (2016).

Full-Text:



 

کاربرد الگوریتم ژنتیک جهت یافتن تعادل رفتارهای سرمایه گذاران حاضر

در یک بازی چانه زنی

The use of genetic algorithm to find the eqiulibrium of the behavior of current investors in a bargaining game

 

 

چکیده: هدف اصلی این پژوهش طراحی و تبیین مدل رفتار استراتژیک سرمایه گذاران با استفاده از نظریه بازی و تعادل نش برای تحلیل رفتارهای متقابل سرمایه گذاران طی سال های 1389-1399 می باشد.  جامعه آماری پژوهش کلیه شرکت های پذیرفته شده در بورس اوراق بهادار می باشد که به روش حذف سیستماتیک 84 شرکت به عنوان نمونه پژوهش انتخاب شدند. پزوهش از دو بخش بازی چانه زنی و اجرای مدل میانگین واریانس مارکویتز تشکیل شده است که جهت اجرای بازی چانه زنی و الگوریتم ژنتیک از نرم افزار متلب استفاده شده است. 

کلمات کلیدی: رفتارهای استراتژیک، تخصیص بهینه، مدل مارکویتز، تعادل نش

Abstract. Traditional models assign a limited role to trading volume, while in practice the annual volume in stock exchanges reaches 100% of issued shares and more. Also, while the benefits of diversification are emphasized through modern theories, most investors limit their portfolio to a number of stocks. Finally, it seems that the cross-sectional variation of expected return is not only due to the risk difference between the companies' stocks. The main goal of this research is to design and explain the strategic behavior model of investors using game theory and Nash equilibrium to analyze the mutual behavior of investors during the years 2009-2010. The statistical population of the research is all the companies admitted to the stock exchange, and 84 companies were selected as the research sample by systematic elimination method. The thesis consists of two parts: the bargaining game and the implementation of Markowitz's average variance model, which uses MATLAB software to implement the bargaining game and the genetic algorithm.

 

 

1. مقدمه

دانش مالی از گذشته تا به حال پارادایم‌های مهم ذیل را پشت سر گذاشته است: (1) تخصیص سرمایه بر اساس معیار ریسک و بازده مورد انتظار؛ (2) مدل‌های قیمت‌گذاری مبتنی بر ریسک دارایی‌های مالی همچون مدل‌های قیمت‌گذاری تجربی؛ (3) مدل‌های قیمت‌گذاری ادعاهای محتمل‌الوقوع یا شرطی و (4) تئوری میلر/ مودلیانی و تئوری تکمیل کننده آن، یعنی تئوری نمایندگی. تمامی این تئوری‌های اقتصادی از عقلانیت سرمایه‌گذار نشأت می‌گیرد. در حالی‌که این رویکردها انقلابی در مطالعات مالی به وجود آورده است، اما این تئوری‌ها از بسیاری مباحث کلیدی چشم‌پوشی کرده است.

مدل‌های سنتی نقش محدودی برای حجم معاملاتی قائل هستند، در حالی که در عمل حجم سالانه در بورس‌ها به 100% سهام منتشره و بیشتر می‌رسد. همچنین، در حالی‌که مزایای تنوع‌بخشی از طریق تئوری‌های نوین مورد تأکید قرار می‌گیرد، اغلب سرمایه‌گذاران سبد خود را به تعدادی سهم محدود می‌کنند. در نهایت، به نظر می‌رسد که تغییر مقطعی بازده مورد انتظار تنها به دلیل تفاوت ریسک بین سهام شرکت­ها نباشد. بر مبنای مشاهدات ذکر شده، علوم مالی کلاسیک نقش محدودی در فهم موضوعات ذیل دارد: (1) چرایی معامله توسط سرمایه‌گذاران، (2) چگونگی رفتار معاملاتی سرمایه‌گذاران، (3) چگونگی شکل‌دهی سبد توسط سرمایه‌گذاران؛ و (4) چرایی تفاوت بازده سهام به دلایلی غیر از عامل ریسک. در حوزه مالی شرکتی نیز شواهد نشان می‌دهد که ادغام و تحصیل و تصمیمات ساختار سرمایه با تئوری‌های کلاسیک یا تصمیمات مدیران عقلایی مطابقت ندارد، و مجدداً معمایی به وجود می‌آید که باید توضیح داده شود.

نظریه‌پردازان مالی کلاسیک چند انتقاد مشترک برای مالی رفتاری بیان می‌کنند. اولاً، غالباً بیان می‌شود که مدل‌های رفتاری تاحدودی کاربرد منحصر به فرد داشته و برای توضیح رویدادهای خاص طراحی می‌شود. پاسخ به این انتقاد این است که مدل‌های رفتاری بر این مبنا طراحی می‌شود که افراد در واقعیت بر اساس شواهد تجربی وسیع، چگونه رفتار می‌کنند و شواهد تجربی را بهتر از مدل‌های کلاسیک توضیح می‌دهند. انتقاد دیگری که برای مالی رفتاری بیان می‌شود این است که مطالعۀ تجربی این حوزه درگیر داده‌کاوی است (به عبارت دیگر، چنانچه محققان از طریق برآورد تعدادی مدل رگرسیون انحرافی را بیابند، در نهایت موفق خواهند بود).

در هر حال، بسیاری از مطالعات تجربی، هم بر حسب بعد زمان و هر بر اساس بعد مقطع در بین کشورهای مختلف، بر اساس شواهد برون نمونه‌ای تأیید می‌شود. در نهایت، اغلب ادعا می‌شود دانش مالی رفتاری هیچ تئوری مشخصی ارائه نمی‌کند. این نقد ممکن است در این لحظه صحیح باشد، اما تئوری‌های سنتی مبتنی بر ریسک نیز قویاً توسط داده‌ها پشتیبانی نمی‌شود. بنابراین، به نظر می‌رسد که موردی جدی وجود داشته باشد که بتوان بر مبنای آن تئوری‌های ارائه کرد که سازگار با شواهد باشد، در مقایسه با تئوری‌هایی که بر اساس اقتصاد مبتنی بر عقلانیت بوده و پشتیبانی تجربی از این تئوری‌ها کاملاً محدود باشد. یکی از تئوری‌هایی که در حوزه مالی رفتاری نقشی معنادار در توصیف شواهد تجربی مرتبط با رفتار معاملاتی سرمایه‌گذاران دارد، تئوری بازی­ها است که رفتار قیمت سهام و در نتیجه رفتار سرمایه‌گذاران را بر حسب سوءگیری‌های زیان‌گریزی و ریسک‌گریزی سرمایه‌گذاران توضیح می‌دهد، رفتاری که تئوری مطلوبیت سنتی کلاسیک قادر به توضیح بعد زیان‌گریزی آن نمی‌باشد.  

2 مبانی نظری و ادبیات نظری پژوهش.

تئوری بازی مطالعه افراد منطقی و علاقه مند به تعامل در رفتار استراتژیک است . یک بازی گروهی از تصمیم گیرندگان منطقی را شامل می شود که بازیکنان با شرکت در یک تمرین تصمیم گیری جمعی به نام یک بازی مشارکت می کنند. در بازی هر بازیکن نیاز دارد تا یک اکشن یا استراتژی را انتخاب کند و نتیجه بازی با مشخصات استراتژی های انتخاب شده توسط بازیکنان مشخص می شود.بازیکنان نسبت به نتایج ممکن متفاوت عمل می کنند و فرض عقلانیت  این است که بازیکنان استراتژی هایی را انتخاب می کنند که منجر به نتایج مطلوب می شود.از نظر عملیاتی ، ترجیحات یک بازیکن توسط یک تابع نمایش داده می شود.فرض اینکه هر بازیکن منطقی رفتار می کند به این معنا است که آنها نسبت به عملکرد خود ، به طور مداوم به منافع خود می اندیشند.یعنی هر بازیکن بدون در نظر گرفتن استراتژی دیگر بازیکنان ، استراتژیی را انتخاب می کند که حداکثر مطلوبیت را داشته باشد. برخی از سؤالات  که در این مرحله باید بپرسید شامل موارد زیر است: آیا می توان نتایج "پایدار" برای چنین بازی هایی را پیش بینی کرد؟ چه اتفاقی می افتد اگرهر بازیکنان اطلاعات محدودی داشته باشند؟ بار محاسباتی یک بازیکن برای دستیابی به یک استراتژی بهینه ، چقدر است؟ در صورت همکاری ، بازیکنان چقدر می توانند بهتر عمل کنند؟ تئوری بازها سعی در پاسخ به این سؤالات و سؤالات دیگر دارند.

در اقتصاد از نظری بازی ها عمدتاً برای تحلیل بازارها، رفتار متقابل بازیکنان اقتصادی و استراتژی های آنها استفاده  می شود. اساساً  در همه  الگوهای بازی، نهاد اصلی بازیکن  است که در  تصمیم‌گیری های خو در رویایی با یک فرد یا گروه است. بنابراین چگونگی تصمیم گیری های بازیکنان و عایدی آنها نه تنها متاثر از اهداف و بلکه متاثر از اهداف و استراتژی های بازیکنان مقابل نیز است. از این رو بازیکنان باید  قواعد، مقررات و چارچوب بازی را مورد توجه قرار دهند.(منصوری، 1395). 

تاریخچه نظریه بازی ها فراز و نشیب های بسیاری را تجربه کرده است. برخی از متون، تاریخ شروع آن را تا 500 سال قبل از میلاد، زمانی که مجموعه قوانین شرعی یهود تدوین شده دانسته اند. اما مسئله ای که مسلم است، این است که تفکر استراتژیک و تفکر راجع به روش های مقابله با عوامل هوشمند در یک سیستم استراتژیک همواره در بشر وجود داشته است. آنچه ما امروز به عنوان نظریه بازی ها می شناسیم، در واقع چارچوبی برای تجزیه و تحلیل رفتار عوامل مختلف در یک محیط استراتژیک می باشد. این نظریه شامل یک سری تکنیک های ریاضی و یک مجموعه از مفاهیم منطقی است که سعی در پیش بینی و یا تجزیه و تحلیل رفتار عوامل مختلف در یک محیط استراتژیک می کند. با چنین نگرشی، شاید بتوان آغاز نظریه بازی های مدرن را نیمه قرن بیستم دانست. در ادامه به رویدادهای مهمی که در توسعه نظریه بازی ها نقش مهمی را ایفا نموده اند، اشاره شده است.

اهميت روز افزون تصميم گيري در شرايط تعارض بين رقبا و بكارگيري فنون رياضي در جهت پيشبرد اهداف مالي است. از آنجائيكه در ساليان اخير بنگاههاي اقتصادي در بازارهاي محلي با رقابت شديدي از سوي رقباي داخلي و خارجي خويش مواجه گرديده اند و محيط از حالت ايستا به پويا تغيير وضعيت نموده، ديگر نمي توان تنها به روشهاي رياضي و ايستاي مديريت مالي در تصميم گيري ها بسنده نمود و لزوم توجه روز افزون به تصميمات و استراتژيهايي كه از سوي رقبا اخذ مي گردند، بيش از پيش احساس مي گردد. ارزيابي اقتصادي سرمايه گذاري در سهام در محيط پراز چالش و متلاطم امروز نياز به مديراني دارد كه ريسك پذيري را بخشي از وظايف خود بدانند و اين واقعيت را بپذيرند كه امروز در شرايط عدم قطعيت نيازمند بكارگيري فنون جديد در تصميم گيري مي باشند. در سال هاي اخير روش هايي چون منطق فازي و فنون تصميم گيري وارد حوزه مديريت مالي گرديده اند.  بين رقباي حاضر در بازار سرمايه تعادل ايجاد نمايد به نحويي كه منافع همه طرفين حاضر در بازار(خريدار و فروشنده، سهامداران و...) حاصل گردد. نقطه تعادل به مديران براي اخذ تصميم صحيح و نيل به نقطه بهينه كمك مي نمايد تا با استفاده از بازي هاي همزمان، پويا و تشكيل ائتلاف قادر به پاسخگويي در شرايط تعارض باشند، و همه طرفين به مطلوبيت مد نظر خويش نايل گردند. مدل تئوري بازي ها اين فرصت را به بازيكن مي دهد تا با كنش و رفتار عقلايي تصميم درست را در مقابل رقبا در بازار سرمايه اتخاذ نموده، به گونه ايي كه همه طرفين سود و زيان مشتركي از انجام بازي عايدشان گردد.  مديران با استفاده از تئوري بازي ها و به دور از مدل هاي رياضي سخت و دشوار و تنها با اطلاعات اوليه (سود و هزينه) قادرند كه تصميمات لازم را در مقابل رقباي خويش اخذ نمايند، به نحويي كه مطلوبيت تمام رقبا را برآورده نمايند. تئوري بازيها بر خلاف مدل هاي شرايط اطمينان و عدم اطمينان داراي انعطاف پذيري بيشتري بوده و قابليت پاسخگويي در شرايط تعارض با رقبا را به خوبي ايفا مي نمايد و مديران بنگاههاي اقتصادي با كمك آنها مي توانند به تعادل در بازار سرمايه نائل آيند و پاسخهاي همزمان را در تقابل با رقبا بدهند. اين دسته بازي ها را مي توان به بيش از دو بازيكن نيز به راحتي با تبعيت از قوانين موجود در تئوري بازي ها تعميم داد زيرا در شرايط واقعي امكان دارد بيش از دو رقيب نيز در بازار فعاليت نمايند و مي توان شاهد چندين نقطه تعادل در ميان رقبا نيز بود(اسلامی بیدگلی و همکاران، 1391).

مساله تصمیم گیری سالیان متمادی موضوع ذهن بشری بوده است. گاهی با آزمون و خطا و گاهی با ابداع برخی تکنیک ها این امر محقق گشته است. تئوری بازی رویکردی است که نتایج مثبت و امیدوار کننده ای را به افراد منطقی ارائه می نماید. تلاش برای خلق سبد بهینه مستلزم بکارگیری تکنیک های جدیدی می باشد و توانسته است اهداف بشری را تا حدود زیادی محقق سازد. بیشتر بودن بازدهی سبد حاصل از بازی ائتلاف نسبت به بازدهی بازار و نرخ بدون ریسک و نیز برتری این سبد در معیار ترینر نسبت به شاخص بازار نشان دهنده موفقیت الگو جهت ارائه سبد سرمایه گذاری بهینه می باشد. سبد سرمایه گذاری با استفاده از تئوری بازی همکارانه در میان 92 ورقه بهاداری شامل 91 سهم و اوراق بدون ریسک تشکیل گردید و موفق به ثبت بازدهی بسیار بهتری نسبت به شاخص بازار گردید. شکست دادن بازار در مدیریت فعال در عین اعتقاد به کارایی بازار از مساله های دیرین بشری در امر سرمایه گذاری بوده است که به وسیله تعریف یک بازی ائتلاف استاندارد قابل حل می باشد. نکته اساسی اینجاست که در حل این بازی از بازی با جمع صفر استفاده شده است بدین در این بازی حداقل یک پیروز و حداقل یک بازنده خواهیم داشت و مجموع برد همه بازیگران برابر صفر خواهد بود. در نتیجه می توان پیش بینی نمود که در صورتی که تمامی بازیگران بازار به صورت همزمان از این الگو و با داده‌های یکسان استفاده نمایند احتمال موفقیت الگو کاهش خواهد یافت(تاتایی و رهنمای رودپشتی، 1396).

مشتاقی و یزدانی(1395) پژوهشی را با عنوان " بررسی و شناخت تأثیر عوامل روان‎شناختی با رویکرد خطاهای ادراکی بر فرایند تصمیم‎گیری سرمایه‎گذاران فردی " انجام داده­اند. هدف این پژوهش، بررسی تأثیر خطاهای ادراکی و میزان آن بر فرایند تصمیمات سرمایه‌گذاران است. داده‌ها بـا اسـتفاده از تحلیـل عاملی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته­اند. بر اساس یافته‌های پژوهش، خطاهای ادراکی بر فرایند تصمیم‎گیری سرمایه‎گذاران تأثیر می‎گذارند. به بیان دیگر، فرضیه‎های پژوهش تأیید شده و مشخص شده است بین خطاهای ادراکی و تصمیم‎های سرمایه‎گذاری رابطۀ معناداری وجود دارد.

دمیرچی و نژاد ایرانی(1396) پژوهشی را با عنوان " بررسی تأثیر عوامل روانشناختی بر تصمیمات مالی سرمایه گذاران حقیقی در بورس اوراق بهادار تهران" انجام داده­اند. هدف این پژوهش بررسی تاثیر عوامل رفتاری از جمله بیش اطمینانی، دسترسی، محافظه کاری و رفتار توده وار بر روی تصمیمات مالی سرمایه گذاران در بورس اوراق بهادار تهران می­باشد. در پژوهش حاضر از نظریه پمپین در تقسیم بندی سوگیری های رفتاری سرمایه گذاران استفاده شده است.

جمشیدی(1397)، پژوهشی تحت عنوان "بررسی تأثیر شخصیت سرمایه‎گذاران بر رفتار معاملاتی و عملکرد سرمایه‎گذاری آنان؛ شواهدی از بورس اوراق بهادار تهران " انجام داد. نتایج نشان می‎دهد فراوانی معامله افراد با مرکز کنترل بیرونی، رفتار نوع A و تمایل به حداکثرسازی زیاد، بیشتر است (بیشتر خرید و فروش می‎کنند). همچنین افراد با مرکز کنترل بیرونی و خودارزیابی و هیجان‎خواهی زیاد، تنوع پرتفوی کمتری دارند. در نهایت اینکه فراوانی معاملات بیشتر با عملکرد بهتر مرتبط است، در حالی که تنوع پرتفوی تأثیری بر عملکرد افراد ندارد. ویژگی‎های شخصیتی متفاوت، اجزای متمایز رفتار معاملاتی و به دنبال آن عملکرد معاملاتی را متأثر می‎کند.

مخاطب رفیعی(1397)، به پژوهشی تحت عنوان " بررسی تاثیر تیپ شخصیتی سرمایه گذاران بر سوگیری های رفتاریشان در بورس اوراق بهادار تهران" پرداخت. این پژوهش راهنمایی برای شناخت بهتر نحوه تصمیم گیری سرمایه گذاران و بهره جستن از این شناخت در جهت اتخاذ تصمیمات سرمایه گذاری بهتر در بازار سرمایه ایران را فراهم می نماید. جهت بررسی ارتباط بینتیپ های شخصیتی سرمایه گذاران و تورش های رفتاری مشخص شده، از آزمون تحلیل واریانس استفاده گردیده است.

شهریاری و همکاران(1398) در پژوهشی با عنوان "بررسی سیاست های نفتی ایران در اوپک براساس نظریه بازی‌ها"، سیاست های بهینه کوتاه مدت ایران در اوپک براساس مدل بازی رهبر-پیرو مدلسازی و محاسبه کردند. شاید با وارد نمودن شاخص های سیاسی به معادله سود در آینده و دقیق تر نمودن تابع واکنش کشورها با توجه به شرایط کوتاه مدت اقتصادی و سیاسی هرکشور، نتایج دقیق تری در جهت بررسی سیاست های بهینه بلندمدت ایران در اوپک به دست آید. 

بیاتی و همکاران(1398) در پژوهشی با عنوان" همکاری ایران و قطر در برداشت از ذخایر مشترک گازی پارس جنوبی (گنبد شمالی) با تاکید بر نظریه بازی‌ها" در این پژوهش، نوع ارتباط (همکارانه یا غیرهمکارانه) از طریق نظریه بازی‌ها برای دست‌یابی به راهبرد بهینه اقتصادی برای ایران بررسی شده است. نتایج مبتنی بر طراحی بازی غیرهمکارانه و حل از طریق روش‌های حذف راهبردهای مغلوب (تعادل استراتژی‌های غالب) و تعادل نش، نشان داد انتخاب راهبرد عدم همکاری نه تنها برای ایران، بلکه برای کشور رقیب نیز بهینه است و عدم همکاری، منافع اقتصادی بیش‌تری برای ایران درپی دارد.

جانگو و همکاران(2014)، پژوهشی تحت عنوان " بررسی عوامل موثر بر تصمیمات سرمایه گذاری فردی " پرداختند. براساس نظریه مالی رفتاری پرداختند. براین اساس نتایج عوامل مهم عبارت بودند: شهرت شرکت، وضعیت شرکت در صنعت، درآمد مورد انتظار شرکت­های بزرگ، عملکرد گذشته شرکت، قیمت هر سهم، احساس سرمایه­گذاران از سودهای مورد انتظار، یافته های پژوهش نشان داد که سرمایه گذاران باید درک درستی از تصمیم­گیری در زمینه­های مختلف سرمایه­گذاری داشته باشند و عوامل موثر بر رفتار سرمایه­گذارن بر چگونگی سیاست­ها و استراتژی­های آینده شرکت موثر خواهد بود، زیرا استراتژی شرکت تحت تاثیر تصمیمات سرمایه­گذاران قرار خواهد گرفت.

وو و چن (2015)، در مطالعه­ خود با عنوان "استراتژی تعادل نش برای یک مسئله انتخاب پورتفوی میانگین واریانس چند دوره ای  با تعویض رژیم" در فرایند تصمیم گیری رفتارهای تصمیم تصادفی و تصادفی بودن دارایی های پر ریسک توجه کرده اند. آنها به بررسی بهینه سازی چند دوره ای سبد سهام با روش میانگین واریانس با این فرض که ریسک گریزی قابل تغییر است، پرداختند. آنها دریافتند که مسئله میانگین واریانس مارکوئیتز برای انتخاب پرتفوی با زمان ناسازگار است. نظریه بازی ها ( تعادل نش) نیز در این مطالعه مورد استفاده قرار گرفته است. نتایج این مطالعه  شناسایی برخی از خواص جالب استراتژی تعادل سرمایه گذاری، تابع ارزش تعادل، واریانس ترمینال و مرز کارایی تحت استراتژی تعادل از طریق تجزیه و تحلیل حساسیت عددی می باشد.

بکر و همکاران(2016)، در پژوهشی تحت عنوان "تاثیر عوامل روانی در تصمیم گیری سرمایه­گذاران در بازار سهام مالزی" را با استفاده از پرسشنامه­هایی که بین 200 سرمایه­گذاران در مناطق کلانگ و پاهانگ بین سنین 60-18 سال که در بازار سهام مالزی درگیر معامله سهام بودند، بررسی کرده است. یافته­ها نشان­ می­دهد که بیش اطمینانی، محافظه­کاری و تعصب در دسترس بودن اثرات قابل توجهی در تصمیم سرمایه­گذاران دارد در حالی که رفتار توده­وار تاثیر معناداری در تصمی­گری سرمایه­گذاران ندارد. همچنین نتایج نشان داده است که عوامل روانی تحت تاثیر جنسیت فرد است.

کونگ و اوسترلی (2016)، در پژوهشی با عنوان " بهینه سازی چند دوره ای میانگین واریانس سبد سهام بر اساس شبیه سازی مونت کارلو" برای حل مساله میانگین واریانس پویای محدود در مدیریت پورتفو، یک رویکرد مبتنی بر شبیه سازی پیشنهاد دادند برای این مساله بهینه سازی پویا، ابتدا با در نظر گرفتن یک استراتژی ، به نام استراتژی چند مرحله ای، و  سپس، بر اساس این استراتژی سریع ، یک روش برنامه ریزی بازگشتی رو به عقب را بهبود بخشیدند. 

یائو، لی و لی (2016)، در مطالعه ای با عنوان " انتخاب چند دوره ای پرتفوی میانگین واریانس با نرخ بهره تصادفی و بدهی غیر قابل کنترل" اشاره دارند که در حالی که تا به حال ادبیات انتخاب پرتفوی پویا با نرخ بهره تصادفی محدود بوده است، این مقاله به مطالعه مساله چند دوره ای انتخاب سبد سهام میانگین واریانس با نرخ بهره تصادفی می پردازد. در این مسیر از روش برنامه نویسی پویا و نظریه دوگانگی لاگرانژ استفاده شده است.

لینجیانو و همکاران (2018) پژوهشی را با عنوان "چگونه افشای اطلاعات مالی ادراک ریسک را تحت تاثیر قرار می­دهد: شواهدی از رفتارهای سرمایه­گذاران ایتالیایی" انجام داده­اند. هدف این پژوهش بررسی که چگونگی ارائه متفاوت اطلاعات مالی براساس پیچیدگی و کارآیی و نیز تاثیر این افشا بر ادارک ریسک افراد است. این پژوهش در بین سرمایه­گذاران بانکی ایتالیا انجام شده و داده­های آن با استفاده از مدل پروبیت چند متغیره مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته­اند. نتایج حاصل حاکی از آنست که ریسک­پذیری ادارک شده محصولات مالی تحت تاثیر معنی­دار افشای اطلاعات مالی است. پیچیدگی ادراک شده اطلاعات مالی افشا شده، درک از ریسک پذیری را افزایش می­دهد. جنسیت، سن، گرایشات شخص، تعصبات رفتاری و دانش مالی سایر فاکتورهای تاثیر گذار بر درک ریسک شناخته شده اند.

علوی و همکاران (2018) در پژوهشی با عنوان" ارزیابی رفتار استراتژیک تولید کنندگان سیمان: یک مشکل تعادل با محدودیت های تعادلی" نشان دادند که بخش سیمان اروپایی بالغ است و رقابت خود را از دست داده است. بازار سیمان آفریقایی می تواند نقش مهمی در بازارهای بین المللی در آیندۀ آینده ایفا کند اگر سرمایه گذاری در ظرفیت جدید و کارآمد انجام شود. در نهایت، شرق دور، مرجع صادر کننده سیمان در سطح جهانی باقی خواهد ماند.

هاکوس (2018)، پژوهشی تحت عنوان  "آلودگی، مالیات بر محیط زیست و بدهی عمومی: تنظیم نظریه بازی" عبارات تحلیلی توابع پاداش، و اجرای آن توسط سازندگان سیاست کاری را یافت و سرانجام ، با توجه به قیمت پنهان خسارت های زیست محیطی ، شرایطی را که در آن درگیری شدیدتر است ، در دو حالت تعادل نشان  داد.

لی (2019)، پژوهشی تحت عنوان " استراتژی سرمایه گذاری مبتنی بر مشتق شده پویا برای مدیریت مؤثر دارایی بین متغیر با نوسانات احتمالی " انجام داد. در این مقاله استراتژی های سرمایه گذاری بهینه مبتنی بر مشتقات برای مشکل مدیریت مسئولیت دارایی (ALM) تحت معیار واریانس متغیر در حضور نوسانات تصادفی در نظر گرفته شده است. به طور خاص ، یک مدیر مسئولیت دارایی مجاز است نه تنها در اوراق قرضه بدون ریسک و سهام ، بلکه در یک مشتق سرمایه گذاری کند ، که قیمت آن به قیمت اساسی سهام و نوسانات آن بستگی دارد. با حل یک سیستم از دو معادله دیفرانسیل تصادفی رو به عقب ، ما بیان صریح استراتژی های کارآمد و مرزهای کارآمد مربوطه را در دو حالت ، با و بدون دارایی مشتق مشتق می کنیم. علاوه بر این ، ما مورد خاص یک مسئله سرمایه گذاری بهینه و بدون تعهد مسئولیت را در نظر می گیریم ، که در ادبیات نیز مطالعه نمی شود. ما همچنین چند نمونه عددی برای نشان دادن نتایج خود ارائه می دهیم و می دانیم که مرز کارآمد پرونده با مشتق همیشه بهتر از پرونده بدون مشتق است. علاوه بر این ، تحت همان واریانس ، انتظار از پرونده با مشتق می تواند به عنوان دو برابر پرونده بدون مشتق در برخی شرایط برسد.

وانگ (2019)، پژوهشی تحت عنوان "اثرات حباب عقلانی بر روی اوراق بهادار با نظریه بازی " انجام داد. این مقاله، دارایی‌های حباب را مطرح می‌کند و اثرات ثروت و قیمت روی تقاضای هر دوی دارایی‌های حباب و دارایی‌های بدون حباب همگی مورد بررسی قرار می‌گیرند. به طور جالبی استدلال می‌کنیم که دارایی‌های بدون حباب ممکن است به عنوان دارایی‌های نامرغوب عمل کنند و رفتار گیفن نشان دهند. نتیجه می‌تواند به سرمایه‌گذاران در تشخیص علمی‌تر دارایی‌های حباب و دارایی‌های بدون حباب کمک کند. این نتیجه‌گیری‌های نظری سازگار با نتایج به دست آمده در کابلر و همکاران هستند. در مقایسه با کابلر و همکاران، این مقاله، دارایی‌های حباب را مطرح می‌کند در حالی که کابلر و همکاران روی دارایی‌های ریسکدار تمرکز دارند. علاوه‌براین این مقاله شامل کالاهای نامرغوب و رفتار گیفن تحت وضعیت کلی است. محدودیت‌هایی نیز وجود دارند. به عنوان مثال، این مقاله، مساله‌ی قیمت‌گذاری دارایی‌ها را در نظر نمی‌گیرد. علاوه‌براین، در صورتی که بتوان داده‌های تجربی را جمع‌آوری کرد، پشتیبانی تجربی ممکن است به نتیجه‌گیری‌های نظری ما کمک زیادی کند. نحوه‌ی انتخاب بهترین پورتفولیوهای دارایی بین دارایی‌های بدون حباب و دارایی‌های حباب نیز مساله‌ی مهمی است. این مباحث را می‌توان در آینده بیشتر مطالعه کرد.

3. روش شناسی پژوهش

با توجه  به اینکه این پژوهش رفتار استراتژیک  سرمایه گذاران را با استفاده از تعادل نش مورد بررسی قرار می دهد، لذا از نظر پژوهشی  در رده  پژوهش های بنیادین-توسعه ای قرار می گیرد. باتوجه به نظریه بازیها (انواع بازی ها) و مطالب ارائه  شده  بازی مورد مطالعه پژوهش حاضر، بازی همکارانه می باشد. تعداد بازیکنان دو نوع سرمایه گذار می باشد1- سرمایه گذاران بزرگ که همان نقش آفرینان قدرتمند در بازی هستند و 2- سرمایه گذاران خرد که نقش آفرینان کوچک در بازی هستند. 

در این مطالعه، رفتار استراتژیک سرمایه گذاران بزرگ و هسته ای ، با استفاده از یک مدل بهینه سازی میانگین-واریانس پورتفو در یک بازار مالی انحصاری تجزیه و تحلیل می گردد. بنابر توانایی سرمایه گذاران بزرگ برای حرکت قیمت های تک دوره ای در مدل بهینه سازی میانگین-واریانس پورتفو سنتی معرفی شده است. در این پژوهش بازی به این روش انجام می شود که با استفاده از بازی چانه زنی و با استفاده از الگوریتم ژنتیک و نرم افزار متلب حل و بهینه سازی میشود.

1.3 جامعه و نمونه آماری و داده ها. جامعه آماری پژوهش شامل شرکتهای بورس اوراق بهادار تهران  طی سالهای 1389-1399 است. در پژوهش حاضر براي تعيين نمونه آماري، از روش حذف سيستماتيک استفاده شده است. بدين منظور آن دسته از شرکت هاي جامعه آماري که شرايط زير را دارا باشند به عنوان نمونه آماري انتخاب و مابقي حذف مي شوند.

·       سال مالی شرکت منتهی به تاریخ پایان اسفند ماه هر سال باشد.

·       شرکت طی دوره مورد بررسی تغییر سال مالی نداده باشند.

·       شرکتهای تحت بررسی جزء شرکتهای سرمایه گذاری، هلدینگ ، واسطه گری مالی و بیمه‌ نباشند.

·       اطلاعات و داده های آنها در دسترس باشد.

·       معاملات سهام شرکت به طور مداوم در بورس اوراق بهادار تهران صورت گرفته باشد و توقف معاملاتی بیش از سه ماه در مورد سهام یاد شده اتفاق نیفتاده باشد.

با توجه  به شرايط و محدوديت هاي فوق، از بين شرکت هاي پذيرفته شده در بورس اوراق بهادار تهران در روش اول بازی که حل و اجرای بازی چانه زنی است ، در مجموع  84 شرکت به عنوان نمونه آماری پژوهش انتخاب شده است ودر مجموع 924 مشاهده مورد بررسی قرار می گیرد با استفاده از روش  حذف سیستماتیکی  تعداد 84 شرکت  را به  عنوان  نمونه  پژوهش انتخاب میکنیم.

و در روش دوم بازی مارکویتز 6 شرکت به عنوان نمونه آماری انتخاب و مورد بررسی قرار گرفته است.

داده‌های مورد نیاز در این پژوهش با توجه به قلمرو زمانی روزانه، داده‌های مرتبط با سود/زیان روزانه، قیمت‌های پایانی، بازده مازاد شرکت‌های موجود در نمونه پژوهش،  و داده‌های مرتبط با شاخص‌های بورس می‌باشد. منبع داده‌ها، پایگاه داده‌های شرکت بورس اوراق بهادار تهران است. همچنین، برای به دست آوردن بازده مازاد (بازده دارایی مالی منهای نرخ بهره بدون ریسک)، از نرخ بازدهی سالانه اوراق مشارکت بانک مرکزی استفاده شده است که با استفاده از مبنای سال 365 روزه، به نرخ بازدهی روزانه تبدیل شده است. به طور کلی در اين تحقيق جمع آوري و بررسي اطلاعات مورد نياز، در سه بخش انجام خواهد گرفت.

2.3 بازی چانه زنی: به فرآيندي كه بازيكنان از طريق آن به یک توافق دست می‌یابند، چانه‌زني گفته مي‌شود. افراد در صورتي به چانه‌‌زني روي مي‌آورند كه طرفين درگير چانه‌‌زني به اين نتيجه رسیده باشند كه كل عايدیي كه طرفین در نتيجه رسيدن به يك توافق به دست خواهند آورد، از كل عايدي به دست آمده از عدم حصول توافق بيشتر است. لذا مساله اصلی در چانه‌‌زني اين است كه کدام یک از طرفین درگیر سهم بيشتري از مازاد  به دست آمده از توافق و همکاری را به خود اختصاص دهد. مساله اصلي كه پيش‌روي طرفين چانه‌‌زني قرار دارد، رسيدن به توافق درباره ميزان همكاري است، يعني هر يك از طرفین تلاش مي‌كنند به توافقي دست یابند كه بتوانند سهم بيشتری از منافع مازاد همکاری را عايد خود كند. به همين دليل يك توافق ممكن است بعد از مدت‌ها چانه‌زني حاصل شود. البته امكان شكست چانه‌زني و عدم حصول به توافق نيز وجود دارد.

الف. بازيكنان، توالي حركت‌ها، عايدي‌ها. در مدل مذکور، بازيكنان يك مبادله خاص را بر طبق اصل استراتژی همكاری در مرحله چانه زنی بازي انتخاب مي‌كنند.   فضاي تعیین استراتژی همکاری در بازی مي‌باشد، هر نقطه در فضاي R  نشان دهنده ترتيبي از ساختارهاي متفاوت همكاري است. لذا به ازای هر نقطه متعلق به این فضا، یک بازی فرعی در این بازی به وجود آمده، در نتیجه این بازی بی‌نهایت بازی فرعی دارد. هر یک از بازیکنان دارای اولويت‌هايي بر روي مبادلات ممکن در فضای R  می‌باشند، به طوري كه هر بازيكن مي‌خواهد بيشترين عایدی ممكن و یا به عبارت دیگر سهم بیشتری از مازاد  همکاری را به دست بياورد.

 

بازیکن اول	بازیکن دوم
	استراتژی	همکاری	تضاد
	همکاری	1-R, R	S , T
	تضاد	T , S	P , P

جدول 1- ماتریس عایدی در مرحله اجرا

فرض كنيد بازيكن 1، پیشنهاد‌دهنده است و حركت اول را انجام مي‌دهد و ارزش R را به بازيكن 2 (بازیکن تصمیم‌گیر) پيشنهاد مي‌دهد. در اين مدل R يك متغير درونزا است و مقداری است كه توسط بازيكن اول (هنگامي كه بازیکنان به بحث می‌پردازند تا در مورد يك مبادله خاص در مرحله چانه‌زني موافقت كنند) پیشنهاد شده است. بازیکن تصمیم‌گیر باید پیشنهاد بازیکن 1 را بپذیرد و یا رد نماید. در صورتی که پیشنهاد را بپذیرد، عایدی بازیکن تصمیم‌گیر برابر مقدار پیشنهادی، R، است و مابقی مازاد،R-1 ، متعلق به بازیکن 1، خواهد بود.

در ادامه بازی و در مرحله اجرا بازیکنان بازي معماي زنداني تكرار شونده را به اجرا خواهند گذاشت. ساختار رجحان عايدي معماي زندانی استاندارد را در نظر بگيريد كه در آن    مي‌باشد. در صورت داشتن قدرت چانه‌زنی برابر و منافع متقارن بازیکنان در بازی، T  نشان‌دهنده عايدي تخلف و P نشان‌دهنده عايدي بازيكنان در صورت انتخاب استراتژی تضاد و پیمان‌شکنی از سوی هر دو بازیکن در دوره جاری مي‌باشد.   نیز نشان‌دهنده عايدي بازیکن بازدارنده بازار درصورت تخلف بازيكن ديگر است. فرم اوليه از یک دوره از مرحله اجرا در جدول 1 نشان داده شده است.

 

با توجه به آنچه كه فرض شده است، اين ديفرانسيل همواره منفي است، زيرا بر اساس ساختار رجحان عایدی بازی معمای زنداني‌ها، عايدي فريبكاري، T، از عايدي تنبيه يا مجازات، P، تجاوز مي‌كند. منفی بودن دیفرانسیل فوق در واقع، به رابطه معكوس ميان مقدار پيشنهادی بازیکن صبورتر، R، و عامل تنزيل، ، اشاره مي‌كند. بدین معني که بي‌صبري يك بازيكن سبب افزایش قدرت چانه‌زني وی می‌گردد. بنابراین بازيكنان بي‌صبرتر پيشنهادهاي بهتري را از رقيبان صبورتر خود در اين نوع سازمان چانه‌زني دريافت مي‌نمايند. به عبارت دیگر، عامل تنزيل پايين‌تر و محدود بودن بازیکن بی‌صبرتر تهدید وی را برای پيمان‌شكني باورکردنی‌تر نموده و قدرت عمل بیشتری به او می دهد. به علاوه، اين ارتباط به انتخاب نوع مكانيزم مجازات نیز بستگي ندارد.

ب. توالي حركت‌ها. شرکت ها قبل از پیوستن به بازی انتظار دارند که در صورت تشکیل بازی و پیوستن به آن كل عايدیي كه هر گروه در نتيجه رسيدن به يك توافق به دست می‌آورد، بيشتر از كل عايدي حاصل از به توافق نرسيدن و عدم تشکیل بازی (توافق) باشد. لذا بر سر اين مساله كه چه گروهی سهم بيشتري از عايدي حاصل از توافق را به خود اختصاص دهد به چانه‌زنی می‌پردازند. مساله اصلي كه پيش روي شرکت‌های 1 و 2 قرار دارد، رسيدن به توافق درباره ميزان همكاري است، يعني هر يك تلاش مي‌كند به توافقي دست یابد كه سهم بيشتری از منافع حاصل از چانه‌زني را عايد خود نماید. هر یک از دو گروه موجود در بورس اوراق بهادار تهران، رسيدن به يك سري توافقات را به عدم رسيدن به توافق ترجيح مي‌دهد، اما نه هر توافقي را. بر این اساس، گروه شرکت های 1 و 2 در يك بازي متوالي تلاش می‌کنند به وسيله شرایط طبيعي معين خود، سهم بيشتري از سود بازار سهام را به خود اختصاص دهند. در هر دورة معين انتظار می‌رود كه قيمت بازار، p، تابعي از مقدار عرضه شده توسط شرکت ها یعنی ، q ، باشد.

شرکت های گروه 1، به این دلیل که قدرت چانه‌زنی بالاتری دارند، يك قيمت هدف براي مقداري از عرضه سهام كه اين قيمت هدف را نتيجه ‌بدهد، انتخاب مي‌كند. با نرمال ‌سازي، اين مقدار برابر يك در نظر گرفته شده است. سپس شرکت های گروه 1، مقدار Z را به عنوان سطح عرضه برنامه‌ريزي شده به شرکت های گروه 2، پيشنهاد مي‌دهد، مقدار Z در فاصله ] 1,0 [  قرار دارد. پيشنهاد مقدار صفر از سوی شرکت های گروه 1، به اين معني است كه شرکت های گروه 2، نبايد عرضه ای داشته باشد و شرکت های گروه 1، تمام مقداري را كه براي رسيدن به قيمت هدف لازم است را عرضه خواهد نمود. پيشنهاد مقدار یک به اين معني خواهد بود كه شرکت های گروه 2، هر مقداری كه قيمت هدف را حفظ نماید، مي‌تواند عرضه کند و شرکت های گروه 1، عرضه ای نخواهد داشت که شرکت های گروه 2، به طور حتم این پیشنهاد را خواهد پذیرفت. همچنين پیشنهاد تمامي مقادير بين صفر و يك از سوي شرکت های گروه 1، امکان پذیر است، در اين صورت سطح عرضه شرکت های گروه 1، برابر (1-Z)،  یک منهايZ ، خواهد بود. در حركت بعدي، شرکت های گروه 2، تصمیم می گیرد که پیشنهاد شرکت های گروه 1، را رد کند و يا بپذيرد.

ج. تداوم همكاري. در اين مدل، Z يك متغير درونزا بوده و سطح عرضه است كه گروه شرکت های 2 انتخاب كرده و به گروه شرکت های 1 پيشنهاد اين مقدار عرضه را در این دوره از بازی داده است. گروه شرکت های 1، مقدار   را طوری تعیین می‌نماید و به گروه شرکت های 2 پيشنهاد مي‌دهد، كه برای گروه شرکت های 2 پیروی از اصل همکاری بر اقدام به رفتار فریبکارانه و عرضه بیشتر از سهمیه تعیین شده ارجحیت داشته باشد.

حال سؤال اين است که  دارای چه ويژگي‌هايي باید باشد تا از تهديد پیمان شکنی و اعمال رفتار فریبکارانه آینده و اقدام به خروج از بازی همکارانه از سوی گروه شرکت های 2 و فروپاشی آن جلوگیری نموده و سبب تداوم همکاری میان اعضای بورس اوراق بهادار تهران گردد.

همانند قبل، فرض بر این است كه مبادله با استراتژي دست به ماشه تنبیهی  اجرا می‌شود. درحقيقت، مقدار   با به كار بردن اين استراتژي تعيين مي‌گردد. گروه شرکت های 1 نياز دارد تا مقدار Z را چنان مشخص نمايد كه عایدی مورد انتظار از همكاري دائمي بزرگتر از عایدی مورد انتظار از يكبار پيمان شكني و تخلف از اصل همكاري و به دنبال آن بر اساس استراتژی دست به ماشه تنبیهی پيمان شكني و تضاد دو جانبه دائمي باشد و سپس معادله حاصل باید براي متغير Z حل گردد تا مقدار بهینه  تعیین شود. به علاوه، عامل تنزيل گروه شرکت های كوچك ،    بايد با شرايط زير به دليل فرض وجود استراتژی دست به ماشه تنبیهی مطابقت داشته باشد، تا يك تعادل نش را به وجود بياورد.

 

كه در آن    عايدي فريبكاري،   عايدي پاداش براي پیروی از اصل همكاري و   مجازات پيمان‌شكني و تضاد براي گروه شرکت های كوچك مي‌باشند.

4 نتایج تجربی

در این بخش در ابتدا به تحلیل توصیفی متغیر های الگو پرداخته شده است. در ادامه، با توجه به مدل های انتخاب سبد بهینه در بورس اوراق بهادار تهران ابتدا از بازی چانه زنی و تحلیل خروجی های بازی چانه زنی از الگوریتم ژنتیک  با استفاده از روش برنامه ریزی غیرخطی و ارزش در معرض خطر و نرم افزار متلب استفاده شده است. و سپس  جهت تخصیص بهینه پرتفولیو در حضور نقش آفرینان قدرتمند، با استفاده از توسعه و بسط مدل میانگین – واریانس مارکویتز و روش برنامه ریزی خطی و نرم افزار اکسل استفاده شده است .

1.4 مرحله چانه‌زني و مرحله اجرا 

بازي ارائه شده، مدل بازي دو مرحله‌اي چانه‌زني و اجرا است. در مرحله اول دو بازيكن (شرکت های قدرتمند و شرکت های کوچک) بايد چانه‌زني كنند تا از ميان مبادلات ممكنی که قبل از همکاری با آنها مواجه هستند، تصمیم بگیرند که یک مبادله ممکن خاص را انتخاب کنند.

جدول 2: نتایج بازی چانه زنی

میانگین
	AGE	BETA	MTB	EARN	ASSET	SIZE
گروه 1	13.035	0.397	65.723	0.657	2874193.356	5.941
گروه 0	13.266	0.637	84.287	0.843	3557428.325	5.971
گروه 1	12.834	0.518	72.091	0.721	2863237.067	5.956
گروه0	13.549	0.498	77.471	0.775	3628904.446	5.954

 

جدول 2: ادامه

میانگین
	IAQ	SPAU	OVER	Under	UNDER11
گروه 1	1.009	0.103	89.102	0.891	0.850
گروه 0	1.000	0.102	88.692	0.887	0.966
گروه 1	1.004	0.101	88.904	0.889	0.896
گروه0	1.006	0.104	88.918	0.889	0.915

 

جدول 2: ادامه

TANG	INVEF
486	519	گروه 1	فراوانی مطلق
428	395	گروه 2
53.17	56.78	گروه 1	فراوانی نسبی (درصد)
46.83	43.22	گروه 2
914	914	فراوانی کل

 

به دنبال آن، در مرحله اجرا، برای بازیکنان همواره يك انگیزه كوتاه‌مدت برای اقدام به اعمال فریبکارانه و تولید بیشتر از سهمیه تعیین شده توسط انحصارگر تا هنگامي كه بازیکن ديگر همكاري نکرده، وجود دارد. بنابراين اين مرحله مشابه معماي زنداني تكرار شونده می‌باشد.

2.4 تحلیل بازی چانه زنی با استفاده از الگوریتم ژنتیک 

در این بخش، به ارائه و تحلیل خروجی های بازی چانه زنی با استفاده از الگوریتم ژنتیک می پردازیم.

الف. جزیئات اجرایی الگوریتم ژنتیک

اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ژﻧﺘﻴﻚ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻧﮕﺎﺷﺖ ﻣﻨﺎﺳﺐ و ﻣﻌﻜﻮس ﭘﺬﻳﺮ، اﺑﺘﺪا اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﻫﺎي ﻣﻤﻜﻦ ﺑﺮاي ﺣﻞ ﻣﺴاله را ﺑﻪ رﺷﺘﻪ ﻫﺎي ﻛﺪ ﺷﺪه ﻣﻲﻧﮕﺎرد. سپس ﺟﺴﺘﺠﻮ ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﭘﺎﺳﺨﻲ ﺧﻮب که ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻳﻚ رﺷﺘﻪي ﺑﺨﺼﻮص اﺳﺖ ادامه می یابد، اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ژﻧﺘﻴﻚ ﺑﺮاي رﺳﻴﺪن ﺑﻪ اﻳﻦ ﻫﺪف، ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﺼﺎدﻓﻲ از رﺷﺘﻪﻫﺎ، ﺟﻤﻌﻴﺘﻲ از ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎي ﺑﺎﻟﻘﻮه ﺑﺮاي ﻣﺴاله ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ اﻳﺠﺎد ﻣﻲﻛﻨﺪ اﻳﻦ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺑﺮاي ﺑﻘﺎ و اﻳﺠﺎد ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎي ﺟﺪﻳﺪ و ﺑﻬﺘﺮ ﺑﺎ ﻫﻢ رﻗﺎﺑﺖ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﭘﺮاﺗﻮرﻫﺎي ﺳﻪ ﮔﺎﻧﻪ اﻧﺘﺨﺎب، ﺗﺮﻛﻴﺐ وﺟﻬﺶ، ﻧﺴﻞﻫﺎي ﺟﺪﻳﺪ اﻳﺠﺎد ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﻄﻮر ﻣﺘﻮﺳﻂ رﺷﺘﻪﻫﺎي ﺑﻬﺘﺮي را درﺑﺮ دارد. ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ در ﻧﺴﻞﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ، ﻛﻤﻴﺖ و ﻛﻴﻔﻴﺖ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎي ﺧﻮب اﻓﺰاﻳﺶﻣﻲﻳﺎﺑﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺪف ﻛﻪ ﻣﻌﻴﺎري ﺑﺮاي ﺳﻨﺠﺶ ﻛﺎراﻳﻲ آن رﺷﺘﻪ است اﻋﻤﺎل می شوند. اﻳﻦ روﻧﺪ ﺗﺎ ﻫﻤﮕﺮاﻳﻲ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ برای ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻳﻚ ﭘﺎﺳﺦ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻳﺎ ﻫﺮ ﺷﺮط ﺧﺎﺗﻤﻪ دﻳﮕﺮي اداﻣﻪ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ.

شبه کد مربوط به الگوریتم ژنتیک استاندارد:

Begin GA                    g:=0 //generation counter                  Initialize population p (g)                  Evaluate population p (g) //i.e, compute fitness values                  While not done do                            g:=g+1                            Select p (g) from p (g-1)                            Crossover p (g)                            Mutate p (g)                            Evaluate p(g)                  End while   End GA

ب. نمایش رشته ها 

نمایش مناسب رشته ها به ویژگی های فضای جست و جو بستگی دارد ؛ ولی معمولا  به صورت رشته دودویی و با طول رشته ی ثابت کدگذاری شده اند. رشته های مورد استفاده در الگوریتم ژنتیک را می توان به صورت گسسته یا پیوسته کد نمود. (چاکرابورتی، 1997). در این پژوهش از الگوریتم ژنتیک پیوسته استفاده شده است.  از آنجایی که در این پژوهش 13 متغیر وجود دارد که قصد داریم از روی آنها متغیرهای تاثیرگذار بر متغیر وابسته خروجی را پیش بینی نماییم بنابراین ترکیب K متغیر از 13 متغیر مورد بحث به نحوی انتخاب می شوند که پیش بینی با این K متغیر، کمترین میزان خطای پیش بینی وجود داشته باشد.

با توجه به این موضوع متغیرها در یک رشته به صورت باینری کد شده اند. از آنجا که متغیرهای مستقل این پژوهش 13 تا می باشد بنابراین این متغیرها به صورت یک کروموزوم به روش باینری کد می شوند. این رشته دارای 13 بیت است که هر بیت نشاندهنده یک متغیر می باشد. 1 بودن بیت به معنای بودن متغیر مذکور در نتیجه نهایی و 0 بودن آن به معنای نبودن آن در نتیجه نهایی است. برای مثال کروموزوم زیر طوری نشان داده شده است که کلیه متغیرها در نتیجه نهایی حضور دارند و بر متغیر وابسته تاثیرگذار هستند. به عبارت خلاصه تر می توان بیان داشت 0 بودن بیت nام به معنای این است که متغیر nام در ترکیب انتخابی وجود ندارد و یک بودن آن به این معنا است که متغیر nام در ترکیب انتخابی وجود دارد. در شکل زیر نمایی از یک کروموزوم اولیه نشان داده شده است.

شکل 1:  نمایی از یک کروموزوم

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 

برای یکنواخت شدن روابط و هم جنس شدن مولفه های مختلف موجود در کروموزوم مقادیر متغیرها نرمالیزه شده اند. نرمالیزه کردن متغیرها با استفاده از فرمول     نرمال سازی شده است. به این ترتیب مقدار متغیر  همواره در بازه  خواهد بود.

محاسبه برازندگی : تابع برازندگی از اعمال تبدیل مناسب روی تابع هدف که قرار است بهینه شود، به دست می آید. این تابع هر رشته را با یک مقدار عددی ارزیابی می کند که کیفیت آن را مشخص نماید. هر چه کیفیت رشته ی جواب بالاتر باشد، مقدار برازندگی جواب بیش تر است و احتمال مشارکت برای تولید نسل بعدی افزایش می یابد.

در ادامه با توجه به این که در الگوریتم ژنتیک باید یک جمعیت اولیه (مجموعه ای از جواب ها) اعمال گردد بنابراین برای این منظور یک جمعیت اولیه تعریف گردیده است. برای تولید جمعیت اولیه از روش تولید تصادفی استفاده شده است. تنوع در کروموزوم ها در روش تصادفی بالا است در نتیجه در تکرار های اولیه الگوریتم تکامل نسل ها سریع تر انجام می شود. با افزایش تکرار، تشابه کروموزوم ها نیز افزایش می یابد تا این که در نهایت به یک همگرایی دست یابیم.

شبه کد مربوط به ایجاد جمعیت اولیه:

را به عنوان عضو اولیه در نظر بگیرید. شمارنده i را برابر صفر قرار دهید. i=0 برای هر عضو جمعیت   مراحل زیر را طوری انجام دهید که  عضو اولیه ایجاد شود به طوری که   :          هر ژن از عضو i،  را به طور تصادفی مقدار دهی کنید.          اگر  در فضای موجه باشد آنگاه                     مقدار i را برابر i+1 قرار دهید.         پایان اگر. پایان حلقه تکرار.

برای برازش تابع هدف متغیری برای تعیین تمایل انتخاب بهترین فرد معین شده است. در این پژوهش تعداد جمعیت اولیه 200 انتخاب شده است.

ج. عملگرهای الگوریتم ژنتیک

ج1. انتخاب

پس از اینکه برازندگی تمام افراد یک نسل مشخص شد، طبق اصول طبیعی، فرزندانی که از زوج های برازنده تر به وجود می آیند، برازندگی بیشتری دارند و همان طور که در طبیعت، افرادی که برتری هایی نسبت به دیگران دارند، به زوج های برتری دست می یابند، الگوریتم ژنتیک این فرآیند را شبیه سازی می کند و به افراد برازنده تر شانس تولید مثل بیشتری می دهد.  فرآیند انتخاب تعیین تعداد دفعاتی است که یک فرد می تواند در مرحله تکثیر شرکت کند. برای انتخاب در این پژوهش از تکنیک چرخ گردان استفاده شده است. در این روش احتمال انتخاب کروموزوم ها با برازندگی بیشتر بالاتر است. به عبارت دیگر، به هر کروموزوم به نسبت برازندگی آن یک احتمال انتخاب داده می شود. در نتیجه ممکن است بعضی از کروموزوم ها چند بار انتخاب شوند یا اصلا انتخاب نشوند.  احتمال انتخاب متناظر  با هر کروموزوم بر مبنای برازندگی آن محاسبه می شود، طوری که اگر  مقدار برازندگی کروموزوم kام باشد، آنگاه مساحت هر بخش  متناسب با مقدار برازندگی  در کروموزوم kام است. همچنین بر مبنای رابطه زیر داریم:

 

از آنجا که مجموع  برابر با 1 است. در نهایت عددی بین صفر و یک به طورتصادفی انتخاب خواهد شد. اگر r بر مبنای توزیع یکنواخت در بازه  به طور تصادفی انتخاب شود، آنگاه r به عنوان نشانگر (انتخاب عدد تصادفی) در فرآیند مدل سازی ریاضی چزخه گردان استفاده می شود و اعضا بر مبنای رابطه زیر انتخاب می شوند:

 

 

 

ج2. پیوند

پیوند مهم ترین عملگر الگوریتم ژنتیک و کلید موفقیت آن است. عملگر انتخاب برای کشف نواحی جدید فضای جست وجو ابزاری ندارد و اگر تنها، به نسخه برداری ساختارهای قدیمی، بدون تغییر آن اکتفا شود، نمی توان به بررسی موارد جدید پرداخت. پیوند عملگری است که اطلاعات بین رشته ای را به طور اتفاقی مبادله می کند.  در این پژوهش از عملگر پیوند یک نقطه برش استفاده شده است و از دو عضو والد دو عضو فرزند ایجاد شده است. در این نوع از پیوند بخشی از ژن های ذرات والد با هم جابجا می شوند و ذرات فرزند را به وجود می آورند. در این مرحله جواب های اولیه به عنوان والدین در نظر گرفته شده بر اساس پیوند  یک نقطه برش تقاطع اعضای والد ادغام و اعضای ثانویه که در اصطلاح جمعیت فرزند نامیده می شود، ایجاد می شود. اگر  و  به عنوان عضوهای والد تعریف شوند.   یک عملگر صفر و یک باشد که به تعداد ژن های هر عضو  تعریف شده و مقدار آن صفر و یک است. اگر مقدار آن صفر باشد عمل پیوند صورت نمی گیرد ولی اگر مقدار آن یک باشد عمل پیوند انجام می شود و فرزند  و  را به وجود می آورد.

شبه کد مربوط به کد پیوند برای رشته ذرات:

را فرزند ذره   و  را فرزند ذره    قرار دهید. اگر   باشد آنگاه:      مقدار  باینری را برای هر ژن تعیین کنید.      برای هر ژن  انجام دهید.              اگر  برابر با 1 باشد آنگاه:                                                ژن ها را به صورت زیر جابجا کنید:                 پایان اگر.      پایان حلقه تکرار (برای). پایان اگر.

احتمال پیوند برابر با 8/0 و جمعیت فرزندان برابر با 05/0 کل جمعیت اولیه در نظر گرفته شده است.

ج3. جهش

سومین عملگر در الگوریتم ژنتیک جهش نام دارد. گرچه عملگرهای انتخاب و پیوند، جست وجوی موثری درفضای جستجو را طراحی می کنند اما  گاهی باعث می شوند از بین خصوصیات مفید رشته ها از بین بروند. عملگر جهش امکان دستیابی مجدد به این ویژگی های مثبتی را که در جمعیت نیست، فراهم می کند. این عملگر در کروموزوم های متفاوت تغییرات تصادفی برنامه ریزی نشده ایجاد می کند و ژن هایی را که در جمعیت اولیه وجود نداشته اند را وارد جمعیت می کند.عملگر جهش با احتمال معین ، برای هر ژن از عضو  اعمال می شود و عضو فرزند جهش یافته  را به وجود می آورد. احتمال جهش به عنوان نرخ جهش شناخته می شود. در این پژوهش از عملگر جهش یکنواخت (تصادفی) استفاده شده است. در این روش تعدادی ژن به طورتصادفی انتخاب و مقدار آن تعویض می شود. یک رشته به طور تصادفی انتخاب و مقدار یکی از سلول هایش از صفر به یک تغییر داده می شود. نرخ جهش نیز برابر با 01/0 در نظر گرفته شده است.

شبه کد الگوریتم یکنواخت (تصادفی) جهش:

برای هر ژن  انجام دهید.    اگر   آنگاه                  پایان اگر.      پایان حلقه تکرار (برای).     بررسی شرایط خاتمه

بعد از اجرای عملگر پیوند و جهش مساله دارای سه جمعیت شامل جمعیت فرزندان، جمعیت اصلی و جمعیت جهش یافتگان است. به همین منظور کروموزوم های این سه جمعیت بر مبنای کیفیت جواب هایشان و تابع هدف مساله با یکدیگر ادغام شده، جمعیت ادغام شده را به وجود می آورند. به عبارت دیگر مقدار متناظر هر کروموزوم در تابع هدف مساله قرار می گیرد و کروموزوم هایی با بهترین جواب انتخاب می شوند.پس از ادغام جمعیت ها و ایجاد نسل های جدید و انجام تکرارهای مختلف، لازم است شرایط خاتمه در الگوریتم بررسی شود. در این پژوهش شرط پاياني، تغيير نكردن بهترين رشته، در هر نسل، براي پنجاه نسل متوالي در نظر گرفته شده است؛ بدين معني که اگر بهترين رشته، در پنجاه نسل متوالي بدون تغيير باقي ماند، الگوريتم پايان مي پذيرد.

جدول 3: پارامتر های الگوریتم ژنتیک برای تخمین مدل

ردیف	پارامتر	میزان/ نوع
1	اندازه جمعیت اولیه	200
2	نوع ایجاد جمعیت اولیه	تولید تصادفی یکنواخت
3	اندازه کروموزوم	13 (رشته باینری)
4	نوع پیوند	یک نقطه برش
5	احتمال پیوند	8/0
6	نوع جهش	یکنواخت تصادفی
7	نرخ جهش	01/0
8	روش انتخاب والد	چرخ گردان
9	انتخاب کروموزوم بهینه	رتبه ای

 

 

 

 

دلیل توقف الگوریتم ژنتیک

پس از اجراي الگوريتم ژنتيک با پارامترها ي بالا و تابع هدف مذکور متغيرهاي ورودي، در رشته رمزگذاري شده، براي الگوريتم ژنتيک به ترتيب زير قرار گرفته اند: جواب نهايي الگوريتم ژنتيک، پس از همگرا شدن، رشته اي به ترتيب زير  به دست آمده است:

جدول 4. جواب نهايي الگوريتم ژنتيک

13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
51/0	30/0	23/0	38/0	47/0	59/0	33/0	41/0	64/0	28/0	45/0	43/0	51/0

 

5 نتیجه گیری 

سرمایه گذاران در محیط سرمایه گذاری باید توجه داشته باشند که سرمایه گذاران بزرگی هستند که تعیین کنندگان قیمت هستند نه دریافت کنندگان و بایستی رفتار استراتژیک این سرمایه گذاران در مدیریت پرتفوی در نظر گرفته شود و در نظر داشته باشند که سرمایه گزاران بزرگ چگونه قیمت را تعیین می کنند و در مقابل سرمایه گذاران خرد چه عکس العملی از خود نشان می دهند.

این مقاله با هدف نقش سرمایه گذاران بزرگ در بازار سرمایه مورد بحث و بررسی قرار گرفت سرمایه گذاران بزرگ کسانی هستند که اطلاعات نهانی دارند و این دسترسی سبب شده است که مدل مارکویتز در محیط استراتژیک سرمایه گذاری پاسخگوی نیازهای سرمایه گذاران نباشد.

در این پژوهش ، با توجه به اهمیت محیط استراتژیک سرمایه گذاری،  سعی بر آن شد است تا رفتار استراتژیک نقش آفرینان قدرتمند و نقش آفرینان کوچک با استفاده از بسط مدل ریاضی میانگین -واریانس مارکویتز حل و بهینه سازی گردد. از آنجایی که در چیدمان سبد پرتفولیوی سرمایه گذاران رفتار دو گروه از نقش آفرینان تاثیر گذار است با استفاده از گیم تئوری وزن بهینه هر دارایی در سبد مشخص شده است. جهت دستیابی به این هدف ، ابتدا بازی چانه زنی با استفاده از الگوریتم ژنتیک حل و بهینه سازی گردیده و سپس بازی دیگری در حضور نقش آفرینان قدرتمند حل و مدلسازی شده است.

با استفاده از الگوریتم ژنتیک به تحلیل بازی چانه زنی پرداخته شد برای الگوریتم ژنتیک ما به رشته های کروزوم نیاز داریم و در نهایت با استفاده از این تحلیل ها عملکردهای الگوریتم ژنتیک مورد بررسی قرار گرفت و بهترین تعادل برای بازی استخراج گردید استدلالهایی برای توقف الگوریتم ژنتیک طراحی گردید 

 

 

فهرست منابع

1) اسلامی بیدگلی، غ، احتشام راعی، ر (1390). کاربرد تئوری بازی­ها در ارزیابی سرمایه­گذاری در سهام. مجله دانش مالی تحلیل اوراق بهادار، دوره 4، شماره 3، ص101-129.

3) تاتایی ، پ ؛ رهنمای رودپشتی ، ف ؛ (1396). شکست بازار با استفاده از سبد توصیه شده بر مبنای بازی ائتلاف. فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار ، دوره 8، شماره 33.

4) جامی الاحمدی، م؛ رازدار؛ م (1397). تورش­های رفتاری و تأثیر آن بر تصمیم­گیری سرمایه­گذاران در بورس اوراق بهادار. کنفرانس بین المللی تازه های مدیریت حسابداری و اقتصاد. دبیرخانه دائمی کنفرانس، تهران.

6) خوشنود، م، رهنمای رودپشتی، ف، نیکومرام، ه (1399). بهینه سازی الگوی سرمایه­گذاری در نزول­های اساسی بورس اوراق بهادار تهران در چارچوب رویکرد عوامل ناهمگن و مدل سازی عامل بنیان با استفاده از الگوریتم ژنتیک. فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، شماره 42.

8) رهنمای رودپشتی،ف؛ هیبتی،ف؛ موسوی،س (1391).بررسی الگوی ریاضی انتخاب پرتفوی سرمایه­گذاری مبتنی بر مالی رفتاری. مجله مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار ،دوره3،شماره12.

9) راعی،ر؛ علی بیگی ، ه (1389). بهینه سازی پرتفوی سهام با استفاده از روش حرکت تجمعی ذرات . مجله پژوهشات مالی ، دوره 12،شماره 29.

10) سینایی، ح ، زمانی ، س(1393). تصمیم­گیری برای انتخاب سبد سهام ؛ مقایسه الگوریتم ژنتیک و زنبور عسل . مجله پژوهشنامه مدیریت اجرایی، دوره 6 ، شماره 11 .

11) شهریاری، س؛ سرنقی، ت، فرازمند؛ ن (1398). بررسی سیاست­های نفتی ایران در اوپک بر اساس نظریه بازی ها. فصلنامه پژوهش های سیاسی جهان اسلام، دوره 9، شماره 1، ص 1-28.

12) هیبتی،ف؛ رهنمای رودپشتی، ف؛ افشار کاظمی،م؛ عبیری،ا (1390). ارزیابی مدل گزینش سبد سهام با استفاده از فرآیند تحلیل سلسله مراتبی (AHP.) ، آنالیز رابطه ای خاکستری ( GRA) و برنامه ریزی آرمانی ( GP) . مجله مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار،دوره2،شماره6.

 

13) Campbell, J. Y. , Grossman, S. J. , & Wang, J. (1993). Trading volume and serial corre- lation in stock returns. The Quarterly Journal of Economics, 108 (4), 905–939

14) Kolm, P. N. , Tütüncü, R. , & Fabozzi, F. J. (2014). 60 years of portfolio optimization: Practical challenges and current trends. European Journal of Operational Research, 234 (2), 356–371

15) Kannai, Y. , & Rosenmüller, J. (2010). Strategic behavior in financial markets. Journal of Mathematical Economics, 46 (2), 148–162 .

18) Lee, K. H., Powell, L. M., Nguyen, L., & Eryilmaz, E. (2018). The Strategic Responses from Sophisticated Investors to Inaccurate Forecast of Financial Analysts. Accounting and Finance Research, 7(1), 272.

19) Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. Journal of Finance, 7 , 77–91 .

20) Mangoubi, O. (2012). Strategic behavior in multiple-period financial markets. In Optimization theory and related topics: Israel mathematical conference proceedings, a workshop in memory of dan Butnariu, January 11-14, 2010, Haifa, Israel: Vol. 568 (p. 191). American Mathematical Society .

22) Mantovi,A .Augusto, S. (2018). A game-theoretic traverse analysis: price competition and strategic investment. Structural change and economic dynamics. Elsevier, vol, 49(c), 301-311

23) Marcelo, J. Villena. Lorenzo Reus.(2016).On the strategic behavior of large investors: A mean-variance portfolio approach. European Journal of Operational Research 254 (2016) 679–688.

1