NORMAL WEIGHTED COMPOSITION-DIFFERENTIATION OPERATORS.

Subject Areas : Statistics

Mahbube Moradi ¹ , Mahsa Fatehi ²

1 - دانشگاه آزاد شیراز
2 - عضو هیأت علمی، گروه ریاضی، واحد شیراز، دانشگاه آزاد اسلامی، شیراز، ایران

Received: 2021-08-04 Accepted : 2022-05-28 Published : 2024-01-18

Keywords: عملگر ترکیبی, نرمال, عملگر مشتق-ترکیبی وزن دار,

Abstract :

In this paper, we investigate the normal weighted composition-differentiation operators. For φ(0)=0, we completely characterize normal weighted composition-differentiation operators 〖 D〗_(ψ,φ,n). Then we find another class of normal weighted composition-differentiation operators.In this paper, we investigate the normal weighted composition-differentiation operators. For φ(0)=0, we completely characterize normal weighted composition-differentiation operators 〖 D〗_(ψ,φ,n). Then we find another class of normal weighted composition-differentiation operators.In this paper, we investigate the normal weighted composition-differentiation operators. For φ(0)=0, we completely characterize normal weighted composition-differentiation operators 〖 D〗_(ψ,φ,n). Then we find another class of normal weighted composition-differentiation operators.In this paper, we investigate the normal weighted composition-differentiation operators. For φ(0)=0, we completely characterize normal weighted composition-differentiation operators 〖 D〗_(ψ,φ,n). Then we find another class of normal weighted composition-differentiation operators.In this paper, we investigate the normal weighted composition-differentiation operators. For φ(0)=0, we completely characterize normal weighted composition-differentiation operators 〖 D〗_(ψ,φ,n). Then we find another class of normal weighted composition-differentiation operators

References:

[1] C. C. Cowen and B. D. MacCluer. Composition operators on spaces of analytic functions. CRC Press, Boca Raton. 1995.

[2] M. Fatehi and C. N. B. Hammond. Composition-differentiation operators on the Hardy space. Proc. Amer. Math. Soc. 148:2893-2900(2020).

[3] M. Fatehi and C. N. B. Hammond.
Normality and self-adjointness of weighted composition-differentiation operators. Complex Anal. Oper. Theory 15:1-13(2021).

[4] S. Ohno. Products of composition and differentiation between Hardy spaces. Bull.
Aust. Math. Soc. 73:235-243(2006).

[5] S. Stevic’. Products of composition and differentiation operators on the weighted Bergman space. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 16:623-635 (2009).

Full-Text:



1

 

 

عملگرهای مشتق-ترکیبی وزن دار نرمال

 

محبوبه مرادی1، مهسا فاتحی2*

 

 (1) (دانشجوی دکتری، گروه رياضی، واحد شيراز، دانشگاه آزاد اسلامی، شيراز، ايران)

 (2) (هیات علمی، گروه رياضی، واحد شيراز، دانشگاه آزاد اسلامی، شيراز، ايران)

 

چکیده

در این مقاله، ابتدا به بررسی عملگرهای مشتق-ترکیبی وزن دار نرمال روی فضای   پرداخته و در حالتی که  باشد، عملگرهای مشتق-ترکیبی وزن دار نرمال را بطور کامل مشخص می کنیم. در ادامه در حالتی که  باشد، دسته ای از عملگرهای مشتق-ترکیبی وزن دار نرمال را می یابیم.

 

واژه های کلیدی: عملگر ترکیبی، عملگر مشتق-ترکیبی وزن دار، نرمال. 

 

1-مقدمه

 

فرض کنید ⅅ قرص یکه باز در صفحه  اعداد مختلط باشد. فضای هاردی   فضایی هیلبرت شامل تمام توابع تحلیلی روی ⅅ

می باشد به قسمی که

.  

برای هر دو عضو  و

  متعلق به، ضرب داخلی آنها بصورت

    =   

تعریف می شود. به ازای هرمتعلق به ⅅ و هر عدد طبیعی ، تابع مولد هسته مرتبهام بصورت 

 

 می باشد که به ازای هر  

 

 توجه داشته باشید که به ازای هر متعلق به ⅅ و هر عدد صحیح نامنفی  نرم بصورت زیر می باشد

 

در حالت ، تابع مولد هسته را به فرم  نشان

 می دهند.

      فضای را فضای همه توابع تحلیلی کراندار روی ⅅ  تعریف می کنیم به طوری که نرم آن بصورت

 

تعریف می شود. برای یافتن اطلاعات بیشتر  در این زمینه می توان به مرجع [1] رجوع کرد.

      برای هر نگاشت تحلیلی از ⅅ به ⅅ، عملگر ترکیبی   به ازای هر  به فرم

 تعریف می شود. عملگرهای ترکیبی روی   کراندار هستند [1]. 

      اگر چه به سادگی دیده می شود که عملگر مشتق  روی کراندار نیست، عملگرهایی به فرم  یا  وجود دارند که این عملگرها کراندارند. ما عملگرهای کراندار  را با  نمایش می دهیم. به وضوح این عملگر روی  بصورت  تعریف می شود. 

برای هر تابع تحلیلی  از ⅅ به ⅅ و هر تابع تحلیلی

𝜓 روی ⅅ (ضرورتی ندارد که تابع 𝜓 متعلق به باشد)، عملگر مشتق-ترکیبی وزن دار روی فضای بصورت تعریف می شود. در حالتی که  و ، عملگر  روی کران دار است (قضیه 1.3 از مرجع [4]).

   برای هرتابع تحلیلی  از ⅅ به ⅅ، هر تابع تحلیلی 𝜓 روی ⅅ  و هر عدد طبیعی n، عملگر مشتق-ترکیبی وزن دارمرتبه nام روی فضای  بصورت

  

تعریف می شود [4, 5].

   عملگر کراندار T را خوالحاق می گوییم اگر T=. همچنین عملگر کراندار T را نرمال گوییم هرگاه .

درسال 2006 اهنو [4] به بررسی کران داری و فشردگی عملگر  روی فضای هاردی پرداخت. درسال 2009 استویک نیز کرانداری و فشردگی عملگر  را روی فضای برگمن وزن دار، در حالتی که  بررسی کرد [5]. در [2] فاتحی و هامند به محاسبه نرم  و در [3]  به بررسی برخی از ویژگی های عملگر  از جمله نرمال و خودالحاق بودن، روی فضای هاردی   پرداختند. در این مقاله به بررسی عملگرهای نرمال  می پردازیم.  برخی ایده های بکار گرفته شده در این تحقیق برگرفته از مرجع [3] می باشد. در این مقاله برای جلوگیری از به وجود آمدن حالت های بدیهی،  فرض می کنیم که  تابع صفر و  تابع ثابت نباشند.  در گزاره 3.2 و قضیه4.2  خواهیم دید که اگر چه عملگر  نرمال نیست، اما عملگر  می تواند نرمال باشد.

 

 

 

 

2-عملگرهای نرمال

   در این بخش در ابتدا به بیان لم زیر پرداخته و پس از آن با کمک این لم به بررسی عملگرهای نرمال  خواهیم پرداخت.

 

لم 1.2: فرض کنید روی فضای  کراندار باشد. در این صورت داریم 

 

اثبات: فرض کنید عضو دلخواهی از  باشد. برای هر عضو  متعلق به ⅅ، داریم

 

 

.

بنابراین نتیجه حاصل می شود.󠇯 󠆴󠆴

    

  در گزاره 2.2 به بررسی خواصی از عملگرهای نرمال  می پردازیم. سپس با استفاده از نتایج بدست آمده از گزاره 2.2، مطالب بعد را ثابت می کنیم.

 

گزاره 2.2: فرض کنید عملگر روی فضای نرمال باشد. در این صورت خواص زیر برقرار است

  1) برای هر ، .

2) .  

3) برای هر  متعلق بهⅅ،  

علاوه بر این نگاشت  یک به یک است.

اثبات: فرض کنید عملگر  روی فضای  نرمال باشد. با یک محاسبه ساده برای هر عضو   متعلق بهⅅ داریم 

 

(1.2)

از طرف دیگر با توجه به لم 1.2 داریم

 

(2.2)

از آنجا که  نرمال است، برای هر عضو  متعلق به ⅅ،  عبارت های (1.2) و (2.2) دارای نرم های یکسان هستند. در رابطه های (1.2) و (2.2)،  را مساوی صفر قرار می دهیم. می بینیم که رابطه(1.2)  صفر می شود. در نتیجه .  بنابراین .  فرض کنید برای هر عدد طبیعی m  که ، . واضح است که 

 

. 

(3.2)

از طرف دیگر، داریم

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.2)

بنابراین

 

(5.2)

با توجه به رابطه های (3.2) و (5.2)، . با استفاده از اثبات مشابهی که در بدست آوردن رابطه (4.2) به کار رفت و با توجه به اینکه به ازای هر ،  داریم

 

(6.2)

از طرفی از آنجا که

 

 

(7.2)

و 𝜓 مخالف صفراست، بوسیله رابطه های (6.2)

و (7.2) می بینیم که . حال فرض کنید ⅅ  یافت می شود به طوریکه   

 لم 1.2 نشان می دهد که

.

(8.2)

با استفاده از روابط (1.2)،  (8.2) و باتوجه به اینکه  𝜓 تابع صفر نیست و  نرمال است، نتیجه می گیریم که . حال فرض کنید نقاط مجزا و غیر صفر  و  در ⅅ وجود دارند، بطوری که

. به سادگی مشخص است که هسته مجموعه ای از همه چند جمله ای های با درجه ی کمتر از  است و بنابراین با توجه به اینکه  نرمال است، این خاصیت برای هسته  نیز برقرار است. حال با توجه به لم 1.2 داریم

 

 

 

بنابراین  یک چند جمله ای با درجه کمتر از می باشد. همچنین

 

 

لذا

 

 

بنابراین به ازای هر  داریم

  

لذا 

 

 

 

 

پس  به وضوح اگر  یا  صفر باشند، با استفاده از قضیه نگاشت باز، نقاط مجزا و ناصفر  و  وجود دارند که .  بنابراین φ یک به یک است. 󠆴󠆴

 

   در گزاره زیر، در حالتی که  است، عملگرهای نرمال  را به طور کامل مشخص

می کنیم.

 

گزاره 3.2: فرض کنید عملگر روی فضای  کراندار و  باشد. در این صورت    نرمال است اگر و فقط اگر   و

 جایی که  به  ℂ\{0}و   به ⅅ\{0}  تعلق دارند.

اثبات: فرض کنید  نرمال باشد. در این صورت داریم

 

 

(9.2)

از طرف دیگر با استفاده از رابطه (4.2) و گزاره 2.2 

مشاهده می کنیم که

 

 

 

(10.2)

از آنجا که  نرمال است، با تساوی روابط (9.2)، (10.2) و گزاره 2.2 داریم

 

 

(11.2)

با توجه به گزاره 2.2 می دانیم که

 بنابراین با استفاده از رابطه (11.2) نتیجه می گیریم که برای هر ،  همچنین گزاره قبل نشان می دهد که برای هر

 

لذا عدد مختلط غیر صفر  وجود دارد به طوریکه نگاشت 𝜓 به فرم باشد. بنابراین 

 

 

 

=

(12.2)

از طرف دیگر با استفاده از روندی مشابه اثبات رابطه (4.2) و با توجه به اینکه برای هر ،  داریم

 

 

بنابراین  یک بردار ویژه برای با مقدار ویژه متناظر  است. از آنجا که  نرمال است، می بینیم که

 

 

(13.2)

 از روابط (12.2) و (13.2) نتیجه می گیریم

 

 

 

. از آنجا که φ تابع ثابت بنابراین

نیست، پس   جایی که b متعلق به ⅅ\{0} می باشد. 󠆴

    برای اثبات عکس قضیه، فرض کنید

 و  . دقت کنید که برای هر ⅅ ، با توجه به لم 1.3  داریم

 

 

(14.2)

همچنین

 

(15.2)

از آنجا که زیر فضای تولید شده توسط  ها در

چگال است، لذا با توجه به روابط (14.2)   و (15.2)  داریم

 

از طرفی برای هر ، با انجام محاسبات زیر خواهیم داشت

 

 

 

 

(16.2)

 بطور مشابه داریم 

 

 

(17.2)

بنابراین با توجه به روابط  (16.2) و (17.2)،   نرمال است. 󠇯 󠇯󠇯

 

   در قضیه زیر در حالتی که 𝜓 مضربی از تابع مولد هسته مرتبهام و φ به فرم

باشد، عملگرهای نرمال  را بطور کامل مشخص می کنیم.

 

قضیه4.2 : فرض کنید

و   جایی که

  و  عناصر غیر صفر مختلط هستند و  عضوی از ⅅ می باشد.

همچنین فرض کنید عملگر  روی فضای  کراندار باشد. در این صورت عملگر  نرمال است اگر و فقط اگرb عضوی از ℝ\{0} یا  باشد.

اثبات:  فرض کنید   یا . اگر   باشد با توجه به گزاره3.2 ، عملگر  روی فضای ، نرمال است. اکنون فرض کنید

 . قرار دهید

  با استفاده از لم1.2  و محاسباتی ساده، برای هر ⅅ  داریم

 

 

 

(18.2)

از طرف دیگر

 

 

(19.2)

با توجه به اینکه  عددی حقیقی است، با کمک روابط (18.2) و (19.2) ، برای هر ⅅ  داریم

 

از طرفی از آنجا که زیرفضای تولید شده توسط ها در فضای  چگال هستند، نتیجه می گیریم که  یک عملگر خودالحاق می باشد. بنابراین واضح است که عملگر  نرمال است.

     برای اثبات عکس قضیه، فرض کنید که   عملگری نرمال  و   و   عضوی از   باشند.

با محاسباتی ساده داریم

 

 

 

جایی که

 

 

از طرف دیگر با کمک لم 1.2 داریم

 

 

 

جایی که

 

بنابراین

 

 

 

 

(20.2)

و

 

 

 

 (21.2)

از آنجا که عملگر  نرمال است، با توجه به روابط (20.2)  و (21.2)، و به راحتی می توان بررسی کرد که در این صورت  و این تناقض است. حال فرض کنید  و.

مشابه اثبات فوق می توان نتیجه گرفت که  

 

بنابراين  نرمال نیست و این تناقض است. 󠆴 󠆯     

 

 

فهرست منابع

 

[1] C. C. Cowen and B. D. MacCluer. Composition operators on spaces of analytic functions. CRC Press, Boca Raton. 1995.

 

[2] M. Fatehi and C. N. B. Hammond. Composition-differentiation operators on the Hardy space. Proc. Amer. Math. Soc. 148:2893-2900(2020).

 

[3] M. Fatehi and C. N. B. Hammond.

Normality and self-adjointness of weighted composition-differentiation operators. Complex Anal. Oper. Theory 15:1-13(2021).

 

[4] S. Ohno. Products of composition and differentiation between Hardy spaces. Bull. Aust. Math. Soc. 73:235-243(2006).

 

[5] S. Stevic’. Products of composition and differentiation operators on the weighted Bergman space. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 16:623-635 (2009).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NORMAL WEIGHTED COMPOSITION-DIFFERENTIATION OPERATORS.

 

 

 

Mahbube moradi1, Mahsa Fatehi2

 

(1)

(Department of Mathematics, Shiraz Branch, Islamic Azad University, Shiraz, Iran)

 

(2)

 (Department of Mathematics, Shiraz Branch, Islamic Azad University, Shiraz, Iran)

 

تاریخ ارسال مقاله .................تاریخ پذیرش مقاله .....................

Abstract

In this paper, we investigate the normal weighted composition-differentiation operators on  For  we completely characterize normal weighted composition-differentiation operators   Then we find another class of normal weighted composition-differentiation operators.

  

Keywords: Composition operator, Weighted composition-differentiation operator, Normal.

 

 

 

* عهده­دار مکاتبات:                                                                                                          

Email: [e-mail]

---