Numerical solution of Volterra nonlinear integral equations using modified parametric iteration method
Subject Areas : Electrical engineering (electronics, telecommunications, power, control)
1 -
Keywords: Parametric iteration method, integral equations, numerical solution,
Abstract :
In this paper, we used the modified parametric iteration method to solve Volterra integral equations. The solution process is illustrated with several examples. A comparison between this method and the exact solution is made. The results show the simplicity and efficiency of the modified parametric iteration method. Also, the convergence of this method is investigated in this study. In this paper, we used the modified parametric iteration method to solve Volterra integral equations. The solution process is illustrated with several examples. A comparison between this method and the exact solution is made. The results show the simplicity and efficiency of the modified parametric iteration method. Also, the convergence of this method is investigated in this study. In this paper, we used the modified parametric iteration method to solve Volterra integral equations. The solution process is illustrated with several examples. A comparison between this method and the exact solution is made. The results show the simplicity and efficiency of the modified parametric iteration method. Also, the convergence of this method is investigated in this study. In this paper, we used the modified parametric iteration method to solve Volterra integral equations. The solution process is illustrated with several examples. A comparison between this method and the exact solution is made. The results show the simplicity and efficiency of the modified parametric iteration method.
[1] E. Coddington, N.Levinson. وTheory of Ordinary Differential Equations,
New York: McGraw-Hill, (1955).
[2] Sh.J. Liao, Beyond perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis
Method, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press (2003).
[3] J.H. He, Variational iteration method—a kind of non-linear analytical
technique: Some examples, International Journal of Nonlinear Mechanics 34
(4) (1999)699–708.
[4] J. Saberi-Nadjafi, M.Tamamgar The Variational iteration method: A highly
promising method for solving the system of integro-differential equations,
Computer & Mathematics with Application .56 (2008) 346-351.
[5]A.M. Wazwaz,The variational iteration method (VIM) for solving linear and
nonlinear Volterra integral and integro-differential equations, International
Journal of Computer Mathematics, 87(5) (2010) 1131-1141.
[6] M.Tamamgar , Kh.Maleknejad, An Approximate Method with High Accuracy for
Solving the Nonlinear Volterra Integral Equations,M.Tamamgar, Pacific Journal
of Applied Mathematics, Volume 8 Issue 3(2017)
جلد سوم، بهار و پاییز 1403 مجله مهندسی برق و سیستم های هوشمند
حل عددی معادلات انتگرالی غیر خطی ولترا به روش تکرار پارامتری اصلاح شده
چکیده | |
هدف اصلی این کار ارائه یک رویکرد عددی جدید برای حل معادلات انتگرال غیرخطی ولترا با اصلاح روش تکرار پارامتریک است. فرآیند حل با چند مثال نشان داده شده است. مقایسه بین این روش و روش تکرار پارامتریک و جواب دقیق انجام شده است. نتایج نشان دهنده سادگی و کارایی روش تکرا پارامتری اصلاح شده است. همچنین، همگرایی این روش در این مطالعه بررسی شده است.
| |
کلمات کلیدی: روش تکرار پارامتری ، معادلات انتگرالی ، حل عددی | دريافت مقاله: پذيرش مقاله: |
1. مقدمه
بسياري از مسائل فيزيکي و يا مهندسي به صورت غير خطي و پيچيده ظاهر مي شوند و يا بسياري از مدل هاي آنها غير خطي هستند که در اغلب موارد جواب واقعي آنها قابل تعيين نيست، پس لازم است که براي تعيين جواب تقريبي آنها از روش هاي عددي استفاده کنيم. توسعه علم منجر به شکل گیری بسیاری از قوانین فیزیکی شده است که وقتی به شکل ریاضی بیان می شوند اغلب به صورت معادلات دیفرانسیل ظاهر می شوند. مسائل مهندسی را می توان به شکل معادلات دیفرانسیل توصیف کرد. این معادلات دیفرانسیل را می توان به معادلات انتگرال ولترا تبدیل کرد. معادلات انتگرال ولترا در مسائلی مانند، نظریه سیستم ها، رسانش، گرما و انتشار به وجود می آیند. فنون محاسبات عددي به گونه اي طراحي مي شوند که در حد امکان جواب ها را به صورت ساده، سريع و با دقت بالا به دست آورند و بتوان آنها را به صورت الگوريتمي در يک دستگاه محاسباتي به کار گرفت تاکنون روشهای عددی مختلف برای حل معادلات انتگرال ولترا استفاده شده است، که از ميان آنها مي توان به روش تکرار پيکارد]1[، روش آناليز هموتويي]2[، روش تکرار تغييراتي]3و4[ اشاره کرد. عموماً لازم به ذکر است که اين روشها محدوديت هاي خاص خود را دارند و معمولاً هدف ما از طراحي اين روش ها رفع اين محدوديت ها است. يکي از معمول ترين و پر کاربردترين روش هاي عددي، روش هاي تکراري هستند، که روش تکرار پارامتری در واقع تعمیم روشهای فوق است. در ابتدا این روش را به طور خلاصه معرفی می کنیم.
2. روش تکرار پارامتری
براي معرفي روش تکرار پارامتري ابتدا يک معادله انتگرالی را به شکل زير در نظر می گيريم:
(1) 
که در آن 
با خاصيت 
وقتي 
، يک عملگر خطي کمکي نسبت به u و N يک عملگر غير خطي نسبت به u و g يک تابع تحليلي است. حال يک خانواده از فرآيندهاي تکراري به صورت مي سازيم:
(2) 
که در آن 
يک پارامتر کمکي ، H(t) يک تابع کمکي است و 
عبارتست از:
(3) 
که در آن 
يک تقريب اوليه است و مي تواند به صورت آزادانه انتخاب شود. شکل کلي تر خانواده تکراري (1-2) به صورت زير است:
(4) 
که در آن 
نشان دهنده يک ضربگر (معمولا ضربگر لاگرانژ) مي باشد که در ]5[ به نحوه تعيين آن اشاره شده است. عوامل معرفي شده در اين فرمول تکراري به طور موثر و به روش هايي ساده قابل تعيين هستند که اين خود از مزاياي روش تکرار پارامتري است. پس مي توانيم اين عوامل را طوري انتخاب کنيم که (1-2) و (1-4) جواب داشته باشند. اگر 
يک تقريب اوليه مناسب باشد، آنگاه جواب واقعي معادله عبارتست از:
مرجع ]6[ از روش تکرار پارامتری در حل معادلات انتگرالی غیر خطی ولترا استفاده کرده است.
2. روش تکرار پارامتری اصلاح شده
گاهي اوقات استفاده از روش تکراري پارامتري براي حل معادلات انتگرال بخصوص نوع غير خطي آن به آساني امکان پذير نيست و به دليل افزايش حجم محاسبات حتي استفاده از نرم افزارهاي قوي کار ساز نيست. براي رفع اين مشکل سعي مي کنيم روش را طوري اصلاح کنيم که حتي الامکان از محاسبه جملات غير ضروري پرهيز کنيم. يک معادله انتگرالی ولترای غير خطی را به صورت زير در نظر مي گيريم:
(5) 
که طرح تکرار پارامتري براي آن به صورت زير است:
(6) 
فرض می کنيم تابع زير علامت انتگرال حول 
و 
داراي بسط تيلور باشد، يعني:
پس طرح تکرار (6) به صورت زير خواهد بود:
(7) 
که در آن
و آنرا روش تکرار پارامتري اصلاح شده مي ناميم.
3. همگرایی روش تکرار پارامتری اصلاح شده:
به منظور اثبات همگرايي دنباله 
توليد شده توسط روش تکرار پارامتری اصلاح شده.يک سري به صورت زير مي سازيم:
(8) 
توجه داريم که
(9) 
پس دنباله همگراست اگر سري فوق همگرا باشد.
قضيه: : فرض کنيم 
در بازه
پيوسته ليپشيتس باشد و
و
که در آن M,N اعداد حقيقی مثبتی هستند و در آن N ثابت ليپشيتس است آنگاه سری (8) همگراست.
اثبات: از طرح تکراي (6) داريم:
(10) 
بطوريکه
,
,
, 
که در آن 
ثابت ليپشيتس است به عبارت ديگر
از (6)و (10) نتيجه مي گيريم:
(11) 
(12) 
(13) 
بنابراين اگر 
سري (8) و بنابراين دنباله به جواب معادله براي 
همگرا خواهد بود.توجه داریم طرحهای تکرار (6) و (7) تقریبا یکسان هستند.
4. حل عددی معادله غير خطی ولترا با روش تکرار پارامتری اصلاح شده:
در اين قسمت با ارائه مثال نحوه عملکرد روش اصلاح شده را نشان می دهيم.
مثال 1: معادله انتگرالی ولترای غير خطی نوع دوم زير را در نظر می گيريم
(14) 
که جواب واقعی آن تابع 
است. با در نظر گرفتن 
و استفاده از اينکه
نتيجه می شود 
. حال طبق فرآيند روش پارامتری و با فرض 
طرح تکراری حل اين مساله به صورت زير است:
(15) 
حال با توجه به رابطه(7)، فرمول (15) به شکل زير اصلاح می شود:
(16) 
که در آن
(17) 
به طوري که 
.
با شروع از 
داريم:
که
بنابراين برای 
داريم:
و برای 
:
به طوري که
بنابراين برای نتيجه می شود:
با ادامه اين روند در ساير تکرارها نيز تابع 
بدست می آيد، يعنی جواب واقعی معادله حاصل می شود. بنابراين می توان با استفاده از روش تکرار پارامتری اصلاح شده باعث کاهش حجم محاسبات و افزايش دقت گردید.. این مساله با روش تکرار پارامتری در مرجع]6[ حل شده که نتایج حاصل در تکرار هشتم و در مقایسه با جواب دقیق به صورت جدول زیر است.
|
|
|
0 | 0 | 0 |
0.125 | 0.374999 | 0.375 |
0.25 | 0.749999 | 0.75 |
0.375 | 1.124999 | 1.125 |
0.5 | 1.499997 | 1.5 |
0.625 | 1.874987 | 1.875 |
0.75 | 2.249955 | 2.25 |
0.875 | 2.624869 | 2.625 |
1 | 2.999668 | 3 |
مثال 2: معادله انتگرالی ولترای غير خطی نوع دوم زير را در نظر می گيريم
(18)
که جواب واقعی آن تابع 
است. با در نظر گرفتن و استفاده از اينکه
نتيجه می شود 
. حال طبق فرآيند روش پارامتری و با فرض طرح تکراری حل اين مساله به صورت زير است:
(19) 
حال با توجه به رابطه(7)، فرمول (19) به شکل زير اصلاح می شود:
(20) 
که در آن
(21)
به طوري که .
با شروع از داريم:
که
بنابراين برای داريم:
و برای :
به طوري که
بنابراين برای نتيجه می شود:
و برای 
:
به طوري که
بنابراين برای نتيجه می شود:
با ادامه اين روند در ساير تکرارها نيز تابع 
بدست می آيد، يعنی جواب واقعی معادله حاصل می شود.
نتیجه گیری:
در این مقاله، ما از روش تکرار پارامتری اصلاح شده برای حل معادلات انتگرال غیرخطی ولترا استفاده کردیم. برای نشان دادن کارایی روش، دو مثال حل کردیم. نتایج حاصل از روش در مقایسه با جواب دقیق نشان می دهد که سرعت و دقت این روش نسبت به روش تکرار پارامتری و سایر روشهای مشابه بیشتراست و استفاده از آن منجر به کاهش چشمگیر حجم محاسبات می شود. همچنین نشان دادیم دنباله حاصل از این روش به جواب واقعی همگراست.
[1] E. Coddington, N.Levinson. وTheory of Ordinary Differential Equations,
New York: McGraw-Hill, (1955).
[2] Sh.J. Liao, Beyond perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis
Method, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press (2003).
[3] J.H. He, Variational iteration method—a kind of non-linear analytical
technique: Some examples, International Journal of Nonlinear Mechanics 34
(4) (1999)699–708.
[4] J. Saberi-Nadjafi, M.Tamamgar The Variational iteration method: A highly
promising method for solving the system of integro-differential equations,
Computer & Mathematics with Application .56 (2008) 346-351.
[5]A.M. Wazwaz,The variational iteration method (VIM) for solving linear and
nonlinear Volterra integral and integro-differential equations, International
Journal of Computer Mathematics, 87(5) (2010) 1131-1141.
[6] M.Tamamgar , An Approximate Method with High Accuracy for Solving the
Nonlinear Volterra Integral Equations,M.Tamamgar, Pacific Journal of Applied
Mathematics, Volume 8 Issue 3(2017)